人教版平行四边形单元同步练习试卷

人教版平行四边形单元同步练习试卷

一、选择题

1.如图，菱形ABCD中，ZBAD=60°,AC与BD交于点。，E为CD延长线上的一点，且

CD=DE,连接BE,分别交AC、AD于点F、G,连接。G,则下列结论：①。G='AB；②

2

图中与aEGD全等的三角形共有5个；③以点A、B、D、E为项点的四边形是菱形；④S四

a®ODGF—Sz-sABF.其中正确的结论是（）

A.①③B.①③④C.①②③D.②②④

2.如图，已知正方形ABC。的边长为8,点E,『分别在边BC、C7）上，

ZEAF=45°.当EF=8时，AEF的面积是（）.

A.8B.16C.24D.32

3.如图，在正方形ABCD中，CE=MN,ZMCE=35°,那么/ANM等于（）

4.将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺

（△ACD）的斜边恰好重合.已知A8=4jLP、Q分别是AC、8c上的动点，当四边形DP8Q

为平行四边形时，平行四边形OP8Q的面积是（）

D

C

9

A.3后B.673c.一D.9

2

5.如图，已知AA8c中，ZACB=90Q,AC=BC=2,将直角边AC绕A点逆时针旋转至47,连

接8C,E为的中点，连接CE,则CE的最大值为（）.

A.75B.V2+1C.—+1D.但+1

22

6.如图，在ABC,NC=90。，AC=8,BC=6,点P为斜边AB上一动点，过点

P作PE_LAC于点E,PFLBC于点F,连结EF,则线段EF的最小值为（）

A.1.2B.2.4C.2.5D.4.8

7.如图，四边形ABC。中，4。=4,8。=h4。_13。,顺次连接四边形48。。各边中

点，得到四边形A4GR，再顺次连接四边形AgGD各边中点，得到四边形

A282G2...如此进行下去，得到四边形44G2.则下列结论正确的个数有（）

①四边形A与。1A是矩形；②四边形AACA是菱形；③四边形人&。5&的周长为

半;④四边形的面积是黑.

C

A.4个B.3个C.2个D.1个

8.如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（8,0），点尸从点。出发以1个单位长度/秒

的速度沿y轴正半轴方向运动，同时，点。从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿x轴

负半轴方向运动，设点尸、Q运动的时间为«0＜，＜8）秒.以PQ为斜边，向第一象限内作

等腰RtAPBQ,连接08.下列四个说法：

①OP+OQ=8；②3点坐标为（4,4）；③四边形尸3QO的面积为16；④其中

正确的说法个数有（）

9.如图，在ABC中，AB=AC=6,ZB=45°,D是8C上一个动点，连接AD,以AD为边

向右侧作等腰ADE,其中AD=AE,/ADE=45°,连接CE.在点。从点8向点C运动过程

中，△COE周长的最小值是（）

A.6及B.6及+6

c.95/2D.9&+6

10.如图，NMON=90°,矩形ABC。在NMON的内部，顶点A,8分别在射线

OM,ON上，AB=4,BC=2,则点。到点。的最大距离是（）

A.2夜-2B.272+2c.275-2D•亚+2

二、填空题

11.如图，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则

PE+PB的最小值为.

DC

12.如图，菱形ABC。的BC边在x轴上，顶点C坐标为(-3,0),顶点。坐标为

(0,4),点£在,轴上，线段族//x轴，且点F坐标为(8,6),若菱形ABC。沿％轴左

右运动，连接AE、DF,则运动过程中，四边形AOFE周长的最小值是.

13.如图，AA8C是边长为1的等边三角形，取边中点E,作EDMAB,

EF//AC,得到四边形EDA尸，它的周长记作G；取砥中点与，作E\D\〃FB,

E\F\UEF,得到四边形它的周长记作G•照此规律作下去，则

。2020=--------

14.如图，在平行四边形A8CD中，AB=6,8c=4,ZA=120°,E是A8的中点，点F在

平行四边形ABCD的边上，若△△£下为等腰三角形，则EF的长为.

15.如图，在矩形48CD中，AD=6，AB,N8AD的平分线交8c于点£,DHLAE于点

H,连接BH并延长交CD于点F,连接。E交8F于点。，下列结论：(1)ZAED=ZCED；

②。E=OD；③BH=HF；@BC-CF=2HE；(5)AB=HF,其中正确的有.

16.如图，正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在边AD、8C上.将该纸片沿EF折叠，

使点A的对应点G落在边OC上，折痕EF与AG交于点Q,点K为G”的中点，则随着折

痕EF位置的变化，AGOK周长的最小值为.

NB=90°,AB=BE,将AABE绕点A逆时针旋转45°，得到

AA”。,过。作0CL8E交3E的延长线于点C，连接8”并延长交0c于点尸，连接

DE交BF于点、0.下列结论：①DE平分N”OC；②DO=OE；③CD=HF；

④BC—CF=2CE；⑤”是8F的中点，其中正确的是

18.如图，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E为BC上一点，AE交BD于F,若AB=AE,

NEAD=2/BAE,则下列结论：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF.正确的是（填

序号）.

19.在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段

AB的中点.点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE=AB=10.以DE为边在第

三象限内作正方形DGFE,则线段MG长度的最大值为

20.如图，矩形纸片ABCD,AB=5,BC=3,点P在BC边上，将4CDP沿DP折叠，点C落

在点E处，PE,DE分别交AB于点。，F,且OP=OF,则AF的值为

三、解答题

21.在四边形ABCD中,ADIIBC,AB=8cm,AD=16cm,BC=22cm,ZABC=90°.点P从点A

出发，以lcm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，

其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒.

（1）当t=_时，四边形ABQP成为矩形？

（2）当t=_时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边

形？

（3）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如

何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度.

22.如图1,AABC是以NACB为直角的直角三角形，分别以AB,8C为边向外作正方

^ABFG,BCED,连结AO,CF,AO与CF交于点M,AB与CF交于点N.

EE

(1)求证：M.BD=\FBC；

(2)如图2,在图1基础上连接AF和FO,若AO=6,求四边形AC。尸的面积.

23.已知正方形ABCD.

(1)点P为正方形ABCD外一点，且点P在AB的左侧，ZAPB=45°.

①如图(1),若点P在DA的延长线上时，求证：四边形APBC为平行四边形.

②如图(2),若点P在直线AD和BC之间，以AP,AD为邻边作口4户。。，连结AQ.求

ZPAQ的度数.

(2)如图(3),点F在正方形ABCD内且满足BC=CF,连接BF并延长交AD边于点E,过

Ap1

点E作EHLAD交CF于点H,若EH=3,FH=1,当而=§时.请直接写出HC的长

24.如图，在边长为1的正方形ABCO中，E是边CD的中点，点P是边AO上一点

(与点A、。不重合)，射线PE与的延长线交于点Q.

APD

BC0

(1)求证：kPDE三kQCE；

(2)若尸8=尸。，点尸是5尸的中点，连结EE、AF,

①求证：四边形AFEP是平行四边形；

②求PE的长.

25.如图1,己知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE,CE.

图1图2

（1）求证：AE=CE；

（2）如图2,点P是边CD上的一点，且PELBD于E,连接BP,。为8P的中点，连接

E0.若/PBC=30。，求/POE的度数；

（3）在（2）的条件下，若。£=&,求CE的长.

26.如图，在平面直角坐标系中，已知口0ABe的顶点A（10,0）、C（2,4）,点。是

0A的中点，点P在8c上由点B向点C运动.

（1）求点8的坐标；

（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平

行四边形时，求t的值；

E是8c的中点，AE^ZBAD

的平分线，则线段AB,AD,DC之间的等量关系为；

（2）方法迁移：如图②，在四边形ABCD中，AB//CD,AF与DC的延长线交于点F,E是

BC的中点，AE是/BAF的平分线，试探究线段A8,AF,CF之间的等量关系，并证明你的

结论；

（3）联想拓展：如图③，AB//CF,E是BC的中点，点。在线段AE上，NEDF=NBAE,

CF之间的数量关系，并证明你的结论.

28.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点。，点E是AC的一点，连接EB,过点

A做AM_LBE,垂足为M,AM与BD相交于点F.

（1）猜想：如图（1）线段0E与线段OF的数量关系为；

（2）拓展：如图（2）,若点E在AC的延长线上，AM_LBE于点M,AM、DB的延长线相

交于点F,其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；

如果不成立，请说明理由.

29.如图，在正方形ABC。中，点E、口是正方形内两点，BE//DF,EF上BE,为

探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

图1

（1）在图1中，连接5。，且BE=DF

证：E尸与8。互相平分；

空证：（BE+Off+E/2=2.2；

（2）在图2中，当BE力DF,其它条件不变时，（8E+Of）2+Ef2=2A82是否成

立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

图2

(3)在图3中，当A3=4,ZDPB=135°,08P+2PZ)=46B时，求之长.

AD

BC

图3

30.在四边形A8CD中，对角线AC、8。相交于点0,过点。的直线EF,GH分别交边

AB、CD,AD,BC于点E、F、G、H.

（1）观察发现：如图①，若四边形A8CD是正方形，且EF_LG”，易知S"O£=S“OG，又因

为St.AOB——S科边彩A8C。，所以SWMAEOG—_____S正方般ABCD：

4

（2）类比探究：如图②，若四边形ABCD是矩形，且S叫边彩A£OG=近彩48c。，若AB=a,

4

AD=b,BE=m,求AG的长（用含a、b、m的代数式表示）；

（3）拓展迁移：如图③，若四边形A8CD是平行四边形，且S四边心4£06=—S,：ABCD,若AB=

4

3,AO=5,BE=1,则AG=.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.A

解析：A

【解析】

【分析】

由AAS证明△ABGgZ\DEG,得出AG=DG,证出OG是4ACD的中位线，得出OG=1

2

CD=-AB,①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出AABD、4BCD是等边三

2

角形，得出AB=BD=AD,因此OD=AG,得出四边形ABDE是菱形，③正确；由菱形的性

质得得出4ABG也△BDG丝4DEG,由SAS证明4ABG丝△DCO,得出

△ABO^ABCO^ACDO^AAOD^AABG^ABDG^ADEG,得出②不正确；证出OG

是AABD的中位线，得出OG//AB,OG=-AB,得出△GODs^ABD,

2k

△ABF-AOGF,由相似三角形的性质和面积关系得出s四.。DGF=SAABF;④不正确；即可

得出结果.

【详解】

解：四边形ABCD是菱形，

AB=BC=CD=DA,AB//CD,OA=OC,OB=OD,AC1BD

ZBAG=ZEDG,ABOABCO三\CDO三MOD

CD=DE

AB=DE

在AABG和ADEG中，

ZBAG=ZEDG

<NAGB=ZDGE

AB=DE

.,•△ABG^ADEG(AAS),

；..AG=DG,

；.OG是4ACD的中位线，

.\OG=-CD=-AB,①正确；

22

VAB//CE,AB=DE,

四边形ABDE是平行四边形，

AZBCD=ZBAD=60°,

.♦.△ABD、4BCD是等边三角形，

；.AB=BD=AD,NODC=60°,

；.OD=AG,四边形ABDE是菱形，③正确；

AAD1BE,

由菱形的性质得：4ABG丝AliDG丝ZXDEG,

在4ABG和△DCO中，

OD=AG

<ZODC=NBAG=60"

AB=DC

.,.△ABG^ADCO

.,.△ABO^ABCO^ACDO^AAOD^AABG^ABDG^ADEG,则②不正确。

：OB=OD,AG=DG,

：.OG是△ABD的中位线，

1

...OG〃AB,OG=-AB,

2

-•.△GOD^AABD,AABF^AOGF,

AGOD的面积=-AABD的面积，AABF的面积=Z\OGF的面积的4倍，AF:0F=2:1,

4

AAFG的面积=4OGF的面积的2倍，

XVAG0D的面积=Z\AOG的面积=AB0G的面积，

S四边彩ODGF=SAABF;④不正确；

故答案为：A.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三

角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大.

2.D

解析：D

【分析】

如图：ZXADF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABH,可得AH=AF,/BAH=NDAF,进

一步求出/EAH=NEAF=45°,再利用"边角边"证明4AEF和4AEH全等，再根据全等三

角形的面积相等，即可解答.

【详解】

解：如图，将4ADF绕点A顺时针旋转90°,得至l」Z\ABH,

根据旋转的性质可得：AH=AF,ZBAH=ZDAF,

VZEAF=45°,ZBAD=90°

；.NEAH=NEAF=45°

在aAEF和△AEH中

AF=AHZEAH=ZEAF=45°,AE=AE

.,.△AEF^AAEH(SAS),

；.EH=EF=8,

SAFE=SAAEH=--x8X8=32.

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作

辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.

3.C

解析：C

【分析】

过B作BF〃MN交AD于F,则根据正方形的性质得出NA=/EBC=

90°,AB^BC,AD//BC,推出四边形8F/VM是平行四边形，得出BF=MN=CE,证

R3ABF也RtABCE,推出NECB即可.

【详解】

过B作BF//MN交AD于F,

则NAFB=/ANM,

:四边形A8CD是正方形，

NA=/EBC=90°,AB=BC,AD//BC,

：.FN//BM,BF//MN,

：.四边形BFNM是平行四边形，

Z.BF=MN,

*：CE=MN,

：.CE=BF,

在R3ABF和RtABCE中

BF=CE

AB=BC

；.RSA8F丝RS8CE(HL),

ZABF=ZMCE=35°,

：.ZANM=ZAFB=55",

故选：C.

【点睛】

本题考查了直角三角形全等的判定即性质，还涉及正方形的性质以及平行四边形的判定与

性质，构造全等三角形是解题关键.

4.D

解析：D

【解析】

【分析】

由于四边形DP8Q为平行四边形，则BC〃DP,即DP_LAC,P为AC中点，作出平行四边

形，再利用平行线的距离相等可知：PC就是CJDPBQ的边PD所对应的高，代入面积公式求

出面积即可.求得面积.

【详解】

当点P运动到边AC中点（如图），即CP=3时，

以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上.

•.•四边形DPBQ为平行四边形，

.".BC//DP,

：.ZDPC=90°,GPDPLAC.

而在R3ABC中，ABM0,8c=26，

根据勾股定理得：AC=6,

•••△OAC为等腰直角三角形，

I

DP=CP=~AC=3,

2

'：BC//DP,

：.PC是平行四边形DPBQ的高，

•.STtrBlii®DPBQ—DP*CP—3x3=9.

故选D.

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了一副三角板所形成的四边形的边和角的关系；根据动点P

的运动路线确定其所形成的边和角的关系，利用三角函数和勾股定理求边和角的大小，得

出结论.

5.B

解析：B

【分析】

取AB的中点M,连接CM,EM,当CE=CM+EM时，CE的值最大,根据旋转的性质得到

AC=AC=2,由三角形的中位线的性质得到EM=-AC'=1,根据勾股定理得到

2

AB=2&,即可得到结论.

【详解】

取AB的中点/W,连接CM,EM,：.当CE=CM+EM时，CE的值最大.

:将直角边4：绕A点逆时针旋转至,.IAC=AC=2.

故选B.

【点睛】

本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线

是解题的关键.

6.D

解析：D

【分析】

连接PC,当CPJLAB时，PC最小，利用三角形面积解答即可.

【详解】

解：连接PC,

PE±AC,PF±BC,

ZPEC=ZPFC=ZC=90°,

四边形ECFP是矩形,

EF=PC,

.,.当PC最小时，EF也最小,

即当CP_LAB时,PC最小，

AC=8,BC=6,

AB=10,

・•.PC的最小值为:

pc=A£BC=6x8=48

AB10

••・线段EF长的最小值为4.8.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答.

7.A

解析：A

【分析】

首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然

后对以下选项作出分析与判断：

①根据矩形的判定与性质作出判断；

②根据菱形的判定与性质作出判断；

③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形AsB5c5D5的周长；

④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积.

【详解】

解：如下图，连接连接A1C1,B1D1,

C

•・•在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形AiBiJDi,

AAiDiZ/BD,BiCi〃BD,CiDi〃AC,AiBi/ZAC；

.".AiDi/7BiCi,AiBi/ZCiDi,

四边形AiBiCiDi是平行四边形，

VAC±BD,

四边形AiBiJDi是矩形，故①正确；

.".BiDi=AiCi（矩形的两条对角线相等）：

；.A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），

四边形AzB2c2D2是菱形；

依次类推，可知当n为奇数时四边形AnBnCnDn是矩形，当n为偶数时四边形AnBKnDn是菱

形，故②正确；

根据中位线的性质可知,

&B5=；A3B3=；ABi=；AC,B5C5=；BC3=；BCi=gBD,

24o24o

，四边形AsBsCsDs的周长是2x1(a+h)="2,

84

故③正确；

:四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC_LBD,

•,•S叫边彩ABCD=ab+2；

由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，

四边形AnBnCnDn的面积是空，

2

故④正确；

综上所述，①②③④正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查中点四边形，中位线定理，菱形的性质和判定，矩形的性质和判定.理解三角形

的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题关键.

8.B

解析：B

【分析】

根据题意，有OP=AQ,即可得到OP+OQ=Q4=8,①正确；当，=4时，OP=OQ=4,

此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4,即点B坐标为(4,4),②正确；

四边形PBQO的面积为：4x4=16,在P、Q运动过程面积没有发生变化，故③正确；由

正方形PBQO的性质，则此时对角线PQ=OB,故④错误；即可得到答案.

【详解】

解：根据题意，点P与点Q同时以1个单位长度/秒的速度运动，

，OP=AQ,

：0Q+AQ=0A=8,

.,.OQ+OP=8,①正确；

由题意，点P与点Q运动时，点B的位置没有变化，四边形PBQO的面积没有变化，

当r=4时，如图：

则AQ=0P=4,

.,.OQ=8-4=4,

.••点B的坐标为：（4,4）,②正确；

此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=0P=0Q=4,

...四边形PBQO的面积为：4x4=16,③正确；

•••四边形PBQO是正方形，

/.PQ=OB,

即当f=4时，PQ=OB,故④错误；

...正确的有：①②③，共三个；

故选择：B.

【点睛】

本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键

是根据点P、Q的运动情况，进行讨论分析来解题.

9.B

解析：B

【分析】

如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得

ABAC=NZX£=90°,BC=6&DE^^AD，再根据三角形全等的判定定理与性质

可得3£>=CE,从而可得△CDE周长为+然后根据垂线段最短可求出AD

的最小值，由此即可得.

【详解】

在ABC中，AB=AC=6,NB=45。，

ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BC=\/AB2+AC2=672>

在ADE中,AD=AE,ZADE=45°,

:NADE是等腰直角三角形，ZDAE=90°,DE=yjAD2+AE2=收AD,

NBAD+ACAD=ZCAE+ZCAD=90°,

/.NBAD=NCAE,

AB=AC

在△A3。和△ACE中，=

AD=AE

ABDxACE（SAS）,

:.BD=CE,

•••CDE周长为CD+CE+DE=CD+BD+DE=BC+DE=6无+叵AD，

则当AD取得最小值时，△COE的周长最小，

由垂线段最短可知，当ACJ.BC时，AD取得最小值，

AO是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一），

：.AD=LBC=3也（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

2

COE周长的最小值为6垃+及x3夜=6夜+6，

故选：B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定

定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键.

10.B

解析：B

【分析】

取DC的中点E,连接OE、DE、OD,根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当。、

E、D三点共线时，点D到点。的距离最大，再根据勾股定理求出DE的长，根据直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解.

【详解】

取48中点E,连接OE、DE、OD,

NMON=90°,

OE^-AB=2.

2

在RtADAE中，利用勾股定理可得£）£=2血.

在AOOE中，根据三角形三边关系可知。E+0E>0。，

OD最大为OE+DE=2V2+2.

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形

的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点。、E、D三点共线时，点D到点。

的距离最大是解题的关键.

二、填空题

11.2君

【详解】

由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE,交AC于点P,那PE+PB的值最小.在

RtACDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值.连接DE,交AC于点

P,连接BD.

:点B与点D关于AC对称，

DE的长即为PE+PB的最小值,

AB=4,E是BC的中点，

CE=2,

在RtACDE中，DE=2G

考点：（1）、轴对称-最短路线问题；（3）、正方形的性质.

12.18

【分析】

由题意可知AD、EF是定值，要使四边形AOFE周长的最小，AE+DF的和应是最小的，运

用"将军饮马"模型作点E关于AD的对称点Ei,同时作DF〃AFi,此时AE+DF的和即为

EiFi,再求四边形ADFE周长的最小值.

【详解】

在Rtz^COD中，0C=3,0D=4,

C0=7oc2+OD2=5'

；ABCO是菱形，

；.AD=CD=5,

•••尸坐标为（8,6）,点E在y轴上，

AEF=8,

作点E关于AD的对称点Ei,同时作DF〃AFi,

则Ei(0,2),Fi(3,6),

则EiFi即为所求线段和的最小值,

在RtAAEiFi中，E1F1=JEE；+E—=J(6-2)2+(8-5)2=5,

四边形AOFE周长的最小值=AD+EF+AE+DF=AD+EF+EIFI=5+8+5=18.

本题考查菱形的性质、"将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大.

13-^―

工」,02018

【分析】

根据几何图形特征，先求出G、Q、C3,根据求出的结果，找出规律，从而得出G02O-

【详解】

:点E是BC的中点，ED〃AB,EF〃AC

；.DE、EF是AABC的中位线

•.•等边4ABC的边长为1

，AD=DE=EF=AF=-

2

则G=3x4=2

同理可求得：C2=\,C?=；

发现规律：规律为依次缩小为原来的,

2

故答案为：^^一

【点睛】

本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规

律.

14.3有或3或^—

2

【分析】

△AEF为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平

行四边形的性质可求解.

【详解】

解：当AE=A尸时，如图，过点A作于H,

AE=-Afi=3,

2

AE^AF,AH1.EF,NA=120。，

NAEF=ZAFE=30°,FH=EH,

AH=-AE=~,EH=43AH=—,

222

:.EF=2EH=34，

当AP=E尸时，如图2,

过点A作ANd.CO于N,过点/作FMJ.AB于M,

在平行四边形ABC。中，AB=6,BC=4,NA=120°,

/.AD=BC^4,ZADC=60°,

ZDAN=30°,

:.DN=^AD=2,AN=WDN=2。

AB//CD,ANrCD,FM1.AB,

:.AN=MF=26，

AF=EF,FMA.AB,

3

AM=ME=-,

2

:.EF=4ME2+MF-=.12+-=^-；

V42

当AE=E/=3时，如图3,

/.EF=3,

综上所述：E尸的长为3方或3或4亘.

2

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问

题是本题的关键.

15.①②®④

【分析】

①根据角平分线的定义可得/BAE=/DAE=45°,可得出aABE是等腰直角三角形，根据等

腰直角三角形的性质可得AE=&A8,从而得到AE=AD,然后利用“角角边”证明AABE

和△AMD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求

出NAOE=NAED=67.5°,根据平角等于180°求出NCED=67.5°,从而判断出①正确；

②求出NAH8=67.5°,ZDHO=ZODH=22.5Q,然后根据等角对等边可得。£=。。=。“，判断

出②正确；

③求出NE8”=NCWD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45°,然后利用“角边角”证明△8E”和

△HDF全等,根据全等三角形对应边相等可得8H=HF,判断出③正确；

④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判断出④正确；

⑤判断出△△8H不是等边三角形，从而得到A8W8”，即得到⑤错误.

【详解】

:在矩形ABC。中，AE平分N8AD,：.ZBAE=ZDAE^45°,，/VIBE是等腰直角三角形，

：.AE=yf2AB.

•:AD=yfiAB,：.AE^AD.

ZBAE=NDAE

在△A8E和△AH。中，V«ZABE=ZAHD=90°,AAABE^/XAHD(AAS),

AE=AD

：.BE=DH,：.AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED=-(180°-45°)=67.5°,

2

NCED=180°-45°-67.5°=67.5°,AZAED=ZCED,故①正确；

；NAHB=g(180°-45°)=67.5°,ZOHE=ZAHB(对顶角相等),

：.NOHE=NAED,：.OE=OH.

•.•/DOH=90°-67.5°=22.5°,/ODH=67.5°-45°=22.5°,；.NDOH=NODH,

：.OH=OD,：.OE=OD=OH,故②正确；

；NEBH=90°-67.50=22.5°,：,ZEBH=ZOHD.

NEBH=NOHD

在△BE"和中，BE=DH,：./\BEH^/\HDF(ASA),；.BH=HF,

ZAEB=NHDF

HE=DF,故③正确；

由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD-DF,：.BC-CF=(CD+HE)-(CD-

HE)=2HE,所以④正确；

'：AB^AH,NBAE=45°，,ZiABH不是等边三角形，.MBWBH,...即ABWHF,故⑤错

误；

综上所述：结论正确的是①②③④.

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定

与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角

形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点.

16.3+3逐.

【分析】

取AB的中点M,连接DQ,QM,DM.证明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解决问题.

【详解】

取A8的中点连接。Q,QM,DM.

•・•四边形ABC。是正方形,

：.AD=AB=6,ZDAM=ZADG=90°,

DM-AB2+AM2=762+32=3亚,

•：GK=HK,AB,GH关于EF对称,

；.QM=QK,

•；NADG=90°,AQ=QG,

：.DQ=AQ.=QG,

「△QGK的周长=GK+QG+QJ=3+0Q+QM.

又•:DQ+QM2DM,

DQ+QMZ3百，

，△QGK的周长的最小值为3+375，

故答案为3+3石.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中

点M,确定QG+QK=QD+QM,属于中考常考题型.

17.①②④⑤

【分析】

根据/B=90。，AB=BE,AABE绕点A逆时针旋转45。，得到AAHD,可得AABEmAAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可证AD〃BC,根据DC_LBC,可得NHDE=NCDE,根

据三角形的内角和可得/HDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正确；

利用NDAB=NABC=NBCD=90°,得到四边形ABCD是矩形，有NADC=90。，ZHDC=45°,由

①有DE平分NHDC,得/HDO=22.5°,可得NAHB=67.5°,/DHO=22.5°,可证OD=OH,

利用AE=AD易证NOHE=NHEO=67.5°,则有OE=OH,OD=OE,所以②正确;

利用AAS证明ADHEmADCE,则有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5",易的NDHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,则ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDwHF,所以③错误；

根据AABE是等腰直角三角形，W_LJE,：J是BC的中点，H是BF的中点，得到2M=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易证BC-CF=2CE,所以④正确；

过H作HJ1.BC于J,并延长HJ交AD于点I,得L)J_AD,I是AD的中点，J是BC的中点，

H是BF的中点，所以⑤正确；

【详解】

•.,RtAABE中，ZB=90°,AB=BE,

/BAE=NBEA=45",

又•.•将4ABE绕点A逆时针旋转45°,得到ZiAHD,

.,.△ABE-AAHD,并且4ABE和AAHD都是等腰直角三角形，

/EAD=45。，AE=AD,ZAHD=90°,

AZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=450+45°=90°,

.*.AD//BC,

NADE=/DEC,

AZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

.,.ZDCE=ZDHE=90"

由三角形的内角和可得/HDE=NCDE,

即：DE平分NHDC,所以①正确；

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

二四边形ABCD是矩形，

，/ADC=90°,

，NHDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

ZHDO=—ZHDC=—X45°=22.5°,

22

；/BAE=45°,AB=AH,

11

，NOHE=NAHB=—(18CT-NBAE)=—x(180°-45°)=67.5°,

AZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°

.,.OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

ZAED=y(1800-ZEAD)=yx(180°-45°)=67.5°,

，NOHE=NHEO=67.5°,

，C)E=OH,

.\OD=OE,所以②正确；

在ADHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

<ZHDE=ZCDE,

DE=DE

.".ADHESADCE(AAS),

1

；.DH=DC,/HDE=NCDE=—X45°=22.5°,

2

：OD=OH,

/.ZDHF=22.5°,

ZDFH=180o-ZHDF-ZDHF=1800-45o-22.5o=112.5o,

...△DHF不是直角三角形，并DHWHF,

即有：CDXHF,所以③不正确；

如图，过H作HJJ_BC于J,并延长HJ交AD于点I,

•••△ABE是等腰直角三角形，JHLJE,

，JH=JE,

又是BC的中点，H是BF的中点,

，2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有:BC-CF=2CE,所以④正确；

VAD//BC,

AIJ1AD,

又•••△AHD是等腰直角三角形，

二1是AD的中点，

:四边形ABCD是矩形，HJ±BC,

AJ是BC的中点，

；.H是BF的中点，所以⑤正确：

综上所述，正确的有①②④⑤，

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等

腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

18.②③

【分析】

根据菱形的性质可知AC_LBD,所以在RtZ\AFP中，AF一定大于AP,从而判断①；设

ZBAE=x,然后根据等腰三角形两底角相等表示出/ABE,再根据菱形的邻角互补求出

ZABE,根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和/BE的度数，从而

判断②③.

【详解】

解：在菱形ABCD中，AC1BD,

...在RtZXAFP中，AF一定大于AP,故①错误；

•.•四边形ABCD是菱形，

，AD〃BC,

，ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

设NBAE=x",

则NEAD=2x°,ZABE=180o-x°-2x°,

：AB=AE,ZBAE=x°,

ZABE=ZAEB=180°-x°-2x°,

由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得:x=36,

即/BAE=36°,

ZBAE=180°-36°-2x36°=70°,

•.•四边形ABCD是菱形，

1

.,.ZBAD=ZCBD=—ZABE=36°,

2

NBFE=NABD+NBAE=36°+36°=72°,

/BEF=180°-36°-72°=72°,

；.BE=BF=AF.故③正确

；NAFD=NBFE=72°,ZEAD=2x°=72°

AZAFD=ZEAD

；.AD=FD

又；AD=AB=AE

，AE=FD,故②正确

正确的有②③

故答案为：②③

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于/BAE的方程是解题

的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角.

19.10+5逐

【分析】

取DE的中点N,连结。N、NG、OM.根据勾股定理可得NG=5百.在点M与G之间总

有MGWMO+ON+NG（如图1）,M、。、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）.可得

线段MG的最大值.

【详解】

如图1,取DE的中点N,连结ON、NG、OM.

.•.0M=-AB=5.

2

同理0N=5.

•.•正方形DGFE,N为DE中点，DE=10,

•*-NG=ylDN2+DG2=7102+52=545■

在点M与G之间总有MGWMO+ON+NG（如图1）,

如图2,由于NDNG的大小为定值，只要NDON=g/DNG,且M、N关于点0中心对称时,

2

M、0、N、G四点共线，此时等号成立,

线段MG取最大值10+575.

故答案为：10+56.

【点睛】

此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、。、N、G四点

共线，则线段MG长度的最大是解题关键.

【分析】

根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可证ZiOEF岭△OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,设EF=x,则BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x,进而可得出AF=2+x,在R3DAF中,利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的长.