《计算方法》课件第6章

6.1引言6.2牛顿－科特斯(NewtonCotes)求积公式6.3复化求积公式6.4数值微分第6章数值积分与数值微分在许多实际问题中需要计算定积分，如果函数f(x)的原函数F(x)存在，可以用牛顿－莱布尼兹公式计算连续函数f(x)的定积分：6.1引言6.1.1机械求积公式

在微积分中，定积分是黎曼和的极限，即将积分区域分割成n份，当n趋于无穷、间隔趋于零时，其几何含义是曲边梯形的面积。在数值积分计算中，只能取有限项的和作为上述极限的近似，通常由离散点上函数值的线性组合给出。用(6.1)表示近似积分值，其中,xi(i=0,1,…,n)称为求积节点，Ai(i=0,1,…,n)称为求积系数。确定积分系数的过程就是构造数值积分公式的过程，希望求积系数与被积函数无关。这样进行具体计算时只需代入求积节点的函数值即可，称此求积公式为机械求积公式。用表示积分的真实值，记(6.2)6.1.2代数精度

定义6.1如果某个求积公式对于次数小于或者等于m的多项式都准确成立，而至少对于一个m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。

根据代数精度的定义，如果求积公式具有m次代数精度，则必然满足(6.3)式(6.3)左边是求积公式，右边是小于或等于m次的多项式在区间［a,b］上的积分值。由于该公式左边有n+1个未知数，故公式右边的m应该等于n才能解出所需的求积系数。

例6－1确定一个具有3次代数精度的公式：

解根据上面的讨论，多项式xk中的k依次取0，1，2，3，可得到如下方程组:解之得得到求积公式为将f(x)=x4代入上述求积公式，不能精确成立，故所得公式具有3次代数精度。

例6－2

试确定系数Ai(i=0，1，2)，使求积公式具有尽可能高的代数精度，并求出此积分公式的代数精度。

解根据上面的讨论，将k值依次取0，1，2，得到如下方程组解之得得到求积公式为将f(x)=x3代入上述求积公式，精确成立，f(x)=x4则不能精确成立，故所得公式具有3次代数精度。6.1.3插值型求积公式

已知给定被积函数在［a，b］上的一系列点(xi，yi)(i=0，1，…，n)，构造插值多项式Pn(x)作为被积函数f(x)的近似，然后利用插值多项式求积分，这样获得的求积公式称为插值型求积公式。

从前面的章节已经知道，拉格朗日插值多项式易于构造且具有很好的精度，下面采用拉格朗日插值来求积分。拉格朗日插值多项式为(6.4)其中，,则(6.5)令(6.6)得到插值型求积公式(6.7)则积分误差为式中，(6.8)

对一般函数，Rn(f)≠0，若f(x)是一个不高于n次的多项式，由于f(n+1)(x)=0，则有Rn(f)=0。因此，n次插值多项式的数值积分公式至少具有n次代数精度。所以有故有即式(6.7)为插值型求积公式。综上，有如下定理：定理6.1

n+1个节点的求积公式为插值型的充要条件是它至少具有n次代数精度。6.2牛顿－科特斯(NewtonCotes)求积公式

对积分区间［a，b］作n等分，步长h=(b－a)/n，取xi=a+ih(i=0，1，…,n)作为求积节点构造n次求积公式，如果该求积公式至少具有n次精度，则称之为n次牛顿－科特斯求积公式。下面可以看到，该积分公式的积分系数和积分节点以及积分区间无直接关系，系数固定且易于计算。6.2.1梯形积分公式

根据6.1节讨论的内容，将插值型积分公式改写如下:(6.9)式中，C(n)i表示积分系数，下标i表示积分点位置，上标n表示n等分，可以通过不同的等分数n改变积分精度。取n=1，以(a，f(a))，(b，f(b))为插值节点构造线性函数L1(x)，则对照式(6.9)得故(6.10)称为梯形积分公式，其几何意义如图6.1所示。图6.1梯形积分公式的几何意义当f(x)=x2时故梯形公式具有1次代数精度,其误差为(6.11)通过积分中值定理也可证明梯形积分公式具有1次代数精度。由于(x－a)(x－b)在区间［a，b］上不变号，由积分中值定理可得到梯形求积公式的截断误差为其中,故截断误差为(6.12)从式(6.12)可以看出，梯形积分公式具有1次代数精度。6.2.2辛普森(Simpson)积分公式

对积分区间作二等分，可得x0=a，x1=(a+b)/2，x2=b,设h=(b－a)/2，令x=a+th(0≤t≤2),则则同理可得故即(6.13)图6.2辛普森积分公式的几何意义下面考虑辛普森求积公式的误差此时,在［a，b］内变号，故不能直接使用积分中值定理来讨论,为此构造一个三次埃尔米特插值多项式H(x)，满足可以证明H(x)的余项为(6.14)故因为辛普森求积公式具有三次代数精度，所以有故根据此式可得辛普森求积公式的余项为式中,在［a，b］内不变号，由积分中值定理可得对该积分进行变量代换，并引入变量k，c，且令x=kt+c，a=－k+c，b=k+c后，可求解得到c=(a+b)/2，k=(b－a)/2，则将k，c代入x后可得所以故(6.15)6.2.3一般的牛顿－科特斯积分公式

对积分区间［a，b］作n等分，步长h=(b－a)/n，取xi=a+ih(i=1，2，…，n)作为求积节点构造n阶求积公式,同辛普森公式的推导,令x=a+th(0≤t≤n)。其中,(6.16)由此得到一般的牛顿－科特斯公式:(6.17)根据式(6.16)可以验证梯形和辛普森求积公式的系数分别为当n=1时,当n=2时,表6.1给出了常用的牛顿－科特斯公式的系数。

关于牛顿－科特斯积分公式的代数精度误差，具有以下基本结论：

设n表示区间等分数，当n为偶数时，牛顿－科特斯公式具有n+1次精度，当n为奇数时，该公式具有n次精度。

当区间等分数较大时，牛顿－科特斯公式稳定性差，失去实用价值。因此，人们更感兴趣的是梯形公式(n=1)、辛普森公式(n=2)及科特斯公式(n=4)。

例6－3试分别使用梯形公式和辛普森公式计算积分

。

解利用梯形公式得利用辛普森公式得原积分的准确值为

例6－4试分别使用梯形公式和辛普森公式计算积分。

解利用梯形公式得利用辛普森公式得原积分的准确值为 6.3复化求积公式

6.3.1复化梯形公式在小区间上应用梯形积分公式可得：（6.18）在每个小区间上应用梯形求积公式，并求和得：(6.19)式(6.19)即为复化梯形求积公式，其误差为若f″(x)在［a，b］上连续，由连续函数的介值定理，存在η∈(a，b)使得则式(6.20)还可以化为因此复化梯形公式的截断误差以的速度下降。6.3.2复化辛普森公式

将［xi，xi+1］的中点表示为xi+1/2，则在该小区间上应用辛普森公式可得积分(6.21)在每个小区间［xi，xi+1］(i=0，1，…，n－1)上使用辛普森公式，并求和得(6.22)式(6.22)即为复化辛普森求积公式，其误差为若在［a,b］上连续，由连续函数的介值定理，存在 使得则（6.23）6.3.3复化科特斯公式

将每个子区间［xi，xi+1］四等分，内分点依次记为x

i+1/4，xi+1/2，xi+3/4，类似复化梯形和辛普森公式的分析过程，可得复化科特斯公式的结果为(6.24)复化科特斯公式的误差为(6.25)例6-5

使用复化求积公式计算解建立数据表6.2。表6.2例6－5的复化梯形、辛普森和科特斯公式数据表由复化梯形积分公式可得由复化辛普森公式可得由复化科特斯公式可得=0.94608307原始积分的精确值是从计算结果可以看出，在数据相同的条件下，复化科特斯公式收敛最快。

例6－6取9个节点，用复化梯形、复化辛普森、复化科特斯公式计算的近似值。

解建立数据表，并根据相应公式计算定积分，结果见表6.3。

表6.3

例6－6的复化梯形、辛普森和科特斯公式的数据表及计算结果6.3.4步长的自动选择

复化求积公式表明，当节点数目增加时，精度可以提高，但节点数在求解问题时往往无法确定，给问题求解带来不便。

可采用如下策略：事先预报某个步长h(可以适当放大一些，以留有余地)，然后步长减半，直到二分前后两个近似值的偏差在精度范围内为止，这种计算过程中自选步长的方法称为变步长方法。下面讨论变步长方法中梯形法的计算规律。设当前已将积分区间分成n等分，共n+1个分点,即(i=1,2,…n)第i段的复化梯形积分公式为如果将求积区间再等分一次，即将分点增加至2n+1个，则区间［xi，xi+1］的中点位置为原第i段复化梯形积分公式为总的积分为各段积分之和，故(6.26)将区间二等分，再求中点的函数值以此类推得到如表6.4所示结果，Δ为本次与上次计算结果的差。表6.4变步长积分计算结果 6.4数值微分

6.4.1数值求导的差商公式

给定函数表(xi，f(xi))(i=1，2，…，n)，求函数在xi处的导数值问题，称为数值微分问题。按照高等数学的定义，导数可以表示如下1.向前差商

(6.27)得到向前差商的截断误差为(6.28)2.向后差商

(6.29)与向前差商类似，可得到向后差商的截断误差为(6.30)3.中心差商

(6.31)(6.32)6.4.2插值型数值微分

已知节点在xi(i=1，2，…，n)处的函数值f(xi)，作n次插值多项式Pn(x)，再利用Pn(x)的导数近似代替f(x)的导数，称为插值型数值微分方法。

必须指出，即使f(x)与Pn(x)的值相差不多，但导数的近似值Pn′(x)与f′(x)可能相差很大，因此使用该方法时，必须注意误差的分析。

根据插值余项定理，插值余项为(6.33)插值余项的导数为(6.34)式(6.34)中,ξ是x的未知函数，故无法求解其第二项中的导数。但如果所求某个节点xi是ω(x)的零点，则可以估计导数的余项为(6.35)1.两点公式

已知两个节点值x0、x1和对应的函数值f(x0)、f(x1)，作线性插值(6.36)记h=x1－x0,对式(6.36)求导得(6.37)代入x0、x1，因为与变量的值无关，故两者的导数值相同:(6.38)(6.39)但是截断误差不同：所以带余项的两点公式为(6.40)(6.41)

2.三点公式

已知给出三个节点，x0，x1=x0+h，x2=x0+