高中数学复习专题29 求数列的通项公式10题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

专题29求数列的通项公式10题型分类1.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．2.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式，知道了首项和递推公式，就能求出这个数列的每一项．（一）观察法观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：=1\*GB3①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者部分．=2\*GB3②考虑各项的变化规律与序号的关系．=3\*GB3③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．题型1：观察法1-1．（2024·湖南长沙·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（

）个球．

A．12 B．20 C．55 D．1101-2．（2024·辽宁·三模）线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（

）A． B．C．存在正数，使得恒成立 D．1-3．（2024高二上·山东聊城·期中）若数列的前4项分别是，则该数列的一个通项公式为（

）A． B． C． D．71．（2024高三上·河北唐山·期中）若数列的前6项为，则数列的通项公式可以为（

）A． B．C． D．（二）1.累加法：形如的解析式形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．2.累乘法：形如的解析式形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．题型2：累加法2-1．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列中，，，则（

）A． B． C． D．2-2．（2024·新疆喀什·模拟预测）若，则（

）A．55 B．56 C．45 D．462-3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的通项为(

)A． B．C． D．2-4．（2024·四川成都·模拟预测）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（

）A． B． C． D．题型3：累乘法3-1．（2024高二·全国·课后作业）数列中，，（为正整数），则的值为（

）A． B． C． D．3-2．（2024高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知，则（

）A．506 B．1011 C．2022 D．40443-3．（2024高一下·青海西宁·阶段练习）已知数列满足，且，则(

)A． B． C． D．（三）待定系数法（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：求出，再可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再求出．（3）当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在通过累加法，求出之后得．题型4：待定系数法4-1．（2024·四川乐山·三模）已知数列满足，，则．4-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为.4-3．（2024高三·全国·专题练习）已知：，时，，求的通项公式．（四）同除法对于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均为常数)型方法一：观察所给的递推公式，它一定可以变形为an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn),将递推关系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn)解得x＝eq\f(c,p－q),则由原递推公式构造出了an＋1＋eq\f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋eq\f(c,p－q)·qn)，而数列{an＋eq\f(c,p－q)·qn}是以a1＋eq\f(c,p－q)·q为首相以为公比的等比数列。（注：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效）方法二：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以,则有eq\f(an+1,pn+1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。方法三：将an＋1＝pan＋cqn两边分别除以qn+1，则有，然后利用待定系数法求解。题型5：同除法5-1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．5-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．（五）取倒数法对于，取倒数得．当时，数列是等差数列；当时，令，则，可用待定系数法求解．题型6：取倒数法6-1．（2024高三·全国·对口高考）数列中，，，则．6-2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项.6-3．（2024高三·全国·专题练习）设，数列满足，，求数列的通项公式．（六）取对数法形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．题型7：取对数法7-1．（2024高三·全国·专题练习）设正项数列满足，，求数列的通项公式．7-2．（2024高三·全国·专题练习）设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有．（七）已知通项公式与前项的和关系求通项问题对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．题型8：已知通项公式与前项的和关系求通项问题8-1．（2024·青海西宁·二模）已知为数列的前项和，，，则（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20248-2．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列的前项和为，若，且，，则的值为A．－8 B．6 C．－5 D．48-3．（2024·陕西渭南·二模）已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为.8-4．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)已知，，求数列的前20项和.（八）周期数列（1）周期数列型一：分式型（2）周期数列型二：三阶递推型（3）周期数列型三：乘积型（4）周期数列型四：反解型题型9：周期数列9-1．（2024高二上·黑龙江·期中）已知数列满足，，则（

）A． B． C． D．9-2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，，记数列的前项和为，则（

）A． B．C． D．9-3．（2024高二上·河南周口·阶段练习）已知数列满足，若，则（

）A． B．C． D．9-4．（2024高二上·吉林·期末）已知数列满足：，，，，则（

）.A． B． C．1 D．2（九）前n项积型类比前项和求通项过程：（1），得（2）时，题型10：前n项积型10-1．（2024·福建南平·模拟预测）设为数列的前n项积．已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．10-2．（2024高二上·山东威海·期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．(1)求，；(2)求证：数列为等差数列；(3)求数列的通项公式．10-3．（2024·四川·模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.(1)求数列和的通项公式;(2)求数列的前n项和.一、单选题1．（2024高二上·浙江嘉兴·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（

）A．17 B．37 C．107 D．1282．（2024·海南·模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为，则（

）A．650 B．1050 C．2550 D．50503．（2024·吉林·三模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（

）A．22 B．24 C．25 D．264．（2024·吉林通化·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，，，，构成数列，其前n项和为，则（

）A． B． C． D．5．（2024高三·全国·对口高考）数列1，3，7，15，……的一个通项公式是（

）A． B． C． D．6．（2024·四川南充·模拟预测）已知数列满足：，，，则（

）A． B．C． D．7．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（

）A．2023 B．2024 C．4045 D．40478．（2024高二·全国·课后作业）已知，，则数列的通项公式是（

）A． B． C． D．n9．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为（

）A． B．C． D．10．（2024高二下·河南·期中）已知数列满足，(，)，则数列的通项（

）A． B．C． D．11．（2024高三下·安徽·阶段练习）在数列中，且，则它的前项和（

）A． B． C． D．12．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：在100年后的2122年为（

）A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年13．（2024·云南昆明·模拟预测）已知数列满足，则（

）A． B．1 C．4043 D．404414．（2024·云南玉溪·模拟预测）已知数列满足，若，则（

）A． B． C． D．215．（2024高三上·福建龙岩·期末）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（

）A．99 B．103 C．107 D．198二、填空题16．（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，则数列的通项公式为.17．（2024高三·全国·对口高考）已知数列中，，且（，且），则数列的通项公式为．18．（2024·山东泰安·模拟预测）数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是．19．（2024高二上·河南·阶段练习）若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则.20．（2024高三上·贵州贵阳·阶段练习）若数列满足，则.21．（2024高三·全国·专题练习）数列满足，前16项和为540，则．22．（2024高三·全国·专题练习）数列满足，前16项和为508，则．23．（2024高三·全国·专题练习）已知，，则的通项公式为．24．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则．25．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则．三、解答题26．（2024高三·全国·专题练习）已知数列，，且对于时恒有，求数列的通项公式．27．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足：求.28．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是首项为.(1)求通项公式；(2)求数列的前项和.29．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}中，，，求{an}的通项.30．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）已知数列中，，满足，设为数列的前项和．(1)证明：数列是等比数列；(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．31．（2024高三·全国·专题练习）在数列{}中，求通项公式．32．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．33．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式．34．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，求．35．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的通项公式．36．（2024高二·全国·专题练习）已知数列满足，求数列的通项公式．37．（2024·江苏南通·模拟预测）已知数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列的前n项和.38．（2024·广东潮州·二模）已知数列满足，.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和，求证：.39．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且（）.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.40．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和满足．(1)写出数列的前3项；(2)求数列的通项公式．41．（2024·河北衡水·三模）已知数列的前项和为，．(1)证明：是等差数列；(2)求数列的前项积．42．（2024·海南海口·一模）已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.43．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，.证明：是等比数列.44．（2024高三·全国·专题练习）已知是各项都为正数的数列，为其前n项和，且，，(1)求数列的通项；(2)证明：.45．（2024高三下·河北石家庄·阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.46．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知是数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前项和.47．（2024高三·全国·专题练习）已知数列，为数列的前项和，且满足，．(1)求的通项公式；(2)证明：．48．（2024·河北沧州·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.49．（2024·江西·三模）已知各项为正数的数列的前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项的和．50．（2024高三·全国·专题练习）记为数列的前项和．已知．证明：是等差数列；51．（2024高三上·江苏南通·阶段练习）为数列的前n项积，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)求的通项公式．52．（2024·湖北·模拟预测）已知数列的前n项之积为，且．(1)求数列和的通项公式；(2)求的最大值．53．（2024高三下·陕西西安·阶段练习）已知数