数学资料 微积分练习题

一、单项选择题

（I）函数/（X）在x=.%处连续是/（力在/=/处可微的（）条件.

A.充分B.必要C.充分必要D.无关的

（2）当x->0时，卜”一1）是关于x的（）

A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小

（3）x=2是函数=的（）.

A.连续点B.a去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点

2

（4）函数/（工）=一及其图形在区间（1.8。）上（）.

A.单调减少上凹B.单调增加上凹C.单调减少上凸D.单调增加上凸

（5）设函数/（力=1'"在x=l处可导，则（）

av+Z?;x>1

A.=0,=1B.a=2,b=—IC.a=3、b=-2D.tz=—1,/?=2

（6）设/（x）为可微函数，则在点x处，当Arf0时，办是关于Ar的（）

A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小

（7）设/（"J"-1"'""】在x=l处为（）

5[2-x\\<x<2

A.连续点B.可去型间断点C.跳跃型间断点D.无穷型间断点

二、填空题

（1）lim（l+sinx）-=

（2）已知y=xe、，〃为自然数，则y（"）=

（3）曲线y=Inx上经过点（1,0）的切线方程是：y=

（4）Jr图仆

（5）己知G（x）=J；"'",则G'（0）=

（6）曲线y=2sinx+V上点（0,0）处的法线方程为______________

（7）已知/'（3）=2,则叫"3T）―/（3）=

V^"sin（〃!）

（8）hm--------=_____________

ign+1

（9）已知“力的一个原函数为cosx,则/'（x）=

(10)J'x2(sinx4-5x2)dv

三、计算题

1.limf--一!一)/x+.l.\2.v+3

2.lim

.Tf8

/\

3.设y=Intan—,求dy4.设sin（孙）+ln（y-x）=x确定y是x的函数,求）（（）

k2)

z/\,

5.y=f（sin^）»其中『具有二阶导数，求一彳

dx~

3x-27「2

dx

x2—2x+5

2

8.fVcosx-cos'xdr）.jtx|lnx|6tv

Jd

10.lim——!——---11.jxarctanAZZV

》叫111（1+工）x

r42xdx

12卜9-丁/113..

*J2x+1

14.求）,==0,），=8所围成的图形分别绕），轴及直线x=4旋转所得的旋转体体积.

15.V+）,2=/绕直线。旋转的旋转体的体积

四、应用题

（1）已知销售量Q与价格P的函数关系Q=10000-P,求销售量。关于价格P的弹性函数.

（2）设某工厂生产某产品的产量为Q件时的总成本C（Q）=5O（X）+8Q-焉。2元，产品销售

后的收益R（Q）=20。一孟。2元，国家对每件产品征税2元,问该工厂生产该产品的产量为多少件

时才能获得最大利涧？最大利涧足多少？

五、证明题

1.设在区间［0,1］上可微，且满足条件/⑴=2仁0戊，试证：存在交（0,1）,使得

/⑷+"（3=0

§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）

一、设五=2万一万+口/=万+25+^,试用表示2〃一4炉.

二、为三个模为1的单位向量，且有G+b+^=（i成立，证明：G,瓦3可构成一个等边三角形.

三、把△A8C的8c边四等分，设分点依次为〃、。二/%，再把各分点与点A连接，试以

AB=c.BC=万表示向量取、型和D.A.

四、已知两点M(l，2,3)和何2(1，-2,-1),试用坐标表示式表示向量而心及-3诟7；.

五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：4(1,11)，

C(-2,-3,M),D(-3,4,-5).

六、指出下列各点的位置,观察其所具有的特征.并总结出一般规律：43,4,0).A(4,(),3),C(-11).0).

0(0,8,0).

七、求点（x,），,z）关于（I）各坐标面：（2）各坐标轴：（3）坐标原点的对称点的坐标.

§8.1向量及其线性运算（5）§8.2数量积向量积

试证明以三点A0O,-1,6）、3（4/,9）、C（2,4,3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

设已知两点/%（5,&,2）和M?（4,（）,3）,计算向量形同的模、方向余弦和方向角，并求与

方向一致的单位向量.

三、设"?=2/•+3/+4k,n=4/-j+2%及万=-i+2j+3k,求〃=2比+3〃-2万在x轴上的投影

及在z轴上的分向量.

四、已知。，方工为三个模为1的单位向量，且4+万+5=0,求必+5石之值.

五、已知±=2；+3]+后5=『一了一1和｝=:+1,计算:

(1)(夕一(万⑹5；(2)(a+B)x(方+'；⑶(dxB".

六、设）=（2,—1,3）,方二（一1,2,—1）,问/1和〃满足何关系时，可使+与z轴垂直？

七、已知砺=（1,2,3）,丽=（2,-1,1）,求的面积.

§83曲面及其方程

一动点与两定点（1,2,3）和（3,0,7）等距离，求这动点的轨迹方程.

方程x2+y2+z2-2x+4y-6z=0表示什么曲而？

将xoz平面上的双曲线4/-9z?=36分别绕x轴及Z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方

程.

四、指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？

i.y=2x4-4：

五、说明下列旋转曲而是怎样形成的？

i.x2+2y2+2z2=6；2.(z+a)~=A2+y2.

六、指出下列方程所表示的曲面:

3/+V_z

Lx2+2/-22=2,2.x2-y2-3z2=3,

345

§X.4空间曲线及其方程§8.5平回及其万程(1)

一、填空题：

1.曲面/+)?一看=()与平面z=3的交线圆的方程是，其圆心坐标是，

圆的半径为-

\x2+y2=1

2.曲线1、在)，切面上的投影曲线为______________________.

[x2+(y-l)2+(z-l)2=l

3.螺旋线x=acose,y=osine,z=如在yoz面上的投影曲线为.

4.上半锥面z=Jf+y?(0«z<1)在xoy面.上的投影为,在xoz面上的投影

为，在yoz面上的投影为.

二、选择题：

1.方程|田十卷用在空间解析几何中表示

(A)、椭圆柱面(B)、椭圆曲线(C)、两个平行平面(D)、两条平行直线

x=acos0

2.参数方程(y=asin。的一般方程是.

z=bO

X=67COS-

(A)、x2+y2=a1(B)、x=«cos—CC)y=dsin—(D)、,

bb.z

y=asm—

rh

3.平面x—2z=()的位置是.

(A)、平行xoz坐标面。(BX平行分轴

(C)、垂直于oy轴(D)、通过oy轴

4.下列平面中通过坐标原点的平面是.

(A)、x=\(B)、x+2y+3z+4=0(C)、3(x-l)-y+(z+3)=0(D)、x+y+z=\

/+)'2+/=9为参数方程.

三、化曲线V

l)'=X

四、画出卜列曲线在第一卦限内的图形:

x=\

1.;

[y=2

五、求通过三点(1,1,1)、(-2,-2,2)和(1,-1,2)的平面方程.

§x.5¥回及其方程(2)(3)§H.6空间直线及其方程

一、填空题：

I.过点尸(4,一1,3)且平行于直线工^=2)，==」的直线方程为____________.

35

2.过点P(2,0,—3)且与直线2，+7Z=7垂直的平面方程为_________________

3戈+5y-2z=-1

3.过点P(0,2,4)且与二平面x+2z=1和)，—3z=2平行的直线方程是_____________

4.当〃?=时，直线、廿=三2=j与平面〃i¥+3y—5z+l=O平行.

二、选择题：

1.下列直线中平行与X。)，坐标面的是.

2.直线L:W二2±，=三与平面;r:4x—2)，-2z=3的关系是.

(A)平行(B)垂直相交(C)L在灯上(D)相交但不垂直

3.设直线4：1-=T=1—与心：--则。与L,的夹角为_________

I2I[2y+z=3

(A)7T/6(B)7T/4(C)冗13(D)7T/2

4.两平行线工=，+1,)，=21+1,2=，与土匚=2里=三]之间的距离是.

121---------

(B)2

r—1V—2Z—3

三、设直线L通过(1,1,1),且与L,:6x=3y=2z相交，又与右：石一==亍垂直，求直线工

的方程.

四、求通过z轴，且与平面2%+)，一石z-7=0的夹角为？的平面方程.

r-4-1y7-2

五、求通过点尸（2,0,-1）,且又通过直线一=^-=--的平面方程.

2-13

六、设直线乙：5=早=号与平面乃：2x+y-z-3=0,（1）求证L与万相交，并求交点坐标;

（2）求L与笈交角：（3）求过L与不交点且与L垂直的平而方程；（4）求过L且与左垂直的

平面方程：（5）求L在乃上的投影直线方程.

第八章习题课

一、选择题:

1.若直线3=3=三匚和直线七1二占」=2相交，贝lj/l=

12211

355

(A)1(B)-(C)——(D-

244

2x2+y2+z2=16

2.母线平行于x轴且通过曲线《，:，的柱面方程是__________.

A2-y2+z2=0

(A)x2+2y=16(B)3y2-z2=16(C)3x2+2z2=16(D)->,2+3z2=16

仁尸―的…—

3.曲线＜

x=1+V3cos^x=1+2cos。x=A/SCOS^x=2cos0

(A).y=V3siii6>(B)-y=2sin<?(C).V=V3sin(D>y=2s\n0

z=02=()z=0z=0

二、填空题：

1.已知〃与B垂直，且同=5,M|=I2,贝胴+〃卜»|c—/?|=.

2.一向量与冰轴和。)，轴成等角，而与。z轴组成的角是它们的二倍，那么这个向量的方向角

a=,P=,y=.

3.已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点(-2,-2,1),则该平面方程为.

三、证明：与0垂直.

四、求原点关于平面6x4-2y-9z+121=0的对称点.

五、求过点（一1,2,3）垂直于直线三=2二三，且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程.

456

x+2y+3z+4=0——

六、求过原点且与直线＜)垂直相交的直线方程.

2x+3y+4z+5=0

2x-3y+z=03.r-2y+3z+5=0

七、讨论两直线《：•的位置关系.

x+2_y+4z+7=0x-3y-2z-3=0

§9.1多元函数的基本概念

一、已知/（x+、,2）=/一）/，求/（x,y）。

X

二、求下列函数的定义域:

3.z=ln[(9-x2-y2)U2+/-1)]

三、求下列极限，若不存在，说明理由。

3.limX4.1“封_

斌x+y;*/+町,—i

xsin（x-2y）

"2y

四、讨论函数/*,），）=«x-2y的连续性。

0,x=2y

工、设证明：对任意。,%）,/?,/。,），）在了）处连续。

/（x,y）=sinx,（xx0G/?,y0G10,（）

§9.2偏导数§9.3全微分(1)

一、计算：

1-设八乂y)=切，+，求A"1)，工'(°，1)。

x'+y

2.设函数z=g),寡=2,且小0)=1,依0)7,求人)。

二、求下列函数的一阶偏导数：

1.u=Xy2.F(.¥,y)=J15f(s)ds+exdx

2./(x,)')=x+()'—Darcsin

三、求下列函数的二阶偏导数:

1.z=x4+y4-4x2y2

2.z=x

————分7分7

四、设z=e*y,求证：X2—+y2—=2zo

c>y

五、求下列函数的全微分:

1.z=e'ysin(.r+y)2.〃=产

3.z=Iny]\+x2+y2,求dz|。「。

六、求/(乂丁)=尸衣在(0,0)点的偏导数。

§9.4多元复合函数的求导法则

一、计算:

，海，3+选花2.z=/(eJsiny—)»其中/(乂丁)可微,求异。

1.设z=xy+x，求--F—o

dxdyAC^X

二、设…♦…,z=fsi"，求粲条

三、设〃=/（孙+/），且/可微,求竺，竺。

oxoy

四、设〃=e(?—―,v=67sinxz=cosx,求包。

«2+l-dx

五、已知z=/，y』n（.D，）），笄,2­。

exoxoy

六、设Z=/（〃,"'）,〃=泥\其中/连续偏导，求丁,丁。

exoy

七、设u=xf(2x+3y,ey+:),求。

dy

八、设函数〃满足电+”+以■=（）,作变换g=x,〃=y-x,，=z-x,求证：—=0,,

oxoyoz”

§9.5险博数的求导公式§9.6多元微分学的几何应用（1）

1.设e'+sin（x+），）一/=0,求生。2.设x+>+z=7^，求当，°

dx

2.设Y+z?=其中0可微，求不"。4.设产（x+y,x—乂不，）=0,/可微，求警。

yoy

分2o2ax+by+cz=0dzdx

5.设z3-2xz+y-0,求及6.222iT求J、i

dxdydx-x+y+z=1aydy

7.证明由方程/（cr-4z0-咐=0（/可微）确定的函数Z=Z（X,），）满足：«-f1+/?y-=C

*求曲线x=〃8sr,y=asint,z=/”在/=一处的切线和法平面方程。

4

x2+y2+z2=6

9.求曲线在点M（l,—2,1）处的切线和法平面方程。

x+y+z=0

10.求曲线x=sin",y=sin/cos/,z=cos'/在点（0.5,0.5,0.5）处的切线和法平面方程。

§9.6多元微分学的几何应用（2）§9.7方向导致和梯度

1.求曲面xy=z2在点（1,4,2）处的切平而与法线方程。

22

2.求曲面x+V+2Z=4上平行于平面x+2），-z=1的切平面方程。

1求函数〃一人），z在点（5,1,2）处，沿从点（5」,2）到（9,4,14）的方向的方向导数。

4.求函数〃=2xy—z2在点（2,-1,1）处方向导数的最大值。

£・设丫="2+),2+22,求g/a小。

6.求“=X++在点处的梯度，并求该梯度方向的方向导数。

7.求z=l-（5+/）在点（美,9）处沿曲线［+£=1的内法向量的方向导数。

&设而是曲面2/+3y2+z2=62在点〃（1,1,1）处指向外侧的法向量，求函数〃=业土二图-在点

P处沿万方向的方向导数。

S.试证：曲面M，z=/上任意一点处切平面与三个坐标轴所围四面体体枳为常数。

§9.8多元函数的极值及具求法

1.求/(x,3)=冲一xy1-x2y的极值。2.求/(x,j)=(x2+2x+y)e"'的极值点及极

值。

3.求z=兀y在条件x+2y=l下的极值。4.设〃=x+y+z,求〃在z=2—+)/条件下

的极值。

5.^u=x-x2-y\求〃在区域O={f+)，2W1}上的最大值与最小值。

___________________________________________________________________________________________________________26

6.求曲线，z=『+y上到wy坐标面距离最短的点。

jiy=1

7.求内接于椭球面=+《+==1且棱平行于坐标轴的体积最大的长方体。

ab'c

X.求周长为2〃的三角形的最大面积。

_____________________________________________________________________________________________________27

第九章习题课

I.求偏导数：____

(1)z=Jln3)(2)u=arctan(x-y):

、与"arctan-

2.已知z=(x+y2)e*,求dz。

।*\2

3.设z=—/(/>)+yp(x+y),其中/',9具有2阶连续导数，求三J。

xoxoy

4.设y=/（x,z）,而2=2。,），）由方程尸（工,弘2）=（）确定，其中/、产一阶连续可导，求立。

dx

设〃=（内）二阶可导，求：去繇c'u募

28

设〃一孙+),2,7={83/5而。}及点庶(1,1),(1)试求：条(2)若称在4处取最大

值,求a。

7.设z=z(x,y)满足方程2z-e：+2xy=3,且z(l,2)=0,求也卜常)。

也证明：锥面2=1+百万上任一点的切平面都经过其顶点。

$.求周氏为定值2〃的三角形，使它绕自己的一边旋转所产生的旋转体体积最大者。

29

§10.1二重枳分的概念与性质§10.2二界积分的计算法(1)

利用二重积分的儿何意义计算:

(1)jjJa2-x2-y2da(2)。由x+y=l,x-y=l,x=0所围，求

xI+y2£aI

Jjyd(y

2.利用估值定理估计下列积分的值:

2222

(1)Jj(x+4y+1)dxdy(2)JJxy(x+y)da

0W1

0430

3.比较下列积分的大小：

(1)JJ(x2+)3)丘、JJ(x3+y5”cr(2)jj/(x,y)da.JJ/(工,y)d(y,/>0,"u2

(ExSl俏/X

OSyMl0<yil

4.计算：

(I)JJ(x2+xy+y2)da(2)jjxcos(x+y)c/cr

I料阐ow

0<y^x

_____________________________________________________________________________________________________30

5.画出枳分区域，并计算：

(1)jjye^dxdy.其中。由芝y=1,工=2,y=1所围

(2)JJ(x+)，2,必，，其中0={(.%)，桐+3«1}

6.交换积分次序；

⑶J；4，；"(x,yg

_____________________________________________________________________________________________________31

§10.2二年积分的计算法(1)(续)(2)

1.画出下列积分区域O,并把0/(得)，)公玲，化为极坐标系下的二次积分：

n

2222

(I)£>={(x,y)|tz<x+y^<b90<a<b](2)D={(x,y)|2x^x+/<4x}

2.将下列二次积分化为极坐标形式并计算:

1+匚了

(2「5由

3.利用极坐标计算：

2

(1)JJln(x+/)drJy(2)(x+y)dxdy

l<v2+y2<4

________________________________________________________________________________________________32

4.计算二重积分：______

（1）jj（x2+y2）dv,/）是曰x=-Jl-），2,直线），二一1,），=1,工二一2围成

+y

(2)Jj^2dxdy,其中。为，+V4i,x+)，N]

Dx+y

5.求圆锥体z之+y2被柱面z2=2x所截下部分的体积。

6.用二重积分表示由三个坐标面及x+2），+3z=6所围立体的体积，并计算之。

_____________________________________________________________________________________________________33

§10.3二重积分(1)(2)

1.化三重枳分/=JJj7a,y,z)dHMz为三次积分，其中积分区域。分别为：

a

(1)由双曲抛物面冲=2z及平面x+1=0,z=0所围成的闭区域

(2)由曲面z=2/+3)，2及z=3—V所围成的闭区域

2.计算jjjxy2z'dxdydz,其中。为aVxKcVyVd,/«zW。

34

3.计算fl-,其中c为平面工=0,丁=0*=0»+〉，+2=1所围成的四面体。

咽（2+、+），+z）

4.利用三重积分计算由曲面Z=6--一）,2及Z二次+）,2所围成的立体的体积。

35

§10.3二里积分(2)续

利用柱面坐标计算下列三重积分：

(I)其中Q是由曲面Z=j3-W-),2及2z=f+y2所围成的闭区域

(2)jJj(x2+/)Jv,其中Q是由曲面W+y2=2z及平面2=8所围成的闭区域

.利用球面坐标计算下列三重积分：

(1)JJj(x2+r+z2)^.其中。是由球面W+9+Z?=2所围成的闭区域

________________________________________________________________________________________________________________36

(2)JJJztZv,其中闭区域C由不等式寸+)，2+(2-2々『44/,/+,2«22所确定

3.利用三重积分计算由曲面Z=f—),2及Y+),2=4z所用成的立体的体积。

_____________________________________________________________________________________________________37

§10.4重积分的应用第十章习题课•1)

I.求底圆半径相等的两个直交圆柱面/+J：=R?及f+z?=R?所围立体的表面积。

2.求球面/+),2+z2=配含在圆柱而1+),2=而内部的那部分面积。

_____________________________________________________________________________________________________38

3.计算卜列二重积分：

(1)其中D={(x,)，)|0WyMsinx,0WxW/r}

D

（2）^a2-x2-y2da,其中力是圆周Y+产=,优所围成的闭区域

D

(3)JJ(x2+4x-8y+6)J<7,其中O={(,%)，)*+产〈*}

____________________________________________________________________________________39

第十章习题课（2）

1.交换下列二次积分的积分次序：

⑴「空（；/（•%）"''⑵7y•（%,），）力

2.将J：时底/（曲7加化为极坐标形式。

"计算JJxe—sin冷did)，，其中力:|X|+1>区1。

4.求曲面az=孙包含在圆柱X2+产=/内那部分的面积。

设/（x）可微，且/（0）=0,求［小十^人商22

+y)dAdy,其中O:Y+y<Vo

__________________________________________________________________________________________________________40

6.计算卜列三重积分：

(I)^JCdxdydz,其中。是：V+V+z?<R2与£+y2+z242&(R>0)的公共部分

222

f(.-xsin(x+y+z+11

»晨叱，其中。是由球面…所围成的闭区域

222

(3)jjj(x+y)clxdydz,其中。是由曲面z?=9(V+y)及平面z=3所围成的闭区域

Q

§11.1对弧长的曲线积分§11.2对坐标的曲线积分（1）

计算下列对弧长的曲线积分：

x=Reost

(1)^(x2+y2ds其中£为＜(04/42乃)

y=Rsint

（2）©Yds,其中L为由V+V+z2=l与x+），+z=O所表示的圆的一周

(3)f———----ds,其中「为曲线x=e'cos/,y=e'sini,z=e'上相应于f从。变到2乃的一

"x"+y-+zz

段弧

______________________________________________________________________________________________________________________________42

/44X222

(4)©x3+y3ds,其中L为内摆线炉+)B=标

2.设L为双纽线：。2+>2）2=。2。2一y2）（々>0）,求，|），|水。

_____________________________________________________________________________________________________43

§11.2对坐标的曲线积分（2）（3）§11.3格林公式及其应用（1）

1.计算下列对坐标的曲线积分：

（1）©孙心，其中L为（x-R）2+y2=R2（R>0）及X轴所围成的在第一象限内的区域的逆

时针方向绕行的整个边界

（2）

心":『叱其中L为逆时针方向绕行的圆周/+9=2

⑶上2.a+3）心+（女一>，+2*2.其中「为从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线

（4）£（x3-2xy2）dx+（2y2-dy,其中L为y=F上从点（一1,1）到点（1,1）的一段弧

2.将对坐标的曲线积分］尸（x,y）cA+Q（x,），）力化为对弧长的曲线积分，其中L为:

（1）在⑼），平面内从点（0,0）到点（i,G）的直线段

44

（2）沿f+）,2=2工的上半部分从点（0,0）到点（1,1）

3.利用曲线枳分计算星形线炉+尸二/所围图形的曲机

4.利用格林公式计算下列曲线积分：

（1）£（x—2），+4）公+（3穴+5）、—7",其中L为三顶点分别为（0,0）、（3,0）和（3,2）的三角

形正向边界

（2）$乎;弋,其中L为（x—2『+）3=9,且为逆时针方向

14（x2+/）-

_____________________________________________________________________________________________________45

§11.3格林公式及其应用(2)(3)

一、验证下列曲线积分与路径无关，并求积分值：

c(I.D

1'\Aa(x-y)(dx-dy)

J(0.0)

2、J：：『沿在™线

二、利用格林公式计克曲线积分O(sin)，-)，)dv+(xcosy-l)dfy,其中L为圆周f+y?=2x上

L

从点0(0,0)到点4(1,1)的i段弧。

_____________________________________________________________________________46

三、验证卜列〃(x,y)心是某一函数的U(x,y)全微分，并求这样的一个U(x,y)：

1、(x2+2xy-y2)dx+(x2-2xy-y2)dy

2、(2x+siny)cbc+xcosydy

科、在过点0(0,0)与A(小0)的曲线族y=asinx(。:>0)中，求一条曲线L,使沿该曲线从。到

A的积分J(1+V)公+(2工一y)的值最小。

五、求可微函数/(x),使关系式£/(x)(y小-必，)=0成立，其中L为与)，轴不相交的任何闭曲线。

_____________________________________________________________________________________________________47

第十一章曲线积分及格林公式习题谡

一、计算£(x+y)ds,其中L为连接点(0,0)、(1,0)、(()/)的闭折线。

二、计算，了小4以，其中L为圆周/+V=。2,直线y二人司y=0在第一象限内围成扇形的边

界。

三、计算，孙2办」/)山，L是从4(1,0)沿)，=J1-人到8(—1,0)的圆弧。

48

四、-aiw

其中（1）L为圆周/+）,2-22=0的正向；（2）L为椭圆4/+），2—8x=0的正向。

五、设曲线积分J.q2公+）刎“力与路径无关，其中。具有连续的导数，且0（0）=0,计算

&弘+用（，）办。

六、设曲线L是正向圆周（_ri『+（y-a）2=1,夕（x）是连续的正函数，证明：

?:）dy-y（p（x）dx>2万,

_____________________________________________________________________________________________________49

§11.4对回积的曲回积分§11.5对坐标的由回积分(D

一.计算下列对面积的曲面积分：

1.JJ(X+)，+zMS,其中Z是上半球面x2+),2+z2=q2,z>0

Z1!一£亍，其中E为柱面Y+y2=R2被平面Z=0,Z=/7所截取的部分

¥x+y

3.\\xyzdS,其中X为平面x+)，+z=l在第一卦限的部分

_____________________________________________________________________________________________________50

二.求而密度为0=z的抛物而壳z=-!-(x2+y2)(0<z<l)的质量。

2

三.如Z是坐标面XO.V面内的一个闭区域时，曲面积分DR(x,y,z)dmy与二重积分有什么关系?

_____________________________________________________________________________________________________51

§11.5对坐标的曲回积分(2)(3)§11.6高斯公式(1)

一.计算下列对坐标的曲面积分：

1,^yzdzdx,其中Z是球面一十＞2+22=1的上半部分并取外侧

2.||xydydz+yzdzdx+zxdxdy,其中Z是由平面x=_y=z=0和x+y+z=1所围的四面体表面并

z

取外侧

二.求流速场v=xi+y2k穿过曲而z=/+y2与平而z=1所画成的立体表面的流量。

52

三.试把对坐标的曲面积分JJP(x,z)dydz+Q(x,y,z)dz(Lx+R(x,y,z)dxdy化成对面积的曲面税分,

其中Z是平面3x+2)，+2=6在第一卦限的部分的上侧。

四.利用高斯公式计算曲面积分仔))，(工一2)办必十大7以&+()，+”)40，，其中Z是X=0,X=4,

),=0,y=a,z=0,z=4所围正方体表面的外侧。

53

第十一章曲回积分及高斯公式习题课

一.计算目L/），dz+Ldzdx+4心力，，2为球面x2+y2+z2=R诋»H£|J。

Exyz

二.设2是球面Y+V+z?=〃2的外侧，求曲面积分目以必

三.计算z)dydz+(z-x)dxdz+(x-y)dxdy\X为z?=x2+y2(0<z<力)的下侧。

I

____________________________________________________________________________________54

四.求曲面积分丹，+)，2油，£为锥面z=Jf+),2与平面z=i所围成的区域的边界曲面。

5.利用高斯公式计算曲面积分eu&Mz+Mz公+29，，其中£为界于z=0和z=3之间的圆柱