高中数学复习专题34 直线、平面垂直的判定与性质6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

专题34直线、平面垂直的判定与性质6题型分类1．直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊂α,n⊂α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范围：[0，π]．4．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,a⊥β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α常用结论1．三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．2．三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（一）证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．题型1：线面垂直关系的判断1-1．（2024·广西南宁·三模）已知l，m，n是三条不同的直线，，是不同的平面，则下列条件中能推出的是（

）A．，，且B．，，，且，C．，，，且D．，，且1-2．（2024·重庆·模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（

）A．若，且，则 B．若，，，则C．若，且，则 D．若，，，则1-3．（2024·甘肃天水·一模）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则题型2：证线线垂直2-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点，证明：.2-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，，．证明：2-3．（2024高三·全国·专题练习）已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.求证：；

2-4．（2024高三·全国·专题练习）在梯形中，，，，，如图1.沿对角线将折起，使点到达点的位置，为的中点，如图2.证明：.题型3：证线面垂直3-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，平面平面，是的中点，且.证明：平面；

3-2．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．证明：平面；

3-3．（2024高三·全国·专题练习）如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．证明：平面；3-4．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面ABD，E为AB的中点，，.证明：平面CED；（二）(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．题型4：面面垂直关系的判断4-1．（2024·陕西咸阳·二模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若∥，，则∥，②若，，则，③若，，则∥，④若，，，则其中正确的命题是（

）A．②③ B．②④ C．①③ D．①②4-2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的菱形中，对角线交于点，将沿折到位置，使平面平面.以下命题:

①；

②平面平面；③平面平面；④三棱锥体积为.其中正确命题序号为（

）A．①②③ B．②③ C．③④ D．①②④4-3．（2024·河南·模拟预测）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则题型5：证面面垂直5-1．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点.求证：平面⊥平面ABF5-2．（2024高三·全国·专题练习）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.证明：平面平面；5-3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.证明：平面平面；5-4．（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的空间几何体中，与均是等边三角形，直线平面，直线平面，.求证：平面平面；5-5．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在几何体中，平面，点在平面的投影在线段上，，，，平面.证明：平面平面.（三）垂直关系的综合应用(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．题型6：垂直关系的综合应用6-1．（2024·安徽淮北·一模）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，．(1)求证：面面ABCD；(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面平面PAD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．6-2．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.

(1)证明：平面；(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.6-3．（2024·天津·二模）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．（1）求证：AD⊥平面ABC；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；（3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长．6-4．（2024·全国·模拟预测）如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面三角形是等边三角形）中，，、、分别是，，的中点．(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由．一、单选题1．（2024高三上·湖北·开学考试）已知a，b是两条不重合的直线，为一个平面，且a⊥，则“b⊥”是“a//b”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2024高三上·山东潍坊·阶段练习）在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（

）A．2 B．1 C． D．3．（2024高一下·全国·课后作业）若平面平面，平面平面，则（

）A．B．C．与相交但不垂直D．以上都有可能4．（2024高三·全国·专题练习）空间中直线l和三角形的两边，同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定5．（2024·全国）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（

）A． B． C． D．6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知两条不同的直线l，m及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出的是（

）A．l与α，β所成角相等 B．，C．，， D．，，7．（2024·北京海淀·模拟预测）设是三个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列三个结论：①若，则；②若，则；③若，，则．其中，正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（2024高三·全国·专题练习）平行四边形ABCD中，，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形，则下列直线中有可能与直线垂直的是（

）①直线；②直线；③直线；④直线.A．①② B．①④C．②③ D．③④9．（2024高一·江苏·课后作业）对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（

）A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β10．（2024高一下·吉林·期末）设，，表示空间中三条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，，则B．若，，，，则C．若，，则D．若，，则11．（2024高一·全国·课后作业）已知直线平面，则经过且和垂直的平面（

）A．有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在12．（2024高一下·浙江宁波·期末）给出下列4个命题，其中正确的命题是（

）．①垂直于同一直线的两条直线平行；

②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；

④垂直于同一平面的两个平面平行．A．①② B．③④ C．②③ D．①④13．（2024高二上·北京·期中）在三棱锥中，若，，那么必有（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面14．（2024高一下·河南·期末）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（

）．A． B． C．3 D．15．（2024高二上·北京·期中）如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BA⊥AD，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体，使平面⊥平面BCD，则四面体的体积为（

）A． B． C． D．16．（2024高一下·福建厦门·期末）如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，.固定容器底而一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，，，四点，则的值为（

）A． B． C． D．17．（2024高一下·山西太原·期末）如图，在长方体中，..则直线与平面的距离为（

）A． B． C． D．18．（2024高二上·北京丰台·期中）棱长为1正方体中，E为的中点，则E到面的距离（

）A． B． C． D．19．（2024高二下·江苏泰州·期末）已知球O的半径为2，A，B，C为球面上的三个点，，点P在AB上运动，若OP与平面ABC所成角的最大值为，则O到平面ABC的距离为（

）A． B． C． D．20．（2024·浙江）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线相交，直线平面D．直线与直线异面，直线平面21．（2024·全国）在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面22．（2024高三·云南昆明·阶段练习）过正方体的顶点A的平面与直线垂直，且平面与平面的交线为直线，平面与平面的交线为直线，则直线与直线所成角的大小为（

）A． B． C． D．23．（2024·河南·模拟预测）在正方体中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（

）A．平面 B．平面平面C．平面 D．平面平面24．（2024·全国·一模）设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是（）A．①④ B．②③C．①③ D．②④25．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（

）A．已知直线，若，则.B．设是两条不同的直线，是一个平面，若，，则.C．若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．D．若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.二、多选题26．（2024·全国）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（

）A． B．C． D．27．（2024高三上·广东潮州·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是（）

A．B．C．平面平面D．28．（2024高二下·云南普洱·期末）如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列结论正确的是（

）A．三棱锥的体积不变 B．平面C． D．平面平面三、填空题29．（2024高一下·全国·专题练习）已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值．30．（2024高二上·上海徐汇·期末）已知正方体中，，点P在平面内，，求点P到距离的最小值为.31．（2024高三·全国·专题练习）已知直线a，b和平面，且，，则与的位置关系是．32．（2024高三·全国·专题练习）正方体中与垂直的平面有（填序号）．①平面；②平面；③平面；④平面．33．（2024高三下·河北衡水·阶段练习）如图，在棱长均为的正四面体ABCD中，M为AC中点，E为AB中点，P是DM上的动点，Q是平面ECD上的动点，则AP+PQ的最小值是．34．（2024高二上·山东枣庄·期中）如图，在菱形中，，，是的中点，将沿直线翻折至的位置，使得面面，则点到直线的距离为.35．（2024高三·全国·专题练习）在三棱锥中，点P在平面ABC中的射影为点O.（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的心．（2）若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的心．四、解答题36．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知，证明：.

37．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知.证明：.

38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是正方形，面．求证：面面；

39．（2024高三·全国·专题练习）正方体中，为棱的中点，求平面和平面夹角的余弦值.40．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知，，.证明：.

41．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，为的中点，，，，，，.证明：平面.

42．（2024高三·全国·专题练习）已知正方体.求证：⊥平面A1DC.

43．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知.证明：∥.

44．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，.求证：平面平面；

45．（2024高三·全国·专题练习）如图，在几何体中，矩形所在平面与平面互相垂直，且，，．求证：平面；46．（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，已知，.证明：平面；47．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）如图，在四棱柱中，底面，底面满足，且，.

(1)求证：平面；(2)求四棱锥的体积.48．（2024·江苏南京·二模）如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB；49．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱锥中，两两垂直，，且分别为线段的中点.求证：平面平面.

50．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，点D，E分别为棱BC，上的点，且，二面角的大小为，求实数的值．

51．（2