高中数学复习专题36 向量法求空间角6题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版）

专题36向量法求空间角6题型分类1．异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).2．直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝eq\f(|u·n|,|u||n|).3．平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).（一）异面直线所成的角用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系．(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．(4)注意两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．题型1：异面直线所成的角1-1．（2024高二上·北京丰台·期末）在正四棱柱中，，是棱上的中点．

(1)求证：；(2)异面直线与所成角的余弦值．1-2．（2024·全国·模拟预测）已知正三棱柱的侧面积是底面积的倍，点E为四边形的中心，点F为棱的中点，则异面直线BF与CE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．1-3．（2024高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，且四边形是正方形，，，分别是棱，，的中点.

(1)求证：平面；(2)若，求异面直线与所成角的余弦值.题型2：已知线线角求其他量2-1．（2024·广东·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，E，F分别为AD，PC的中点.

(1)证明：；(2)若BF与CD所成的角为，求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值.2-2．（2024高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，点是线段上的动点.(1)证明：平面平面；(2)若点在线段上，，且异面直线与成30°角，求平面和平面夹角的余弦值.2-3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.

(1)求证：平面；(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．（二）利用空间向量求线面角的解题步骤题型3：直线与平面所成的角3-1．（2024·贵州六盘水·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，，，分别为，的中点，且，，.(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.3-2．（2024高三上·江西赣州·期中）如图，在正三棱柱中，分别为的中点，.

(1)求；(2)求直线与平面所成角的正弦值.3-3．（2024·全国）在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．3-4．（2024·浙江）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．题型4：已知线面角求其他量4-1．（2024·重庆万州·模拟预测）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．

(1)若平面平面，证明：；(2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．4-2．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，在圆上.

(1)在图中作出交线（说明画法，不必证明），并求三棱锥的体积；(2)若点满足，且与平面所成角的正弦值为，求的值.4-3．（2024·安徽黄山·三模）如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．

(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．（三）利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与平面夹角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．题型5：平面与平面的夹角5-1．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，且，点分别为的中点．

(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．5-2．（2024高三上·天津南开·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，E是棱PB上一点．

(1)求证：平面平面PBC；(2)若E是PB的中点，（i）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．（ii）求平面PDC和平面EAC的夹角的余弦值．5-3．（2024高三上·江苏镇江·期中）如图，在四棱台中，底面是中点．底面为直角梯形，且．

(1)证明：直线平面；(2)求二面角的正弦值．题型6：已知面面角求其他量6-1．（2024·吉林长春·一模）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．

(1)求证：；(2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积．6-2．（2024高三上·四川成都·阶段练习）如图，在几何体中，平面四边形是菱形，平面平面，，且，，．

(1)证明：(2)若二面角是直二面角，求直线与直线所成角的余弦值．6-3．（2024·全国）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．一、单选题1．（2024高三上·安徽滁州·期末）如图，在正方体中，分别为棱，，的中点，则与MN所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．2．（2024·云南保山·二模）已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（

）A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆3．（2024高二下·江苏·阶段练习）在长方体中，为空间内一点，为底面内一点，且满足，异面直线与所成角为，则当线段的长度取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．4．（2024高二上·河北张家口·阶段练习）如图，四棱雉的底面是边长为3的正方形，，且，为上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．5．（2024·全国·模拟预测）柏拉图多面体是因柏拉图及其追陮者对正多面体的研究而得名.如图是棱长均为的柏拉图多面体，点，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、多选题6．（2024·湖南·模拟预测）正方体中，P是体对角线上的动点，M是棱上的动点，则下列说法正确的是（

）

A．异面直线与所成的角的最小值为B．异面直线与所成的角的最大值为C．对于任意的P，存在点M使得D．对于任意的M，存在点P使得7．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为2的正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（

）A．与所成角的余弦值为B．过三点A、M、的截面面积为C．四面体的内切球的表面积为D．E是边的中点，F是边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．三、填空题8．（2024高三·全国·专题练习）在三棱锥P－ABC中，底面ABC，底面ABC为正三角形，PA＝AB，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为9．（2024·河南开封·二模）已知矩形，，过作平面，使得平面，点在内，且与所成的角为，则点的轨迹为，长度的最小值为．10．（2024高三上·河北唐山·期末）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为.11．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知正方体的棱长为1，是棱的中点，为棱上的动点（不含端点），记㫒面直线与所成的角为，则的取值范围是.12．（2024·宁夏银川·模拟预测）在正四棱柱中，底面边长为1，高为3，则异面直线与AD所成角的余弦值是.13．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，则线段的长为四、解答题14．（2024高三上·安徽·开学考试）如图，在五面体中，底面为正方形，侧面为等腰梯形，二面角为直二面角，.

(1)求点到平面的距离；(2)设点为线段的中点，点满足，若直线与平面及平面所成的角相等，求的值.15．（2024·河南开封·三模）如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且，．

(1)若为的中点，求证：平面；(2)若与平面所成角为，求二面角的余弦值．16．（2024高三上·广东·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为AB，PD的中点.

(1)求证：平面PBC；(2)已知，，又二面角的大小为45°，求PD的长.17．（2024高三上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，为棱中点，且平面．

(1)求证：；(2)若，二面角的大小为，求三棱锥的内切球半径．18．（2024·江西九江·一模）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点．

(1)求证：平面平面；(2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长．19．（2024高三上·山东菏泽·阶段练习）在长方体中，，.点是线段上的动点，点为的中点.

(1)当点是中点时，求证：直线平面；(2)若二面角的余弦值为，求线段的长.20．（2024高三上·四川成都·阶段练习）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且．

(1)证明：底面；(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值．21．（2024·江苏徐州·模拟预测）在三棱台中，为中点，，，.(1)求证：平面；(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.22．（2024高三上·广东东莞·阶段练习）如图，四边形是矩形，四边形是梯形，，平面与平面互相垂直，．

(1)求证：．(2)若二面角为，求多面体的体积．23．（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为菱形，．

(1)若四棱锥的体积为1，求的长；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．24．（2024·河北张家口·三模）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.

(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.25．（2024高三上·黑龙江大庆·开学考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，点E在棱PD上，且

(1)证明：平面平面ACE；(2)求平面PAC与平面ACE所成角的余弦值．26．（2024高三上·河南郑州·阶段练习）如图，平面ABCD，，‖，‖，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．

(1)求证：‖平面CPM；(2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求线段QN的长．27．（2024高三·全国·专题练习）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，点E，F在以AD为直径的半圆上，且，将半圆沿AD翻折如图2．

(1)求证：EF∥平面ABCD；(2)当多面体ABE﹣DCF的体积为4时，求平面ABE与平面CDF夹角的余弦值．28．（2024·江苏·一模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.

(1)求证：平面；(2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值.29．（2024·广东广州·三模）如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.

(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.30．（2024高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）在四棱锥S﹣ABCD中，已知底面ABCD为菱形，若.

(1)求证：SE⊥平面ABCD；(2)若，设点H满足，当直线与平面所成角的正弦值为时，求μ的值.31．（2024·河南·模拟预测）已知三棱柱中，是的中点，是线段上一点.

(1)求证：；(2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求直线与平面所成角的正弦值.32．（2024高二上·河北张家口·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，．(1)求证：平面；(2)若点在线段上，直线与直线所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．33．（2024高三上·山西运城·阶段练习）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四点共面，且和均为等腰直角三角形，，平面平面，.

(1)求证：直线平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若点在直线上，求直线与平面所成角的最大值.34．（2024高三上·广东河源·开学考试）如图，在四棱锥中，分别为的中点，连接.

(1)当为上不与点重合的一点时，证明：平面；(2)已知分别为的中点，是边长为的正三角形，四边形是面积为的矩形，当时，求与平面所成角的正弦值.35．（2024高三上·湖南长沙·假期作业）如图所示，直三棱柱中，，，.

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.36．（2024高三·全国·对口高考）如图，图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，M为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．

(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)线段上是否存在点N，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点N，并求的长；若不存在，说明理由．37．（2024高三上·湖北·阶段练习）在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面，，.

(1)证明：平面平面；(2)若E为PC的中点，异面直线BE与PA所成角为，求四棱锥的体积.38．（2024高三上·云南昆明·期中）图1是由正方形和正三角形组成的一个平面图形，将沿折起，使点到达点的位置，为的中点，如图2．

(1)求证：平面；(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．39．（2024高三上·辽宁·期中）直三棱柱中，底面是等腰直角三角形,，，分别为的中点且在平面上的射影是的重心.

(1)求证：平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．40．（2024·全国）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．41．（2024·全国·模拟预测）如图1所示，四边形ABCD中，，，，，M为AD的中点，N为BC上一点，且．现将四边形ABNM沿MN翻折，使得AB与EF重合，得到如图2所示的几何体MDCNFE，其中．

(1)证明：平面FND；(2)若P为FC的中点，求二面角的正弦值．42．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体ABCDPQ中，四边形ABCD为菱形，，，，平面平面ABCD，平面ABCD，．(1)证明：；(2)求二面角的余弦值．43．（2024高三上·广东江门·阶段练习）如图，平面平面，且．

(1)求证：平面平面;(2)若，求二面角的正弦值．44．（2024高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，已知三棱柱的所有棱长均为1．(1)从下面①②③中选择两个作为条件，证明另一个成立；①；②为直角；③平面平面．(2)设点是棱上一点．在（1）中条件都成立的情况下，试确定点的位置，使得直线与平面所成的角最大．45．（2024·浙江·一模）如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．

(1)若是中点，求证：；(2)求直线和平面所成角的正弦值．46．（2024高三上·湖北·期中）如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，，的中点分别为，，，且.

(1)证明：平面平面.(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.47．（2024高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）在如图所示的多面体MNABCD中，四边形ABCD是边长为的正方形，其对角线的交点为Q，平面ABCD，，，点P是棱DM的中点.

(1)求证：；(2)求直线CN和平面AMN所成角的正弦值.48．（2024高三上·广西·阶段练习）如图：四棱雉中，底面为矩形，为直角三角形，的面积是面积的倍．(1)求证：平面平面；(2)为上的一点，四棱锥的体积为四棱锥体积的一半，求直