高考数学第二轮专题思想篇-数学思想方法的应用

思想篇数学思想方法的应用思想一

函数与方程思想函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题.求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题,往往都可利用函数思想转化为函数问题.方程思想是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题.如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题.函数思想与方程思想密切相关:方程f(x)=0的根就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标;y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有根,若函数f(x)的值域为M,则a∈M.函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系.真题示例解法关键用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于cosα的一元二次方程,求解得出cosα,再用同角间的三角函数关系,即可得出结论.答案:A.真题示例解法关键

[2020·浙江卷]已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则(

)A.a<0 B.a>0C.b<0 D.b>0令f(x)=(x-a)(x-b)(x-2a-b),则f(0)=(-a)·(-b)·(-2a-b)=-ab(2a+b)≥0,再对a,b的可能符号进行讨论.答案C.真题示例解法关键

[2019·江苏卷]已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是

.

由题意首先列出方程组求得首项和公差,然后求解数列的前8项和即可.答案:16.

A

C

D

D

[2,3]

2

思想二

数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想体现了数与形之间的转化,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来,即将代数问题几何化、几何问题代数化.数形结合思想常用来解决函数零点、方程根与不等式问题,参数范围问题,以立体几何为模型的代数问题,解析几何中的斜率、截距、距离等问题.真题示例解法关键

[2020·全国卷Ⅰ]已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为 (

)A.64π

B.48π

C.36π

D.32π画出图形,由已知可得等边三角形ABC的外接圆半径,进而求出其边长,得出OO1的值,根据球的截面性质,求出球的半径.答案:A.真题示例解法关键真题示例解法关键真题示例解法关键

[2020·全国新高考Ⅰ卷]若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 (

)A.[-1,1]∪[3,+∞)

B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)

D.[-1,0]∪[1,3]

首先根据函数的奇偶性与单调性,画出函数f(x)的草图,得到在相应区间上的符号,再根据xf(x-1)≥0分类转化为对应自变量的不等式,最后求并集得结果.答案:D.

B

A图S-1[解析]如图所示,若图中曲线①为函数y=f(x)的图像,则曲线②为导函数y=f'(x)的图像,由导函数y=f'(x)的图像可知,函数y=f(x)在区间(0,4)上的单调递减区间为(0,2),但函数y=f(x)在区间(0,2)上不单调,不符合题意;

A图S-1

B[解析]如图所示,设椭圆的下焦点为F',连接AF,AF',MF',则|AF|=|AF'|=4,|MF|+|MF'|=2a=6.∵|MA|-|MF'|≤|AF'|,当且仅当A,F',M共线且F'在线段AM上时等号成立,∴|MA|+|MF|=|MA|+6-|MF’|≤6+4=10,即|MA|+|MF|的最大值为10,故选B.

A

5.已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值是

.

6.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x(0<x<1)的液体,旋转容器,若液面恰好经过正方体的某条体对角线,则液面边界周长的最小值为

.

思想三

分类讨论思想分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个简单的基础问题,通过对基础问题的解答解决原问题的思维策略,实质上就是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略.使用分类讨论思想应明白这样几点:一是引起分类讨论的原因;二是分类讨论的原则,不重不漏,分类标准统一;三是明确分类讨论的步骤.常见的分类讨论问题有以下几种:1.由概念引起的分类讨论;2.由性质、定理、公式的限制条件引起的分类讨论;3.由数学运算引起的分类讨论;4.图形的不确定性引起的分类讨论;5.由参数的变化引起的分类讨论.真题示例解法关键真题示例解法关键

[2020·北京卷]已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sinα=sinβ”的(

)A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

根据充分条件、必要条件的定义以及诱导公式分类讨论即可判断.答案:C.真题示例解法关键

[2019·江苏卷]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是

.

真题示例解法关键构造函数F(x)=f(x)-ax-b,当x≥0时,分a≤-1,a>1,a=1,-1<a<1四种情况,利用导数研究函数的单调性,根据单调性解答问题.答案:C.真题示例解法关键

[2019·全国卷Ⅰ]甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是

.

分两种情况讨论,应用独立事件的概率的计算公式求解即可.答案:0.18.

DA

B

C

D图S-2

2.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学对所有的吉祥物都喜欢,现让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法共有 (

)A.50种 B.60种C.80种 D.90种C[解析]根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论:若甲选择牛,此时乙的选法有2种,丙的选法有10种,共有2×10=20(种)不同的选法;若甲选择马或猴,此时甲的选法有2种,乙的选法有3种,丙的选法有10种,共有2×3×10=60(种)不同的选法.综上,一共有20+60=80(种)不同的选法.故选C.3.若直线l:y=(a-1)x-1与曲线y2=ax恰好有一个公共点,则实数a的值为

.

4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+Sn-1=3n2(n≥2),则an=

.

思想四

转化与化归思想转化与化归思想是指在研究解决数学问题时,采用某种手段将问题转化,使问题得以解决的一种思维策略,其核心是把复杂的问题化归为容易求解的问题,将较难的问题化归为较简单的问题,将未能解决的问题化归为已经解决的问题.常见的转化与化归思想的应用具体表现在:将抽象函数问题转化为具体函数问题,立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形,“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维,空间与平面的转化,相等问题与不等问题的转化等.真题示例解法关键

[2020·全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=(

)A.2

B.3

C.6

D.9

[2020·江苏卷]已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是

.

真题示例解法关键

[2020·全国新高考Ⅰ卷]将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为

.

首先判断出数列{2n-1}与{3n-2}项的特征,从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差,转化为等差数列的求和问题.答案:3n2-2n.真题示例解法关键

[2020·全国卷Ⅰ]已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点,过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为 (

)A.2x-y-1=0

B.