控制工程 控制系统瞬态响应分析学习资料

控制工程基础第三章控制系统时域响应分析第三章时域响应分析§3.1典型输入信号与时域响应§3.2一阶系统的瞬态响应§3.3二阶系统的瞬态响应§3.4瞬态响应的性能指标§3.5高阶系统的瞬态响应§3.6应用MATLAB确定系统的瞬态响应§3.7传递函数的极零点分布§3.8稳态误差分析与计算§3.1典型输入信号与时域响应1系统的输入信号2瞬态响应与稳态响应常见的典型输入信号：阶跃信号

0t斜坡函数

10t3加速度函数

0t因为持续时间趋于无穷小，所以脉冲高度趋于无穷大，脉冲面积为。当时，称为单位脉冲函数，又称函数。脉冲函数

00正弦函数0t究竟采用哪种典型信号？

取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。斜坡信号随时间逐渐变化的输入阶跃信号突然的扰动量、突变的输入脉冲信号冲击输入正弦信号随时间往复变化的输入

瞬态性能指标是以阶跃信号为典型输入信号定义的。时间响应及其组成1、时间响应定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。

2、时域分析的目的在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点：直观、简便

2瞬态响应与稳态响应时域响应包括：（以阶跃输入为例）稳态响应瞬态响应t(1)时间响应系统在输入信号作用下,其输出随时间的变化过程(2)瞬态响应(TransientResponse)开始至稳定状态的响应过程(3)稳态响应(Steady-stateResponse)t->无穷大时的响应§3.2一阶惯性系统的瞬态响应1一阶系统的数学模型与瞬态响应2一阶系统的单位阶跃响应3一阶系统的单位斜波响应4一阶系统的单位脉冲响应First-orderSystem

一阶系统的瞬态响应-?一、一阶系统的单位阶跃响应结论：

1一阶系统总是稳定的；

2可用实验方法测T；

3经过3~4T，响应已达稳态值的95%~98%4

T2T3T4T5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632一阶系统的单位阶跃响应曲线一阶系统单位阶跃响应的特点响应分为两部分

瞬态响应：表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）

稳态响应：1表示t

时，系统的输出状态

xo(0)=0，随时间的推移，xo(t)指数增大，且无振荡。xo(

)=1，无稳态误差；

xo(T)=1-e-1=0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；

时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%

~98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系。该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。tln[1-xo(t)]0二、一阶系统的单位斜坡响应t0一阶系统的单位斜坡响应曲线一阶系统单位斜坡响应的特点

瞬态响应：Te–t/T；稳态响应：t–T；

经过足够长的时间(稳态时，如t

4T)，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：

t–T，即输出相对于输入滞后时间T；

系统响应误差为：三、一阶系统的单位脉冲响应98.2%95%99.3%86.5%B0tT2T3T4T5T63.2%A一阶系统单位脉冲响应的特点

瞬态响应：(1/T)e–t/T；稳态响应：0；

xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。

线性定常系统的重要特性：系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得到；系统对输入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件给定。不同时间常数下的响应情况由上图可知，T越大，惯性越大。一阶系统的性能指标：Ts,它是一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的(1-△)所需的时间(△为容许误差)。△=2%,ts=4T,△=5%,ts=3T，调整时间反映系统响应的快速性，T越大，系统的惯性越大，调整时间越长，响应越慢。§3.3二阶系统的瞬态响应1二阶系统的数学模型与瞬态响应2二阶系统的单位阶跃响应3二阶系统的单位斜坡响应4二阶系统的单位脉冲响应Second-orderSystem1二阶系统的数学模型与瞬态响应-二阶系统特征方程：[s]00特征方程的根：两个不等实根两个相等实根00

（欠阻尼）有一对共轭复根（无阻尼）有一对纯虚根s2s1负阻尼，一对共轭复根，位于右半平面欠阻尼(0<<1)零阻尼(=0)临界阻尼(=1)过阻尼(>1)负阻尼(<0)2二阶系统的单位阶跃响应0[s]欠阻尼衰减振荡，角频率为Wd欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点

xo(

)=1，无稳态误差；

瞬态分量为振幅等于的阻尼

正弦振荡，其振幅衰减的快慢由

和

n决定。阻尼振荡频率；

振荡幅值随

减小而加大。0无阻尼等幅振荡0临界阻尼不振荡0过阻尼不振荡动态过程更长[s]0负阻尼不相等正实根单调发散共轭复根0负阻尼发散振荡不同阻尼下二阶系统单位阶跃响应特征阻尼特征根分布动态响应特征0<ξ<1(欠阻尼)一对共轭复根衰减振荡ξ=0(无阻尼)一对共轭虚根等幅振荡ξ=1(临界阻尼)二重实根不振荡ξ>1(过阻尼)两个负实根不振荡，动态过程更长ξ<0(负阻尼)ξ<-1不等正实根单调发散-1<ξ<0共轭复根发散振荡一般在0.4—0.8间响应曲线较好欠阻尼(0<<1)临界阻尼(=1)过阻尼(>1)3二阶系统的单位斜坡响应欠阻尼(0<<1)临界阻尼(=1)过阻尼(>1)4二阶系统的单位脉冲响应衰减振荡在欠阻尼条件下，二阶系统的单位脉冲响应是以阻尼自振频率为角频率的衰减振动，并且阻尼越小，振荡的幅度越大。§3.4瞬态响应的性能指标上升时间(RiseTime)峰值时间(PeakTime)最大超调量(Overshoot)调整时间(SettlingTime)振荡次数Time-domainPerformanceSpecifications对于具有储能元件的系统(即大于或等于一阶的系统)受到输入信号作用时，一般不能立即反应，而表现出一定的过渡过程。时域分析性能指标是以系统对单位阶跃输入的瞬态响应形式给出。响应曲线从0上升到稳态值的100%所用时间响应曲线达到第一个峰值所用时间在响应曲线的稳态值上，用稳态值的绝对百分数做一个允许误差范围，响应曲线达到并且永远保持在这一允许误差范围内所用的最小时间10t这些点已被确定0.05或0.020[s]欠阻尼情况下二阶系统的单位阶跃响应为：0[s]04.39.416.325.437.252.772.910010.70.60.50.40.30.20.10表3-2不同阻尼比的最大超调量00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp

二阶系统Mp—

图显然，Mp仅与阻尼比

有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。

越大，Mp越小，系统的平稳性越好，当

=0.4~0.8时，可以求得相应的Mp

=25.4%~1.5%。10t在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。N仅与

有关,与Mp一样直接说明了系统的阻尼特性。

越大，N越小，系统平稳性越好。对欠阻尼二阶系统，振荡周期则标准二阶系统瞬态响应指标

二阶系统的动态性能由

n和

决定。

结论

通常根据允许的最大超调量来确定

。

一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整

n以获得合适的瞬态响应时间。

一定，

n越大，系统响应快速性越好，tr、

tp、ts越小。

增加

可以降低振荡，减小超调量Mp和振荡次数N，但系统快速性降低，tr、tp增加；例1MfK8.9N0.0029求M、k、f的数值例2

设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。

例3解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。0t(s)11.30.1h(t)z=[]p=[0-24.2]k=1129sys=zpk(z,p,k)>>sys=zpk(z,p,k)

Zero/pole/gain:1129----------s(s+24.2)sysc=feedback(sys,1)

Zero/pole/gain:1129---------------------(s^2+24.2s+1129)采用MATLAB反演上述过程§3-5高阶系统的瞬态响应

对于一般二阶以上的单输入单输出线性定常系统，其传递函数可以表示为：

可见，高阶系统的瞬态响应是由一些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数迭加组成的。当所有极点均具有负实部时，除了α，其它各项随着t→∞而衰减为零，即系统是稳定的。

高阶系统通过合理的简化，可以用低阶系统近似。以下两种情况可以作为降阶简化的依据：1、系统极点的负实部愈是远离虚轴，则该极点对应的项在瞬态响应中衰减得愈快。反之，距虚轴最近的闭环极点对应着瞬态响应中衰减最慢的项，该极点对瞬态响应起主导作用，称之为主导极点。决定系统瞬态响应性能方面起主导作用。工程上当极点A距虚轴的距离大于5倍的极点B距虚轴的距离时，分析时可忽略极点A。2、闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消去，称之为偶极子相消。偶极子：一对靠得很近的闭环零极点。补充定义：主导极点：离虚轴近、又不构成偶极子的极点；主导零点：离虚轴近、又不构成偶极子的零点。

对分母分解因式当考虑主导极点削去(s+60)时，只去掉s，保证静态增益不变。

n=72.11rad/s，

=0.139txo(t)0原系统等效二阶系统单位阶跃响应§3.6应用MATLAB确定系统的瞬态响应应用Matlab语句阶跃响应step()脉冲响应impulse()任意输入的响应lsim()Simulink的应用STEP：StepresponseofLTImodelsSTEP(SYS)plotsthestepresponseoftheLTImodelSYS(createdwitheitherTF,ZPK,orSS).STEP(SYS,TFINAL)simulatesthestepresponsefromt=0tothefinaltimet=TFINAL.STEP(SYS1,SYS2,...,T)plotsthestepresponseofmultipleLTImodelsSYS1,SYS2,...onasingleplot.ThetimevectorTisoptional.Youcanalsospecifyacolor,linestyle,andmarkerforeachsystem,asinstep(sys1,'r',sys2,'y--',sys3,'gx').STEP：StepresponseofLTImodels[Y,T]=STEP(SYS)returnstheoutputresponseYandthetimevectorTusedforsimulation.Noplotisdrawnonthescreen.IfSYShasNYoutputsandNUinputs,andLT=length(T),Yisanarrayofsize[LTNYNU]whereY(:,:,j)givesthestepresponseofthej-thinputchannel.[Y,T,X]=STEP(SYS)alsoreturns,forastate-spacemodelSYS,thestatetrajectoryX,aLT-by-NX-by-NUarrayifSYShasNXstates.IMPULSE：ImpulseresponseofLTImodels.IMPULSE(SYS)plotstheimpulseresponseoftheLTImodelSYS(createdwitheitherTF,ZPK,orSS).IMPULSE(SYS1,SYS2,...,T)plotsthestepresponseofmultipleLTImodelsSYS1,SYS2,...onasingleplot.Wheninvokedwithleft-handarguments,[Y,T]=IMPULSE(SYS)returnstheoutputresponseYandthetimevectorTusedforsimulation.Noplotisdrawnonthescreen.LSIM:SimulatetimeresponseofLTImodelstoarbitraryinputsLSIM(SYS,U,T)plotsthetimeresponseoftheLTImodelSYStotheinputsignaldescribedbyUandT.ThetimevectorTconsistsofregularlyspacedtimesamplesandUisamatrixwithasmanycolumnsasinputsandwhosei-throwspecifiestheinputvalueattimeT(i).LSIM(SYS1,SYS2,...,U,T,X0)simulatestheresponseofmultipleLTImodelsSYS1,SYS2,...onasingleplot.TheinitialconditionX0isoptional.Youcanalsospecifyacolor,linestyle,andmarkerforeachsystem,asinlsim(sys1,'r',sys2,'y--',sys3,'gx',u,t).任意输入的响应lsim()t=0:99;p=rand(100,1)'a=[12];b=[123];s1=tf(a,b);lsim(s1,p,t)算例>>t=0:0.01:5;u=sin(t);a=[12];b=[123];sys=tf(a,b);lsim(sys,u,t)1由系统传递函数的零极点分布决定时域特性1.1时域特性——g(t)1.2几种典型的极点分布1.3有二重极点分布1.4零点的影响§3.7传递函数的零极点分布1.1时域特性——g(t)反变换第i个极点决定总特性Ki与零点分布有关1.27种典型的极点分布(a)一阶极点在原点(b)一阶极点在负实轴(c)一阶极点在正实轴(d)一阶共轭极点在虚轴上(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点(f)共轭极点在左半平面(g)共轭极点在右半平面(a)一阶极点在原点(b)一阶极点在负实轴(c)一阶极点在正实轴(d)一阶共轭极点在虚轴上(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点(f)共轭极点在左半平面(g)共轭极点在右半平面1.3有二重极点分布(a)在原点有二重极点(b)在负实轴上有二重极点(a)在原点有二重极点(b)在负实轴上有二重极点一阶极点分布1.4零点的影响零点移动到原点1.4零点的影响幅度多了一个因子多了相移零点的分布只影响时域函数的幅值和相位，不影响振荡频率应用MATLAB语言，编写一计算欠阻尼二阶系统时域性能参数的程序。程序输入：系统控制模型(tf对象)程序输出：各类时域性能参数2编程题作业应用MATLAB语言，编写一计算欠阻尼二阶系统时域性能参数的程序。程序输入：系统控制模型(tf对象)程序输出：各类时域性能参数2编程题1计算题3-23-63-7§3.8稳态误差分析与计算(本书第６章)稳态误差的基本概念控制系统稳态误差的计算Steady-stateError

1、稳定

2、准确

3、快速误差静差：由元件不完善造成的；原理性误差：

1、不能很好跟踪输入信号造成的；

2、由于扰动引起的。对控制系统的基本要求：--偏差1稳态误差的基本概念(本书6.1节)偏差信号定义为输入信号与反馈信号的差说明：1）误差是从系统输出端来定义的，它是输出的希望值与实际值之差，这种方法定义的误差在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而一般只具有数学意义。2）偏差是从系统的输入端来定义的，它是系统输入信号与主反馈信号之差，这种方法定义的误差，在实际系统中是可以测量的，因而具有一定的物理意义。3）对单位反馈系统而言，误差与偏差是相等的。4）有些书上对误差、偏差不加区分，只是从不同的着眼点（输入、输出点）来定义，看参考书时应稍加注意。误差信号E(s)误差信号e(t)定义为系统期望输出Xor(t)与系统实际输出Xo(t)之差，即：E(s)=Xor(s)－Xo(s)控制系统的期望输出Xor(s)定义为偏差信号

(s)＝0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望输出：Xo(s)＝Xor(s)由：

(s)=Xi(s)－H(s)Xo(s)=Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)偏差信号

(s)与误差信号E(s)的关系误差与偏差有简单的比例关系2控制系统稳态误差的计算误差传递函数与稳态误差静态误差系数扰动引起的误差改善系统稳态精度的方法按干扰补偿按输入补偿动态误差系数输入引起的稳态误差(本书6.2)一、误差传递函数与稳态误差-先看单位反馈系统

非单位反馈系统-例6-1-从物理意义上解释：稳态误差计算流程1计算误差传递函数3根据终值定理计算稳态误差2计算误差的拉氏变换2.2静态误差系数(1)系统类型(2)静态位置误差系数(3)静态速度误差系数(4)静态加速度误差系数(1)系统类型开环传递函数：0型系统：=0；无积分环节；I型系统：=1；1个积分环节；II型系统：=2；2个积分环节；-2、系统对单位阶跃输入的稳态误差静态位置误差系数3、系统对单位斜坡输入的稳态误差静态速度误差系数4、系统对单位加速度输入的稳态误差静态加速度误差系数输入误差系数稳态误差系统型别5小结1．位置误差，速度误差，加速度误差分别指输入是阶跃、斜坡、匀加速度输入时所引起的输出位置上的误差。2．表概括了0型、I型和II型系统在各种输入量作用下的稳态误差。在对角线以上，稳态误差为无穷大；在对角线以下，则稳态误差为零。3．对于单位反馈控制系