人教版多选题单元 易错题测试题试卷

一、函数的概念与基本初等函数多选题

l-|2x-3|,l<x<2

1.已知函数f(x)=<,则下列说法正确的是()

—f—|,x>2

2⑶

(11)

A.若函数y=/(x)-丘有4个零点，则实数k的取值范围为二,二

1246)

B.关于x的方程=0(〃eN0)有2〃+4个不同的解

C.对于实数工£[1,十8),不等式24(工)一340恒成立

D.当x£[2"T,2"]5eN*)时，函数的图象与X轴围成的图形的面积为1

【答案】AC

【分析】

根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A,C利用数形结合进行判断，对于B,D利用

特值法进行判断.

【详解】

33

当IVXV—时，/(x)=2x-2；当二vx«2时，f(x)=4-2x；

222

当2c<3,则1苦竦，/W=iZ(C=i"1；

3x/(x)=W=2.：

当3<xW4,则二<W«2,

22

X1iX।X1

当4vx<6,则2<343,/(x)=-/-=---；

当6vxW8,则3v：V4,fW-^-fy

，乙\乙)I

对于A,函数y=/（x）-辰有4个零点，即丁=/*）与丁=履有4个交点，如图，直线

,一京的斜率应该在直线m,c之间，又m=：，幻='，故A正确；

对于B,当〃=1时，f（x）=5有3个交点，与2〃+4=6不符合，故B错误；

3

对于C,对于实数工£[1,+8）,不等式240）-3工0恒成立，即恒成立，由图

2x

33

知函数/（幻的每一个上顶点都在曲线y=—上，故/（x）«—恒成立，故C正确；

2x2x

对于D,取〃=1,XG[1,2],此时函数/*）的图像与x轴围成的图形的面积为

—x1x1=—,故D错误；

22

故选：AC

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解投；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

2.已知/（力为定义在R上且周期为5的函数，当工£[0,5）时，/⑴=k2一©+3].则下

列说法中正确的是（）

A.7（力的增区间为（1+5匕2+5%）口（3+5L5+5攵），keZ

B.若y=〃与y=在[-5,7]上有io个零点，则。的范围是（0,1）

C.当时，“X）的值域为[0,3],则。的取值范围[1,4]

/12、

D.若y=H-2（&>0）与y=有3个交点，则％的取值范围为

【答案】BC

【分析】

首先作出了（九）的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A不正确；利

用数形结合可判断选项B、C；举反例如&=1时经分析可得了=依一2伙>0）与y=/（x）

有3个交点，可判断选项D不正确，进而可得正确选项.

【详解】

y=x-2

对于选项A：单调区间不能用并集，故选项A不正确；

对于选项B：由图知若>与y=f（x）在［-5,7］上有10个零点，则。的范围是（0,1）,

故选项B正确；

对于选项C/（1）=0,/（4）=3,由图知当时,/（力的值域为［0,3］,则。的

取值范围［1,4］,故选项c正确；

对于选项D：当女=1时，直线为丁二X一2过点（5,3）,“X）也过点（5,3）,当x=10

时，y=10-2=8,直线过点（10,8）,而点（10,8）不在“外图象上，由图知：当

&=1时，直线为丁二%—2与y=/（x）有3个交点，由排除法可知选项D不正确，

故选：BC

【点睛】

方法点睛：己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

e\x<0

3.设函数=191,对关于工的方程，2（彳）一"（"）+2—6=0,下

-x+2x+—.x>0

2

列说法正确的有（）.

A.当人=一2+26时，方程有1个实根

3

B.当人=二时，方程有5个不等实根

C.若方程有2个不等实根，则。＜bW2

D.若方程有6个不等实根，则一2+2石＜力＜3

2

【答案】BD

【分析】

先作出函数的图象，进行换元/（工）=乙将方程转化成关于t的二次方程，结合/*）

函数值的分布，对选项中参数值与根的情况逐一分析判断四个选项的正误即可.

【详解】

选项A中，6=-2+2当时方程为产+（2-26/+4-26=0,即卜+1一百）2=0,

故1=6-\，即/（幻=6-1£（；,“，看图知存在三个根，使得f（x）=百一1,故A

错误；

3311

选项B中，/?=-,方程即“一/+=o,即2/-3/+1=0，解得，=1或，=不，当

2222

/（x）=l=l时看图可知，存在3个根，当/（x）=z=g时看图可知，存在2个根，故共5

个不等的实根，B正确；

选项c中，方程有2个不等实根，则有两种情况：（1）r.=r2=1,则与或

，此时一!+2-6=0,即从—48+8=0，解得b=—2±2G，

1Q

———1i>/3,均不满足上面范围，舍去；(2)时，即4=$4£或

33(a、？q

4由w・①当4,，2£(~°°，°］时4=3，代入方程得——b—F2—6=0,

22\2J2

1731

解得人=而，由/也=2-8=点，得，2=^^(-8,0］，不满足题意，舍去：②当

田2£(-00,0］时产-9+2-b=0,则A=/-4(2-。)>0,tlt2=2-b>0,

ti+t2=b<0,解得/v—2—26，故C错误；

选项D中，方程有6个不等实根，则％E5J由｛(//且乙。，2，

火,)=/一4+2-6=。一号)一日+2—人图象如下：

故选：BD.

【点睛】

关键点点睛：

本题解题关键在于对方程f\x)-hf(x)+2-b=0进行换元/(x)=1,变成关于t的二次

方程根的分布问题，结合函数/")图象中函数值的分布情况来突破难点.

4.设函数/(力=7"加｛卜一2|,二,+2|｝其中加〃｛x,y,z｝表示x,yz中的最小者.下列说

法正确的有()

A.函数/()为偶函数

B.当工«1,a)时，有/(工一2)《一(力

C.当xeR时，/(/(x))^/(x)

D.当xc[-4,4]时，

【答案】ABC

【分析】

画出了(X)的图象然后依据图像逐个检验即可.

【详解】

解：画出了(力的图象如图所示：

对A,由图象可知：/(力的图象关于y轴对称，故/(X)为偶函数，故A正确；

对B,当时，一-2V0,y(x-2)=/(2-x)<2-x=/(x)；

当2<x«3时，0<%—241,/(x-2)<x-2=/(x)；

当3<xW4时，Ivx—2W2,/(x-2)=2-(x-2)=4-x<x-2=/(x)；

当壮4时，x-2>2,此时有了(工一2)v/(x),故B成立；

对C,从图象上看，当工£[0,例)时，有/(x)Wx成立，令，=/卜)，贝iJ/NO，故

/[7(x)]"(x)，故C正确；

对D,取x=|,则===|/(x-2)</(x),故D不正

确.

故选：ABC.

【点睛】

方法点睛：一般地，若/(x)=min{S(x),T(x)}(其中min{苍y}表示中的较小

者)，则/(力的图象是由S(x),T(x)这两个函数的图象的较低部分构成的.

5.下列命题正确的有()

A.已知且a+b=l,则L<2"“<2

2

B.3a=4Z,=V12»则”"0

ab

C.y=V-3f-x的极大值和极小值的和为f

D.过A(-1,O)的直线与函数y=d—x有三个交点，则该直线斜率的取值范围是

(-1,2)U(2M)

4

【答案】ACD

【分析】

由等式关系、指数函数的性质可求2a"的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求

斗；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与y=d-K有

ab

三个交点，即可知h(x)=x2-工-2有两个零点且工=一1不是其零点即可求斜率范围.

【详解】

4选项，山条件知。=1-4且所以。一少二为一1《(-1,1),即L<2〃Y<2：

2

8选项，3"=4"=有a=log3，b=log4V12»而

a+b11c,八一

——=-+-=2(log3+logp4)=2；

ababp

C选项，y'=3/—6]-1中4>0且开口向上，所以存在两个零点不与且X+&=2、

xyx2即%,占为y两个极值点，

xx2

所以y+y2=(4+2)l(i+再)2-3耳卬-3Kxi+x2)-2X]X2]-(Xj+x2)=-6；

。选项，令直线为y=k(了+1)与y=Y一4有三个交点，即g(x)=(x2-x-z)(x+])有三

个零点，所以〃*)=d-x—%有两个零点即可

△=1+4%>011,

LI、C7八，解得欠£(一：,2)U(2,+oo)

[h(-\)=2-k^04

故选：ACD

【点睛】

本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范

围，属于难题.

6.设[尤]表示不超过x的最大整数，如：[1.2]=1,[―1.2]=—2,y=[x]又称为取整函

数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按〃取整函数”进行计

费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是()

A.\/xeR,[2x]=2[x]

B.Yx,ywR,若[同=[曰，则〜

C.PXGR,[小X+-=[2x]

D.不等式232T同一3N0的解集为{x|x<0或xN2}

【答案】BCD

【分析】

通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式2『-/-320的

解后可得不等式2[同2-[同一320的解集，从而可判断D正确与否.

【详解】

对于A,X=-1.5,M[2x]=[-3]=-3,2[x]=2x(-2)=-4,故[加工2国,故A不成

立.

对于B,[x\=[y]=7W,则加工人<m+1,相Wyvm+1,

故一“一所以％-)>一1,故B成立.

对于C,设x=〃z十广，其中，〃亡Z,re[0,1),

则[4+x+—=2〃z+r+—,[2x]=2/724-[2r],

22

若0W"L则r+J=0,[2r]=0,故卜]+x+；=[2x]；

若;<r<l,则r+；=1,[2r]=l,故国+x+；=[2x],故C成立.

对于D,由不等式2国2-国一320可得或⑶之今

故x<0或X22,故D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部

分和小数部分的关系，本题属于较难题.

2V-1,0<A<1

7.已知函数<方程/(x)-x=0在区间[0,2](〃wM)上的

/(X-1)+1,X>1，

所有根的和为“，则()

A.7(2020)=2019B.7(2020)=2020

.n(n+1)

C.b=22n-l+2n-iD.b„=-----

lt2

【答案】BC

【分析】

先推导出〃力在[几上的解析式，然后画出了(x)与y=x的图象，得出

f(x)="时，所有交点的横坐标，然后得出

【详解】

因为当工«0,1)时,/(x)=2A-l,所以当工叩,2)时,x-le[O,l),

则=故/(%)=/(x-l)+l=2t-,-l+l=2x-1,

即x-l«O,l)时，x-1G[0,1),/(x)=2v-1

同理当xw[2,3)时，x-le[l,2),/(X)=/(X-1)+1=2V-2+1；

当x«3,4)时，x—ls[2,3),则/(6=/"-1)+1=2'-3+2；

故当+时，/(x)=2t-/,+(w-l),

当x巨2”-1,21时，f(x)=2*7)+(2"_2).

所以“2020)=2020,故B正确；

作出〃力与y=x的图象如图所示，则当/(打一区=0且[0,21时，]的值分别为：

0,1,2,3,4,5,6,…,2”

则2=0+1+2+2+•••+2"=2(；+[=2"T(2"+1)=22M-1+2”“，故C正确•

故选：BC.

【点睛】

本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律

是关键.

1(%为有理数)

8.函数/(幻=，则下列结论正确的是()

0(x为无理数)'

A.f(x)是偶函数B./(幻的值域是{0,1}

C.方程f(f(x))=x的解为X=1D.方程/(/(©)=/*)的解为X=1

【答案】ABC

【分析】

逐项分析判断即可.

【详解】

•••当-X为有理数时，X也为有理数

・••/(-x)=l

•・•当-X为无理数时，X也为无理数

/(f)=0

•Jl(x为有理数)

.]o(x为无理数)

.••/(%)是偶函数,A对：

易知B对；

•・•工=1时，."/(1))=/(1)=1

・••C对

/(/(X))=/(X)的解为全体有理数

，D错

故选：ABC.

【点睛】

本题综合考查分段函数的奇偶性判断、值域、解方程等，要求学生能灵活应用知识解题，

难度较大.

9.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相

对统一的和谐美.定义：能够将圆。的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆。的

一个“太极函数”.则下列有关说法中，正确的是()

A.对于圆0：f+y2=l的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数

B.函数f(x)=sinx+l是圆o：W+(y-1)2=l的一个太极函数

C.存在圆0,使得/(x)=4^■是圆。的一个太极函数

D,直线(机+1)%一(2"+1)>-1=0所对应的函数一定是圆0：

(x-2)2+(y-l)2=/?2(/?>0)的太极函数

【答案】BCD

【分析】

利用“太极函数〃的定义逐个判断函数是否满足新定义即可.

【详解】

对于A,如下图所示，若太极函数为偶函数，且SJCE=S.PCO=S.POD=S.DFB，所以该函

数平分圆。的周长和面积，故A错误；

对于B,/(x)=sinx+l也关于圆心(0,1)对称，平分圆。的周长和面积，所以函数

/(x)=sinx+l是圆Ox?+(y-l)2=1的一个太极函数；故B正确；

对于c,/(x)=£zl=(mk2=i__.

')ex+\ex+\ex+\

X-1x

P--\T7\-e

v/(-x)=——=-^一=——=-/(x),该函数为奇函数，图象关于原点对称.

e+\_L+[1+e

所以存在圆0：V+y2=l使得〃力=11是圆。的一个太极函数，如下图所示，故

C正确；

对于D,对于直线(机+l)x—(2m+l)y—l=0的方程，变形为

/n(x-2y)4-(x-y-l)=0,

x-2y=0x=2/、/、

令［y1-0'得［一1’直线("+1)为一(2"+1)'7=°经过圆°的圆心，可以平

分圆。周长和面积，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推

理能力，属于较难题.

10.狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一，狄利克雷函数

f(x)=八:(Q是有理数集)的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，

从研究“算''到研究更抽象的“概念、性质、结构关于/(力的性质，下列说法正确的是

()

A.函数〃X)是偶函数

B.函数”力是周期函数

C.对任意的王£k，x2eQ,都有/(芭+%2)=/(x)

D.对任意的RCR,x2eQ,都有/(戈一/)=/(%)

【答案】ABC

【分析】

利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误：验证/(x+l)=/(x),可判断B选项的正

误；分%任。两种情况讨论，结合函数/(力的定义可判断C选项的正误；取

x2=0,x2Q可判断D选项的正误.

【详解】

对丁A选项，任取xeQ,则一xwQ,/(x)=l=/(-%)；

任取则一X2Q,/(X)=0=/(-x).

所以，对任意的xeR,/(-x)=/(x),即函数/(另为偶函数，A选项正确；

对于B选项，任取xeQ,则X+1EQ,则/(X+1)=1=/(X)；

任取xeQ,则x+1仁。，则/(犬+1)=0=/(1).

所以，对任意的xcR,/(x+l)=/(x),即函数/(%)为周期函数，B选项正确；

对于C选项，对任意REQ,x2eQ,则玉+々£。，/(菁+W)=1=/(X)；

对任意的X2Q,-v2GQ,则X4%2任Q，/(%+毛)=0=/(%),

综上，对任意的玉wR,x2eQ,都有/(N+Z)=/(X),C选项正确：

对于D选项，取々=0,若内任。，则/(x・w)=f(o)=lw/(x)，D选项错误.

故选：ABC.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知函数的定义依次讨论各选项，分自变量为无理

数和有理数两种情况讨论，对于D选项，可取*任Q,9=0验证.

二、导数及其应用多选题

11.对于定义城为R的函数/(力，若满足：①f(0)=0；②当xwR,且xwO时，都

有矿(x)>0；③当％vOvj且IxIVwl时,都有/(百)</*2)，则称/(犬)为"偏对

称函数".下列函数是"偏对称函数"的是()

2x

A./(X)=-A?+XB.f2[x)=e-x-\

ln(-x+l),x<0

C.力(x)=<D.f(x)=xsinx

2x,x>04

【答案】BC

【分析】

运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，

即可得到所求结论.

【详解】

解：经验证，工(幻，&a),人(幻，八。)都满足条件①；

[x>0[x<0

xf\x)>0,或《；

lru)>o[ra)<o

当X]<0<工2且1%1Vx2I时，等价于一看<大<彳2，

即条件②等价于函数/(%)在区间(f,O)上单调递减，在区间(0,+©上单调递增；

A中，/(工)=一./+.丫2,/r(x)=-3x2+2.r,则当％7to时，由

9

xf；[x)=-3X3+2x2=x2(2-3x)<0,得工之彳，不符合条件②，故工(用不是"偏对称

函数”；

xxA

B中，f2[x)=e-x-\tf2\x)=e,当x〉0时，e>b/2\x)>0,当x<0

时，0<ex<b6'(x)<。，则当xwO时，都有痣'(">0,符合条件②,

函数人(刈=，一工一1在(YO,0)上单调递减,在(O,T8)上单调递增,

由人(x)的单调性知，当一工2〈X<0<一斗<工2时，右(%)〈启一%)，

。(菁)一启引<&(一々)一"%)=-/+"*+2x>,

令尸(x)=-ex+e~x+2x,x>0,F\x)=-ex-e~x+2<+2=0,

当且仅当炉=6-、即X=0时，"="成立，

F(X)在［0,+8)上是减函数，」.尸(再)〈尸(0)=0,即短亦后⑷,符合条件③,

故人(幻是“偏对称函数”；

,ln(-x+lLx<0|

C中，由函数力(幻=<'，八，当x<0时，力'(幻=—<0,当x>0时，

2x,x>0x-l

人'(幻=2>0,符合条件②，

••・函数力(灯在(YO,0)上单调递减，在(0,也)上单调递增，

有单调性知，当一吃<当<0<一4<%2时，力(与)<力(一/)，

设/a)=ln(x+l)-2r,x>0,则尸'。)=」7-2<0,

尸(幻在(0,+8)上是减函数，可得尸*)<%0)=0,

f(X］)-/(x2)</(-x2)-f(x2)=ln(x2+l)-/(苍)二/优)<0,

即〃百)</。2)，符合条件③，故人。)是“偏对称函数”；

D中,f4(x)=xsinxtJMf4(-x)=-xsin(-x)=j^(x),则力⑺是偶函数，

而/t'(x)=sinx+xcosx=Vl+x2sin(x+^)(tan^=x)，则根据三角函数的性质可

知，当x>0时，£'(外的符号有正有负，不符合条件②，故£(%)不是“偏对称函数"；

故选：BC.

【点睛】

本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与

划归思想，属于难题.

12.已知偶函数y=/(x)对于任意的0,^满足r(x)cosx+/(x)sinx>0(其中

/'(X)是函数/(力的导函数)，则下列不等式中不成立的是()

C./(0)>V2/f-^D./佰］<扃停

\4y\O/\3/

【答案】ABC

【分析】

构造函数g(x)="2,结合导数和对称性可知g(x)为偶函数且在xeo,g］上单调递

cosx2)

增，即可得亚

从而可判断ABD选项，由

3福卜何图<2低

g(o)<g5可判断c选项.

【详解】

一\

因为偶函数y=/(x)对于任意的xe0,y满足r(x)cosx+/(x)sinx>0,

乙7

所以构造函数g(x)=1^,则g'(x)=r(x)cosx+/(x)sinx

>0,

cosxcos2x

TT

g(X)为偶函数且在O.,上单调递增，图2/

71=©

cos—

3

71

7t7t

g=gg

-4>【6J7t

cCoCCs—.\JCOS

46

由函数单调性可知尼卜周<月闺，即羊/

对于AB,/卜?)=/(£|<应/(?)=应/卜故AB错误;

【点睛】

关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是利用已知条件构造对

应的新函数g(x)="»，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小，考查学生的逻辑

COSX

推理能力与转化思想，属于较难题.

13.下列不等式正确的有()

A.V31n2<ln3B.Innv左C.2^<15D.3eln2<4>/2

【答案】CD

【分析】

构造函数〃力=皿，利用导数分析其单调性，然后由/⑵>/(@、

/(厉)>/(4)、/(逐)</(e)得出每个选项的正误.

【详解】

人、Inx、1-lnx

令f(x)=—，则nilf(x)=——令/，(冗)=0得x=e

JCX

易得/a)在(O,e)上单调递增，在(e,E)上单调递减

所以①〃2)>/(石)，即即百In2>21nj5=ln3,故A错误;

2J3

②五)，即¥>呼

所以可得In万>故B错误;

\J7Tyje

@/(V15)>/(4),即1^^^>/=殍，即lnl5=21n而>而ln2

所以Inl5>ln2而，所以2布<15，故C正确；

3

④八&)<{)，即见廖〈叱，即过即争n2<2&

瓜，ITT；2

所以3eln2<4夜，故D正确；

故选：CD

【点睛】

关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的

构造和自变量的选择.

14.已知：/")是奇函数，当x>0时，/(%)-/(%)>1,/(1)=3,则()

A./(4)>织3)B./(-4)>e2f(-2)

C./(4)>4?-1D./(-4)<-4e2-l

【答案】ACD

【分析】

—"1'-

由已知构造得理四■>0,令g(x)=J绰生，判断出函数g(x)在工>0时单调递

_ex」e

增，由此得g(4)>g⑶，化简可判断A；g(4)>g⑵，化简并利用/")是奇函数，可判

断B；

g(4)>g(。，化简可判断C；由C选项的分析得了(4)>4«3一1>4/+1,可判断D.

【详解】

因为当x>0时，/(x)-/(x)>l,所以/(x)-/(x)—1>0,即

小)十⑴叫>0,所以「包1>0,

令g5)=以y，则当1>0时，g'a)>。，函数g(x)单调递增，

所以g(4)>g⑶，即当学>智L化简得〃4)>叭3)+e-l>次3),故A正

ee

确；

g(4)>g(2),即与写出，化简得了(4)>//(2)+62-1>62〃2),

所以一/(4)<一//(2),又是奇函数，所以/(一4)<//(_2),故B不正确；

g(4)>g(l),即又f(D=3,化简得/(4)>4/一1,故C正确；

ee

由C选项的分析得了(4)>4e3—l>4e2+i,所以_/(4)<-4H-1,又〃避是奇函数,所

W/(-4)<-4e2-l,故D正确，

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出

所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.

15.已知函数/(力=1中g(x)=x-(x-l)lnx,则下列结论正确的是()

A.g(力存在唯一极值点与，且与£(1,2)

B./(X)恰有3个零点

C.当左<1时，函数g(x)与〃(％)=依的图象有两个交点

D.若不工2>0且/(玉)+/(工2)=0，则药工2=1

【答案】ACD

【分析】

根据导数求得函数g'(x)在(0,+8)上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A正

确；利用导数求得函数/(X)在(-8,0),(0,+8)单调递减，进而得到函数/(力只有2

个零点，可判定B不正确；由g(x)=Ax,转化为函数。(%)=(x-l)lnx和风©=(1-幻x

的图象的交点个数，可判定C正确；由/(由)+/(%2)=0,化简得到/(石)二八」-),

X2

结合单调性，可判定D正确.

【详解】

由函数g(x)=x-(x-l)lnx,可得短(x)=-lnx+Lx>0,则g"(x)=」--y<0,

XXX

所以g'(x)在(0,+8)上为单调递减函数，又由gr(l)=l>0,g(2)=-ln2+i<0,

所以函数g(x)在区间(I,2)内只有一个极值点，所以A正确；

由函数/(x)=ln国一工十已,

当x>0时，/(x)=lnx-x+—,可得/⑺:-，

XX

I3

因为一炉+工一1=-(工-5)2-^<0,所以/'(力<0,函数/(X)在(0,+8)单调递减；

又由/(1)=0,所以函数在(0,+。。)上只有一个零点，

当/<0时，f(x)=\n(-x)-x+-f可得r(x)L+J_],

XX

13

因为一炉+工一1=一(%一])2一a<0,所以/'(x)vo,函数/(X)在(-00,0)单调递减；

又由/(-1)=0,所以函数在(f,0)上只有一个零点，

综上可得函数〃x)=ln|H-4十：在定义域内只有2个零点，所以B不正确；

令g(x)=辰，即x-(x-l)lnx=fcr,g|J(A：-l)lnx=(l-A:)x,

设0(x)=(x-l)lnx,m(x)=(1-k)x,

可得d(x)=lnx+l-T，贝ij/(£|=(+*>0,所以函数”(x)(0,+8)单调递增，

又由"(1)=0,可得当xw(0,l)时，”(耳<0,函数°(力单调递减，

当％w(L+oo)时,“(x)>0,函数。(x)单调递增,

当x=l时，函数9(x)取得最小值，最小值为9(1)=0,

又由加(#=(1-Qx,因为z<1,则1一攵>0,且过原点的直线，

结合图象，即可得到函数姒x)=(x-l)lnx和巩x)=(l-Qx的图象有两个交点，所以C正

确：

由％%2>0，若百>。,%>0时，因为/(芭)+/(毛)=0，

w/^)=-/(x2)=-[lnx2-.2+1]=ln14-1=/[^(即

〃内)=/(,)，因为/(X)在(0，长》)单调递减，所以百=一，即%也=1，

同理可知，若不〈0,修〈0时，可得百不2=1，所以D正确.

故选：ACD.

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为

从/(司中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条

件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常

解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符

合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

16.设函数/(x)=xlnx,=给定下列命题，其中正确的是()

(1\

A.若方程=Z有两个不同的实数根，则丘—,0；

B.若方程4(力=9恰好只有一个实数根，则欠<0；

C.若石>W>0，总有“[g(xj-g(x2)]>/(xj一”工2)恒成立，则加2/：

(1、

D.若函数/(x)=/(x)-为g(x)有两个极值点，则实数。，5「

\乙)

【答案】ACD

【分析】

利用导数研究函数的单调性和极值，且将题意转化为y=f(x)与y=%有两个不同的交

点，即可判断A选项；易知x=l不是该方程的根，当不。1时，将条件等价于y=卡和

X

),=一只有一个交点，利用导数研究函数的单调性和极值，从而可推出结果，即可判断

\nx

B选项；当％时，将条件等价于〃9(%)一7*1)>磔(/2)一/(%2)恒成立，即函

数丁=冲(幻-/。)在(0,+8)上为增函数，通过构造新函数以及利用导数求出单调区

间，即可•求出阳的范围，即可判断C选项；R(x)=jdnx-or2*>o)有两个不同极值

点，根据导数的符号列出不等式并求解，即可判断D选项.

【详解】

解：对于A,的定义域(0,Ko),r(x)=lnx+l,

令/'。)＞。，有lnx＞-l,即

e

可知/(功在(0」)单调递减，在(L,+8)单调递增，所以极小值等于最小值,

e

//⑼加=/(-)且当Xf0时/(幻-0,又/(1)=0,

ee

从而要使得方程f(x)=k有两个不同的实根,

即y=/(x)与y=R有两个不同的交点，所以女£(——,0),故A正确;

e

对于B,易知x=l不是该方程的根，

当人工1时，，。)工0,方程有且只有一个实数根,

等价于y=%和y=7^-只有一个交点,

\nx

y'=,又x>°旦xwl，

?(Inxx)

令y'>0,即lnx>l,有x>e,

Y

知)，=—在(0,1)和(L，单减，在(e,48)上单增,

Inx

/=1是一条渐近线，极小值为％

由丁二1匚大致图像可知女＜。或故B错误;

Inx

对于C,当玉>看>0时，机口(%)-8(%2)]>/(%)-/(%2)恒成立,

等价于小g(x)-f(x2)恒成立，

即函数>=fng(x)-f(x)在(0,+oo)上为增函数，

即y=〃?g'(x)-fr(x)=/nr-lnx-120恒成立，

即利之见二"在(0,+00)上恒成立,

x

./、lnx+1…/,、-Inx

令“x)=------,则r(x)=——,

X

令/(x)＞0得In无＜0,有0＜xvl,

从而r(x)在(0,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减，

则《功皿="1)=1，于是故C正确;

对于D,产(X)=工1。工一分2*＞0)有两个不同极值点,

等价于尸'(x)=lnx+l-2ar=0有两个不同的正根，

即方程2。二^^^有两个不同的正根，

x

由C可知，Ov加＜1,即0＜々＜!，则D正确.

2

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性和极值，以及利用导数解

决函数的零点问题和恒成立问题从而求参数范围，解题的关键在于将零点问题转化成两个

函数的交点问题，解题时注意利用数形结合，考查转化思想和运算能力.

17.阿基米德是伟大的物理学家，更是伟大的数学家，他曾经对高中教材中的抛物线做过

系统而深入的研究，定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线

围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线C：y=x2上两个不同点AB横坐标

分别为*,%，以A5为切点的切线交于尸点.则关于阿基米德三角形Q48的说法正确的

有（）

A.若48过抛物线的焦点，则〃点一定在抛物线的准线上

B.若阿基米德三角形Q48为正三角形，则其面积为转

4

C.若阿基米德三角形为直角三角形，则其面积有最小值!

4

D.一般情况下，阿基米德三角形RW的面积5二3二如上

4

【答案】ABC

【分析】

设出直线A8的斜截式方程、点43的坐标，根据导数的几何意义求出切线PAPB的方

程，进而求出点尸的坐标，将宣线的方程和抛物线方程联立，得到一元二次方程以及

该方程两根的和、积的关系.

A：把抛物线焦点的坐标代入直线A8的斜截式方程中，根据抛物线的准线方程进行判断即

可；

B：根据正三角形的性质，结合正三角形的面积公式进行判断即可；

C：根据直角三角形的性质，结合直角三角形的面积公式进行判断即可；

D：根据点到直线距离公式、两点间距离公式进行求解判断即可..

【详解】

由题意可知：直线48一定存在斜率，

所以设直线A8的方程为：），=履+，〃，

由题意可知：点A（X],X1）,B（X2,石），不妨设用<0<々，

由y=f?“2x,所以直线切线PAP3的方程分别为:

y-xf=2x）（x-xt）,y-%2=2x2（x-x2）,

两方程联立得：[）‘一丫2"-%）,

y-x2=2X2（X-X2）

解得：，"2所以尸点坐标为：，

2

[y=g

直线AB的方程与抛物线方程联立得：

y=kx+m2八

<2=>x-kx-m=O=>x+=k,xx=-m.

y=x~1l"1

A：抛物线C：丁二f的焦点坐标为④，!），准线方程为丁=一!，

44

因为AB过抛物线的焦点，所以m=；,而百巧二一加二一;，

显然月点一定在抛物线的准线上，故本选项说法正确；

B：因为阿基米德三角形始8为正三角形，所以有I尸A|=|产例，

即J（X广"）2+"氏7；）2=一/y+5堂一审，

因为凡工毛，所以化简得：斗=一工2，

此时4（%