2024-2025学年湖北省随州市曾都区八角楼教联体九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省随州市曾都区八角楼教联体九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列成语中描述的事件必然发生的是（）A．水中捞月 B．日出东方 C．守株待兔 D．拔苗助长3．（3分）将一元二次方程x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（）A．1，5 B．1，﹣5 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣4．（3分）抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）5．（3分）将抛物线y＝﹣x2经过怎样平移变换得到y＝﹣（x+2）2﹣3（）A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移2个单位，再向下平移3个单位6．（3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（）A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50%7．（3分）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A'B'C'，且点B刚好落在A'B'上．若∠A＝26°，∠BCA'＝44°，则α等于（）A．37° B．38° C．39° D．40°8．（3分）如图，A、D是⊙O上的两点，A是弧BC的中点，若∠D＝35°，则∠BAC的度数是（）A．100° B．110° C．35° D．25°9．（3分）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠A＝90°，AB＝5，BC＝13，则⊙O的半径是（）A．1 B． C．2 D．10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＝0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；③若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（每小3题，共15分）11．（3分）若点A（a，3）和B（﹣2，b）关于原点对称，则a+b＝．12．（3分）一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的底面半径是．13．（3分）若函数y＝ax2+bx﹣1经过点（1，1），则代数式a+b+1的值等于．14．（3分）某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是m15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为；DP的最大值为．三、解答题（本题共9小题，共75分）16．（6分）解方程：（1）x2+8x﹣12＝0；（2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x．17．（6分）如图：△ABC、△ECD都是等边三角形，且B、C、D在同一直线上．（1）求证：BE＝AD；（2）△EBC可以看作是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到，请说明得到△EBC的过程．18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求m的值．19．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）方程ax2+bx+c＝0的解为；（2）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；（3）若方程ax2+bx+c＝m有实数根，直接写出m的取值范围．20．（8分）打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题；（1）条形图中的m＝，n＝，文学类书籍对应扇形圆心角等于度；（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，DE＝4，求AD的长．22．（10分）综合与实践．活动名称：聪明果销售方案设计材料一：学校附近超市以每袋30元的价格购进了若干袋真空包装的聪明果进行销售，售价定为60元/袋，一周可以销售100袋．材料二：超市老板发现，聪明果销售单价每降低1元，每周销量增加10袋，决定降价销售，但售价高于进价．任务一：建立函数模型（1）设聪明果的销售单价为x（元/袋），每周的销售量为y（袋），每周的销售利润为W（元），分别写出y与x，W与x的函数解析式；任务二：设计销售方案（2）若每周的销售利润为3750元，销售单价应定为多少元？（3）销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少？23．（11分）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8．将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BC于点P．数学思考：（1）试判断PC与PE的数量关系，并说明理由．深入探究：（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题．①“乐学小组”提出问题：如图2，当∠CAE＝45°时，则线段BP的长为．②“善思小组”提出问题：如图3，当∠CAE＝∠B时，求线段BP的长．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，它的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在第一象限时，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，若四边形AOPQ是平行四边形，求m的值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以PM，CM为边作矩形PMCN，设矩形PMCN的周长为l．①求l与m的函数解析式；②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，直接写出l的取值范围．

2024-2025学年湖北省随州市曾都区八角楼教联体九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析题号12345678910答案CBBBDADBCB一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不符合题意；故选：C．2．【解答】解：A、水中捞月，是不可能事件；B、日出东方，是必然事件；C、守株待兔，是随机事件；D、拔苗助长，是不可能事件；故选：B．3．【解答】解：将一元二次方程x2﹣4＝5x化为一般形式为x2﹣5x﹣4＝0，则二次项系数为1，一次项系数为﹣5．故选：B．4．【解答】解：因为y＝（x+2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B．5．【解答】解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3），点（0，0）需要先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点（﹣2，﹣3）．∴抛物线y＝﹣x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3．故选：D．6．【解答】解：根据题意得：（1﹣x）2＝50%．故选：A．7．【解答】解：∵△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，∴∠A′＝∠A＝26°，∠ABC＝∠B′，CB＝CB′，∴∠B′＝∠CBB′，∵∠CBB′＝∠A′+∠BCA′＝26°+44°＝70°，∴∠B′＝70°，∴∠BCB′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴α＝40°，故选：D．8．【解答】解：∵A是的中点，∴，∴AB＝AC，∴∠BCA＝∠B，∵＝，∠D＝35°，∴∠B＝∠D＝35°，∴∠BCA＝35°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝180°﹣35°﹣35°＝110°，故选：B．9．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，AB＝5，BC＝13，∴AC＝＝12，∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴BD＝BE，AD＝AF，CF＝CE，如图，连接OD，OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OD⊥AB，OF⊥AC，OD＝OF，∴∠ODA＝∠A＝∠OFA＝90°，∴四边形ADOF是正方形，设OD＝OF＝AF＝AD＝x，则CE＝CF＝12﹣x，BD＝BE＝5﹣x，∵BE+CE＝13，∴5﹣x+12﹣x＝13，∴x＝2，则圆O的半径为2．故选：C．10．【解答】解：①将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，可得a﹣b+c＝0，故①正确；②∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1，∴点（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）到对称轴的距离分别为：4，1，3，∵a＜0，∴图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，∴y1＜y3＜y2，故②错误；③∵二次函数图象的对称轴为直线，∴b＝﹣2a又∵a﹣b+c＝0，∴a+2a+c∴c＝﹣3a∴当x＝1时，y取最大值，最大值为y＝a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣即二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象的顶点坐标为（1，﹣4a∴若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣4a故③正确；④∵二次函数图象的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∵y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象向上平移一个单位长度，即为y＝ax2+bx+c+1的图象，∴y＝ax2+bx+c+1的图象与x轴的两个交点一个在（﹣1，0）的左侧，另一个在（3，0）的右侧，∴若方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3，故④正确；综上可知，正确的有①③④，共3个．故选：B．二、填空题（每小3题，共15分）11．【解答】解：∵点A（a，3）和B（﹣2，b）关于原点对称，∴a＝2，b＝﹣3，∴a+b＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．12．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，∴圆锥的底面周长是：2π；设圆锥的底面半径是r，则2πr＝2π．解得：r＝1．故答案为：1．13．【解答】解：∵二次函数的图象经过点（1，1），∴a+b﹣1＝1，∴a+b＝2，∴a+b+1＝3．故答案为：3．14．【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝ax2+b，由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2.4，∵菜农的身高为1.8m，即y则1.8＝﹣x2+2.4，解得：x＝±，故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：3米，故答案为：3．15．【解答】解：△CDP的面积为；由题意可得△CDP的面积等于矩形ABCD的一半，∴△CDP的面积为；在Rt△APD中，PD＝，当AP最大时，DP最大，由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线CN与圆相切时，AP最大，此时C、N、M三点共线，此时点P和M重合，DP的值最大，如图；设AP＝x，则PB＝5﹣x，DN＝4，∴CN＝3，在Rt△PBC中，根据勾股定理有：（5﹣x）2+42＝（x+3）2，解得x＝2，∴DP＝2，故答案为：10，2，三、解答题（本题共9小题，共75分）16．【解答】解：（1）x2+8x﹣12＝0，（x﹣2）（x﹣6）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣6＝0，∴x1＝2，x2＝6；（2）（x+2）（x﹣1）＝2﹣2x，（x+2）（x﹣1）﹣2（1﹣x）＝0，（x﹣1）（x+2+2）＝0∴x+4＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1．17．【解答】证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD于△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE；（2）解：∵△ECD是等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，同理CA＝CB，∠ACB＝60°∴以点C为旋转中心将△DAC逆时针旋转60°就得到△EBC．18．【解答】解：（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0：1﹣4（m+1）＞0．解得，．（2）由题意可知，x1+x2＝1，x1x2＝m+1．所以1﹣（m+1）＝m2﹣2．解得m1＝﹣2，m2＝1．∵，∴m＝﹣2．19．【解答】解：（1）当y＝0时，函数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程的两个根，由图可知，方程的两个根为x1＝﹣1，x2＝3．故答案为：x1＝﹣1，x2＝3；（2）当0＜x＜3时，根据函数图象，y的取值范围为：﹣2＜y＜0；（3）由图：方程ax2+bx+c＝m有实数根，即函数y＝ax2+bx+c与y＝m有交点，此时，m≥﹣2．20．【解答】解：（1）参与调查的总人数为：4÷8%＝50（人），m＝50×36%＝18，n＝50﹣18﹣10﹣12﹣4＝6，文学类书籍对应扇形圆心角＝，故答案为：18，6，72；（2）（人），因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；（3）画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，∴概率为：．21．【解答】（1）证明：如图，连接OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AC＝AB，∴DC＝BD，∴OD是△BAC的中位线．∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE是⊙O的切线；（2）如图，作OF⊥AC于点F，∵DE⊥OD，DE⊥CF，∴四边形ODEF为矩形，∴EF＝OD＝AO＝5，OF＝DE＝4，Rt△OAF中，，∴AE＝AF+EF＝8，Rt△ADE中，．22．【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+10（60﹣x）＝﹣10x+700，W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000，（2）由题意得，﹣10x2+1000x﹣21000＝3750；整理得，x2﹣100x+2475＝0，解得，x1＝45，x2＝55，答：销售单价应定为45元或55元时，每周的利润是3750元；（3）∵W＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，∴x＝50时，W最大＝4000，即销售单价定为50元时，每周的销售利润最大，最大利润是4000元．23．【解答】（1）解：PC＝PE，理由：如图1，连接AP，由旋转的性质知，AC＝AE，∠AED＝∠C＝∠AEP＝90°，∵AP＝AP，∴Rt△APE≌Rt△APC（HL），∴PC＝PE；（2）解：①如图2，延长AE，交BC于点F，∵∠CAE＝45°，∠C＝∠AEP＝90°，∴∠EPF＝∠EFP＝∠CAE＝45°，∴PE＝EF，AC＝CF＝6，由（1）知，PC＝PE，设PC＝PE＝x，则，∴，∴，∴，故答案为：；②如图3，∵∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，∴，由旋转的性质知，AD＝AB＝10，DE＝BC＝8，∠B＝∠D，∠C＝∠AED＝90°，当∠CAE＝∠B时，∵∠B+∠EAD＝90°，∴∠CAE+∠D＝∠CAD＝90°，∴∠CAD+∠C＝180°，∴AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠D