2025版高考数学大二轮复习课时作业15椭圆双曲线抛物线理

PAGE1-课时作业15椭圆、双曲线、抛物线1．[2024·江西南昌一模]已知抛物线方程为x2＝－2y，则其准线方程为()A．y＝－1B．y＝1C．y＝eq\f(1,2)D．y＝－eq\f(1,2)解析：由题意得，抛物线的准线方程为y＝eq\f(1,2)，故选C.答案：C2．[2024·河南南阳期末]若双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,9)＝1(a>0)的一条渐近线与直线y＝eq\f(1,3)x垂直，则此双曲线的实轴长为()A．2B．4C．18D．36解析：双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(a,3)x，由题意可得－eq\f(a,3)×eq\f(1,3)＝－1，得a＝9，∴2a＝18.故选C.答案：C3．[2024·安徽合肥二检]已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(2),2)解析：如图，由题意知，P为以F1A为直径的圆上一点，所以F1P⊥AP，结合F2B∥AP知F1P⊥F2B.又|F1B|＝|F2B|，所以△BF1F2为等腰直角三角形，所以|OB|＝|OF2|，即b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝eq\r(2)c，所以椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，故选D.答案：D4．[2024·湖北六校联考]已知F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq\r(2)，则该双曲线的标准方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D．x2－eq\f(y2,2)＝1解析：依题意得2b＝2eq\r(2)，tan60°＝eq\f(2c,\f(b2,a))＝eq\r(3)，于是b＝eq\r(2)，2c＝eq\r(3)×eq\f(2,a)，∴ac＝eq\r(3)，aeq\r(a2＋2)＝eq\r(3)，得a＝1，因此该双曲线的标准方程为x2－eq\f(y2,2)＝1，故选D.答案：D5．[2024·湖南四校联考]已知A，B，P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B的连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝3，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．2D．3解析：由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，P(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，又kPA＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，kPB＝eq\f(y2＋y1,x2＋x1)，所以kPA·kPB＝eq\f(y\o\al(2,2)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,2)－x\o\al(2,1))＝eq\f(b2,a2)＝3，所以离心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2，故选C.答案：C6．[2024·湖南长沙一模]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)，a))(a>0)在C上，|AF|＝3.若直线AF与C交于另一点B，则|AB|＝()A．12B．10C．9D．4.5解析：由抛物线的定义知|AF|＝eq\f(p,4)＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x，A(1，a)(a＞0)，则a2＝8，解得a＝2eq\r(2)或a＝－2eq\r(2)(舍去)，所以A(1,2eq\r(2))．又焦点F(2,0)，所以直线AF的斜率为－2eq\r(2)，直线AF的方程为y＝－2eq\r(2)(x－2)，代入抛物线C的方程y2＝8x，得x2－5x＋4＝0，所以xA＋xB＝5，|AB|＝xA＋xB＋p＝5＋4＝9，故选C.答案：C7．[2024·湖南长沙模拟]已知F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是()A.eq\r(2)x±y＝0B．x±eq\r(2)y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析：由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则依据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a.又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos30°，得c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x，即eq\r(2)x±y＝0，故选A.答案：A8．[2024·全国卷Ⅰ]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为eq\f(2,3)的直线与C交于M，N两点，则eq\o(FM,\s\up10(→))·eq\o(FN,\s\up10(→))＝()A．5B．6C．7D．8解析：由题意知直线MN的方程为y＝eq\f(2,3)(x＋2)，联立直线与抛物线的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))不妨设M为(1,2)，N为(4,4)．又∵抛物线焦点为F(1,0)，∴eq\o(FM,\s\up10(→))＝(0,2)，eq\o(FN,\s\up10(→))＝(3,4)．∴eq\o(FM,\s\up10(→))·eq\o(FN,\s\up10(→))＝0×3＋2×4＝8.故选D.答案：D9．[2024·云南昆明诊断]已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则eq\f(|AF1|,|AF2|)＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D．3解析：如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，依据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，|BF1|＝|BF2|＝a，所以|AF1|＝eq\f(a,2)，|AF2|＝eq\f(3a,2).所以eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(1,3).故选A.答案：A10．[2024·广东仲元中学模拟]已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2,1)，则直线l的斜率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D．1解析：由eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，得eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴a2＝4b2，则椭圆C的方程为x2＋4y2＝4b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，把A，B的坐标代入椭圆方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋4y\o\al(2,1)＝4b2，①,x\o\al(2,2)＋4y\o\al(2,2)＝4b2，②))①－②，得(x1－x2)(x1＋x2)＝－4(y1－y2)(y1＋y2)，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq\f(－4,4×2)＝eq\f(1,2).∴直线l的斜率为eq\f(1,2).故选C.答案：C11．[2024·河北衡水中学五调]已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±xD．y＝±2x解析：如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B，∵F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，∴|OA|＝a，|F2B|＝|BM|＝2a，|F2M|＝2eq\r(2)a，|∴|F1M|－|F2M|＝2a＋2b－2eq\r(2)a＝2a，整理，得b＝eq\r(2)a，∴eq\f(b,a)＝eq\r(2)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，故选A.答案：A12．[2024·重庆七校联考]已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则eq\f(3,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝()A．4B．2eq\r(3)C．2D．3解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设焦点在x轴上且点P与点F2在y轴同一侧，依据椭圆和双曲线的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a又|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，所以在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)coseq\f(2π,3)，化简得3aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝4c2，两边同除以c2，得eq\f(3,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝4.故选A.答案：A13．[2024·吉林长春质检]若椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1，则其离心率为________．解析：解法一由已知可得a＝2，c＝1，故椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).解法二由已知得椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．[2024·河南郑州一中摸底测试]从抛物线y＝eq\f(1,4)x2上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5.设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．解析：由题意，得x2＝4y，则抛物线的准线方程为y＝－1.设P(x0，y0)，则由抛物线的定义知|PM|＝y0＋1，所以y0＝4，所以|x0|＝4，所以S△MPF＝eq\f(1,2)×|PM|×|x0|＝eq\f(1,2)×5×4＝10.答案：1015．[2024·河南安阳二模]已知抛物线C1：y＝ax2(a>0)的焦点F也是椭圆C2：eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,b2)＝1(b>0)的一个焦点，点M，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))分别为C1，C2上的点，则|MP|＋|MF|的最小值为________．解析：将Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))代入eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,b2)＝1，可得eq\f(1,4)＋eq\f(9,4b2)＝1，∴b＝eq\r(3)，∴c＝1，∴抛物线C1的焦点F的坐标为(0,1)，∴抛物线C1的方程为x2＝4y，准线为直线y＝－1.设点M在准线上的射影为D，依据抛物线的定义可知|MF|＝|MD|，∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值．易知当D，M，P三点共线时，|MP|＋|MD|最小，最小值为1－(－1)＝2.答案：216．[2024·辽宁五校协作体联考]已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线C虚轴的一个端点，若线段AF2与双曲线右支交于点B，且|AF1||BF1||BF2|＝341，则双曲线C的离心率为________．解析：由双曲