教学课件-信号、系统分析与控制(MATLAB版)(刘国良)

信号、系统分析与控制MATLAB版（刘国良编著）注意：e(t)、e(n)、u(t)、u(n)在不同的书籍中意义一样，都表示阶跃函数。在本书中两种表示法同时存在。第1章信号与系统的基本知识1.1信号分析概述1.1.1信号、消息和信息所谓“消息（message）”，就是通过某种方式传递的声音、图像、文字、符号等。“信息（information）”，它是信息论中的一个术语。通过各种消息的传递，使人们获取各种不同的信息。因此，通俗的说，“信息”是指具有新内容、新知识的“消息”。为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。在本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。“信号（signal）”也称为“讯号”，是运载消息的工具，是消息的载体，“消息”通过“信号”表现出来。也就是说：“信号”是“消息”的表现形式与传送载体。“信号”是反映“信息”的各种物理量，是系统直接进行加工、变换和处理的对象。1.1.2信号的描述与分类1.连续信号和离散信号（1）连续信号与模拟信号连续信号：在观测过程的连续时间t的有效范围内，信号f(t)有确定的值。但允许在其时间定义域上存在有限个间断点。如果连续信号在任意时刻的取值都是连续的，即信号的幅值和时间t均连续，则称为“模拟信号”。（2）离散信号与数字信号离散信号：信号仅在规定的离散时刻有定义。时间上和幅度上都取离散值的信号则称为数字信号。2.周期性信号和非周期性信号连续信号和离散信号都可分为周期性信号和非周期性信号。（1）周期性信号满足上述关系的最小T（或整数N）称为该信号的“周期”。周期信号的判断：两个周期信号的周期分别为T1和T2，若其周期之比为有理数，则其和信号仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。对于周期信号，可用下面简单的交叉乘法确定其周期：若，则周期T（或N）=k1T1或k2T2（2）非周期性信号：若一个连续时间信号若在（-∞~+∞）区间内，不会周而复始地重复再现，即不满足（1.1.1）式，则称为连续非周期信号。例1-1-1判断下列信号是否为周期信号。

解：是周期信号，其角频率和周期分别为也是周期信号，其角频率和周期分别为

为有理数，故为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数（2T1或3T2）。和的周期分别为，由于为无理数，故为非周期信号。3.确定性信号和非确定性信号信号还可以分为确定性信号和非确定性信号（又称随机信号）。所谓“确定性信号”，就是其每个时间点上的值可以用某个数学表达式或图表唯一地确定的信号。如图1-1-1、图1-1-2所示的各种信号。所谓“随机信号”就是不能用一个明确的数学关系式精确地描述，因而也不能准确预测任意时刻的信号精确值，即信号在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这样的信号是不确定性信号，或称为“随机”信号。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。

另外，信号还可以分为能量信号和功率信号、时域信号和频域信号、时限信号和频限信号、实信号和复信号，一维信号与多维信号，因果信号与反因果信号，左边信号与右边信号等等。1.1.3信号分析通过研究信号的描述、运算、特性以及信号发生某些变化时其特性相应的变化，来揭示信号自身的时域特性、频域特性等等，称为信号分析。连续时间信号的分析通常可分为时域分析法、频域分析法和复频域分析法。用不同的时间函数描述具有不同形态信号波的形成是信号的时频分析，也称为波形分析。连续时间信号的时域分析，主要使用微分方程；离散时间信号的分析，主要依靠差分方程等。信号的频域分析是将连续时间（或离散时间）信号表示为复指数信号的加权积分（或加权和），这就导致了傅里叶分析的理论和方法，同时产生了信号频谱的概念。用频率函数来描述或表征任意信号的方法，称为信号的频率分析、频谱分析或傅里叶分析，这种分析信号的方法称为频域分析法。用复频率函数来描述或表征任意信号的方法，称为信号的复频率分析或拉普拉斯分析，这种分析信号的方法称为复频域分析法。离散时间信号的复频域分析使用z变换方法。1.2系统的概念信号和系统（System）是密不可分的。从一般意义上说，系统是一个由若干互相有关联的单元组成，并且有某种功能来用以完成、达到特定目的的一个整体。1.2.1系统的分类与描述1.系统的分类（1）根据系统处理信号的形式不同，系统可分为3种：连续系统：系统中各子系统的输入、输出信号均为连续信号（模拟信号），该系统为连续系统。离散系统：系统中各子系统的输入、输出信号均为离散信号（数字信号），信号为脉冲序列或数码形式，该系统为离散系统。离散时间系统的数学模型是差分方程式。

混合系统：系统中有的子系统输入、输出信号为连续信号（模拟信号），也有的子系统输入、输出信号为离散信号（数字信号），该系统为混合系统。（2）根据系统的性质，系统可分为：线性系统与非线性系统、时变系统与时不变系统，本书只讨论线性时不变系统。（3）动态系统与即时系统：若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为“动态系统”或“记忆系统”。含有记忆元件（电容、电感等）的系统是动态系统。否则称为“即时”系统或“无记忆系统”。（4）根据系统的输入和输出数量，系统分为：单输入单输出系统（SISO：Single-Input-Single-Output）与多输入多输出系统（MIMO：Multiple-Input-Multiple-Output）。系统还可以分为：因果系统与非因果系统，确定系统与不确定系统，稳定系统与不稳定系统等等。2.系统的描述系统可用数学模型和方框图来表示。一个系统可以用一个矩形方框图简单地表示，方框图左边为输入x(t)，右边为系统的输出y(t)，方框表示联系输入和输出的其他部分，是系统的主体。系统的组合连接方式有串联、并联及混合连接。连续系统可以用一些输入输出关系简单的基本单元（子系统）连接起来表示。这些基本单元有加法器、数乘器（放大器）、积分器。离散系统对应的基本单元有加法器、数乘器（放大器）、移位器。1.2.2系统分析系统可以看作是一个黑匣子，系统分析可从系统的端部出发，研究在不同信号的激励下，经过系统的处理、运算，分析其输出特性，而不考虑黑匣子内部的变量关系。T[.]表示这种处理或运算关系，即或（1.2.1）符号“T[.]”表示系统的映射或处理，可以把T[.]简称为系统。对T[.]加以各种约束，可定义出各类连续、离散时间系统，例如线性系统、非时变（时不变）系统、因果和稳定系统。系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统LTI（或在离散域中称为移不变：LSI）”，描述该系统的输入、输出特性使用常系数线性微分方程（或差分方程）。在本书中介绍的系统分析内容如下：（1）建立描述系统的数学模型，即在时域建立微分方程或差分方程；在频域建立傅立叶、拉普拉斯或z变换方程。从系统模型所关心的变量上可将LTI（LSI）系统的分析方法分为“输入-输出法”与“状态变量法”两大类。本书主要介绍“输入-输出法”。而从信号分解的角度又可将LTI系统的分析方法分为时域分析（卷积积分、卷积和、算子法）、频域分析（傅里叶分析）与变换域分析（拉普拉斯变换法、z变换法）等。（2）求系统的冲激响应，以系统的冲激响应代表系统的特性。系统分析的主要任务是分析系统对指定激励所产生的响应。其分析过程主要包括建立系统模型，根据模型建立系统的方程，求解出系统的响应，必要时对解得的结果给出物理解释。系统分析是系统综合与系统诊断的基础。本书仅限于对LTI（LSI）系统分析的研究。（3）研究系统函数，包括系统函数的建立、零极点分布等。描述系统特点的是系统函数，也称为转移函数、传递函数或网络函数。由于系统函数只取决于系统本身的特性，而与系统的输入无关，所以连续信号的系统函数和离散信号的系统函数，在系统分析中具有重要意义。（4）研究系统的稳定性。不论是一般的LTI系统，或者是LTI自动控制系统，任何有意义的系统都必须是稳定的。利用系统函数的零极点分布、bode图、nyquist()函数、系统的根轨迹分析等方法判断系统的稳定性，也是系统分析的主要内容之一。（5）研究系统的校正。通过对系统的分析，提出系统的校正方案。1.2.3系统控制

系统控制，就是可以通过控制系统改变系统内任何感兴趣、可变化的量，使被控制对象按照所希望的方式趋于和保持某种需要的理想稳定状态。LTI自动控制系统是LTI系统的一种，大多数是闭环的反馈系统。1.控制系统的分类控制系统有如下几种分类方法。（1）按控制原理分类按控制原理的不同，自动控制系统分为开环控制系统和闭环控制系统。开环控制系统：在开环控制系统中，系统输出只受输入的控制，控制精度和抑制干扰的特性都比较差。开环控制系统中，基于按时序进行逻辑控制的称为顺序控制系统；由顺序控制装置、检测元件、执行机构和被控工业对象所组成。主要应用于机械、化工、物料装卸运输等过程的控制以及机械手和生产自动线。闭环控制系统：闭环控制系统是建立在反馈原理基础之上的，利用输出量同期望值的偏差对系统进行控制，可获得比较好的控制性能。闭环控制系统又称反馈控制系统。（2）按给定信号分类按给定信号分类，自动控制系统可分为恒值控制系统、随动控制系统和程序控制系统。恒值控制系统：给定值不变，要求系统输出量以一定的精度接近给定希望值的系统。如生产过程中的温度、压力、流量、液位高度、电动机转速等自动控制系统属于恒值系统。随动控制系统：给定值按未知时间函数变化，要求输出跟随给定值的变化。如跟随卫星的雷达天线系统。程序控制系统：给定值按一定时间函数变化。如程控机床。2.控制系统的分析控制系统的分析包括动态性能和稳态性能的分析，可以运用时域分析法、根轨迹法和频域分析法以及状态空间分析法。

1.3线性、时不变系统1.3.1线性系统

线性系统满足奇次性（比例性）和可叠加性，因此线性系统对信号的处理可应用迭加定理，线性系统具有“零输入产生零输出”的特性。在连续线性系统中，若对两个激励和有：（1.3.1）式中a、b为任意常数，该式具有满足叠加性和（或齐次性）的特点。不满足该式的为非线性系统。线性系统具有“零输入产生零输出”的特性，可以由此判断是否为线性系统。也可以从描述系统的方程来判断是否为线性系统，以线性代数方程或线性微积分方程描述的系统方程，是线性系统。同样在离散线性系统中，若满足叠加性和比例性（或齐次性）特点的为线性系统，否则为非线性系统。例1-3-1验证线性系统。已知，验证该系统是否为线性系统。解：验证系统是否满足叠加原理。若：=3，则：

=4，则：得：而：，

由于该系统不满足可加性，所以不是线性系统。也可以利用线性系统的“零输入产生零输出”的特性验证：因为当=0时，=6≠0，这不满足线性系统的“零输入产生零输出”的特性，因此它不是线性系统。1.32.时不变（或移不变）性若系统的响应与激励加于系统的时刻无关，则该系统为时不变（或离散的移不变）系统。1.连续系统的时不变系统在连续系统中，组成系统的元器件参数不随时间而变化，称为时不变系统。该系统的特点是响应的变化规律与激励的时刻无关，即不管作用于系统的输入信号时间先后，对应输出响应信号的形状均相同，仅是出现的时间不同。输入信号先延时后进行变换，与它先进行变换后再延时，结果是等效的。2.离散系统的移不变系统由于在离散系统中时间的变化主要靠移位来实现，故一般也称为移不变系统。序列先移位后进行变换与它先进行变换后再移位是等效的。1.3.3线性时不变（或移不变）系统在连续系统中，既满足线性叠加原理又具有时不变特性，称为线性时不变系统，简称为：LTI（LinearTimeInvariant）。在离散系统中，既满足叠加原理又具有时不变（移不变）特性，即同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统，简称为：LSI（LinearShiftInvariant）系统，它可以用单位脉冲响应来表示。离散卷积：1.3.4线性时不变系统的性质1.齐次性2.叠加性3.线性4.时不变性5.微分性6.积分性1.4因果、稳定系统

1.4.1因果系统因果系统的定义：系统的输出只取决于此时与此时以前的输入，而与该时刻以后的输入没关系。通俗地说，就是系统无输入信号的激励就无响应输出，输出不能超前于输入，这样的系统称为“因果系统”。因果系统是物理可实现系统，就是说实际应用的系统都是因果系统。相反，不满足上述关系的是非因果系统，也就是不现实的系统。1.4.2稳定系统当一个系统受到某种干扰时，在干扰消失后其所引起的系统响应最终也随之消失，即系统能够回到干扰作用前的状态，则该系统就是稳定的，否则就是不稳定的系统。1.4.3因果稳定系统因果稳定系统同时满足因果性、稳定性。

对于离散系统，因果稳定系统的收敛域为：r<|Z|≤∞（r<1）

对于因果稳定系统的系统函数，其全部极点必须在单位圆内。

稳定的因果系统通常称为“物理可实现系统”，非因果系统通常称为“物理不可实现系统”。与模拟系统不同的是，离散系统可以实现非实时的非因果系统。1.5线性时不变系统的分析方法1.5.1线性时不变系统分析的意义在系统分析中，线性时不变系统分析具有重要意义，这是因为：一方面，实际工作中的大多数系统在指定条件下可被近似为线性时不变系统；另一方面，线性时不变系统的分析方法已经比较成熟，形成了较为完善的体系。因此，线性时不变系统的分析也是研究时变系统或非线性系统的基础。系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。因此，分析线性系统一般必须首先建立描述系统的数学模型，然后再进一步求得系统数学模型的解。在建立系统模型方面，系统的数学描述方法可分两类：一类称为输入、输出描述法（外部法）；另一类称为状态变量描述法（内部法）。1.5.2系统分析的外部法输入、输出描述法着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述线性时不变系统的输入、输出关系，对连续系统是用常系数线性微分方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。从系统数学模型的求解方法来讲，基本上可分为时域方法和变换域方法两类。1.时域分析法时域法是直接分析时间变量的函数，研究系统的时域特性。对于输入-输出描述的数学模型，可求解常系数线性微分方程或差分方程；对于状态变量描述的数学模型，则需求解矩阵微分方程。在线性系统时域分析方法中，卷积方法非常重要，不管是在连续系统中的卷积还是在离散系统中的卷积和，都为分析线性系统提供了简单而有效的方法。时域求解的基本思路：（1）把零输入响应和零状态响应分开求解。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。2.变换域分析法变换域方法是将信号与系统的时间变量函数变换成相应变换域的某个变量函数。变换域分析采用的数学工具：（1）卷积积分（连续系统）与卷积和（离散系统）。（2）傅里叶变换（连续系统）。（3）拉普拉斯变换（连续系统）。（4）Z变换（离散系统）。1.5.3系统分析的内部法状态变量描述法不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，特别适用于多输入、多输出系统（MIMO）。用这种方法建立的数学式为一阶标准形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和非线性系统，己成为系统理论与近代控制工程的基础。状态变量分析法既适用于时域分析法又适用于变换域方法。状态变量分析法不是本书学习内容。1.6LTI系统模型在线性系统理论中，一般常用的数学模型有5种形式：传递函数模型（tf），是系统的外部模型。包括传递函数模型的其他表现形式：零极点增益模型（zpk）、部分分式模型。状态方程模型（ss），是系统的内部模型。框图模型。用图框形式表现系统模型，我们分别以传递函数的形式建立了各部件的模型后，可用框图模型将它们有机地组合成完整的控制系统。MATLAB可用来完成框图模型的化简变换。1.6.1传递函数模型由于传递函数具有多项式之比的形式，因此实际上传递函数模型与部分分式模型是同一模型的不同表述方法。可使用residue()函数进行形式转换。多项式按s的降幂排列，缺项补零。传递函数的定义为经过零极点对消之后的输入、输出关系，当分子分母有公因式时，必须消除。1.6.2零极点增益与部分分式模型1.零极点增益模型零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行因式分解处理，以获得系统的零点和极点的表示形式：K为系统增益，zi为零点，pj为极点。通过求取系统的零、极点、增益模型直接获得系统的零极点，从而可以直接对控制系统的稳定性及是否为最小相位系统作出判断。在MATLAB中零极点增益模型用[z,p,k]矢量组表示。2.部分分式模型在线性系统中，特别是控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控制单元的和的形式。1.6.3状态空间模型状态空间法（state-spacetechniques）是现代控制理论中建立在状态变量描述基础上的对控制系统分析和综合的方法。不是本书学习内容，了解即可。

1.6.4模型的转换除框图模型外，传递函数模型、零极增益模型、状态空间模型这些模型之间可以互相转换，模型转换的函数包括：residue：传递函数模型与部分分式模型互换tf2zp：传递函数模型转换为零极点增益模型zp2tf：零极点增益模型转换为传递函数模型ss2tf：状态空间模型转换为传递函数模型ss2zp：状态空间模型转换为零极点增益模型tf2ss：传递函数模型转换为状态空间模型zp2ss：零极点增益模型转换为状态空间模型1.6.5minreal()函数与最小实现系统传递函数的定义为经过零极点对消之后的“输入-输出”关系，当分子分母有公因式时，必须消除。minreal()函数，可完成最小实现模型或零极点对消。最小实现是一种模型的实现，它消除了模型中过多的或不必要的状态。对传递函数或零极点增益模型，这等价于将可彼此对消的零极点对进行对消。使用方法如下：（1）sysr=minreal(sys)：消除在状态空间模型中的不可控制状态或不可察觉状态、在传递函数或零极点增益模型中对消零极点对。输出sysr具有最小阶次，并与原模型系统sys具有相同的响应特性。（2）sysr=minreal(sys,tol)：指定精度，用于状态消除或零极点对消。默认值tol=sqrt(eps)。（3）[sysr,u]=minreal(sys,tol)：对于状态空间模型sys，返回一个正交矩阵U。1.7LTI系统的连接

一个完整的系统是由许多子系统组成的，子系统的连接方式一般有串联（级联）、并联、混联和反馈连接4种。1.7.1系统串联联接与series()函数

series()函数串联连接两个LTI模型。此函数接受任何类型的LTI模型。这两个系统必须是两个连续或两个采样时间完全相同的离散系统。（1）sys=series(sys1,sys2)：串联连接两个LTI模型sys1和sys2。该连接的系统函数相当于两个系统函数直接相乘：

sys=sys2*sys1（2）sys=series(sys1,sys2,outputs1,inputs2)：多串联连接形式。outputs1指定sys1要连接的输出端，inputs2指定sys2要连接的输入端。1.7.2系统并联联接与parallel()函数parallel()函数并联连接两个LTI模型。此函数接受任何类型的LTI模型。这两个系统必须是两个连续或两个采样时间完全相同的离散系统。（1）sys=parallel(sys1,sys2)：并联连接两个LTI模型sys1和sys2。如图1-7-3所示。该连接相当于两个系统直接相加：

sys=sys2+sys1（2）sys=parallel(sys1,sys2,inp1,inp2,out1,out2)：多并联连接形式。out1、out2指定sys1、sys2要连接的输出端，inp1、inp2指定sys1、sys2要连接的输入端。1.7.3.系统增广联接与append()函数append()函数可实现系统增广联接。追加并成组LTI模型的输入、输出。系统增广联接的结构图如图1-7-5所示。语法如下：sys=append(sys1,sys2,...,sysN)（1）如果系统以传递函数H1(s),

.

.

.

,

HN(s)形式，由此产生的系统sys是块对角传递函数形式。1.7.4闭环系统与输出反馈系统的连接输出反馈系统的结构图如图1-7-7所示。使用函数connect（可以取代cloop函数）得到闭环系统的数学模型。connect()函数把给定的块图互连，构造一个LTI的聚合模型。可以通过两种方式指定块图的连接：基于名称的连接与基于索引的连接。1.基于名称的连接

（1）连接函数cloop()和connect()函数（注意两者使用方法）使用connect()函数，各系统的输入、输出信号端口都用指定名称进行连接（也可完成闭环）。使用cloop()函数可得到闭环系统的数学模型。语法如下：sys=connect(sys1,sys2,...,inputs,outputs)：inputs和outputs是块的外部I/O接点的名称，可使用串或串的单元数组指定。

[numc,denc]=cloop(num,den,sign)：输入开环系统的传递函数，左变量返回系统的闭环参数，numc为分子多项式系数向量，denc为分母多项式系数向量；右变量中的sign=1为正反馈，sign=-1为负反馈。sign的缺省值为-1。（2）汇总函数sumblk()函数sumblk()用于汇总基于名称连接的接点。语法如下：S=sumblk(OUTPUT,INPUT1,...,INPUTn)：返回转移函数S，用于汇总接点，OUTPUT=INPUT1+...+INPUTn。S=sumblk(OUTPUTNAME,INPUT1,...,INPUTn,SIGNS)：指定每一个输入信号的符号。例如图1-7-7：s=sumblk('e','x','y','+-')指定e=x–y。例：基于名称的连接C.InputName='e';C.OutputName='u';G.InputName='u';G.OutputName='y';Sum=sumblk('e',‘x','y','+-');T=connect(G,C,Sum,‘x','y')如果C是2个输入端，G是2个输出端的MIMO系统，获得系统函数T：C.InputName={'e1','e2'};C.OutputName={'u1','u2'};G.InputName=C.OutputName;G.OutputName={'y1','y2'};x={'x1','x2'};Sum=sumblk(C.InputName,x,G.OutputName,'+-');T=connect(G,C,Sum,x,G.OutputName)2.基于索引的连接在此方法中，首先使用append()函数将所有的LTI块追加、组合成一个聚合、无连接的模型blksys。然后，构建一个矩阵Q，其中每一行指定一个连接，或汇总（sum）blksys的输入向量u和输出向量y的接点。最后，使用connect()函数连接成系统。例如：[3200]表示y(2)反馈到u(3)。[72-156]表示y(2)-y(15)+y(6)反馈到u(7)。例：>>blksys=append(C,G);%u=inputstoC,G.u输入到C、G。y=outputsofC,G.而y是CG的输出>>Q=[21;1-2];%y(1)反馈到u(2)，y(2)负反馈到u(1)>>T=connect(blksys,Q,1,2)%ExternalI/Os:x输入u(1)，y输出是y(2)例1-7-5求单位输出反馈系统的数学模型。一个单位输出反馈系统的结构图，如图1-7-8所示，求其闭环系统的数学模型。解：（1）基于名称的连接num=[0012];den=[120];sys=tf(num,den);sys.InputName='e';sys.OutputName='y';Sum=sumblk('e','x','y','+-');G=connect(sys,Sum,'x','y')（2）基于索引的连接num=[0012];den=[120];sys=tf(num,den);blksys=append(sys);Q=[1-1];G=connect(blksys,Q,1,1)（3）也可以使用cloop函数实现：>>num=[0012];den=[1,2,0];>>[nc,dc]=cloop(num,den,-1);>>printsys(nc,dc)求出闭环系统函数：12------------------s^2+2s+121.7.5输出反馈联接与feedback()函数feedback()函数生成LTI模型的反馈连接，函数使用方法如下。1.一般的闭环反馈系统模型（1）sys=feedback(sys1,sys2,-1)：返回一个负反馈连接sys1、sys2的LTI模型sys。默认，-1可以省略。如图1-7-9所示。（2）sys=feedback(sys1,sys2,+1)：返回一个正反馈连接sys1、sys2的LTI模型sys。闭环模型sys有一个输入向量x和输出向量y。sys1、sys2必须都是连续或具有同样抽样时间的离散系统。例1-7-6求负反馈系统。已知系统函数为：、，求其负反馈系统。H1=tf([251],[123],'inputname','x',...'outputname','y');H2=tf([510],[110]);Cloop=feedback(H1,H2)程序运行结果，该系统的转移函数为：

2.通用的闭环反馈系统模型（1）sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,-1)：计算更通用的负反馈循环的闭环模型系统sys。默认，-1可以省略。如图1-7-10所示。（2）sys=feedback(sys1,sys2,feedin,feedout,+1)：计算更通用的正反馈循环的闭环模型系统sys。向量feedin包含sys1的输入向量的索引，并指定输入向量x的所涉及的反馈。同样，feedout指定sys1的输出y用于反馈的元素。由此产生的LTI模型系统sys有与sys1相同的输入和输出，并保留它们的顺序。3.单位输出反馈feedback()函数也可用于单位输出反馈，如图1-7-12所示。图1-7-12(a)：Cloop=feedback(G,1)%leftdiagram图1-7-12(b)：Cloop=feedback(1,G)%rightdiagram例如，例1-7-5的单位输出负反馈模型，可用下列程序实现：>>num=[0012];den=[120];>>sys=tf(num,den);>>G=feedback(sys,1)第2章信号的时域分析

信号的时域分析是在时域中对信号的时间函数的波形、组成等分析，即用不同的时间函数描述具有不同形态信号波的形成是信号的时频分析，也称为波形分析。2.1连续周期信号及分析2.1.1连续周期信号连续信号（模拟信号），包括周期性和非周期性信号，其信号存在于整个时间范围内，常用的包括正弦信号，方波信号，三角波信号，实指数信号，单位冲激信号，单位阶跃信号，斜坡信号，指数调制正弦信号，等等。1.正弦波使用正弦或余弦函数sin()、cos()函数生成连续正弦波，自变量用角频率与时间t的乘积代替。（2.1.1）其中，A为正弦波幅度，角频率=2πf，f为正弦波频率，单位为Hz，φ为相位角，单位为弧度。2.周期方波与正弦波类似，使用square()函数生成连续周期性方波，其用法如下：

y

=

square(t,duty)。以时间向量t为自变量，产生周期为2π的周期方波。duty是0～100之间的数字，指定方波的占空比，省略时，默认占空比为50%。>>t=-10:0.001:10;>>y=square(t);>>plot(t,y,'r');title('周期方波');axis([-10,10,-1.5,1.5]);>>line([-11,11],[0,0],'Color','b','LineWidth',1);程序运行后生成连续时间信号周期性方波，如图2-1-2所示。3.锯齿波和三角波锯齿波和三角波使用sawtooth()函数，其用法如下：（1）sawtooth(t)：产生幅度为±1，周期为2π的周期锯齿波。t是时间向量。（2）sawtooth(t,width)：产生幅度为±1，周期为2π的周期锯齿波或三角波。width是一个0～1之间的标量，用于确定最大值的位置，当t从0增大到width*2π时，函数值从-1上升到1；当t从width*2π增大到2π时，函数值从1下降到-1。当width=0.5时，产生三角波；当width=1时，与sawtooth(t)相同产生锯齿波；当width=0时，也产生锯齿波，但锯齿反向。例>>t=-10:0.001:10;>>y=sawtooth(t,0.5);>>plot(t,y,'r');title('三角波');>>line([-10,10],[0,0],'Color','b','LineWidth',1);程序运行后生成连续时间信号周期性三角波，如图2-1-3所示。2.1.2连续周期信号的时域分析1.连续周期信号的时域描述一个连续时间信号若在（-∞~+∞）区间，以T0为周期，周而复始地重复再现，则称为周期信号，其表示式是

（2.1.2）

式中T0为周期，频率f0=1/T0或基本角频率=2π/T0，n为正整数。显然，2T0，3T0…也是该信号的周期，通常把最小周期T0称为基本周期，f0或分别称为基本频率或基本角频率。但在实际中为了方便经常不加区别地统称为基频，而把具有W的时间函数称为基波，相应的2W，3W…的时间函数称为2次谐波，3次谐波等等。用一类时间函数的集合来描述一个周期信号称为周期信号的时域分析。将周期信号用无穷多的傅立叶级数来表示，其主要形式有2种：周期信号的三角形式。指数形式。2.周期信号的三角表示法任何一种周期信号，只要满足狄里赫利条件就可以用三角函数（正弦型函数）的线性组合来表示，称为三角形式的傅立叶展开，即

（2.1.3）

式中a0是常数，所以第一项表示直流分量。n为正整数，n=1表示基波、2、二次谐波、n次谐波等等。该式说明a0是信号在一个周期内的平均值，它表示信号的直流分量。至此，若已知周期信号就可以利用上述各式求得傅立叶系数a0、an、bn，并将展开为傅立叶级数的三角形式。由此可得出以下重要结论：周期信号可分解为直流，基波和各次谐波（基波角频率的整数倍）的线性组合。奇函数展开成傅立叶级数后，直流分量和余弦项为零，正弦项不为零。偶函数展开成傅立叶级数后，正弦项为零，直流分量和余弦项不为零。3.周期信号的复指数表示法根据尤拉公式可知，三角函数与复指数函数有着密切的关系，将尤拉公式代入式（2.1.3）得

（2.1.7）

该式称为复指数形式的傅立叶级数表示式。它表明一个周期信号可以由无限多个复指数信号所组成，W是基波频率，nW是n次谐波频率，它们的振幅和相位由cn决定，可求得如下结果：

（2.1.8）

可见，系数cn是个复数而且是离散变量nW的函数（n是整数，从-∞～+∞）。三角傅立叶级数和复指数傅立叶级数实质上不是两种不同类型的级数，而是同一级数的两种不同表现形式。

2.2连续非周期信号

常用的非周期信号有：非周期方波信号、单位冲激信号、单位阶跃信号、斜坡信号、实指数信号、指数调制正弦信号，等等。单位冲激信号、单位阶跃信号不同于普通函数，称为奇异函数，在信号与系统分析中有非常重要的特殊作用。这里将重点讨论阶跃函数和冲激函数。2.2.1非周期方波信号非周期方波信号，也叫矩形脉冲信号、门信号。使用rectpuls()函数生成，其语法如下：（1）rectpuls(t)：产生高度为1、宽度为1，关于t=0对称的门信号。（2）rectpuls(t，w)：产生高度为1、宽度为w，关于t=0对称的门信号。（3）rectpuls(t-t0，w)：产生高度为1、宽度为w，关于t=t0对称的门信号。例2-2-1产生高度为1、宽度为w=3，关于t0=2的门信号。程序如下：t=-2:0.0002:6;x=rectpuls(t-2，3);plot(t，x);axis([-1，6，0，1.2]);title('门信号');xlabel('(t)');ylabel('x=rectpuls(t-2，3)');gridon程序运行后生成的门信号，如图2-2-1所示。2.2.2非周期三角波tripuls()函数生成采样非周期三角波。其语法如下：（1）y

=

tripuls(T)：按数组T中给出的时间向量，返回一个连续的、非周期、对称，单位高度的三角脉冲，中心关于T=0对称，默认宽度为1。（2）y

=

tripuls(T,w)：生成中心关于T=0对称，宽度为w的三角脉冲。（3）y

=

tripuls(T,w,s)：生成中心关于T=0，宽度为w的三角脉冲。s决定顶点的位置，取值：-1

<

s

<

1，s为负值如-0.5时，顶点的位置在中点的左边，w的50%处，反之亦然。如果s=0，与y

=

tripuls(T,w)相同。例2-2-2生成非周期三角波fs=10000;t=-10:1/fs:10;w=4;x=tripuls(t,w,-0.5);figure,plot(t,x)xlabel('Time(sec)');ylabel('Amplitude');title('TriangularAperiodicPulse')程序运行后生成的非周期三角波信号，如图2-2-2所示。2.2.3抽样信号1.抽样信号（Sample）的定义是：（2.2.1）它是一个以2π的为周期的、幅度随x单调衰减震荡的信号，在信号分析、通信理论和自动控制等理论中有广泛的应用，例如：t=-10:0.002:10;%向量t时间范围t=t1:p:t2,p为时间间隔f=sin(t)./t;plot(t,f);xlabel('(t)');ylabel('f(t)')axis([-10,10,-0.4,1.1])grid2.与抽样信号变化规律相同的有“辛格函数（Singer）”，定义为：（2.2.2）该函数的意义是宽度为2π高度为1的矩形脉冲的傅里叶反变换，（2.2.3）3.周期性的sinc()函数也称为“狄利克雷（Dirichlet）”函数“diric()”。在MATLAB中，可以使用sinc()函数得到抽样信号Sa(x)，程序如下：t=-10:1/500:10;x=sinc(t/pi);plot(t,x);axis([-12,12,-0.5,1.2]);%line([-12,12],[0,0]);title('抽样信号');grid程序运行后生成的单位抽样信号，如图2-2-3所示。2.2.4单边实指数信号单边实指数信号表示为：（2.2.4）

e(t)表示阶跃信号，例如实指数信号：x(t)=3e^(-0.5t)，其实现程序如下：clearallE=3;a=0.5;t=0:0.001:3;x=E*exp(-a*t);plot(t,x)title('实指数信号');程序运行后生成的单边实指数信号，如图2-2-5所示。在实指数信号中，有以下规律：当a<0时，信号将随时间而增长。当a>0时，信号将随时间而衰减。当a=0时，信号不随时间而变化，为直流信号，电压为E。t=1/a为指数信号的时间常数，t越大，指数信号增长或衰减的速率越慢。2.2.5复指数信号

复指数信号实际上并不存在，但可以用它描述许多信号。表示形式为：（2.2.5）

复指数信号实部、虚部都为正（余）弦信号，指数因子实部

表征实部与虚部的正、余弦信号的振幅随时间变化的情况，

表示信号随角频率变化的情况。

>0时，为增幅震荡正、余弦信号。

<0时，为减幅震荡正、余弦信号。

=0时，为等幅震荡正、余弦信号。

=0时，为实指数号。

=0,=0时，为直流信号。2.3奇异信号与连续非周期信号的时域分析单位阶跃信号、单位斜坡信号与单位冲激函数都是奇异信号，它们在信号分析和处理中有特殊的作用。2.3.1单位阶跃信号与单位斜坡信号1.单位斜坡信号斜坡信号的定义是：（2.3.1）其中h是函数的斜率，即高度与时间距离之间的比率。其意义是，当时间到达某一时刻t0时，函数达到其幅度值当h=1、t0=0时，为斜率为1:1，起点在原点的斜坡函数，该函数成为单位斜坡函数，其定义如下：

（2.3.2）单位斜坡函数的MATLAB实现程序如下：>>

t=-2:0.02:2;>>f=t;>>plot(t,f)>>axis([-2,3,0,2.2]);>>title('单位斜坡信号');程序运行后生成的斜坡信号，如图2-3-1所示。2.单位阶跃信号（1）一般阶跃信号的定义是：（2.3.3）其中h是函数的幅度值。其意义是，当时间到达和超过某一时刻t0时，函数达到其幅度值h，在其它时刻函数值为0。显然，阶跃函数具有电路中“开关”的作用，在开关没有闭合时，电路中电压为0，若在t0时开关闭合，使电路电压为电源的电压值h。当h=1、t0=0时，该函数成为单位阶跃函数，又称为“赫维赛德”阶跃函数，t0≠0时，为延迟“赫维赛德”阶跃函数。该类型的信号就是单位阶跃信号。其定义如下：（2.3.4）单位阶跃函数的MATLAB实现程序如下：

>>t=-2:0.02:2;>>u=(t>=0);>>stairs(t,u);>>axis([-2,2,0,1.2]);>>title('单位阶跃信号');在此使用了stairs()函数取代plot()函数绘制，程序运行后生成的单位阶跃信号，如图2-3-2所示。（2）在符号运算中，直接使用MATLAB的heaviside()函数生成单位阶跃信号：t=-0.5:0.001:2;t0=0;u=heaviside(t-t0);plot(t,u)axis([-1201.2])title('单位阶跃信号');3.阶跃函数的性质和用途（1）可以方便地表示某些信号例如，如图2-3-5所示的一个矩形波信号，可表示为：。（2）利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围，例如可以用阶跃函数对信号进行切割，来表示信号的作用区间，如图2-3-6所示。

（3）积分运算也可以用阶跃函数表示：（2.3.6）2.3.2单位冲激信号

冲激信号的意义是，当时间到达某一时刻t=0时，信号值为无穷大，在其它时刻信号的值为0。冲激函数是个奇异函数，是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义。（2.3.7）

单位冲激函数，又称为“狄拉克（Dirac）”函数（由狄拉克最早提出）或δ函数。其定义如下：（2.3.8）冲激信号的物理意义，是宽度为t、高度为1/t，面积为1的矩形p(t)，当宽度t趋向于0时的信号，即冲激信号是高度无穷大，宽度无穷小，面积（积分结果）为1的对称窄脉冲。如图2-3-7所示。单位冲激函数的完整定义为：（2.3.9）

当单位冲激函数在t0时刻出现时，则可以得到一个延时的单位冲激函数，其定义如下：

（2.3.10）

具有δ函数性质的信号就是单位冲激信号或δ信号，它是一个非常特殊的信号，又称为奇异信号，它具有以下重要特性。1.加权特性（2.3.11）加权特性可以对信号进行筛选，因此也叫筛选特性。2.抽样特性（2.3.12）例如，则有：（2.3.13）3.尺度变换特性（2.3.14）由此得，（2.3.15）当a=–1时，，所以单位冲激函数为偶函数。一般使用离散信号的ones()和zeros()函数，生成冲激信号或冲激信号序列。在符号运算中，使用狄拉克函数“dirac()”产生冲激函数。2.3.3冲激偶

冲激函数的导数，，称为单位二次冲激函数或冲激偶。如图2-3-9所示。冲激偶有与冲激函数类似的特性：1.加权特性（2.3.16）（2.3.17）2.抽样特性（2.3.18）（2.3.19）（2.3.20）例如，

图2-3-9冲激偶3.尺度变换特性

（2.3.21）由此得，，（2.3.22）当a=–1时，所以，为偶函数，而冲激偶为奇函数。冲激函数是一个偶函数；其导数是一个冲击偶，是一个奇函数。冲激偶有冲激函数类似的加权特性、抽样特性和展缩（尺度变换）特性。2.3.3奇异信号之间的关系4种奇异信号之间具有一定的关系，可以互相转换。除了冲激信号与冲激偶信号之间的微积分关系外，还存在下述的微积分关系。1.冲激信号与阶跃信号关系冲激信号的积分是阶跃信号：（2.3.23）阶跃信号的微分是冲激信号：（2.3.24）例如一个方波信号，经过微分后，在上升沿和下降沿分别产生一个正负冲激信号。2.斜坡信号与阶跃信号关系斜坡信号的微分是阶跃信号：（2.3.25）阶跃信号的积分是斜坡信号：（2.3.26）2.3.4非周期信号的时域分析

凡信号波形在区间，不重复再现，信号函数不存在，T0是一个常数，表示为周期（以后用T表示），则该信号称为连续时间非周期信号。从数学上可以认为，它是周期信号在重复周期趋于无限的极限情况。因此非周期信号也可视如周期信号，以常见的基本信号为基础，在时间域对它进行描述。1.利用冲激函数表示非周期信号

一个非周期信号，可以近似地用一系列窄脉冲的线性组合来表示。

最后求得的准确表示式为：（2.3.27）

该式表明任何一个非周期信号可以由一系列不同强度的信号，作用于不同时刻的冲激信号的线性组合来表明。该式称为卷积积分，简称卷积。通常用下列符号表示卷积运算：即（2.3.28）式（2.3.27）、（2.3.28）表明，任意连续时间函数与冲激函数相卷积仍等于原来时间函数。

同理，两个连续时间信号相卷积可写成：（2.3.29）即

（2.3.30）

将非周期信号分解为冲激信号的线性组合，对线性系统的时域分析具有重要理论意义和实际意义。因为一旦求得系统对单位冲激信号的响应，则对任意信号的响应就等于一系列冲激响应的叠加。卷积运算符合交换律，可以采用解析法、图解法以及利用计算机进行数值计算。2.利用阶跃函数表示非周期信号信号还可以近似地通过一系列不同时刻的阶跃信号的线性叠加来表示，即（2.3.31）

该式是用阶跃信号表示任何非周期信号的表达式。它说明非周期信号在时域可分解为一系列不同幅度，作用于不同时刻的阶跃信号的线性组合。在等式右边的积分称为杜阿密尔积分（DuHamel’sintegrals）。例如，如图2-2-10所示，宽度为t，高度为A的矩形脉冲，可以用两个单位阶跃信号和的差表示：（2.3.32)

定义在有限区间，而且是矩形，当A=1、t=1时，该函数常被称为单位矩形窗函数。图2-3-10用单位阶跃信号表示的矩形脉冲2.4离散时间信号

2.4.1序列1.离散信号的定义离散时间信号可以从两个方面来定义：（1）离散信号是只在一系列离散的时间点n、k(n、k=0,±1,±2,…)上才有确定值的信号，而在其它的时间上无意义，因此它在时间上是不连续的序列，并且是离散时间变量n、k的函数。在数学上，离散时间信号表示为数的序列，记为[x(n)]、[f(k)]，或用集合符号表示为{x(n)}、{f(k)}。第n、k个数记为x(n)、f(k)，为方便起见就简单地用x(n)、f(k)表示，这就是“序列”。时间上和幅度上都取离散值的信号则称为数字信号。如图2-4-1(a)所示。（2）连续时间信号（模拟信号）若在数字传输系统中传输，首先需要对其采样（即离散化），采样后的结果就是离散信号，用f(kT)或x(nT)表示，T为抽样周期，一般简写为f(k)、x(n)。将得到的离散时间信号再进行量化，得到的就是数字信号。换句话说数字信号是离散时间信号量化的结果，如图2-4-1(b)所示。尽管独立变量n、k不一定表示物理意义上的“时间”，例如可以是温度、距离等。但一般把x(n)看作是时间的函数，n代表“时间”。在坐标系中横轴为“时间”自变量n轴，只有整数值有意义；纵轴是函数轴，其线段的长度代表各序列值的大小。2.获得离散信号的方法

离散信号的获取方法有两种：直接获取：从应用实践中直接取得离散信号，例如人口统计数据，气象站每隔一定时间测量的温度、风速等数据。从连续信号取样：把连续时间信号x(t)进行取样获得离散信号。取样间隔一般为均匀间隔，简化记为x(n)。3.离散信号的描述方法

离散信号的描述方法有3种：（1）数学解析式例如：（2.4.1）（2）序列形式：用序列的瞬时值表示序列。例如上例数学解析式可用序列形式表示为：（2.4.2）（3）图形形式。在图形（波形）中用线段的长度表示序列的瞬时值。数学解析式和序列形式可用图形形式表示，如图2-4-2所示。。根据离散变量的取值，序列又常分为以下3种形式：双边序列：单边序列：有限序列：4.数字角频率与模拟角频率的关系由于离散信号定义的时间为nT，显然有：其关系如下：为抽样频率，k为抽样频率倍数；（f0或W0）为正弦波信号模拟频率，单位为Hz（或rad/s）。称为归一化频率，即数字频率是归一化频率的倍。w0表示相邻两个样值间弧度的变化量。注意：模拟角频率W0的单位是rad/s，而数字角频率w0的单位为弧度：rad。数字角频率的带宽是有限的，w0

取值范围是或，这也是与模拟频率的较大区别点之一。2.4.2常见的离散信号1.离散周期正弦信号离散周期正弦信号可由连续周期正弦信号采样而来：（2.4.4）其中，A为正弦波幅度，为离散信号序列的角频率，也叫数字角频率，φ为相位角，单位是弧度（rad），fs为采样频率，单位为Hz。2.单位冲激脉冲序列（1）冲激脉冲序列也叫单位样值信号等，其定义如下：

（2.4.5）当n0=0时，上述定义为单位冲激脉冲序列，只有n=0处有一单位值1，其余点上为0。在数字系统中，序列d(n)也称为离散冲激，或简称冲激，这是一种最常用也最重要的序列，它在离散时间系统中d(t)的作用，类似于连续时间系统中单位冲激函数所起的作用。连续时间系统中，d(t)的脉宽为零，幅度为∞，是一种数学极限，并非现