乘法公式第4课时完全平方公式的应用教学课件 2024-2025学年七年级数学下册（北师大版2024）

北师大版（2024）七年级数学下册第一章整式的乘除1.3乘法公式第4课时完全平方公式的应用目录学习目标01情景导入02新知探究03课本例题0405课本练习06分层练习0807课本习题课堂小结学习目标1.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式.2.能准确运用平方差公式、完全平方公式及多项式乘以多项式的法则进行多项式的乘法运算和数的简便计算.3.理解并掌握完全平方公式的几种变化形式.情景导入(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2前面我们学习了完全平方公式：口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。新知探究怎样计算下列两式更简单呢？(1)1022(2)1992(1)1022=(100+2)2=10000+400+4=10404(2)1992=(200–1)2=40000-400+1=39601=1002+2×100×2+22=2002-2×200×1+12

完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2或者(a−b)2的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．归纳总结例题讲解例

计算：(1)(x+3)2-x2；(2)(a+b+3)(a+b-3)

；

(3)

(x+5)2–(x-2)(x-3)；

(4)[(a+b)(a-b)]2.解：(1)方法一(x+3)2-x2=x2+6x+9-x2=6x+9.逆用平方差公式用完全平方公式方法二(x+3)2-x2=[(x+3)+x][(x+3)-x]=(2x+3)×3=6x+9．对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算.例

计算：(1)(x+3)2-x2；(2)(a+b+3)(a+b-3)

；

(3)

(x+5)2–(x-2)(x-3)；

(4)[(a+b)(a-b)]2.例

计算：(1)(x+3)2-x2；(2)(a+b+3)(a+b-3)

；

(3)

(x+5)2–(x-2)(x-3)；

(4)[(a+b)(a-b)]2.解：(2)(a+b+3)(a+b-3)=[(a+b)+3][(a+b)-3]=(a+b)2-32

=a2+2ab+b2-9.(4)[(a+b)(a-b)]2

=(a2-b2)2

=a4-2a2b2+b4.解：(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)

=(x2+10x+25)-(x2-2x-3x+6)=x2+10x+25-x2+5x-6=15x+19.例

计算：(1)(x+3)2-x2；(2)(a+b+3)(a+b-3)

；

(3)

(x+5)2–(x-2)(x-3)；

(4)[(a+b)(a-b)]2.观察思考

观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论。…1×12×23×3解:m×m

点阵中的点数:m2；

n×n

点阵中的点数:n2；m×m

点阵、n×n

点阵中的点数之和:m2+n2；(m+n)×(m+n)点阵中的点数:(m+n)2。(m+n)2-(m2+n2)＝m2+2mn+n2-m2-n2＝2mn。所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m

点阵、n×n

点阵中的点数之和不一样多。…1×12×23×3概念归纳1.当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用乘法公式计算.2.整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减.特别解读1.添括号只是一个变形，不改变式子的值.2.添括号是否正确，可利用去括号检验.随堂练习利用整式乘法公式计算：(1)962(2)(a-b-3)(a-b+3)解：962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=10000-800+16=9216解：(a-b-3)(a-b+3)=(a-b)2-32=a2-2ab+b2-9分层练习基础题

C

2.[2024大同期末]

下列计算正确的是(

)A

B

1

5.用完全平方公式进行计算：

综合应用题

C

A

7910.如图①是由四个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形8（每个长方形大小和图①相同）和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖.已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为___.

根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：

创新拓展题

【问题解决】

习题1.计算：（1）(x+7y)(x-7y)；（3）(mn-3n)(mn+3n)

；

（2）(0.2x-0.3)(0.2x+0.3)；（4）(-2x+3y)(-2x-3y)；（6）(5m-n)(-5m-n)

。解：（1）原式=x2-49y2；（2）原式=

0.04x2-0.09；（3）原式=

m2n2-9n2；（4）原式=

4x2-9y2；

（6）原式=

n2-25m2。2.计算：（1）(2m+3)(2m-3)；（2）x(x+1)+(2-x)(2+x)

；（3）(3x-y)(3x+y)+y(x-y)；

解：（1）

原式=4m2-9；（2）

原式=x2+x+4-x2=x+4；（3）

原式=9x2-y2+xy+y2=9x2+xy；2.计算：（1）(2m+3)(2m-3)；（2）x(x+1)+(2-x)(2+x)

；（3）(3x-y)(3x+y)+y(x-y)；

3.计算：（1）(2x+5y)2；

（5）(7ab+2)2；（3）(-2t-1)2；

解：（1）原式=4x2+20xy+25y2；

（3）原式=

4t2+4t+1；3.计算：（1）(2x+5y)2；

（5）(7ab+2)2；（3）(-2t-1)2；

（5）原式=

49a2b2+28ab+4

；

4.一个圆的半径为r(r>2)cm，半径减少2cm后，这个圆的面积减少多少?解：πr2-π(r-2)2=πr2-π(r2-4r+4)=πr2-πr2+4πr-4π

=(4πr-4π)cm2。所以这个圆的面积减少了(4πr-4π)cm2。5.计算：（1）(2x+y+1)(2x+y-1)；（3）

(ab+1)2-(ab-1)2；（2）(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)；（4）(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)。解：（1）原式=(2x+y)2-12=4x2+4xy+y2-1；（2）原式=x2-4-(x2-3x+x-3)=2x-1；5.计算：（1）(2x+y+1)(2x+y-1)；（3）

(ab+1)2-(ab-1)2；（2）(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)；（4）(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)。（4）原式=4x2-4xy+y2-4(x2+2xy-xy-2y2)=4x2-4xy+y2-4x2-4xy+8y2=9y2-8xy。（3）原式=[(ab+1)+(ab-1)]·[(ab+1)-(ab-1)]=2ab·2=4ab；6.利用平方差公式计算：（1）1007×993；（2）108×112。解：（1）1007×993=(1000+7)(1000-7)=10002-72=1000000-49=999951；（2）108×112=(110-2)(110+2)=1102-22

=12100-4=12096。7.一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形边长为5cm。如果它的高不变，底面正方形边长增加acm，那么它的体积增加多少?解：

(5+a)2×6-52×6=(25+10a+a2)×6-25×6=150+60a+6a2-150=(60a+6a2)cm3所以它的体积增加了(60a+6a2)cm3。8.利用完全平方公式计算：（1）632；（2）9982。解：（1）632=(60+3)2=602+2×60×3+32=3969；（2）9982=(1000-2)2=10002-2×1000×2+22=996004。9.借助几何图形可以直观解释平方差公式和完全平方公式，其他乘法算式是否也可以用几何图形直观解释呢?请举例说明你的思考。解：略。10.计算：（1）(an+b)(an-b)；（2）

(a+1)(a-1)(a2+1)。解：（1）(an+

b)(an-b)=(an)2-

b2=a2n

-

b2；（2）(a+1)(a-1)(a2+1)=(a2-1)(a2+1)=a4-1。11.观察下列各式：152=225，252=625，352=1225，······个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律?为什么?你还能找到哪些类似的规律?试举一例。解：末尾的两个数都是25。理由:设个位数字是5的两位数为10a+5，则(10a