专题28 导数及其应用（解答题）（理）（解析版）-2021年高考数学（理）二轮复习热点题型精练

专题28导数及其应用(解答题)

1.已知函数/a)=(l+cosx)，一机，其中机为常数.

(1)当/〃=0时，求曲线/(X)在x=0处的切线方程；

(2)若函数f(x)在区间0,《上只有一个零点，求机的取值范围.

L2」

【试题来源】安徽省池州市2020-2021学年高三上学期期末(文)

【答案】⑴2x-y+2=0；(2)2,e2.

【解析】(1)当机=0时，/(x)=(l+cosx)ev»

对函数/(x)求导可得/'(x)=(-sinx)e*+(l+cosx)e*=(1-sinx+cosx)e',

所以/'(0)=(l-0+l)e°=2,又/(0)=(l+l)e°=2,

所以曲线/*)在x=0处的切线方程为y-2=2(x-0),即2x—y+2=0.

(2)由(1)知/'(X)=(1-sinx+cosx)/=1—^2sinx—ex,

_I4J_

因为04x4工，所以一立wsii/x—工立，

2214)2

所以一1«血§出(工一7-1»所以0—,

所以/(x)=1—J5sin(x-7)er>0,故函数”处在区间0,|上单调递增.

71

因为函数/(X)在区间0,-上只有一个零点，

L2J

y(0)=2-/w<0

结合零点存在定理可得，m、八，

=e2-w>0

£

解得2«团《』，即加的取值范围是2,”.

2.已知函数/(%)=＞一(f+2)x+fln了.

(1)若x=3是的极值点，求〃力的极大值；

⑵若g(x)="+，lnx-l,求实数.的范围，使得恒成立.

【试题来源】宁夏六盘山市高级中学2021届高三上学期期末考试(文)

【答案】(1)-7；(2)t>-e.

【解析】⑴f\x)=2x-t-2--,x>0,由题意可得，/(3)=4--r=0,

x3

解得工=6,所以/(耳=29_8+色=2(.1)(%-3),

XX

所以，当x>3,0<x<l时,r(x)>0,函数单调递增，当1</<3时，r(x)<0,

函数单调递减，故当工=1时，函数取得极大值/(1)=-7；

(2)由得x2-(/+2)x+rlnx<eA+rlnx-l在x>0时恒成立可得,

gx—x24-2x—1e*—f+2x—1

-t<--巳在x>0时恒成立,-t<

令秋力=

贝ji%,(力=(e-*(e-1)二歹(」-1)7"二(xf(d)

XXX

令尸(耳=-一工一1,所以尸(x)=e*T,令尸(x)=0,提x=0,

所以当x>0,F(x)>0,函数单调递增，当工<0时，F(x)<0.函数单调递减，

故当x=0时，函数取得最小值尸(0)=0,又x〉0,所以，一工一1>0，

所以妆x)在(0,1)上单调递减，在(1,-KO)上单调递增，

所以力()面=MD=e，可得T《"(x)niin=*所以fN-e.

3.函数/(X)=lnx-O¥.

(1)讨论“X)的单调性；

(2)若/(%)有最大值M,且M«-〃，求。的值.

【试题来源】贵州省贵阳市普通中学2021届高三上学期期末监测考试(文)

【答案】(1)答案见解析；(2)I

【解析】⑴易知x>0，f\x)=--a,当心0时广(工)>0对任意的x>0恒成立；

X

当4>0时，若/'(R)>0,得若/'(x)<0,得

aa

综上，当aWO时，/(x)在(0,+8)上单调递增；

当〃>0时，/(x)在(0-)上单调递增，在(L+8)上单调递减.

aa

(2)由⑴可得当4W0时，〃力单调递增，则“X)没有最大值，.•.〃〉()，

则/(X)在(0,》上单调递增，在(J,+8)上单调递减，

\/(x)^=In--1=-Ina-1,即M=-Ina-L

*/M<-a.\-Ina-1?a,即lna-a+l?0,令g(x)=lnx-x+l,

11_y

g\x)=一一1=------,当xe(O,l)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

XX

当X£(l,+oo)时，g<x)<0,g(x)单调递减，.・.g(x)1rax=g6=0,

\Ina-a+1?0.\Ina-〃+1=0,\«=1.

4.设函数/(x)=aln:v+L,aeR.

x

(1)设/是>=/(")图象的一条切线，求证：当4=0时，，与坐标轴围成的三角形的面积

与切点无关；

(2)若函数g(x)=/*)-x在定义域上单调递减，求。的取值范围.

【试题来源】北京市石景山区2021届高三上学期数学期末试题

【答案】(1)证明见解析；(2)(-oo,2].

【解析】(1)当。=0时，/a)=Lx>o,/(幻=一4，

Xx

设/(X)图象上任意一点p(%,；),切线/斜率为k=/(不)=一一，.

过点a/，丁)的切线方程为y--.

X0*0X。

2

令x=0,解得y=f；令y=o,解得％=2题.

12

切线与坐标轴围成的三角形面积为S=5l-H2x0|=2.

所以/与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关.

(2)由题意，函数g(x)的定义域为(。,+8).因为g(x)在(0,+8)上单调递减，

所以g'*)=@-4•-1W0在(0,+co)上恒成立，即当%£(0,+OO),。4工+」恒成立，

xx~X

所以+因为当xe(0,xo),x+->2,当且仅当X=1时取等号.

XX

所以当x=l时，(工+,口加二？，所以OW2.所以。的取值范围为(-8,2].

x

【名师点睛】一般地，若〃力在区间(。肉上可导，且r(x)>o(r(x)<o),则“外在

(4,与上为单调增(减)函数；反之，若/(X)在区间(〃力)上可导且为单调增(减)函数，

则,㈤20(/(%)W0).

5.已知函数/(jQnd+dx—aeXx+lXawO),g(x)=\nx-mx-^m+l(wGR).

(1)讨论的单调性；

(2)若对于任意xe(0,l],存在mw(—LD使得不等式g(%)</(㈤成立，求实数。的取

值范围.

【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期木(理)

【答案】(1)答案见解析；(2)(-«),0)U^0,1\

【解析】(1)由题意得了'(%)=—(1+2乂-2),xeR.

①当。<0时，令/'(幻<0,则工<一2,所以在(—，―2)上递减：

令广。)>0,则1>-2,所以/(x)在(-2,依0)上递增；

2

②当0<av2/时，则In—>一2,

a

令/'(x)<0,则]<-2或所以在(-8,-2)和(ln：+8)上递减；

令r(x)>0,则一2<XV吟所以/(x)在卜2,叫上递增；

③当a=2/时，则f'3=-2(x+2乂产+2-1)«0,所以〃J在(YO,+Q0)上递减;

2

④当a>2/时，则In-<-2,

a

令r(x)<0,则x<ln2或工>一2,所以〃力在(-oo/n2j和(一2,*o)上递减；

令/'(力>0,则ln：vxv-2,所以〃力在(in|,-2)上递增；

(2)由题意得g'(幻=嚏一〃2>0在(0/恒成立,

所以g(x)在(0』上递增,所以g(x)<g(l)=l,

所以存在wiw(-1,1)使得1<nr+4m-ae"1(m+1)成立，即。<7n--成立，

em(m+l)

人,/、m2+4m/［八皿〃/、(W+3)(W+2)(W!-1)

令h(ni)=r-------，zne(-l,l),则/?(机)=-------------不----->0,

d"(m+l)d"(〃什1)~

2，2、

所以人(加)在上递增，所以〃<%(1)=一，所以实数a的取值范围为(一8,0)1)。,一.

6.已知函数/(x)=d+法2+cr,(%,CGR)

(1)当C=1时，讨论函数/(X)单调性；

⑵设演，％是函数/(力的两个极值点，当后一切=2时，求/⑴的最小值.

【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测(一)(文)

【答案】(1)见解析：(2)/(1).=--

【解析】(1)当c=l时，/(力=/+法2+X,求导得尸(x)=3f+次+1,

①A=4b2-i2W0即白时/(力=3/+次+整0恒成立，函数在R上单调递

增，无减区间；

②A=4b2—12>0即bv—6或时，

由/'(x)=3d+次+1>0解得或

33

所以增区间为(-00，土孚巨)，(-匕+等K,供),

由/'(x)=3f+次+]<0解得6^^<尢<一〃+，伽—3

33

所以减区间为(一方一庐三，一6+庇与),

33

综上：飞工人46时函数在R上单调递增，无减区间；

〃《一方或人>6时，增区间为(-00,土芈二1),(±!半二3,+OQ),减区间为

-b-y/b2-33扬一3、

(-----T-----,-----;-----)；

33

2

(2)f'(x)=3x+2bx+cfxt,七是函数/(x)的两个极值点，

所以M，七是方程312+班+。=0的两根，所以△二初之—i2c>0,

x+x=一■—»X•/=3,所以k-&|=+W)2-4工1.%2=J(一,>-4(

l22,

整理得c=匕二代入A=4/一12c得A=36>0恒成立，即人wR,

3

2z?+2z>=

/(I)=\+b+c=^b+b-2=1(|)-7»*,--|/(l)min=-j.

1,

7.已知函数/(%)=〃111工+5%2-(a+i)x+]

(1)当〃=0时，求曲线y=/(x)在点(2,7(2))处的切线方程；

(2)若函数Ax)在x=l处取得吸小值，求实数a的取值范围.

【试题来源】北京市昌平区2021届高三年级上学期期末质量抽测

【答案】(1)y=x-l；(2)a<\.

【解析】(1)当。=0时，f(x)=^x2-x+1.所以/'(x)=x-l,所以2=/'(2)=1,

因为f(2)=；x22—2+1=1.所以切线方程为y=x-l.

(2)函数/(%)的定义域为(0,+8).因为/(x)=〃lnx+gx2-(4+1)%+1

所以/'3=q+6.-1='1"以+〃.

XX

令/'(x)=0,即f—(4+i)x+a=o,解得x=l或x=a.

当4,0时，当x变化时，尸(x)J(x)的变化状态如卜表：

X(0,1)1(1,+8)

一0+

/（X）□极小值□

所以当工=1时，/（X）取得极小值.所以见0成立.

当0＜。＜1时，当k变化时，/（项/（%）的变化状态如卜衣:

X(0,6/)a3D1(L+8)

/'W+0—0+

/（X）□极大值□极小值□

所以当x=l时.，/（幻取得极小值.所以0＜。＜1成立.

当。=1时，f（x）..O在（0,+8）上恒成立,

所以函数/（X）在（0,+8）上单调递增，没有板小值，不成立.

当时，当人变化时，的变化状态如下表：

X(0,1)1(1M)a(a,+00)

/（X）+0—0+

fix)□极大值□极小值□

所以当x=l时，八幻取得极大值.所以不成立.综上所述，a＜\.

8.已知函数=^（x）=x2+ox-x+l.

⑴当a=2时，令函数心力=勺）；2,若不等式〃（同《机在区间［0,2］上有解，求实

数机的取值范围;

<2）令p（x）-（X-1）/（V卜长«卜《人）七,当时，若函数e（力的极小值

为一2。，求。的值.

【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（文）（3-2）试题

2

【答案】（1）（2）a=y.

【解析】（1）当。=2时,…需—

不等式A(x)<m在区间X£［0,2］上有解,则"m,

,z、(2x+1)-(x2+x-1)ex(x-2)(x+l)

由("二---------(7y———/«°，2］，

所以当x«0,2］时，//(x)>0,函数〃(x)在［0,2］上单调递增,

则〃(耳面=/2(0)=—1,所以加之T,故实数加的取值范围［T,+8).

x2

(2)由0(x)=(x_l)/(x)-〃g(x)+(〃2-a^x+a=［x-\)e-axf

可得”(x)=e"+(x-l)2ar=x(e'-2〃)，XGR,

当时，2。>1,所以ln2a>0,令*'(x)=0,则x=0或x=in2a,

当X«YO,0)时,ex<\<2a>所以”(x)>0,函数。(x)单调递增,

当％«0,ln2a)时，0'(x)<O,函数单调递减,

当xe(ln2o,+oo)时,d(%)>0,函数9(工)单调递增，

所以函数夕(/)的极小值为

9(ln2a)=(in2a-1)*?"-a(ln2a)2=2a(ln2a-l)-a(ln2a『，

由题设知，2a(ln2a-l)-tz(ln2a)2=-2a,即21n2a-(in2。)？=0,

因为ln2〃>0,所以In2〃=2,解得。二巨.

2

【名师点睛】对于利用导数研究不等式问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数

研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函

数，直接把问题转化为函数的最值问题.（3）根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参

数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设

出导数的零点，难度较大.

x

e

9.己知函数/（%）=-alnx---+ax,awR.

x

（1）当时,讨论的单调性；

2

（2）设g（x）=/（x）+4（x）,若关于％的不等式8（幻0-/+5+（。-1）》在"，2]上有

解，求。的取值范围.

【试题来源】云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试（理）

【答案】（1）/（"）在（0,1）上单调递增,在（1,+8）上单调递减；（2）（-oo,0].

【解析】（1）由题意知，,⑺=，_庇丁+q=3--D,

XX2X2

令尸（幻=（奴-6）*-1）,当。＜0时，ar-e'cO恒成立，

所以当工＞1时，F（x）＜0,即，（x）＞0；当0＜xvl时，F（x）＞0,即ra）vO；

所以函数/（X）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减.

/（aX€X—/、

（2）因为g（x）=/（x）+=-a\nx-----+ax+x---------；-+。

X（XX）

2

--a\nx-ex+2ax-a^由题意知，存在玉）G[1,2],使得&（司）父一仁”+自+（々一1）/

2

成立.即存在毛使得一。1口“0+（々+1）%）一自一4工0成立；

x

^h(x)=-a\nx+(a+\)x---a,xe[\,2]»

..h(x)—....Fa+1—x=-------------,xG[1,2],

XX

①当时，对任意xwU,2],都有万（x）40,所以函数%"）在[1,2]上单调递减,

=〃（2）=-々也2+。00成立，解得a&O,:.a＜0；

②当1＜。＜2时，令〃（外＞0,解得1VX＜。；令"（x）＜0,解得&＜X＜2,

所以函数〃（x）在［L㈤上单调递增，在［4,2］上单调递减，

又〃（1）二一，「.〃（2）=-aln2+a«0,解得aWO,二。无解；

2

③当。之2时，对任意的都有"（x）N0,所以函数〃*）在［1,2］上单调递增，

「.（x）min=〃（l）=g＞°，不符合题意，舍去；综上所述，。的取值范围为（-8,。］.

【名师点睛】根据导数的方法研究不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变

形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可

求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的

最值，即可得出结果.

10.已知函数一2«lru,其中aeR.

（1）当。=1时，求函数/（力在上的最值；

（2）①讨论函数〃X）的单调性；

②若函数/（力有两个零点，求〃的取值范围.

【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）

【答案】（1）最大值为/一2,最小值为1；（2）①见详解；@a＞e.

【解析】（1）由。=1得f（x）=P-2hu,所以/'（X）=2X_2=2（X+1）（X—1）,

JCJC

当xwg/时，/（力—*7）＜0,则.f（x）单调递减；

当％£（l,e）时，r（x）=2（x+l）（l））0,则/（x）单调递增；

.X

所以『⑸面="1）=1；又比卜:2艮=5+2,/,）=/-2＞f2,

所以/。）2=/（6）=/-2；即在ke上的最大值为/一2,最小值为1；

⑵①广（力=2,3二2卜叫,

XX

当awo时,r（x）N0恒成立;即在定义域（0,+力）上单调递增:

当4>0时，若O<x<«，则_@<0:若X>«，则

/（力=空二）>0,所以〃x）在（0,、石）上单调递减：在（右38）上单调递增；

X

综上，当"40时，"X）在（0,+8）上单调递增；当a>0时，/（x）在（0,6）上单调递减；

在（G,+8）上单调递增；

②由①知，当aKO时，/（%）在定义域（0,+8）上单调递增；不可能有两个零点；

当a>0时，/（x）min=f（4a\=d-2aIn7a=a-aina；

为使/（x）有两个零点，必有/（'L=〃-aMavO，即。>e；

又f（2a）=4a2-2a\n2a=2a（2a-\n2a）,

令g（x）=x-lnx,x>2e,则g'（x）=1=工^>。在（2e,+oo）上恒成立，

XX

即g（x）=九一In冗在（2e,+co）上单调递增，

所以g(x)>g(2e)=勿一ln2e>0,即f(2a)=2a(2a-\n2a)>^,

所以根据零点存在性定理可得，存在％E(G,2〃)，使得f(%)=0；

(1、414

又f-y==——2a\n—j==--¥a\na>^,

\\Ja)ayiaa

根据零点存在性定理可得，存在々，使得.（々）=0,

综上，当a>e时，函数/（x）有两个零点.

11.已知函数，（x）=d—

（1）求曲线y=/&）在点（1,/⑴）处的切线方程；

（2）求函数的单调区间和极值；

（3）设函数*x）=2”-2,X€（O,兀），试判断的零点个数，并证明你的结论.

xsinx

【试题来源】北京市西城区2021届高三上学期数学期末试题

【答案】（1）y=2x-2；（2）的单调递减区间是（-冷,管），单调递增区间是

,+oo);极大值挛，极小值一述；(3)一个，证明见解析.

99

【解析】(1)由/(x)=d—x,得/V)=3x2-1.因为/(1)=0，/(1)=2,

所以曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为y=2x-2.

(2)令/'(%)=0,得3/_1=0,解得彳=一B或

33

当x变化时，/*)和/'(X)变化情况如下表：

_5/3

X(-8,一字出母，+8)

~T

f\x)+0—0+

282>/3

fix)//

~9~—

所以，"X)的单调递减区间是(-浮,浮)，单调递增区间是(-8,-3),(A+00)

fM在x=-立处取得极大值挛，在x=走处取得极小值-毡.

3939

y21

(3)xw(0,%),/(x)=0,即•-2=0,等价于x2_i_2sinx=0.

sinx

设g(x)=f—1-2sinx,x£(0,；F),则g(x)=2x-2cosx・

①当工』£票|时，gr(x)>0,g(x)在区间番,p壬上单调递增.

L2)§20

又g(2)=芷—3<o,gm)=Y-l>0,所以g。)在区间gp社有一个零点.

24g20

②当XG(0,工)时，设〃(x)=g'(x)=2x-2cosx.

2

l(x)=2+2sinx>0,所以g'(x)在区间(0,9上单调递增.

又g<0)=_2v0,g岭=冗>0,所以存在毛£(0,》使得8'(不)=0.

所以，当X£(0,与)时，g'(x)vO,g(x)单调递减:

当时，g'(x)>0,g。)单调递增.

又g(O)=-lvO，5(^)=^-3<0,所以g(x)在区间(O'])上无零点.

综上所述，函数《处在定义域内只有一个零点.

12.已知函数/(x)=：-l.

(I)求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)设函数g(x)=/(%)+llnx,当时,求g(x)零点的个数.

【试题来源】北京通州区2021届高三上学期数学摸底(期末)考试

【答案】(1)x+y-l=O：(2)答案见解析.

【解析】(D因为外力=1-1,所以r(x)=-J,所以/⑴=o,r(i)=T.

人X

所以曲线y=/(x)在点处的切线方程是y=-(x-l),即x+y-l=O；

⑵因为g(x)=/(x)+"nx,所以g(x)=’+rlnx-l(x>0),

所以g'(x)=_3+：=M.

人人人

①当740时,g'(x)<o,所以g(x)在(0,+8)上单调递减.

因为g⑴=0,所以g(H有且仅有•个零点；

②当0</<1时，令g'(x)>。，得令g'(x)<0,得xv7.

所以g(x)在(°，；)上单调递减，在[,+8)上单调递增.

因为g(1)=0，所以g(力在(0,；)上有且仅有一个零点.

因为g7)<g(l)=0，即/+—lv。，则ln-v—1<-,所以?>一，

则=所以叫使得g(毛)=0,所以g(x)在:,+8)上有且

仅有一个零点.所以当0</<1时，g(x)有两个零点;

y_1

③当f=l时，g'(x)=j彳.令g[x)>0,得了>1,令g<x)<0,得X<1.

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,一)上单调递增.

所以当x=l时，g(x)取得最小值，且g(l)=0,所以g(x)有且仅有一个零点.

综上所述，当Y0或f=l时，g(x)有且仅有一个零点；

当0<，<1时，g(x)有两个零点.

【名师点睛】利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与X轴的交点问题，突出导数的工具作用，体

现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(工)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线丁=。与

函数y=g(x)的图象的交点问题.

13.已知函数/(幻=(2-a)lnx+2+2or,

x

(1)当。=2时，求函数的极值；

(2)当。<0时，讨论函数/(x)的单调性；

⑶若对Vaw(-3,・2),芭，x2e[\t3],不等式(zn+ln3)a-21n3>|/(芭)一/(%)卜恒

成立，求实数机的取值范围.

【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第三次月考(期末)(文)

13

【答案】(1)极小值为4,无极大值(2)答案见解析(3)机4一彳

【解析】(1)当。=2时，f(x)=-+4x(x>0),f\x)=^—L=Z±_l,

XXX

当0<x<g时，r(x)<0,当时，ff(x)>0,

所以f(幻在(0，!)上递减，在(1,+8)上递增，

22

所以f(x)在x=g处取得极小值〃；)=4,无极大值.

(2)当a<0时，f(x)=(2-a)Inx+—+lax,定义域为(0,+8),

八幻二=-4+2。=2ax2+(2-a)x-l_(ov+l)(2x-l)

xx

令/。)=0得1=一一或工=二，

a2

当一,>!，即一2<。<0时，由f'Cr)vO得0<x<，或%>一!，

a22a

由/'(X)>0得7<x<—,

2a

所以在(0，!)和(--,-K»)上单调递减，在4,--)上单调递增，

2a2a

当-2='，即〃=一2时，,3二一(2=1)一«0,所以/(x)在(0、+<功上单调递减，

a2x2

当一即〃<一2时，由/'(x)v0得Ovxv-1或由广(》到得一

a2a2a2

所以/(x)在(0,--)和(!，+8)上单调递减，在(--，^)上单调递增，

(3)由(2)可知对Vaw(3・2),f(x)在[1,3]上单调递减，

因为不等式(加+ln3)a-21n3>|/(5)-/(马»恒成立，

等价于(祖+In3)。-21n3>|/(芭)一/(w)|_=/U,)_-八七濡,

而/(Ma=/(1)=1+勿，/(々)min="3)=(2-。)卜3+；+6〃，

所以(/w+In3)/7一2In3>1+2a-(2-a)In3-;一6〃,

,解得相4一三

【名师点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数y=/(R),x£[a,5]，y=g(x),x£[c,d]

⑴若同，吃£卜,旬,总有〃x)vg(w)成立,故/(力皿vg^)一

⑵若办司，加£匕司,有/(%)<g(w)成立,故/(X)1mxVgUOmax；

⑶若石斗,可,Hx24Gd],有/a)Vg(w)成立,故〃矶-gH"一

(4)若收4〃,0,3xje[ctd],有/(5)=g(w)，则/(x)的值域是g(x)值域的子

集.

14.己知函数+如一e*+1("2£R).

(1)若/")在R上是减函数，求用的取值范围；

(2)当机>1时，证明/(x)有一个极大值点和一个极小值点.

【试题来源】安徽省淮南市2020-2021学年高三上学期第一次模拟(文)

【答案】(1)(F/]；(2)证明见解析.

【解析】(1)由f(x)=；f+侬一/+1,得/'(冗)=%+加一/,

设g(x)=fr(x)=x+m-ex则g'(x)=l-/・

当x>0时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x<0时，g'(x)>0，g(x)单调递增.

所以g(xLx=g(°)=m—L因为〃力在穴上是减函数，

所以/'(x)„a、=g(x)g=m—140,所以相£1，故〃？的取值范围是(—』].

(2)当机>1时，g(0)=机一1>0.

由于g(-机)=一"阳vO,g(-〃i>g(O)<0,所以g(x)在(一6,0)上有零点，

又g(x)在(-8,0)上单调递增，所以g(x)在(f,0)上只有一个零点，

设为％(-m<x,<0).又g(加)=2m-em(m>1).设=2x-ex(x>1),

则hf(x)=2-ex<2-e<0,即〃(力在。,物)上单调递减，

所以/z(x)〈〃⑴<0，即g(/n)<0.所以g(m>g(0)v0,

所以g(x)在(0,㈤上有零点，又g(x)在(0,+8)上单调递减，

所以g(x)在(0,«Q)上只有一个零点，设为％(Ovx2V机).

因此，当x£(—,内)时，r(M=g(x)<o,

当时，r(x)=g(x)>o,当欠£(声,内)时，r(x)=g(x)〈o.

即〃X)在(YO，X),(孙内)上单调递减，在(冷电)上单调递增，

所以当”=不时，/(力的极小值是/(%),当尤=超时，的极大值是〃w)

因此，/(%)有一个极大值点和一个极小值点.

15.已知函数/(x)=M-alnx(〃>0).

(1)若4=2,求曲线y=/(x)的斜率等于3的切线方程;

(2)若y=/(x)在区间上恰有两个零点，求。的取值范围.

【试题来源】北京市顺义区2021届高三上学期期末考试

【答案】⑴3x-y-2-21n2=0；(2)(2e,e2].

【解析】由已知函数”制定义域是(0,+8),

22(X+l)(Xl)

(1)f(x)=x-2lnx,f'(x)=2x--=~f

XX

2i

由ra)=2x--=3解得冗=2(”=—：舍去)，

x2

又/(2)=4-21n2,所以切线方程为丁一(4一2卜2)=3。-2),即版一丁与宓0=

易知fM只有一个极值点J-,要使得fW有两个零点，则1<Jg<e，即马v。<2e2,

V2ee-

/(x)递减，在k/r(x)>0,f(x)递增,

所以1f(e)=e2-aine>0解得2e<a<e?综上〃的范围是(2e,/].

16.已知函数=厂(x£R)的一个极值点是/=2.

(1)求。与匕的关系式，并求f(x)的单调区间；

2

(2)设〃>0,g(x)=a2ex~2,若存在%，G[0,3],使得|/(石)一8(工2)|</成立，

求实数。的范围.

【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考式(文)

【答案】(1)a+b=(),单调区间见解析；(2)0<a<3

【解析】(1)可求得r(x)「+(2：)x+ab,

•••/(元)的一个极值点是x=2,.•./<2)="4+2(2：)+。一>=0,解得a+b=0,

晨)：一J+(2—a)x+24__(x+a)(x_2)

,八)-ex~/

当。=-2时，ff(x)<0,/(x)单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意，

当。<一2时，令/'(1)>0,解得2cxe-a,令/'(x)<0,解得/<2或%>-a,

当。>一2时，令/'(x)>0,解得一QVK<2,令/'(X)V0,解得或%>2,

综上，当〃<一2时，“X)的单调递增区间为(2,-〃)，单调递减区间为(TO,2),(—〃,”)；

当。>一2时，“X)的单调递增区间为(一区2),单调递减区间为(ro,-a),(2,-K»)；

2

(2)〃力「+-—〃,由⑴可知，a>0时，在(0,2)单调递增，在(2,3)单

ex

调递减，.J(X)M=/(2)=当，v/(0)=-67<0,7(3)=^^>0,

6e

•."(xL=-a，

•・遮(力=。2/-2在[0,3]单调递增，.g⑺*=g(o)=»g(Hg=g(3)=a2e,

2

•・,存在西,XjG[053],使得-g(z)|成立，

2?

即存在X],x,€(0,3],使得g(%)7</(*)<g(X2)+-r成立，

24

-a<ae+—

e

a224+。

・'.-------<—~,解得0va<3.

e~e~e~

a>0

17.已知函数=—x+sinx+〃e'(m,〃£R),e为自然对数的底数.

(1)当加=0且〃=1时，证明：〃x)>0；

(2)当〃=0时，函数/(%)在区间［0,48)上单调递增，求实数〃z的取值范围.

【试题来源】浙江省湖州市2020-2021学年高三上学期期末

【答案】(1)证明见详解；(2)，，+8).

【解析】(1)当初=0且〃=1时，函数/a)=e'-x+sinx,定义域为R,

令MX)=e'-x-l,则”(冗)=e*-1=0,得x=0,

故工<0时，”(力<0,M］单调递减,x>0时，”(x)>0,〃(x)单调递增，

故/z(x)=e'—%—1之力(x)=e°—0—1=0恒成立，x=0时等号成立.

所以e'—xNl恒成立，1=0时取等号，而sinxN-l恒成立，当工二一生+2女］,2wZ时取

2

等号，故/(工)=炉一人+311%21-1=0,但由于取等号条件不一致，故等号取不到，

所以/(x)=er-x+sinx>0；

(2)当〃=0时，函数/(x)=/n--x+sinx,在区间［0,+oo)上单调递增，

则/'(%)=-1+cosx之。在区间［0,-K»)上恒成立.

令g(x)=/'(x)=3g2_］+cosx,x>0,则g'(x)=6AH¥_sinx.

①当相《0时，g(7T)=3m7T2—14-COS7C=3/WT2-1<0»即不符合题意；

②当0cm时，g'(x)=6/nr-sinx,贝ijg"(x)=6m-cosx,

6

因为0<6m<1,当Ovxv工时，0<cosx<l,y=cosx单调递减，

2

所以存在Ov%使得g"(%)=6cos%=0,

当xe(0,/)时，g〃(Xo)<O,g'(x)单调递减，

当时，gY/)〉。，g'(x)单调递增，而g'(0)=6/wx0-sin0=0,

故X£(0,毛)时g'(x)〈。恒成立，即g(x)单调递减，又g(0)=0—l+cos0=0,

故g(x)v0,即/'(力<0,不符合题意；

③当mN—时，^z(x)=6/nr-sinx,则g"(x)=6/?7-8Sx,

因为6机之1,cosx<1,所以g"(x)=6m-cosxN0,

即g'(x)在区间［0,~K功上是单调递增函数，而g'(0)=0,故g")“恒成立，

所以g(x)在区间［0,土动上是单调递增函数，而g(0)=0,故g(x)»0恒成立，

,「1、

即f'(x)N0恒成立，符合题意.综上，实数机的取值范围为公,+8.

【名师点睛】已知函数)，=/(©单调性求参数的取值范围问题，通常利用导数将其转化成

恒成立问题：(1)函数y=/(x)在区间/上单调递增，则/'(%)之0在区间/上恒成立；

(2)函数y=/(x)在区间/上单调递减，则/(x)«0在区间/上恒成立.

18.已知函数/(幻=〈

—X2+2.x—,x>0

2

(I)设g(设=月=),求g(x)的单调区间;

(2)求证：存在恰有2个切点的曲线y=/(x)的切线.

【试题来源】陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模以测试(理)

【答案】3)单调减区间为(y,-1)和,单调减区间为

(T0)和;(2)证明见解析.

xex,x<0

【解析】(1)