北京市西城区2024-2025学年高一上册9月月考数学学情检测试题（含解析）

北京市西城区2024-2025学年高一上学期9月月考数学学情检测试题一、单选题（本大题共40分，每小题4分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.命题“”的否定为（）A. B.C D.3.已知集合，，且、都是全集的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.或x>5C D.4.下列各式：①；②；③；④，其中错误的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.已知，则最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.26.已知实数,若,则下列不等式一定成立是（）A. B.C. D.7.设，则“”是“”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件9.设集合，则（）A. B.C. D.10.已知对于集合、，定义，.设集合，集合，则中元素个数（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共30分，每小题5分）11.不等式的解集为______________．12.已知不等式的解集是，则__________，__________.13.已知集合，，则集合B的子集共有________个．14.能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为_________.15.设全集为，集合，，则下列四个命题中正确的是______．①；②；③；④16.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．三、解答题（本大题共50分）17.解关于的不等式.（1）;（2）（3）.18.已知集合.（1）若，求；（2）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数的取值范围.条件①：条件②.19.设集合，集合.（1）若，求；（2）设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.20.计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：（1）将表示为的函数，并写出定义域；（2）当取何值时，取最大值？最大值是多少？（3）若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围.北京市西城区2024-2025学年高一上学期9月月考数学学情检测试题一、单选题（本大题共40分，每小题4分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用交集的定义运算即可.【详解】由题意可知.故选：D2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可.【详解】由于特称命题的否定为全称命题，故命题“”的否定为“”故选：A．3.已知集合，，且、都是全集的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）A. B.或x>5C. D.【正确答案】C【分析】解不等式求得集合，结合韦恩图求得正确选项.【详解】，，韦恩图表示.故选：C4.下列各式：①；②；③；④，其中错误的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【正确答案】A【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.【详解】由元素与集合的关系可知正确，不正确，由集合之间的关系知正确，由集合中元素的无序性知正确，故错误的个数为1，故选：A本题主要考查了元素与集合关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题.5.已知，则的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.2【正确答案】B【分析】变形为，再根据基本不等式即可求解最值.【详解】由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4.故选：B6.已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】由不妨取特殊值将选项A,B,C排除,关于D,由,即有,取倒数即可证明选项正误.【详解】解:由题知,不妨取则有,,故选项A,B错误;关于选项C,不妨取,故选项C错误;关于选项D,,,故选项D正确.故选:D7.设，则“”是“”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】等价于，故推不出；由能推出．故“”是“”的必要不充分条件．故选B．充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．8.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【正确答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】，或，所以，“”“”，但“”“”，所以，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.9.设集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】列出集合、，可判断两者之间的关系.【详解】∵集合，，∴.故选：B.10.已知对于集合、，定义，.设集合，集合，则中元素个数为（）A.B.C.D.【正确答案】D【分析】先理解新定义，再根据新定义计算即可.【详解】∵，，∴，，∴，其中有个元素，故选D.二、填空题（本大题共30分，每小题5分）11.不等式的解集为______________．【正确答案】或【分析】由题可得，进而即得.【详解】由，得，所以或，故不等式得解集为或．故或．12.已知不等式的解集是，则__________，__________.【正确答案】①.②.【分析】根据三个二次之间的关系结合韦达定理运算求解.【详解】由题意可知：方程的两根为，则，解得，故；.13.已知集合，，则集合B的子集共有________个．【正确答案】8【分析】利用集合的定义及子集的定义即可求解.【详解】由题意可知，当时，；,当时，或；或，所以，所以集合B的子集共有个.故答案为.14.能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为_________.【正确答案】（答案不唯一）【分析】将关于的不等式在上恒成立问题转化为，从而得到的取值范围，命题为假命题时的取值范围是真命题时的补集，即可得的取值.【详解】若不等式在上恒成立，则，解得，所以该命题为假命题时实数的取值范围是，所以实数的一个取值为.故（答案不唯一，只要满足“或”即可）.15.设全集为，集合，，则下列四个命题中正确的是______．①；②；③；④【正确答案】②③④【分析】集合为非负偶数集，为非负的四的倍数的集合，通过集合间的运算即可得出结论.【详解】全集，由于集合是非负偶数集，集合是非负的四的倍数的集合，真包含，，①错误；，②正确；，③正确；，④正确.故②③④.16.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．【正确答案】①.130.②.15.【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值.【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元,元时,李明得到的金额为,符合要求.元时有恒成立,即,即元.所以的最大值为.本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.三、解答题（本大题共50分）17.解关于不等式.（1）;（2）（3）.【正确答案】（1）（2）（3）答案见解析【分析】由公式解不含参数的一元二次不等式，分类讨论解含参数的一元二次不等式.【小问1详解】不等式，即，解得，所以不等式的解集为；【小问2详解】不等式，即，解得或，所以不等式的解集为；【小问3详解】不等式，当时，解集为或，当时，解集为或，当时，解集为.18.已知集合.（1）若，求；（2）从条件①和条件②选择一个作为已知，求实数的取值范围.条件①：条件②.【正确答案】（1）或，，；（2）见解析【分析】（1），求出集合B，进行交并补运算即可；（2）选①，分类讨论处理子集关系即可，选②，转化为子集关系，布列不等式组，解之即可.【小问1详解】集合所以或，，；【小问2详解】选①.若，则，解得;若，则，解得；综上得，；选②：，则，则，无解，即实数m不存在.19.设集合，集合.（1）若，求；（2）设命题：，命题：，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）化简集合，即得解；（2）化简集合，得到集合是集合的真子集，解不等式组即得解.【详解】（1）.因为，所以，因此；（2），，因为是成立的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，因此有，解得.本题主要考查集合的关系和运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，考查必要不充分条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：（1）将表示为的函数，并写出定义域；（2）当取何值时，取最大值？最大值多少？（3）若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围.【正确答案】（1），（2）x为30时，y取最大值为1215（3）【分析】（1）按题意给出另一