2025版高考数学二轮复习第二部分专题六函数与导数第1讲函数图象与性质练习文含解析

PAGE1-第1讲函数图象与性质A级基础通关一、选择题1．设f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0＜x＜1，,2（x－1），x≥1，))若f(a)＝f(a＋1)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A．2 B．4 C．6 D．8解析：由已知得a＞0，所以a＋1＞1，因为f(a)＝f(a＋1)，所以eq\r(a)＝2(a＋1－1)，解得a＝eq\f(1,4)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝2(4－1)＝6.答案：C2．(2024·天一大联考)若函数f(x)＝m－eq\f(1,3x－1)的图象关于原点对称，则函数f(x)在(－∞，0)上的值域()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))C．(1，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))解析：依题意，函数f(x)为奇函数，故f(－x)＝－f(x)，解得m＝－eq\f(1,2).故f(x)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,3x－1)，且f(x)在(－∞，0)上单调递增．当x→－∞时，f(x)→eq\f(1,2)，当x→0－时，f(x)→＋∞.故函数f(x)在(－∞，0)上的值域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).答案：A3．(一题多解)(2024·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)解析：法1：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x)．法2：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，解除A，C，D，选B.答案：B4．(2024·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的图象大致为()解析：f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)为奇函数，解除A；当x＞0，f(1)＝e－eq\f(1,e)＞2，解除C、D，只有B项满意．答案：B5．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满意f(2＋x)＝f(－x)，且f(1)＝2，则f(2018)＋f(2019)的值为()A．－2 B．0 C．2 D．4解析：f(x＋2)＝f(－x)，且y＝f(x)是奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)．因此函数y＝f(x)是周期为4的函数．又f(0)＝0，f(2)＝f(－0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.所以f(2018)＋f(2019)＝f(2)＋f(3)＝－2.答案：A二、填空题6．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，且f(logeq\s\do9(\f(1,2))4)＝－3，则a的值为________．解析：因为奇函数f(x)满意f(logeq\s\do9(\f(1,2))4)＝－3，所以f(－2)＝－3，即f(2)＝3.又因为当x＞0时，f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，又2＞0，所以f(2)＝a2＝3，解得a＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为________．解析：法1：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，因为奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数．又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)＞g(log25.1)＞g(20.8)，则c＞a＞b.法2：(特别化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3＞log25.1＞20.8，从而可得c＞a＞b.答案：c＞a＞b8．(2024·天津卷)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则eq\f(（x＋1）（2y＋1）,xy)的最小值为________．解析：eq\f(（x＋1）（2y＋1）,xy)＝eq\f(2xy＋x＋2y＋1,xy)＝eq\f(2xy＋5,xy)＝2＋eq\f(5,xy).因为x＞0，y＞0且x＋2y＝4，所以4≥2eq\r(2xy)(当且仅当x＝2，y＝1时取等号)，所以2xy≤4，所以eq\f(1,xy)≥eq\f(1,2)，所以2＋eq\f(5,xy)≥2＋eq\f(5,2)＝eq\f(9,2).答案：eq\f(9,2)9.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．解析：在同一坐标系中画出函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象，如图所示．依据图象，当x∈(－1，1]时，y＝f(x)的图象在y＝log2(x＋1)图象的上方．所以不等式的解集为(－1，1]．答案：(－1，1]三、解答题10．已知函数f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1).(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满意f(ax)＜f(2)的x的范围．解：(1)f(0)＝a－eq\f(2,20＋1)＝a－1.(2)因为f(x)的定义域为R，所以任取x1，x2∈R且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝a－eq\f(2,2x1＋1)－a＋eq\f(2,2x2＋1)＝eq\f(2·（2x1－2x2）,（1＋2x1）（1＋2x2）).因为y＝2x在R上单调递增且x1＜x2，所以0＜2x1＜2x2，所以2x1－2x2＜0，2x1＋1＞0，2x2＋1＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在R上单调递增．(3)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即a－eq\f(2,2－x＋1)＝－a＋eq\f(2,2x＋1)，解得a＝1(或用f(0)＝0去解)．所以f(ax)＜f(2)即为f(x)＜f(2)，又因为f(x)在R上单调递增，所以x＜2.B级实力提升11．已知定义在D＝[－4，4]上的函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x2＋5x＋4|，－4≤x≤0，,2|x－2|，0＜x≤4))对随意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最大值与最小值之和为()A．7 B．8 C．9 D．10解析：作出函数f(x)的图象如图所示，由随意x∈D，f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，由图可知|x1－x2|max＝8，|x1－x2|min＝1，所以|x1－x2|的最大值与最小值之和为9.答案：C12．已知函数f(x)＝x2－2lnx，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得微小值为1，无极大值．(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2lnx－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－eq\f(2,x)，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln2－a.因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k(x