2024-2025学年北京市西城区高二上册10月月考数学学情检测试卷（含解析）

2024-2025学年北京市西城区高二上学期10月月考数学学情检测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1.已知，，且，则（）A. B. C.6 D.12.直线倾斜角是（）A.45° B.135° C.120° D.90°3.已知空间向量，，则（）A. B. C.1 D.24.在空间直角坐标系中，点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为（）A.(-1，-2，3) B.(-1，-2，-3) C.(-1，2，-3) D.(1，2，3)5.若，，且，则（）A.， B.，C.， D.，6.如图，在正方体中，为CD的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.7.在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.8.如图，空间四边形OABC中，，点M是OA中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（） B. C. D.9.已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（）A. B. C. D.10.如图，在正方体中，点E是侧面内的一个动点，若点E满足，则点E的轨迹为（）A.圆 B.半圆 C.直线 D.线段二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11.已知向量，则______．12.已知点的中点坐标为______．13.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________14.正四棱锥所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的正切值为______．15.棱长为1的正方体中，若点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是______.①平面平面②四面体的体积是定值③可能是钝角三角形④直线与AB所成的角可能为三、解答题：本大题共4小题，共40分．16.在长方体中，，点在AB上，且．（1）求直线与平面所成角正弦值；（2）求点到平面的距离．17.如图，已知直三棱柱中，若为AB的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值（2）求二面角的余弦值．18.如图，在四棱锥中，平面为正三角形，分别为棱PD，PB的中点.（1）如图，O为棱AD的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，是否合理？请说明理由；（2）求证：平面PCD；（3）求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且，点为棱DP的中点.（1）在棱BC上是否存在一点，使得∥平面PAN？如果存在，确定点N位置，如果不存在，请并说明理由；（2）若二面角余弦值为时，求棱DP的长度，并求点A到平面BCM的距离．2024-2025学年北京市西城区高二上学期10月月考数学学情检测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1.已知，，且，则（）A. B. C.6 D.1【正确答案】A【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由可得，解得，故选：A2.直线的倾斜角是（）A.45° B.135° C.120° D.90°【正确答案】B【分析】根据斜率即可求解倾斜角.【详解】由得，故斜率为则倾斜角为135°，故选：B3.已知空间向量，，则（）A. B. C.1 D.2【正确答案】D【分析】根据空间向量的坐标运算求解.【详解】∵，，则，∴.故选：D.4.在空间直角坐标系中，点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为（）A.(-1，-2，3) B.(-1，-2，-3) C.(-1，2，-3) D.(1，2，3)【正确答案】D【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可.【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面xOy对称，则这两点横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数，所以点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为(1，2，3).故选：D5.若，，且，则（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】B【分析】根据空间向量的共线条件，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，向量，，因为，可得，即，解得.故选：B.6.如图，在正方体中，为CD的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法线面夹角．【详解】设正方体的棱长为2，如图所示建立空间直角坐标系，则，可得，且平面的法向量，可得，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：C．7.在棱长为1正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可【详解】建立空间直角坐标系，如图，则，，，所以，，所以在上的投影为，所以点到直线的距离.故选：C.此题考查空间中点到线的距离，考查空间向量的应用，属于基础题8.如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】将表示为以为基底的向量，由此求得的值.【详解】依题意，所以.故选：C.本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.9.已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可.【详解】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，则，又平面，平面，∴平面，易知，故平面与平面是同一个平面，∴平面，此时，故选：B10.如图，在正方体中，点E是侧面内的一个动点，若点E满足，则点E的轨迹为（）A.圆 B.半圆 C.直线 D.线段【正确答案】B【分析】设与交点为，取中点，连接，证明，由，则，从而可得，最终得出（a为正方体的棱长），从而得轨迹．【详解】如图，设与交点为，取中点，连接，是中点，，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，则，，则，所以，设正方体棱条为a，则，显然，所以，在正方形内点到点的距离为，其轨迹是以为圆心的半圆，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11.已知向量，则______．【正确答案】【分析】根据题意先求，再根据模长的坐标运算求解.【详解】因为，则，所以.故答案为.12.已知点的中点坐标为______．【正确答案】【分析】根据空间中中点坐标公式运算求解即可.【详解】由题意可得：的中点坐标为，即.故答案为.13.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________【正确答案】【详解】如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为的坐标为，所以,所以.14.正四棱锥所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的正切值为______．【正确答案】【分析】作辅助线，分析可知二面角的平面角为，即可得结果.【详解】对于正四棱锥，设，可知为中点，取的中点，连接，，可得平面，平面，则，且，∥，因为，可得，可知二面角的平面角为，因为正四棱锥的所有棱长均为2，则，，可得，所以侧面与底面所成二面角的正切值为.故答案为.15.棱长为1的正方体中，若点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是______.①平面平面②四面体的体积是定值③可能是钝角三角形④直线与AB所成的角可能为【正确答案】①②③【分析】通过线面垂直证明面面垂直判断①；利用等体积法，由底面积和高都为定值，得四面体体积为定值，判断②；利用余弦定理得到可能为钝角，判断③；利用线线角的范围判断④.【详解】在正方体中，为线段上的动点（不含端点），对于①：因为平面，即平面，且平面，所以平面平面，故①正确；对于②：连接，因为且，即为平行四边形，则，即，平面，平面，可得平面，可知四面体的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，所以四面体的体积是定值，故②正确；对于③：因为正方体的棱长为1，所以，若是上靠近的一个四等分点，则，所以，此时，因为，此时为钝角，是钝角三角形，故③正确；对于④：过点作，交于，正方体中平面，则平面，平面，，直线与所成的角为，设，则，有，，中，，而，故④错误.故①②③.三、解答题：本大题共4小题，共40分．16.在长方体中，，点在AB上，且．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面距离．【正确答案】（1）（2）2【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法线面夹角；（2）利用向量法求得点到平面的距离.【小问1详解】以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，可得，所以直线与平面所成角的正弦值.【小问2详解】由（1）可得：，所以到平面的距离为.17.如图，已知直三棱柱中，若为AB的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值（2）求二面角的余弦值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）建系标点，可得利用空间向量求线线夹角；（2）分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.【小问1详解】因为平面，且，如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，则，所以异面直线与所成角的余弦值为.【小问2详解】由（1）可得：，设平面的法向量，则，令，则，可得，且平面的法向量，可得，由图形可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.18.如图，在四棱锥中，平面为正三角形，分别为棱PD，PB的中点.（1）如图，O为棱AD的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，是否合理？请说明理由；（2）求证：平面PCD；（3）求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值．【正确答案】（1）合理，理由见详解（2）证明见详解（3）【分析】（1）根据线面垂直分析可知两两垂直，即可判断；（2）根据题意理由空间向量可得，结合线面垂直的判定定理分析证明；（3）分别求平面AEF、平面PAD的法向量，理由空间向量求面面夹角.【小问1详解】合理，理由如下：由题意可知：∥，且，可知为平行四边形，可得∥，因为平面，可得平面，且平面，可得，又因为为正三角形，且O为棱AD的中点，则，即两两垂直，所以可以以为坐标原点建立空间直角坐标系.【小问2详解】由（1）中空间直角坐标系可得：，则，可得，即，且，平面PCD，所以平面PCD.【小问3详解】由（2）可知：，，设平面AEF的法向量为，则，令，则，可得，且平面PAD的法向量为，可得，所以平面AEF与平面PAD夹角的余弦值.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为菱形，且，点为棱DP的中点.（1）在棱BC上是否存在一点，使得∥平面PAN？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请并说明理由；（2）若二面角的余弦值为时，求棱DP的长度，并求点A到平面BCM的距离．【正确答案】（1）存在，点为的中点（2）；点A到平面BCM的距离为2【分析】（1）取的中点，可得平面∥平面PAN，根据面面平行的性质可得∥，进而可得结果；（2）建系标点，设，分别求平面BCM、平面PCD的法向量，根据面面夹角求得a，进而可求点到面的距离.【小问1详解】取的中点，连接，因为分别为的中点，则∥，且平面