专题18 解答中档题型：圆的证明与计算（解析版）2024年福建中考数学真题模拟题

专题18解答中档题型：圆的证明与计算

一、解答题

I.（2022・福建・统考中考真题）如图，内接于。。，AD〃BC交。O于点。，DFAB交BC于点E,

（1）求证：AC=AF；

⑵若。。的半径为3,ZC4F=30°,求AC的长（结果保留兀）.

【答案】（I）证明见解析；

（2）y

【分析】（1）根据已知条件可证明四边形A8£O是平行四边形，由平行四边形的性质可得4=ND,等量

代换可得NA尸C=NAB,即可得出答案；

（2）连接AO,CO,由（1）中结论可计算出N4PC的度数，根据圆周角定理可计算出NAOC的度数，再

根据弧长计算公式计算即可得出答案.

【详解】（1）证明：VAD//BC,DFAB,

:.四边形A8ED为平行四边形，

VZAFC=ZB,ZACF=/D,

・•・ZAFC=ZACF,

JAC=AF.

（2）解：连接AO,CO,如图,

第1页共57页

由（1）得NAFC=NAb,

'：AAFC=18。；3。°=75°,

乙

・•・ZAOC=2ZAFC=150°,

・・・AC的长萨=浮

1ovL

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考

查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养.

2.（2023•福建莆田•统考二模）如图，A3C内接于（O,AO的延长线交O于点。，交8c干点E,过点

。作。尸〃8C交：:Q于点尸，连接CT,CD.

（1）若CF〃AD,求证：AC=CE；

（2）求证：点。到的距离等于产的长.

【答案】（1）见详解

（2）见详解

【分析】（1）根据平行四边形的定义可判定四边形。尸。七是平行四边形，由平行线的性质可得4DC=NDCT\

根据“同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等''可得AC=。川，进•步可得因此可得AC=CE.

（2）过。点作0HJLA8于”，连接根据垂径定理可得AH="3,再由AO=OD可得OH是△A3。的

中位线，根据中位线的性质可得OH=；BO.根据平行线的性质可得4CO=Na>F,则曲=?尸，从而

得到比>=6,因此可得o”=gc/.

【详解】（1）•/DF//BC,CF//AD,

，四边形。尸CE是平行四边形，

;.DF=CE,

•"F〃AD,

:.ZADC=Z.DCF.

第2页共57页

...AC=DF'

AC—DF,

AC=CE.

如图，过。点作O”_L48于”，连接8。,

OHLAB,

:.AH=HB,

又。AO=OD,

.•・。，是△ABQ的中位线，

:.OH=-BD,

2

DF//BC,

；"BCD=/CDF,

：.BD=CF，

:.BD=CF,

OH=-CF,

点0到AB的距离等于gc尸的长.

【点睛】小题主要考查了平行四边形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理的推论，三角形中位线定理，

熟练掌握以上知识并且能正确的径出辅助线是解题的关键.

3.（2023•福建福州•统考二模）如氨，A4是半圆。的直径，AC=8C，。是BC上一点，CD=^AB,E是

AC的中点，连接OC,OD,DE.

第3页共57页

c

⑴求NC8的大小；

(2)求证：DE//AB.

【答案】(1)60。

(2)见解析

【分析】(1)由CD=OC=OD,得到。8是等边三角形，因此NCOD=60。；

(2)延长。。交4B延长线:P,由等边三角形的性质，推出NP=NZ)O3,得到。。=如，而8=0。,

因此C£>=P£),即可证明。E是，C4尸的中位线，因此OE〃人从

【详解】(1)VCD=^AB

/.CD=OC=OD

•••々OS是等边三角形

，/COD=60。

(2)延长C。交A8延长线于P

是等边三角形

/.AOCP=ZCOD=60。

AC=BC

・•・ZAOC=^BOC

•・•ZAOC+Z£?OC=180°

・•.ZAOC=ZBOC=90°

・•・ZP=90°-ZOCP=30°,NDOB=/COB-/COD=30°

/./P=NDOB

：・OD=PD

•・•DC=DO

第4页共57页

，CD=PD

•：CE=AE

:.DE是一C4尸的中位线

・•・DE//AB

【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是延长C。交A3延长线于P,构造三角形的

中位线.

4.（2023•福建福州•福建省福州第|•九中学校考模拟预测）如图，以AB为直径的。。与AABC的边BC相

切于点B,且与AC边交于点。，点E为8C中点，连接。E、BD.

4

（2）若。E=5,cosZABD=-,求OE的长.

【答案】（1）见解析

（2）?

【分析】（1）连接O。，可推出NBOC=90。，进而得出。然后证明△OOEgZSNOE,求出NO。石

=N48C=90。即可得出结论：

（2）可推出NC=NA3O,解直角AAAC求得AC,进而根据三角形中位线定理求得。£.

【详解】（1）证明：如图，连接0。，

第5页共57页

•・》B为。。的直径，8C为。。的切线,

AZBDC=Z4D«=90o,/ABC=90。，

是8c的中点,

工DE=BE=EC=LRC,

2

0D=OB

在AZ5OE和△8OE中，）DE-BE,

OE=OE

:.'DOE匕XBOE（SSS）,

"ODE=NABC=90。，

IODIDE,

・・・OE是。。的切线；

（2）解:VZ/4DC=90°,

/.ZABD+ZCBD=90°,

由（1）知：NBDC=90°,BC=2DE,

/.ZC+ZDBC=90°,BC=2DE=\0,

，NC=NA8。，

BCJO

在处△A4C中，AC=cosC-4=—,

52

•・・04=0B,BE=CE,

25

.・.O"E=—।A"C=——.

24

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角

三角形，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是灵活运用有关基础知识.

5.（2023•福建三明・统考二模）如图，A8是（。的直径，C是上一点，OD工BC于点D,过点C作。的

切线，交0力的延长线于点E,连接AD.

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⑴求证：BE是、。的切线；

2

（2）若。8=9,s\nZABC=-,求AO的长.

【答案】（I）见解析

⑵3万

【分析】（1）作辅助线，连接。C，先根据切线的性质得，ZOCE=90°,再证明.QCEWQBEISSS）,再根

据切线的判定定理即可得出结论；

（2）连接4C,先根据三角函数求出AC、C。的长，再在在RIZ\AC£＞中，根据勾股定理即可.

【详解】（1）证明：连接OC,

产C,E

••・过点C作。。的切线，

ZOCE=90°,

*/0D±8c于点D,OC=OB,

:.0E垂直平分3C,

:,CE=BE,

•；OE=OE,

：._OCEM_OBE（SSS）,

工ZOCE=NOBE=900,

♦：OB为O半径，

・・•BE是0。的切线;

（2）解：连接AC,

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VAB=2OB=18,

AC9

sinZ4«C=—=-,

AB3

•*,AC=12,BC=AB2—AC2=6>/5»

：.CD=-BC=3y/5,

2

在Rl£u4C£>中，AD7AC?+CD。-J(3舟+122一3后.

【点睛】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握视线的判定定

理.

6.(2023•福建•模拟预测)如图，在正方形A8CQ中，以A为圆心，作半径为4的圆心角是9(?的弧，且这

条弧恰好经过仄。两点.80的一条切线与C。、8。分别交于M、N.求图中阴影部分面积的最小值.

【答案】图中阴影部分面积的最小值为32忘-44-32.

【分析】设DM=EM=a,BN=EN=b,则CM=4-a,CN=4-b,求得当。+〃取最小值,SCMNYj最

大值，则图中阴影部分面积有最小值，当MNJ.AC时，有最小值，据此求解即小

【详解】解：设MN与80的切点为E,连接AM,AE,AN,

AAD=AE=AB,ZADM=ZAEM=ZAEN=/ABN=90°,

,RtAAB^RtAAEN,

:♦DM=EM,BN=EN,

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设DM=EM=a,BN=EN=b,则CM=4—a,CN=4—〃，

*：MC'NC?=MN：

/.(4-tz)2+(4-Z?)2=(a+〃/，

整理得他=16-4(a+〃)，

S&CMN=J(4-a)(4一〃)=16一4(a+Z?),

当取最小值，Sc.®有最大值，则图中阴影部分面积有最小值.

连接AC,当MN_L4c时，MN有最小值，此时，切点为R

Q:

DMC

则△c”M、2\aw都是等腰直角三角形，

在正方形A8C。中，4O=CO=4,则AC=4也，

・•・尸C=4及-4，

：•S«MN=48-32夜，

，图中阴影部分面积的最小值=甲-端£-卜8-32&）=3

2及-4万-32.

【点睛】本题考杳了切线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理,

推出当MV_LAC时，图中阴影部分面积有最小值是解题的关键.

7.（2023•福建泉州・福建省泉州第一中学校考模拟预测）如图1,已知NMPN的角平分线经过圆心。交

。于点E、F,PN是O的切线，B为切点.

NN

图1图2

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（I）求证：HW也是。的切线；

⑵如图2,在（1）的前提下，设切线PM与。的切点为A,连接A8交Q尸于点。；连接AO交。于点C,

连接BC,A/；记ZPFA为乙a.

①若8c=6,tan/a=g,求线段AO的长；

②小华探究图2之后发现：EF2=mODOP（〃?为正整数），请你猜想〃，的数值？并证明你的结论.

【答案】（1）详见解析

（2）04；②4

【分析】（1）过点。作04_LPM，垂足为A,连接08,根据切线的性质可得出08是：。的半径且OB1PN,

由P/平分NM尸N利用角平分线的性质可得出04=08,进而可证出PM也是：。的切线.

（2）①由PM、PN都是（O的切线可得出PA=PB,利用等腰三角形的三线合•可得出OP1AB.AD=BD,

由三角形中位线的性质可得出。0=3,设。的半径为「，则FD=r+3,AQ=g&+3）,在放..AOD中，

利用勾股定理可求出，•的值，将其代入其。=；（r+3）中即可求出A。的长度；②利用相似三角形的性质可得

出。42=OOQP,结合所=204可证出石尸=4OD・OP,即m=4.

【详解】（1）证明：在图1中，过点。作。4_LPM,垂足为A,连接。8.

图1

•:PN是。的切线，3为切点，

・・・。8是O的半径，且O4_LPN,

°：PF平%NMPN

:.OA=OB

:.PM也是。O的切线；

（2）①•・•PM、PN都是O的切线

/.PA=PB

*/ZAPD=^BPD

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A0P1AB.AD=BD,

•••。。为一ABC的中位线，

・•・0D=-BC=3

2

设的半径为，则FQ=r+3

VtanZa=—

2

'AD=i(r+3)

「-12

2

在R/.AO。中，。*=47)2+0。2即/=J&+3)+3

解得：r=5(负根舍去)

:.AD=1(r+3)=4

②猜想机=4.

证明：・・・NOAP=NQ"=90°、^AOP=ZDOA

/.^OAP乙ODA,

.OAODnn.

••——=-—»H|JOA'=OD*OP

OPOA

又；EF=2OA

:.EF2=4O/WP

/.nt=4

图2

【点睛】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的中位

线以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)利用等腰三角形的三线合•找出。4=08；(2)①在

用.50。中，利用勾股定理求出圆的半径：②利用相似三角形的性质证出。4?.

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8.12023•福建福州•校考模拟预测)如图，AB是OO的直径，点C是圆上一点,CDL4B,点七是圆外一点,

C4平分/ECO.求证：CE是。的切线.

【答案】见解析

【分析】利用切线的判定定理证明NOCE=90。即可得出结论.

【详解】证明：TC4平分NEC。，

・•・Z£G4=ZDC4.

'：CDLAB,

・•・/CAD+"64=90。，

；・ZECA4-ZC4D=90°.

,：OA=OC.

・•・^CAD=ZACO,

/.ZEC4+ZACO=90°,

即ZOCF=90°,

・•・OC工EC,

・・・CE是。。的半径，

・・・CE是。。的切线.

【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键.

9.(2023・福建厦门•厦门市第十一中学校考二模)如图，在44c的边上取一点O,以O为圆心，。。为

半径画C)O,。与边AC相切于点C,连接Q4,04平分NC43.

(1)求证：人8是。的切线;

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A

⑵若4A=10,tan/?=-,求。的半径.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）如图所示，过点。作于。，由切线的性质可得OCJ.AC,由角平分线的性质可得

OC=O/）,则点。在：。上，由此即可证明A8是O的切线；

（2）设，。的半径为4r,解求出4。=31，OB=5r,则4C=OC+O4=9〃，再解RtaABC求

出AC=12r,由勾股定理得，（9，『+（12r『=IO?,解得r=则0的半径为g.

JJ

【详解】（1）证明：如图所示，过点。作于。，

•・•O与边AC相切于点C,

，OC1AC,

又7。4平分NCAZ?,OD±ADt

：.OC=OD,即点。在（。上，

是。的切线；

A

(2)解：设。的半径为4八

在RtZ\OD4中，tan/?=-=-,

BD3

・•・BD=-OD=3r

4f

•，-OB=yjBD2+OD1=5r*

:.BC=OC+OB=9r,

AC4

在Rt&BC中，tan^=-^=-,

BC3

4

:.AC=-BC=12r

3t

在RtAABC')«,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,

/.(9r)2+(12r)2=102,

第13页共57页

9

解得r=,（负值舍去），

:.。。的半径为g.

【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助

线是解题的关键.

10.（2023・福建福州•福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，在"1BC中,AB=AC,BC为。。的直

径，。为0。上任意一点，连接交4c于点F,过A作E4_LAO交。4的延长线于E,连接CD

（2）填空：①当NK43=。时，四边形A8DC是正方形

②若四边形A8DC的面积为6,则A。的长为.

【答案】（1）见解析；（2）①45②2G.

【分析】（1）根据ASA证明△A8E/AAC。即可.

（2）①当NE48的度数为45。时，四边形48”?是正方形，证E月48=8。=右。=47即可解决问财

②证明SAAED=S阳边彬ABDC=6即口J解决问题.

【详解】解：（I）证明：「.BC为OO直径，

/.Zft4C=ZE4£）=90o.

NEAB=ZDAC=90°-/BAD,

•••四边形片3。。为（。的内接四边形，

/.ZABE=ZACD,

在.ABE和,AC。中，

ZEAB=ZDAC,

AB=AC,

ZABE=ZACD,

ABE=^.ACD,

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:.BE=CD

(2)①当NE48=45。时，四边形A8DC是正方形.

理由：•・・NC4D=NB4£>=45°,

：・BD=CD，

：.BD=CD,

••.△ASG△SCO都是等腰直角三角形，

•:BC=BC,

:.'ABC/lXDBC(ASA),

：,AB=AC=BD=CD,

・•・四边形A8DC是菱形，

N84C=90。，

・•・四边形人BDC是正方形.

又NC4Q+NBAD=NEAB+NBAD=90。

：・NEAB=NCAD

工当/E48=45。时，四边形A8DC是正方形.

故答案为：45.

②•・•△EAB/ZXQAC,

：,AE=ADfSAABE=SAADC,

SaAED=S因边账ABDC=6,

:.1・4。2=6,

*'•AD=25/3♦

故答案为2>/L

【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是正

确寻找全等三角形解决问题.

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11.（2023•福建福州•校考一模）如图，在Rt.ABC中，ZBAC=90°,以点A为圆心，AC长为半径作圆,

交BC于点、D,交AA于点E,连接OE.

⑴若ZAAC=20",求NOE4的度数；

⑵在（1）的基础上，若AC=3,求S圆形

【答案】（1）65。

⑵石

【分析】（1）连接AD,求出一DA石，再利用等腰二角形的性质解决问题即可;

（2）在（1）的基础上，利用扇形面积公式，可求解.

【详解】（1）解：如图，连接A。，

在Rt.ABC中，NBAC=90。，Z4fiC=20°,

ZC=90°-ZABC=70°

：.AC=AD=AE

:.NC=ZADC=70。、ZDEA=ZADE

ADAC=180°-2ZC=40°

c.ADAE=90°-ADAC=50°

.•JEAJ8。。-皿£=65。

由（1）可知

NOW=40。

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S而形翡X4X32

=71

【点睛】本题考查了与圆的基本性质、三角形内角和定理、等腰三角形性质、扇形面积公式；解题的关键

是熟练掌握与I员I有关的角的计算和扇形面积公式.

12.（2023・福建厦门•福建省厦门第六中学校考一模）如图，在RlZSABC中，ZACB=90°,AB=2/，BC=4,

以。为圆心，半径为2作。C,点P在直线A8上，过点P作OC的切线PQ,Q为切点，求切线长。。的最

小值.

【分析】如图所示，过点。作8，m于。，连接CQ,利用勾股定理求出AC=6,进而利用面积法求出

CQ=M1,再根据切线的性质和勾股定理推出当CP_LA5时，PC最小，即此时P。最小，由此求解即可.

13

【详解】解：如图所示，过点。作CD_LA8于。，连接CQ,

在RtZ^ABC中，由勾股定理得=6,

=-ACBC=-ABCD,

!\BC22

ACBC125/13

/.CD=

AB13

・・・PQ是。C的切线,

・•・ZPgC=90°,

在Rt.PQC中，由勾股定理得P。2=PC?—CQ-PU—4

；・要使FQ最小,则要使FC最小,

•・•点P在直线AB上,

・•・当"_LA8时，PC最小，即此时PQ最小,

,,。，＞小域=CD=]3'

.i.144492

1313

第17页共57页

小=噌

【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，正确推出当。_LA5时，PC最小，即此时PQ最小是解

题的关键.

13.(2023・福建厦门•福建省厦门第六中学校考一模)在RtZ^AB。中，ZACB=90°,AC=BC,以8c为直

径作：O,O交AB于点、D,点P是CO上的一个点.

(1)如图1,若点〃是。力的中点，PE1AB,垂足为£求证：直线庄是。。的切线;

(2)如图2,连接AP,若lan/AC尸=；,求/APC的度数.

【答案】(1)证明见解析

(2)135°

【分析】(1)如图所示，连接OHCD,由直径所对的圆周角是直角得到/。。5=90°,进而证明在〃C。，

再由点夕是C。的中点，得到OP_LCO,则OP_LPE,即可证明直线PE是,Q的切线；

(2)如图所示，过点A作人产J_CP交CP延长线于E连接4P，证明△A/g/XC依，得到CP=AU,再

解RtZXAPC,得到Apr=Q〃=C/，则ZA/下=45。，即可得到4PC=135°.

【详解】(1)证明：如图所示，连接OP,CD,

・・・BC是Q的直径，

・•・ZCDB=90°,

•・•PE1AB,

：.PE//CD,

•・•点P是CD的中点,

第18页共57页

：.OP1CD,

：.OP上PE,

(2)解：如图所示，过点A作A"J_”交CP延长线于忆连接游,

•••BC是的直径，

，ZCPB=90°,

，ZCPB=ZAFC,

,/乙AC。-90。，

/.ZE4C+ZFCA=90°=ZFCA+ZPCB,

/.£FAC=NPCB,

XVAC=CB,

・•・AAFC^ACP^(AAS),

:・CP=AF,

ATI

在RtZVlPC中，tanZACF=——=-,

CF2

CF=2AF,

：.AF=PF=CP,

/."PF=45°,

【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理的推理，解直角三角形，等腰直角三角形的

性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键.

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14.(2023•福建漳州•统考一模)如图，AB为的直径，点C在B4延长线上，点。在。上，连接CZ),

AD,ZADC=NB,_LAQ于点E,交C。于点尸.

D

⑴求证：8是。的切线；

⑵若SNOF-SMBD=9:16,求sinC的值.

【答案】(1)见解析

(2)sinC=g

【分析】(1)连接。。，由人8是直径，可得NAOB=90。即Z/SO+N8DO=90°,再由O8=OZ),可得

/BDO=/B,最后根据NAZ)C=/8,即可证明结论；

(2)由O"_LA。，ZADB=90。，可证OF//BD即Z.COF=NB,从而证明..COF^CBD,可得应皿=|—

S^CBDIC,

再由=9:16,可求CB=4O8,再利用05=。。，可得CO=3O£),即可求解.

【详解】(1)证明：连接。。，

丁A3是直径，

工ZAD5=90°,

/.Z/lZX>+ZBZX>=90°,

'：OB=OD,

・•・1BDO=/B,

*/乙4QC=N8,

AAADO+ZADC=90°,即NODC=90。，

・・・CD是O的切线.

第20页共57页

・•・ZAEO=90°,

•IZAD8=90。,

/.OF//BD,

・•・KOF=/B,

'：zc=zc,

・•・“COFsCBD,

.s^COFJco^

SMBDIC8广

,S&8F•S^CBD=9:16,

.CO3

,•而一"

•噌=；,即C8=4O8,

•：OB=OD,

：・C0=30D,

，在RtaCDO中，sinC=^^=-.

OC3

【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质和判定、相似三角形的判定和性质及解直角

三角形，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

15.（2023・福建泉州•统考二模）如图，C。是/8C的外接圆，AB=AC,直径BD交AC于点E.

⑴求证：N6£C=3NA6£＞；

⑵若/8EC=45。，BC=3,求CD的长.

【答案】（1）见解析

（2）2万

【分析】（1）连接AO,CO,易证，。4段.。AC（SSS）,即得出NOA3=NQ4C,再根据等边对等角即可证

/OAB=NOBC=ZOAC,最后根据三角形外角的性质即可解答：

第21页共57页

（2）结合（1）可求出N班C=3（r,再根据圆周角定理可求出NRX?=244C=60。，即易证.89C为等边三

角形，得出08=OC=BC=3,ZCOD=180°-ZBOC=120°,最后根据弧长公式求解即可.

【详解】（I）解：如图，连接AQCO.

VAB=AC,OA=OA,OB=OC,

・•・OA哈3C(SSS),

・•・ZOAB=ZOAC.

*：OA=OB,

・•・4)AB=4OBA,

/.NOAB=/OBA=ZOAC.

*//BEC=ZABE+NBAC,ABAC=N84O+NC4O.

/.2BEC=3ZABD；

(2)解：VZBEC=45°,ZBEC=3ZABD,

・•・Z.OAB=AOBA=ZOAC=15°,

・•・/班C=30。，

/LBOC=2^BAC=(/r.

BO=CO,

••・4OC为等边三角形,

:.OB=OC=BC=3,ZCOD=1800-ZBOC=120°,

....M120乃x3

.。的长为=2乃.

【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，等边

三角形的判定和性质，弧长公式.熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键.

16.（2023・福建福州•福建省福州第十九中学校考二模）已知：在。中，AB为直径,P为射线AB上一点,

过点P作OO的切线，切点为点C,。为弧AC上一点，连接以）、BC、DC.

第22页共57页

图1图2

（1）如图1,若NO=28。，求/P的度数；

（2）如图2,若四边形CQ4P为平行四边形，BC=5,求CP的长.

【答案】（1）34。

（2）55/3

【分析】（1）由PC为：。的切线可得NOCP=90。，由/。=28。可得/。0。=2/0=56。，最后可求出/尸

的度数；

（2）利用平行四边形的性质，三角形内角和定理，结合（1）的结论，证明△08C是等边三角形，即可求

出PC的长.

【详解】（1）证明：如图1,连接0C,

图1

•・•PC为。。的切线，

・•・/OC尸=90。，

*/ZD=28°,

/.ZPOC=2ZD=56°,

・•・ZP=90°-ZPOC=90o-56o=34°；

(2)如图2,连接AC,

图2

第23页共57页

•・•四边形CD8P为平行四边形,

，ZD=NC?8,

阴为直径，

・•・ZACB=90°,

・••乙4CB=NOCP=90。，ZD=Z4=ZCPB,

:.CD=AA=4CPB=4PCB,

在△4CP中，ZA+ZACI3+ZI3CP+ZCPB=180°,

JZ4+ABCP+Z.CPB=90°，

：.ZA=/CPB=NPCB=30°，

，ZOBC=60°,

•：OB=OC,

・•・△OOC是等边二角形，

：・OB=BC=5,

在Rt.OCP中，ZP=30°,

.・.CP=®)B=5也

【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题

的关键是正确作出辅助线.

17.(2023・福建厦门・统考模拟预测)如图，四边形A8c。为菱形，对角线AC和8。交于点G,。是..ACD

的外接圆，60与BD交于点、F,连接4尸.

(1)若N48C=50。，的半径为3,求4c的长；

(2)当8E=2FG时，探究。。与8c的位置关系，并说明理由.

【答案】(1)/记二:兀

AC3

(2)10与8C相切，见解析

【分析】(1)连接OA，OC,根据菱形的性质得出NAOC=N$C=50。，根据圆周角定理得出

第24页共57页

Z40C=2ZADC=100°,进而根据弧长公式即可求解;

（2）根据菱形的性质证明。尸是。的直径，解法-：连接C/，0C,设FG=1,AC是尸。的垂直平分

线，证明一CO尸是等边三角形，得MNFBC=NFCB=30。,则NOC8=90°,即可得证；解法二：连接C/7,

OC,证明4FGCS4?G8,得出CG=&FG,贝hanNCPG=£^=G,得出二CO户是等边三角形，进而

FG

同解法一，即可得证.

【详解】3）解：连接。4,OC-

.菱形AUC"ZABC-500,

:.ZADC=AABC=5^

4c=AC，

.•.Z40C=2ZADC=100°

.100万x35

/=---------=-7T

AC1803

（2）解：在菱形ABC。中

/.ZADB=ZBDC,ACJ.BD.

CF=CF，

:.ZCAF=ZCDF,

:.ZCAF=ZADF.

•.AC1BD,

/.ZADF+Z1DAG=90°,

:.ZCAF+ZDAG=90°,

/.ZZMF=90°,

:.DF是Q。的直径.

第25页共57页

解法一：

连接0C,设％=

BF=2FG,

1.BF=Z,

.在菱形A8CD中，

1-BG=DG=3/,

FD=t+3t=4t,

"OD=2t,

.OG=t,

.OG=FG.

AC1OF,

.4C是尸O的垂直平分线，

•CF=OC,

OC=OF,

•.COF是等边三角形，

•CF=OF,NOFC=60。.

CF=OF,

.OC=BF,

第26页共57页

/.ZFBC=ZFCB=30°,

/.ZOCB=90°,

OC1BC,

oc是。的半径,

.・・。与8c相切.

解法二：

连接cr,OC,

DF是。的直径.

ZDCF=90°,

ZDFC+ZFDC=90°,

在菱形A8CQ中，BG±CG,BC=CD,

•••ZCDB=ZCBD,ZBGC=90c,

••・ZDFC+ZGBC=90°,/FCG+/DFC=W0,

/FCG=4GBC.

.FGCs’CGB.

,FGCG

•-=,

CGBG

；・CG2=FGBG,

BF=2FG,

••・BG=3FG,

•••CG2=3FG2,

CG=75FG,

•JtanZCFG=——=G,

FG

・•.ZCFG=60°.

第27页共57页

OC=OF,

・••ACO尸是等边三角形，

ZCFO=ZOCF=60°,

:ZCBD=ZCDB=30°,

ZFCI3=Z.OFC-ZCBD=30°,

Z.OCB=ZOCF+AFCB=90°.

•••OC1I3C,

•・•。。是。的半径，

。与BC相切.

【点睛】本题考查了圆周角定理，求弧长，等边三角形的性质与判定，正切的定义，相似三角形的性质与

判定，切线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

18.（2023•福建原门•福建省同安第一中学校考-模）如图，八£是。的直径，点£＞、E在O上，&=2/SDE,

过点E作。的切线EC,交A3的延长线于C.

（I）求证：ZC=ZABD；

（2）如果。的半径为5.4尸=2.求石厂的长.

【答案】（I）见解析

⑵师

【分析】（1）连接OE,A8是。的直径，ZA+ZABD=90°,CE是。的切线，得NC+NCOE=90。，由/A

=2/BDE,ZCOE=2ZBDE,即可得到结论；

（2）先判断出NA。尸=/。M，得出AO=A扛再证明A8E/s^BOE,然后根据相似三角形的性质即可得

出结论.

【详解】（1）证明：如图1,连接OE,

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D

ffll

*/A8是。的直径

・•・ZADB=90°

・•・/4+NABO=90。

•ICE是。的切线

：・OELCE

：,NO£C=90。

/.ZC+ZCOE=90°

VZA=2ZBDE,ZCOE=2ZBDE

：.ZC=ZABD

(2)解：如图2,连接

D

图2

解：设NBDE=a,/.ZADF=90°-a,NA=2a,ZDfiA=90°-2a,

在AA。/中，ZDM=180°-2a-(90°-a)=90°-a,

・•・ZADF=ZDFA,

：.AD=AF=AO+OB-BF=St

：,AD=AF=S

V^ADF=ZAFD,/ADF=/FBE,/AFD=NBFE,

：,NBFE=NFBE,

第29页共57页

：・BE=EF,

由（1）知，NA=2NBDE=NC0E,

.:tBED=4A,

:・/BEF=NCOE,

'：4FBE=N0BE,

:.△BEFsgOE,

.EF_BF

''~OE~~BE

.EF2

••---=---

5EF

EF=Vio,

故E尸的长为JIU.

【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，证明

△班萨s/\30E是解本题的关键.

19.（2023•福建三明•校考一模）如图，在RtABC中，ZA^C=90°,以A3为直径的。0交AC于点。，AE

与过点。的切线力相垂直，垂足为E.

（I）求证：八。平分N84石；

（2）若CD=DE,求sin/B4c的值.

【答案】（1）证明见解析：（2）sinN84c的值为更二1

2

【分析】（1）如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得OD工DE,再根据平行线的判定与性质可得

ZDAE=ZADO,然后根据等腰三角形的性质可得ND4O=NA”>,最后根据角平分线的定义即可得证；

（2）如图（见解析），先根据角的和差、等量代换可得NAOE=NC,再根据三角形全等的判定定理与性质

可得AO=BC,设4D=8C=a,CO=x,然后根据相似三角形的判定与性质可得兹=黑，从而可求出x

oCCD

的值，最后根据正弦三角函数的定义即可得.

【详解】（1）如图，连接OD

第30页共57页

由圆的切线的性质得：OD1DE

AEA.DE

：.ODHAE

ZDAE=ZADO

又・OA=OD

ZDAO=ZADO

NDAE=ZDAO

则AD平分/BAE；

(2)如图，连接BD

由圆周角定理得：ZAD5=90°

/.Z5DC=90°

ZAZ?C-90°

.\Ztt4O+ZC=90°

ZDAE+ZADE=90°

ZADE=NC

NE=4OC=90。

在VAOE和△8C£>中，DE=CD

ZADE=ZC

:.^DE^BCD(ASA)

：.AD=BC

AD=BC=a,CD=X,则AC=AD+C£)=a+x,且a>0,x>0

ZC=ZC

在2X46和△8CO中，■

NABC=NBDC=90。

2CB〜上CD

合知即a+xa

解得户学或户导＜°（不符题意‘舍去）

=土叵是所列分式方程的解

经检验，x

2

-a+y/5aa+亚a

AC=4+

22

第31页共57页

a_\/5-1

sinZB/1C=—

则在Rt..A8C中,ACa+>/5a2

~2~

故sinNMC的值为叵」

2

【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、正弦三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点，

较难的是题（2）,通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键.

20.（2023•福建宁德•校考二模）如图，A3是C。的直径，点C是8Z）的中点，过点C的切线与的延长

线交于点E，连接C。，AC.

（1）求证：CE_LAE；

（2）若CO〃A8,。石=1,求0O的半径.

【答案】⑴证明过程见解析

（2）2

【分析】（1）连接OC，根据等腰对等角可得NQ4C=NOC4,再由等弧所对的圆周角相等可得

ZOAC=ZCAD,从而证明NC4D=NOC4,可得％〃力凡即可证明.

（2）连接O。，由题意可证四边形AOCD是菱形，可得AAO力是等边三角形，从而可得NDCE=30。，根

据直角三角形的性质可得DC=2Z）E,即可求出结果.

【详解】（1）证明：如图，连接。C,

支是（。的切线，

S.0C1.CE,

第32页共57页

二点C是80的中点，

/.BC=CD，

:.^CAB=ZCAD,

\OA=OC,

.\ZOAC=ZOCA,

.\ZOCA=ZCADf

:.OC//AEt

.\CE±AE.

(2)解：如图，连接。£),

CD//AB,OC//AE,

・•・四边形AOCE是平行四边形，

又OA-OC,

・•・四边形AOC。是菱形，

:,AD=CD=OA,

.\OA=AD=OD,

.•qAOD是等边三角形，

:.ZOAD=a)°.

CD//AB,

.•.NCDE=NOA0=6O。，

;.NDCE=3。。,

:.CD=2DE=2,

:.OA=CD=2,即(O的半径为2.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的定理和圆周角定理、等边三角形的性质和菱形的判定

和性质及平行线的性质，熟练综合运用这些知识点，并能准确作出辅助线是解决问题的关键.

第33页共57页

21.(2023•福建南平•统考一模)如图，AB为圆。的直径，在直径AB的同侧的圆上有两点C,D,AD=CD^

弦CE平分NACB交BD于点、F.

(1)已知AC=2C8,A8=6，求8C的长：(结果保留产)

(2)求证：EF=EB.

【答案】⑴笈

(2)见解析

【分析】(1)根据AO=8，AC=2C6,求由AD=CO=4C=60。，连接。C，根据弧长公式计算即可；

(2)根据圆周角定理得到NAC8=9()。，利用弦CE平分/AC3求出NACE=NBCE=；4C8=45。，得到

ZABE=ZACE=45。,根据4。=。。，推出N4&)=NC8。，进而推出4庄=/£跖，即可证得结论.

【详解】(1)解：・・・48为圆。的直径，

,AQ+CO+BC=180。，

,:入D=CD，AC=2CB，

工AD=CD=BC=60°，

/.ZBOC=60°,

连接oc,

•：OB=