人教版选修2－1全册参考答案与解析高中数学教学设计试卷分析

参考答案与解析

第一章命题及其关系、充分条件与必要条件

1.A

【解析】

试题分析：由定义设非空集合$=也|小4%《/满足：当xeS时，有VeS知，符合定义的参数用的值

一定大于等于1或小于等于0,惟如此才能保证meS时，有m2七$,即京1之所，符合条件的w的值一定

大于等于。，小于等于1,惟如此才能保证"eS时，有“265即/4“，正对各个命题进行判断：对于①

M<n11

若雨=1,掰2=ieS,故必有，一.解得力=1,S={1}；②若a=—三,掰'==£S>贝山1解得

w>l,24—<w,

.4

->m.

2j-

W<15对于③若刁=J,贝小超2之孙解得一半4aw0,所以正确命题有3个.故选A.

42

—>n^.

2

考点：1、元素与集合关系的判断；2、集合的确定性、互异性、无序性.

【思路点睛】根据题中条件：“当xeS时，有Ves”对三个命题一一进行验证即可，对于

—>m,

2

2n<n.2

n<n,,对于③若〃=！，贝人

①加=1,得，,②171=------1得<1a?2机,最后解出不等

n>1,2『-，2

—>m2,

2

式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个.本小题考查集合的运算及

不等式和不等式组的解法.属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系

转化为不等式问题解决.

2.D

【解析】

试题分析：根据子集的定义知A正确；由对数的定义及性质知B,C正确，对于D,当零点左右符

号相同时不能用二分法，故D错，故选D.

考点：1、子集的定义及对数的定义与性质；2、二分法的基本含义.

3.A

【解析】

试题分析：①根据函数的对应法则，可得不管X是有理数还是无理数，均有"(7(x))=l；②根据

函数奇偶性的定义，可得/(X)是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④

取X1=—'二，x2=0,x3=——,可得A(1,()),8(0,1),C(———,()),三点恰好构成等边

3-333

三角形.

考点：分段函数的应用.

4.C

【解析】

试题分析：否命题需将条件和结论分别否定，所以否命题为：若XW2015,则xWO

考点：四种命题

5.B

【解析】

试题分析：根据四种命题的概念，可知命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个

数的平方是正数，贝J它是负数”，故选B.

考点：四种命题.

6.A

【解析】

试题分析：由得x>2或x<0,所以“x>2"是的充分不必要条件，故选

x2x2

A.

考点：充分条件与必要条件.

7.A

【解析】

试题分析：两直线垂宜，所以一丈3=-1,。=±2,所以是充分不必要条件.

4

考点：充要条件.

8.B

【解析】

试题分析：由题意得，由函数y=2*+m—1仃零点可得，m<\,而由函数y=log„,x在

(0,+8)上为减函数可得0<加<1,因此是必要不充分条件，故选B.

考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.

9.A

【解析】

试题分析：由题设条件可知8s48S瓦COSC中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角，所以是钝

角三角形,是充分条件;反之，若三角形是钝角三角形,则8s4cos3：8SC的积必为负数，即是必要条件,

应选答案A.

考点：解三角形.

【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断

的能力.解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么？其外延是什么？其实钝角三角形的概

念是有一个内角是钝角即可了.解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误，将锐

角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起，从而误判得出不正确的答案.

10.A

【解析】

试题分析：由4，a2,%成等比数列，得(％+d)2=%(%+4d),即(2+dp=2(2+4d),解

得d=0或d=4,所以“d=4”是“4,生,应成等比数列”的充分不必要条件.

考点：1、充分条件与必要条件；2、等差数列的通项公式；3、等比数列的性质.

第二章简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.D

【解析】

试题分析：x=l时x_121gx,所以命题为真；

VXG(0,^),sinx>0,sinx4——>2./sinx---=2

sinxVsinx,当且仅当sinx=1时取等号，所以命

q:\/xE(0,^),sinx+--—>2

题sinx为假；因此是真命题，是假命题，是

真命题，PA(「幻是真命题，选D,

考点：命题真假

2.A

【解析】

试题分析：因为特称命题的否定是将存在量词改成全称量词，然后否定结论，所以特称命题p:

2

3X0ER,Xo2+4尤o+6<O的否定是全称命题VxeR,x+4x+6>0,故选A.

考点：1、存在量词与全称量词；2、特称命题的否定形式.

3.B

【解析】

试题分析：易知①当x=0时不成立,对于全称命题,只要有一个情况不满足,命题即假.②错,只需两个命题

中至少有一个为假即可.③正确,全称命题的否定是特称命题.即只有一个命题是正确的,故选B.

考点：1.命题的否定；2.四种命题的真假关系.

4.A

【解析】

试题分析：当“a>1"时，<1",而“,<1"时，如a=—1,则“a>1”不成所以

aa

aeR,“工<1”是“a>l”的必要不充分条件，即A正确；“pAq为真命题”是“pvq

a

为真命题”的充分不必要条件，故B错；命题“玉GR,使得尤2+2X+3<0”的否定是：

“VxeR,x2+2x+3>0",故C错；命题p："X/xeR，sinx+cosxW&”是真命

题，所以“是假命题，故D错，所以选A.

考点；1.逻辑词与命题；2.充分条件与必要条件；3.特称命题与全称命题.

5.C

【解析】当命题〃为真时，•.•函数/(x)图象的对称轴为直线x=m，〃?<2；

当命题4为真时，当机=0时，原不等式为-4x+l>0,该不等式的解集不为R,则这种情况不

存在；

加>0,

当加W0时，则有《2解得

△=4(根一2y-4m<0,

m<2,

又,：prq为真,pAq为假，・•・p与q—真一假，若p真q假,则《„

m<1或机>4,

m>2,

解得加<1：若p假q真，则!解得2<相<4.

[1<加<4,

综上所述，m的取值范围是/nWl或2Vme4.

考点：复合命题的真假，二次函数的图象和性质，一元二次不等式的解法.

6.[-1,2]

【解析】

试题分析：》2_%_2〉00*>2或x<-l,因此为一

考点：命题的否定.

7.@@

【解析】①VXER,7+1>0；②VxeN"之0；③HxuOeZ*<1；

④，=3=x=±招比Q；⑤当x=0时，/一3%+2H0：⑥BxcR，+lNl>0.所以①③为真命题.

考点：特称命题、全称命题真假判定.

【解析】

试题分析：p:0<a<1,q:△=(2a-3)2—4〉()=>()<a<〉g.pvq真,p八夕假，所

以p,q一真一假，分别求出“p真q假”和“p假q真”对应a的值，再取并集就得到a的取值

范围.

试题解析：

当0<a<1时，函数y=log,(x+1)在(°，―)内单调递减；

当a〉1时，y=log“(x+1)在(°，+°°)不是单调递减.

曲线'=f+(2a-3)x+1与％轴交于不同两点等价于(2a-3)2-4>0,

即4<,或。>9.

22

①若P正确，且q不正确，即函数y=log“(X+1)在(°，+8)内单调递减，

曲线y=x?+(2"—3)X+1与X轴不交于两点，此时aw1,1\

②若P不正确，且q正确，即函数y=log/x+l)在("+8)内不是单调递减，

曲线y=『+(2a—3)x+l与x轴交于不同两点，此时(|,+℃).

综上所述，a的取值范围是；』)u(|,+8).

考点：含有逻辑联结词命题真假性.

9.（1）4cx<5：（2）-<m<2.

3

【解析】

试题分析：（Dpeg为真时的条件，当且仅当P与g都为真时才为真：（2）判断充分不必要条件时，如果

无法进行正面判断,则可以使用其逆否命题进行判断,然后转化为集合之间的包含关系，得出答案.

试题解析：解：（1）由一一7》+10<0,解得2Vx<5,所以p:2Vx<5

又J?-4/nx+3m2<0,因为a>0,解得m<x<3，〃，所以q：M<x<3m.

当7〃=4时，q:4<x<12,又/?A（7为真，p,q都为真，所以4cx<5.

（2）由「q是的充分不必要条件、即「pR「q,其逆否命题为

pnq,qAp,

m<2

由（1）p:2<x<5,q\m<x<3m,所以<3加25,即

nz>0

考点：1.一元二次不等式；2.命题及其关系；3.充分必要条件.

【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易

题.解题时一定要注意p=4时，p是4的充分条件，q是p的必要条件，否则很容易出现错

误.充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转

化,进而成为p,q命题所表示的范围间的大小关系,转化为集合的问题.另外需注意等号的取舍.

10.（1）见解析（2）m<2

【解析】（1）—>p：SXGR,/?u2+1<0：—>q：VxeR,x2+/?JX+1>0.

（2）由题意知，一y?真或一iq真，当一口真时，"2<（）,当一真时，△=，??—-4<0，解得

-2<in<2,因此，当一pV—14为真命题时，相<0或一2</”<2,即m<2.

考点：全称命题、特称命题的否定及复合命题的判定.

第三章圆锥曲线的概念及性质

1.A

【解析】

C1

试题分析：椭圆/+机）产=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，二2/.m=—

4

考点：椭圆的简单性质

2.D.

【解析】

试题分析：由椭圆的性质可求出根的值，故选D.

考点：椭圆的定义.

3.D

【解析】

%%=为一内为+y=MY

试题分析：设次孙必）、3（口一必）、尸（孙为）,则“FBzf/君—d,由

22222_…从2c25715

F_2L_i丐_当为f

=0kp^kPB=—1=—=^-^=_zz>e=——

abab相减得b2，即a3a33,

选D.

考点：双曲线的离心率

【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方

程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等

式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

4.A.

【解析】

/上=1厂

试题分析：由题意可知，双曲线4的渐近线方程和离心率分别是丁二父》建二,5,故

选A.

考点：双曲线的性质.

5.A

【解析】

试题分析：由题意得，双曲线的渐近线的方程为y=±而x,因为&OC为等腰直角三角形，所以

NBAx=45°,设其中一条渐近线与x轴夹角为，，则0°<6<45°，所以0<tan。<1,所以。<而<1,

解得0cm<1,故选A.

考点：双曲线的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程、双曲线的

渐近线方程，以及直线的斜率与直线的倾斜疳等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解

答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据双曲线的性质，判断出渐近线的斜

率的取值范围是解答的关键，属于中档试题.

6.B

【解析】

试题分析：设Q到1的距离为d,则|QF|=d,

■：FP=4FQ.

：.|PQ=3d,

直线PF的斜率为-20,

VF(2,0),

直线PF的方程为y=-2&(x-2),

与/=8x联立可得x=l,

.'.|QF|=d=l+2=3

考点：抛物线的简单性质

7.B.

【解析】

试题分析：由题意，可设过点尸(°，1)直线的斜率，需要分类讨论直线的斜率是否存在进行讨论，

故选B.

考点：1直线与抛物线的交点问题；2.分类讨论.

8.A

【解析】

试题分析：由题意，设尸在抛物线准线的投影为尸，抛物线的焦点为尸，则根据抛物线的定义

可知点P到该抛物线的准线的距离为|即'|=|所|,则点P到点、(0J)的距离与点尸到该抛物线准线的距离

之和d=|尸F|+1以怛\AF\=J(h2+22=浮，故选A.

考点：抛物线的定义及其简单的几何性质.

【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质，其中解答中涉及到抛物线的标准

方程、抛物线的焦点坐标和准线方程，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，

本题的解答中熟练掌握抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离

四解答的关键.

9.A

【解析】

试题分析：设P(t,m)由抛物线的定义可得f+2=5,故f=3,m=±276,又尸(2,0),Fz(-2,0),

故PF'=725+24=7,又|PF|=5,则2尸'-PF=7—5=2,即2a=2=>a=1,因为

c=2,所以该双曲线的离心率e=2,故应选A.

考点：双曲线抛物线的几何性质及运用.

【易错点晴】本题考查的是双曲线与抛物线的几何性质等有关知识和数学思想的综合问题,解答时

先依据抛物线的定义求得交点P的纵横坐标分别为f=3,加=±276,进而求得

PF'=J25+24=7,再借助|PF|=5,运用双曲线的定义可得PF'—PF=7-5=2,求得

2a=2na=1,从而求得该双曲线的离心率e=2,进而获得答案.

1

10.-

2

【解析】

试题分析：设耳到的垂足为。，因为/6。4=/5。4=90°,乙4为公共角，所以

\ADF.□\AOB，所以殁=型，所以"一^=3=电,因为，2=“2一。2,所以

ABOBJ/+.777

万

(a-c)=_j_化简得到5a2-14数+8c2=0,解得a=2c或a=±c(舍去)，所以

2a2-c275

C1

£=—=一.

a2

考点：椭圆的几何性质.

【方法点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程、三角形相似与

相似比的应用，以及椭圆中〃=。2一。2等知识点的综合考查，本题的解答中利用左焦点可到A5

的距离建立等式是解得的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能

力，属于中档试题.

第四章直线与圆锥曲线的位置关系

1.A

【解析】

试题分析：设P（AM）,。（吃22），则根据中点坐标公式有为="也，%=»孕，

将尸（5M）,12（孙当）代入曲线方程得［［工7：=：，两式作差得点（五2-翦+（为2-*）=0,

整理得3（吨+%）（吨一吨）+（为+必）（为一必）=0，即虎・2演•（◎一再）=一2¥01%一必），所以

比=一点-三3,即七L—0.

考点：点差法.

2.x+2y—8=0.

【解析】

试题分析：由题意得，设直线的方程，与椭圆联立方程，用韦达定理即可求解.

考点：椭圆中平分弦的问题.

3.2\/3—3

【解析】

试题分析：记右焦点尸'」阴|=4|0F|2一|叩”=bnP〃=|PF|-17F|=1|A/F|七,|P。|=1|巴管

^PO\-\PT\=b--（\MF\-\MF'\）=b-a=2^-3.

2

考点：1、直线与圆；2、直线与抛物线.

【方法点晴】本题考查直线与圆和直线与抛物线，涉及数形结合思想、方程思想和转化思想，考查

逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于较难题型.利用数形结合

思想可得

ITF|=JOFI2-1OT|2=6=|PT|=|PF\-\TF\=^\MF\-b,\PO\=^\PF'\

=|PO\-\PT\=b-

^>\PO\-\PT\=b--(\MF\-\MF'\)=b-a=2y/3-3.

2

f।2_]

4.(1)2-V(2)S24加

【解析】

试题分析：(1)求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法，根据题意可列两个独立条件

cV213,

e————-----j-------].—

a2,及2/4/?2,解得。=)2,c=b=l(2)因为WMN,所以

S=-\MN\\PQ\......

2，先根据抛物线定义可求焦点弦长再根据直线与椭圆联立方程组，结

合韦达定理求弦长最后根据•元函数解析式求值域

cV2

e222

试题解析：(1)由题意得：a2,a-b=c,得b=c,a=y/ic,则方程

二+Li

2c2+7」

A淳』

因为椭圆过点22,解得c=1，所以。=亚,

所以椭圆C方程为：2'

(2)当直线MN斜率不存在时，直线尸。的斜率为o,易得|MN|=4.|PQ|=2j5,

S=4及

当直线MN斜率存在时，设有线方程为：>二灯％—1)(%*°)」：/=4%联立得

k2x2-(2k2+4)x+k2=0

令"(不，了］),'(%2，>2),则“+*女？+2,

|MN|=Jl+公/(5+2)2-4=5+4

因为所以直线尸。的方程为；）一浮“

将直线与椭圆联立得：第2+2）》2_4》+2_2二=0,

4_2-2k2

令2（七,必），。（匕，%）,/+匕=2+△,X'X1~2+k2

I咫=、MJ（—O-4x曰=也/

由弦长公式*kN2+k2+k2+k

S4|MN||PQ|=g?（1+））2.

所以四边形尸3'的面积2产（2+嫡，令/=1+%2q＞］）

d1r客=4即为基

所以综上，SN4五.

考点；宜线与椭圆位置关系

（方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法

涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利

用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。

涉及中点弦问题往往利用点差法.

历

5.（1）tnG（0,4）；（2）攵£（-----1）.

【解析】

2

x2y12/n+2八2机+2八/八八

试题分析：（1）化简得2〃z+2+2m+2=ln------>0,------<0=小£（0,4）；

mm-4

mm-4

x2-y2=3

（2）m=2=＞双曲线方程为-V=3,由联立方程：’

y=kx+2

二（1一42）/_4丘_7=0

4k八

%+々=]_%2>0

-7y/2\

x,1x->=,2>0—,-l）.

-\-k3

1-公HO

△=16公一4x（1—女2）x（-7）=288—12/>（）

试题解析：⑴双曲线方程为熹+熹=1,

mm—4

.2m+2_,八小、2m+2_，.八

..-------->0—超e(-oo-1)u(0+GO)>---------me(-L4),

m::m—4

.'.m&(0,4).

(2)根=2时，双曲线方程为x之一,2=3,

x2-y2=3coo

联立方程：，,，得：(1-8)/-4丘一7=0.

y=kx+2

•••交于右支两点，故得到以下不等式：

4k八

%+"匚淳〉。

rr__73ft,/V21八

«中2一]_左2〉unkw(——,-1)

1-F^0

△=16&2-4x(i2)x(-7)=288-12%2>0

考点：1、双曲线的方程；2、直线与双曲线.

2

6.(I)点P的轨迹是以4、B为两焦点，长半轴为3的椭圆，方程为工+y2=l；(II)

9

675

【解析】

试题分析：(1)根据题意设动圆P的半径为r,则|PA|=r,又动圆P内切「定圆

B:(x-2y/2)2+y2=36,所以有|产却=6-厂，所以|PB|+r=6,即|P8|+|PA|=6,又

AB=472＜6,所以尸点轨迹是以A,8为焦点，长轴长为6的椭圆，2a=6,2c=40,

2

2X2i

所以〃=。2一。2=1,所以轨迹方程为§X+/o=1；（II）联立J—9+V=1，消去未知数y

y=x+m

得：10犬+183+9机2-9=0，A=（18/7z）2-410（9m2-9）＞0,解得“2＜1（）,所以

,设直线与椭圆交于A（X[，x）,B（X2，%）两点，%+々=—掾，

9加~—9..

x.x2=---------，则弦长

2299

\AB\=y/\+k|x,-x21=V2•^（-^）-4-^O~=V2-，所以有

/（加）=,当〃2=0时，〃机）取得最大值

试题解析：（I）设动圆圆心P（XJ）,动圆尸半径为1B（2^2,0）,

则网=6/且附则口|+附|=6,2分

即动圆圆心尸到两定点/（-R±0）和夕（20：0）的距离之和恰好等于定圆半径6,

又|/5|=去回，二.幺|+|?同＞|/5|,

所以点P的轨迹是以A、B为两焦点，长半轴为3的椭圆.4分

则b==收―（2&）=1＞故求点的轨迹方程为：3+/=1.6分

（II）联立方程组/+9）'=9,消去丁，整理得10/+18蛆+94-9=05分

[y=x^-rn

设交点坐标为（X],yj,（x2，%），

则△=（18，”）2-40X9（＞-1）＞0,解得疝＜10,解得-痴＜加＜加6分

9m

无।+毛=一"~

且72,7分

x.x,=-------

1-10

故/(m)=,(1+/)[(修|+彳2)_4/々]=J—36(]I=¥y/10-m210

分

当机=0时，弦长取得最大值为竿.12分

考点：L轨迹方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.弦长公式.

7.(I)—+y2=1；(II)y=±x+2.

【解析】

试题分析：(I)|PM|+冲|=|H/|+|P叫=4,由椭圆定义可得点P的轨迹方程为[+V=1;(II)设直

V-_

线Ly=Ax+2,<7(玉，％),£>(三，％),联立方程<"+)'=1=(1+4/)，+16依+12=0,则

J=AX4-2

%+三=一-1%,%三=—12占,由万灵力，得x,=也，解得K=l,上=±1(满足版>?).

试题解析：(I)设P(x,y)为所求曲线上任意一点，并且。尸与。M相切于点8,

则\PM\+\PN\=\PM\+\PB\=4.

■>

所以点P的轨迹方程为—+/=1:

4

(II)经检验，当直线/_Lx轴时，题目条件不成立，所以直线/存在斜率，设直线

/:y=Ax+2.设。(玉，yJ,0(乙，必)，则

■T+-V=1=(1+4/)/+16米+12=0,

y=kx-\-2

3

A=(16%)2-4(1+4/).12>0,得A?>—.

4

16k小白…②，

再+无2=-]+4公••・・••①，不々=

—3—3

乂由AC=gA£),得王二1工2，

4

将它代入①，②得％2=1,%=±1（满足22>-），

所以直线/的斜率为k=±1,所以直线/的方程为y=+x+2.

考点：直线与圆锥曲线的位置关系.

【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是

•次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化

为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点

问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用.

8.（1）斜率为百或一JJ；（2）四边形OACB的面积最小值为4.

【解析】

试题分析：（1）设直线455=可+1,将直线期与抛物线联立消去x,设出、为），5（々,必），利用

__________1

韦达定理和4F=3必，可求直线45的斜率；（2）由题意53=25树3=2.3］。尸恒一闯=卜】一通|，

2

根据（1）及韦达定理可得SOJCB=716m+16,易得四边形0.4CB面积的最小值.

试题解析：（1）依题意可设直线AB:x=my+\,

将直线AB勺抛物线联立《，=>y2-4my-4=0

»=4%

设A（%,y）,B（x2,y2）

由韦达定理得《力y+2

>1^2=-4

AF=3FBnx=—3%，

=>m2=—,斜率为V3或一也.

3

2

⑵SOACB=2SfOB=2・；|0F||y_=|x_%|="（X+%）2-4yj2=V16/H+16>4

当加=0时、四边形OACB的面积最小，最小值为4.

考点：直线与抛物线的位置关系

9.(1)—+^-=1；(2)证明见解析.

43

【解析】

试题分析：(1)设P(x,y),A®,0),B(0,yB),则AP=(x-xA,y),AP=(x-xA,y),根据

—£—732

AP=—PB得乙=x+丁x,%=y+F＞，由|而|=2+百，即可求解点P的轨迹£的

2

方程；(2)设KM:y=A(x+2)与联立，得

(3+4F)/+16犬》+16F-12=(),然后由根与系数的关系能够导出直线例N的方程，令)，=()

得直线必过x轴上的定点.

2v2

试题解析：(1)可求E:一%+L=l

43

（2）设川二？=网尤+2）（上=0）与37+4>2—12=0联立

得（3+止祝、16档c+16必72=0

16〃16炉r6-8/t2

设凶（孙必），贝I」币+冯=一门-------2+2=-------T

3+4上3+4左23+4左2

」小12k.”,6-8〃12k、

y,=k(x+2)=------..M(--------.--------)

13+4/tT13+4/T一3+4后T

设KN-y=一匕尤+2)(上工0),

k

同理可得：可（票三，一者二）

3A:+43k+4

止__7k南工1）

12/t7k,6—8/、

则MV二y

3+4/4<A?-1)3+4/

nir7

化简可得尸一环s+5）

72

即MN过定点（一二刀），另MN斜率不存在时，也过（一二.。）

77

2

二直线瓜N必过定点（一二,0）

7

考点：直线与圆锥曲线的综合问题：平面向量数量积的运算；直线过定点问题.

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量数量积的运算、直线过定点问

题，其中解答中涉及到轨迹方程的求解、把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的的关

系，转化为韦达定理的应用是解答此类问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,

试题有-定的难度，属于中档试题，同时注意题目隐含条件的挖掘.

10.(1)42(2)详见解析

【解析】

试题分析：(D确定椭圆标准方程，只需两个独立的条件，一个是点在椭圆上，另一个是离心率等

6r=4—ke__1

于2，联立方程组解得3=2(2)由椭圆性质知2,所以本题实质等价证明2,

这可由AOMN的面积等于2推导:先根据点到直线距离得三角形的高，再根据两点间距离公式得底边长,

_1_V2

从而可得2IA，W>VA，V3WI2,最后根据了，/+2%/=1，xJ+2〉J=［进行等量代换得

%”XN+2%yM=0,即"加4M=一万

c72

e=­=——

a2

/=/+/

a2=4

，解得［"2=2

试题解析：解：(1)由题意得

故椭圆C的方程为42

【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多

少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同

证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必

定参数统消，定点、定值显现.

第五章空间向量及其应用

1.A

【解析】d=xa+yb+zc=x(e,+e2+e3)++e2-+-e2+e3)

=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3=e1+2e2+3e3,

x+y+z=1,

51

由空间向量基本定理，得,x+y-z=2,，工=5,y=-l,z=~—.

x-y+z=3,

考点：空间向量基本定理.

2.D

【解析】

试题分析：由题意得，对于A中，向量1=(L2「2),b=(-2:-4:4)，满足1=一4，所以共线；对于B

中，向量乙=(L0,0)，3=(-3,0,0),满足工=-32,所以向量共线；对于C中，向量苕=(2,3,0),

7=(o,o,o),满足]=ox,，所以向量共线，故选D.

考点：共线向量的判定.

3.详见解析

【解析】；P4=A£>=AB,且PA，平面ABC。，AOJ.A3,.♦.以D4,08,DP所在直线

为x轴，y轴，z轴建立空间内角坐标系A-盯z,如图所示.设1X4=0],AB=e2,

AP=%.

•：MN=MA+AP+PN=MA+AP+-PC=MA+^P+-PA+AD+DC

22

=1e+e+1,ee\1e+1e>

-2232H3-|+2)=-2i23

DC-AB=e,=(0,1,0).

考点：空间向量的坐标表示.

V2+1

4.(1)证明略(2)-----

3

【解析】

试题解析：(I)证明：由已知得，空=毁=J5,.-.RtABAD^RtAABB,

ADAB

：.ZBDA=ZB,ABrZABD+ZBlAB=ZABD+ZBDA=90°

...在AAOB中，ZA0B=180°-(ZABO+ZOAB)=90°,HPBD±AB,

另BCJ_AB”BDDBC=B.；.AB」平面BCD,CDU平面BCD,

/.CD1AB,

在RtAAOB中，得B0二如，.•.8。2+。。2=8。2即8。_LC。r.CO_L平面AOB-8

3

分

建立如图坐标系，设BC与平面ACD所成的角为6

,0,0),B(0,--,0),C((),0,—),£)(0,—,0),设平面ADC的法向量为n.解得

333

n=(l,l,l).

n-BC_V2+1•\/2+l

BC=0,—,—,..sin0—丽r即BC与平面ACD所成角的正弦值为

\3373

考点：线线垂直的证明，利用空间向量求线面角.

5.(1)证明见解析；(2)

6

【解析】

试题分析：(I)借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；(2)借助题设运用空间向量的数量

积公式求解.

试题解析：

(1)为血)的中点，PA=PD=AD=2,BC=\,

J.PQA.AD,QL2BC,.•.四边形35。是平行四边形，.•.DC//J33,

。.•底面如CD为直角梯形，ADHBC,ZADC=90\：.BQ±AD.

又/.4DJ•平面p@.平面尸.•.平面尸@_L平面尸dD...............6分

(2)VPQLAD,平面PA。，底面ABC。，平面PAOCl底面ABC。=AO,

PQ_L底面ABC。，

以。为原点，QA为x轴，。5为y轴，QP为轴z,建立空间直角坐标系，

则。((),0,。)，B((),V3,o),C(-l,V3,0),P(0,0,百)，

——3—

设M(Q,4c),则PM=—PC,

4

即3端一技=2,6,一两=(一%

3百V3.•・”2,更乌,

b-----，c=—，

444444

西二(-：哈当),2F=(0,V3,0),

“◎7=_，+逋),+无z=。

设平面MQ8的法向量了=(x,y,z),则444

=Gy=0

取x=l,得＞=(1,0,6),平面BQC的法向量元=(0,0,1).

设二面角M-BQ-C的平面角为夕则cos0=/㈤=—,

\th^n\2

7C

0—

~6

71

，：面角M-8Q—C的大小为X••12分

考点：空间线面的位置关系及向量的数量积公式等有关知识的综合运用.

6.（1）证明见解析；（2）证明见解析：（3）60'.

【解析】

试题分析：（1）由OE//8C,可证；（2）由POJ.48.OEJ.A8,得A8J_平面

PDE,：.AB±PE;（3）以。为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量

^=（3,2,73）,又平面PAB的法向量为%=（（）,1,0）,设二面角的A—PB—E大小为6,则

一一]

cos0-cos<〃],〃）>=—,所以。=60°.

-2

试题解析：（1）・・・。、E分别为A3、AC中点，

・・.DE//BC.

・・