控制工程基础 第8章学习课件

根

---系统闭环特征根.求法：解析法：解系统微分方程作图法：根据系统的开环零、极点，画出系统闭环根在s平面上随某参数变化的轨迹。——根轨迹作用：判别系统稳定性、分析瞬态性能和稳态误差。作图法优点：避免高阶系统求根困难； 参数的影响一目了然根轨迹法

---利用图解法求系统的根轨迹 并用于系统的分析与综合8.1根轨迹法与根轨迹方程注：对于高阶系统要求出其极点是比较困难的，为了解决这一难题，1948年伊文斯提出了一种办法，可以由开环传递函数求闭环极点，这便是著名的根轨迹法。

8.1根轨迹法与根轨迹方程1.根轨迹定义:当系统某个参数由零到无穷变化时（一般是开环增益K，与稳定性和稳态误差等有关），闭环特征根在s平面上的移动轨迹。例1：已知单位反馈系统开环传递函数，

解：系统闭环特征方程为：D(s)=s2+8s+K*=0

特征根为： 当K*从0到无穷变化时，两根在根平面上的轨迹是两条连续曲线——

系统闭环根轨迹求K*从0→∞变化时，系统闭环根轨迹根轨迹如下：8.1根轨迹法与根轨迹方程1、K*从0→∞变化，根轨迹不会进入右半平面。即：无论如何该系统是稳定的2、K*>16，根轨迹进入复平面。即：此时系统阶跃响应会振荡（ωd不为零）；K1越大振荡越厉害（ζ小）、振荡频率越高（ωd大）3、K*=16时系统阶跃响应临界振荡根轨迹可以提供有关系统性能的信息(分析）K*=0

8

0j

4K*=0K*=16K*=∞K*=∞8.1根轨迹法与根轨迹方程

例2：已知单位反馈系统开传递函数为：解：已知系统开环传递函数为:

则：系统闭环传递函数为:

Ks(0.5s+1)Xi(s)X0(s)-则开环传递函数的两个极点是：闭环的极点随k的变化而变化，为：求K从0→∞变化时，系统闭环根轨迹8.1根轨迹法与根轨迹方程

1分析：K的变化对闭环极点的影响：图中红线即为K从零到无穷变化时的根轨迹从图中初步知：根轨迹有起点、终点、对称于实轴等。总之具有一定的规律性。k=0.5k>0.5k<0.5

2

0j

1、K从0→∞变化，根轨迹均在左半平面，即该系统稳定2、K>0.5，根轨迹进入复平面。即：此时系统阶跃响应会振荡，K越大振荡越厉害（ζ小）、振荡频率越高（ωd大）0<K<0.5，为负实根，不振荡。根轨迹提供的有关系统性能的信息8.1根轨迹法与根轨迹方程

2.根轨迹方程及相角、幅值条件

1）根轨迹方程已知对于典型的反馈控制系统的闭环传递函数为:则其根轨迹方程为：

2）相角、幅值条件考虑到s为复变量，因此根轨迹方程两边相等的条件是：根轨迹方程两侧的相角和模均相等相角条件：幅值条件：8.1根轨迹法与根轨迹方程若以开环传递函数的零、极点形式表示，则为：k*—开环根轨迹增益（可能与开环增益不同）注意此处没有明显的积分环节1/s，是因为Pi=0也是极点。只要满足以上条件的根便构成系统的根轨迹，最笨的办法就是利用以上条件采取试凑法（P280、P281），我们还有更简单的方法来判断根轨迹，具体方法我们在例子中给出。相角条件：幅值条件：法则一根轨迹的起点与终点根据绘制根轨迹的两个基本条件，演绎出十一条绘制根轨迹的基本法则，常用的有九条。根据这些规则绘制根轨迹不必计算特征根而只要做简单的计算和判断。以K*为参变量的根轨迹：是K*

从0(起点)到

(终点)变化时系统闭环极点在根平面上的轨迹。起点和终点确定方法如下页：绘制根轨迹的基本法则8.2绘制根轨迹的基本法则K*从0→∞变化，根轨迹起点在K*=0处根轨迹终点在K*

=∞处根轨迹起始于开环极点Pi根轨迹终止在开环零点Zj8.2绘制根轨迹的基本法则

n条轨迹从开环极点出发，只能有m条终止在开环零点,

当n>m,另外n-m条应终止何处？不妨假设极点P1，P2，…，Pm；分别终止在Z1，Z2，…，Zm

余下n-m条根轨迹将终止在无穷远处那麽，余下n-m个极点只能是s→∞即：终止在无穷远处例如，前面的二阶系统例子

8.2绘制根轨迹的基本法则法则三根轨迹的对称性8.2绘制根轨迹的基本法则法则二根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于闭环特征方程的阶数或闭环极点数。法则四实轴上的根轨迹因为K*连续变化；系数为实数，有复根必共轭。根轨迹连续且对称于实轴。由相角条件很容易得到实轴上的根轨迹：

例如，某系统开环零极点分布如图。现在要判断实轴上的某点sa是不是根轨迹上的点各开环零、极点的相角：

实轴上试验点右边的零、极点其相角为180°

幅角为零的零、极点在实轴上试验点左边共轭零、极点的相角其和为零

观察左边等式有如下结论：要判断实轴上的某点sa是不是根轨迹上的点，只要计算一下它右边的实轴上零极点的相角和是否符合相角条件8.2绘制根轨迹的基本法则实轴上的某一点如果在根轨迹上，那麽，在它右边的零、极点总数应为奇数。——法则四设实轴上试验点右边有

M个零、N个极点，根据相角条件则有：M*180O-N*180O=-(2k+1)*180O得(M+N)*180O=-[2(k+N)+1]*180O两边同时加上2N*180O得M+N=2q+1即M+N为奇数由此可知，上图中，实轴上的根轨迹如右图8.2绘制根轨迹的基本法则法则五根轨迹的渐进线 当n>m时,有n-m条根轨迹是趋向无穷远,在无穷远处,根轨迹趋向一条直线,该直线由它和实轴的夹角和交点确定证：由幅角条件：

由于根sa在无穷远处，所以，它到有限的零、极点的矢量相互平行，也就是说：各个矢量与实轴的夹角都是相等的，设为

则有

8.2绘制根轨迹的基本法则无穷远处根轨迹渐进线与实轴的交点计算公式无穷远处根轨迹渐进线与实轴的夹角计算公式渐进线与实轴的交点：记为：又由于，在无穷远处：分子除分母得：

多项式展开，得：

对比两式系数得：8.2绘制根轨迹的基本法则例：已知试绘制根轨迹法则四实轴上的根轨迹法则一根轨迹起始于开环极点法则五渐进线与实轴的夹角、交点P1=0,P2=－1,P3=－20→－1,－2→－∞60o-60o-180o

三条渐进线如图8.2绘制根轨迹的基本法则解：根据法则绘制K*∞K*∞-2-10

j

法则六根轨迹的起始角与终止角8.2绘制根轨迹的基本法则起始角是开环极点切线与水平线正方向的夹角；终止角是开环零点切线与水平线正方向的夹角。根轨迹的起始（出射）角和终止（入射）角用下式求得:75°-75°-2.07-1.188.2绘制根轨迹的基本法则P3P4P1P2-2.73-1j-j

1

3

4

2

j

法则七根轨迹的会合点与分离点8.2绘制根轨迹的基本法则闭环特征根s随K*变化而改变，在某个K*下根轨迹可能相交(相交处称会合或分离点)，作为系统特征方程的解，在该处有重根，因此，问题转换为求特征根的重根。法1：令法2：令均可求出分离点或会合点。

8.2绘制根轨迹的基本法则法3：令例：上例中用法1求分离点：由规则四可知，-1.58处没有根轨迹，故舍去，所以，分离点是-0.42。或者，将-1.58代入F(s)=0,可求出K*=-0.385，显然不合题意，舍去代入得：例：上例中用法3求分离点：综合例：求以K*为参变量的系统根轨迹。解：原式化为零极点形式1、根轨迹起点：0，-2.73，-1j2、实轴上根轨迹：0

-2.73由特征方程为：4、分离点：求出重根为：

s1、2=-2.07分离点-2.073、渐进线：手算可用试探法，由上图，分离点在-1.18和-2.73之间找；若求出的重根点在实轴上但不符合“实轴上根轨迹”的判断规则就要舍去-1.188.2绘制根轨迹的基本法则法则九根轨迹与虚轴的交点上例中当K*增大到某值后，根轨迹将进入根平面的右半面,在它与虚轴相交处，特征根是一对虚根s

=

jωn求交点可以采用两种方法来求：第一种方法，采用劳斯判据第二种方法，用s=

jω

代入特征方程，令实部为零， 求出K*

代入虚部得ω

根据上述规则已经可以画出大致的系统闭环根轨迹,为更准确些还可以确定其特殊点的位置:根轨迹与虚轴的交点8.2绘制根轨迹的基本法则法则八实轴上分离点的分离角恒为

90

同理，实轴上会合点的会合角也恒为

90

例：在上例中，采用第一种方法其特征方程为：劳斯阵列：令：5.46

-

0.75

K*=0得：

K*=

7.27 由第三行组成方程：6.3s2+K*

=0得：s1、2=

j1.07根据九条法则完成系统根轨迹如右图75°-75°-2.07-1.188.2绘制根轨迹的基本法则法则十系统闭环节点之和为常数8.2绘制根轨迹的基本法则法则十一系统闭环节点之积当n-m>2时，系统闭环节点之和等于开环节点之和若有积分环节:画出根轨迹以后，可以确定根轨迹上某个点处K*的大小；还可以根据性能要求确定系统闭环极点的位置。根据绘制根轨迹的幅值条件：例如：确定K*的大小将已知点到各零极点的距离按上式计算。用根轨迹分析系统见后续章节。8.2绘制根轨迹的基本法则注：开环增益由开环传递函数转换得

8.3根轨迹图绘制举例1.绘制根轨迹的步骤绘制以开环根增益为变化参数的根轨迹的一般步骤是：1）将开环传递函数写成带零点和极点的表达式在复平面上标出开环零点和极点的位置2）利用根轨迹的有关法则确定：

1）根轨迹的条数、起点与终点；

2）实轴上根轨迹；

3）根轨迹的渐近线的条数、与实轴的交点坐标及与实轴正方向的夹角；

4）实轴上分离点或会合点的坐标；

5）起始角和终止角；

6）根轨迹与虚轴的交点的相关频率和增益。3）在根轨迹上标注开环根增益或开环增益开环根轨迹增益为：8.3根轨迹图绘制举例要求：1.绘制该系统的根轨迹图，并判断系统的稳定性；2.求当一闭环极点s1=-0.4，输入为xi(t)=1+t时，系统的稳态误差。解：1.绘制该系统的根轨迹图，并判断系统的稳定性；1）该系统m=0，n=3，极点分别是0，-1和-22）主要参数确定（1）根轨迹的条数n-m=3条，起于极点，终止于无穷远处；（2）实轴上根轨迹用实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和为奇数这一法则判断：

0右侧区段无零极点，非奇数，所以该区段不是根轨迹；（-1，0）区段右侧有一个极点，奇数，所以该区段是根轨迹；（-2,-1）区段右侧有二个极点，非奇数，所以该区段不是根轨迹；

-2右侧区段有三个极点，奇数，所以该区段是根轨迹。所以实轴上根轨迹时0～-1和-2的左边2.示例例1：单位反馈的开环传递函数为8.3根轨迹图绘制举例（3）根轨迹的渐近线有3-0=3条与实轴的交点坐标：与实轴正方向的夹角：（4）实轴上分离点的坐标由：由于d2不在根轨迹上，而d1在根轨迹上，是分离点8.3根轨迹图绘制举例（6）根轨迹与虚轴的交点（5）由于无零点，且极点均在实轴上，因此起始角在实轴上。其中，

=0对应的K*=0是根轨迹的起点。3）标注增益在本例中利用虚轴交点、分离点的幅值条件的出了相应的K*值，虚轴上为K*=6，分离点处为：最后所得到的根轨迹如图所示,K=K*/2由图可知，当K*=0~6时，系统稳定。

2

1j1.414-j1.414j

0-0.428.3根轨迹图绘制举例则输入为xi(t)=1+t时，系统的稳态误差为：2.求给定条件时系统的稳态误差已知一闭环极点为：s1=-0.4，8.3根轨迹图绘制举例例2：参量根轨迹的绘制，设系统如图所示，试分析ks对系统性能的影响。

Xi(s)-+X0(s)解：由得系统的特征方程为：化为标准式：则该开环的零点为0，极点为-1

3j

8.3根轨迹图绘制举例分析：1.有两条根轨迹，其中一条趋于零点0，另一条趋于无穷远。2.负实轴为根轨迹（右侧的零极点之和为1，奇数）3.起始角为：4.会合点为：从图中看出ks

不管为多大，系统均稳定。-1j

-2j3-j3ks=0-1+j3

0-1-j3ks=0-3.16ks=0.432系统闭环极点如果全部处在s平面的左半面，则系统稳定（绝对稳定）设某高阶系统有一对共轭闭环极点各参数之间关系如图。8.4系统闭环零点、极点的分布与性能指标它对应的阶跃响应分量为：如果：Re(si

)=-

n<0，当t→∞时该极点对应的阶跃响应分量将趋于零。极点在虚轴上（临界状态），其实部为零，阶跃响应分量呈等幅振荡,极点离实轴越远，

d

越大，振荡频率越大极点在负实轴上，

d

=0,该极点对应的阶跃响应分量不会振荡（单调）极点离实轴越远，

d越大，振荡频率越大

极点离虚轴越远，|-

n|越大，衰减越快，反之，极点离虚轴近，|-

n

|小，阶跃响应中该分量衰减就慢，对过渡过程的时间影响大。极点在左半平面但不在负实轴上，

d≠0,该极点对应的阶跃响应分量会振荡,因为-

n

<0,振荡幅值随时间衰减，当t→∞时该分量将趋于零8.4系统闭环零点、极点的分布与性能指标8.4系统闭环零点、极点的分布与性能指标闭环零点、极点的分布与阶跃响应的定性关系1.为保证系统稳定，则闭环极点都应在s左半平面上；2.如要求系统快速性好，则闭环极点应远离虚轴；如要求系统平稳性好，则复数极点应在s平面中与实轴成

45。夹角线以内；3.远离虚轴的闭环极点对瞬态响应的影响很小，可酌情考虑；4.如使零点靠近极点，特别是靠近离虚轴进的极点（产生一对偶极子），可使系统动态过程尽