沪教版(上海)八年级上学期图形几何卷

沪教版（上海）八年级上学期图形几何卷

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一、单选题

1.下列说法正确的是（）

A.一个命题一定有逆命题B.一个定理一定有逆定理

C.真命题的逆命题一定是真命题D.假命题的逆命题一定是假命题

2.如果三角形三条垂直平分线的交点刚好在三角形的一边上，那么这个三角形是（）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

3.两个三角形只有以下元素对应相等,不能判定两个三角形全等的（）

A.两角和一边B.两边及夹角C.三个角D.三条边

4.如果RS的两直角边长分别为产-1,2n（n>l）,那么它的斜边长是（）

A.2nB.n+1C.n2-lD.n2+l

5.己知三角形的三边长为a、b、c,如果（〃-5）2+|〃-12|+，-26c、+169=0』SABC

是（）

A.以a为斜边的直角三角形B.以b为斜边的直角三角形

C.以c为斜边的直角三角形D.不是直角三角形

6.已知点那一2&,0）、那么4480是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

二、填空题

7.命题“互余的角不相等”的逆命题是.

8.在RIA48C中，ZC=90°,ZA-ZB=30°,那么ZA=，ZB=____.

9.已知在RtAABC中，ZC=90°.若4=3,b=4,则。=.

10.已知A（l,4）,B（-3,4）,则线段AB的长度是.

11.在△ABC中，AB=AC=20cm,腰48的中垂线交AC于点。，她。。周长为

30cm,则3C=cm.

12.以线段A3为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是.

13.如图所示，已知AB=4C,ZA=44°,AB的垂直平分线M/V交AC于点。，

则

A

14.在AA8C中，AB=AC,ZB=15%A3=10,则AABC的面枳是

15.己知点A的坐标为（3,5）,点9在k轴上，且A6=13,那么点8的坐标为

16.在A43C中，zL4=60°,AC=16,S.MBC=220e，则A8=

17.如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的

正方形边长为13,则A、B、C、。的面积和是

18.已知：在AABC中，ZC=9O°,ZA=30°,80平分NC8A,且交AC于点。,

BC=\,那么A£)=.

三、解答题

19.如图，已知BD=CD,/B=/C.求证：AB=AC.

20.如图所示，一根长度为50cm的木棒的两端系着•根长度为70cm的绳子，现准备

在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个

点将绳子分成的两段各有多长？

21.已知，如图所示，四边形43co中，ZA8C=90。，AB=11，BC=4&，CD=12,

AD=5,求四边形ABC。的面积.

22.已知：如图所示，AD//BC,ACA.BC,E、F分别为AB、C。的中点.

(1)求证：AF=—CD；

2

(2)若43=8,求证：ZB=Z£).

23.已知：如图所示，在RtAABC中，NAC8=90。，AC=8C,点。是BC的中点,

CE_LAD,垂足为点£,5/4AC交CE的延长线于点尸，求证：A8垂直平分。尺

24.已知点A(2,3)、3(4,5),在4轴上是否存在点?使|94+心|的值最小，若存在，

请求出|/%+尸目的最小值；若不存在，请说明理由.

25.在RtAA8c中，ZC=90°,AC=6,点。是斜边A8的中点，作交

直线AC于点£.

二D

(1)若NA=30。，求线段C£的长；

(2)当点£在线段AC上时，设3C=x,CE=yt求>关于x的函数解析式，并写

出定义域；

(3)若8=1,求3C的长.

参考答案

1.A

【分析】

命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定

理，真命题的逆命题不一定是真命题，假命题的逆命题不一定是假命题.

【详解】

解：A、每个命题都有逆命题，故本选项正确.

B、每个定理不一定都有逆定理，故本选项错误.

C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误.

D、假命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误.

故选A.

【点睛】

本题考查命题的概念，以及逆命题，逆定理的概念和真假命题的概念等.

2.A

【分析】

根据三种三角形线段垂直平分线上的交点的位置解答即可.

【详解】

解：•••锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的内部，

钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的外部，

直角三角形三边垂直平分线的交点在三角形的斜边上，

・•・该三角形是直角三角形.

故选：A.

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离用等的性质，熟记三种三角形线段垂

直平分线的交点的位置是解题的关键.

3.C

【解析】

判定两三角形全等，就必须有边的参与，因此C选项是错误的.

A选项，运用的是全等三角形判定定理中的AAS或ASA,因此结论正确：

B选项，运用的是全等三角形判定定理中的SAS,因此结论正确：

D选项，运用的是全等三角形判定定理中的SSS,因此结论正确；故选C.

4.D

【解析】

试题分析：根据勾股定理直接解答即可.

两条直角边与斜边满足勾投定理，则斜边长是：

](n2-l)2+(2n)2=>|n4+2n2+l=J(n2+l)2=n：+1

故选D.

考点：本题考查的是勾股定理

点评：解决本题的关键是正确对(M-1)2+(2n)2进行分解因式.

5.C

【分析】

根据绝对值和偶数次用的非负性,即可求出a,b,c的值,进而判断AABC的形状.

【详解】

V(«-5)2+|Z?-12|+C2-26C+169=0,

(tz-5)~+1Z?—121+(c-13)~-0»

又「(。一5)2>0,|Z?-12|>0,(013)220,

/.(a-5)2=0,|/?-121=0,(c-13)2=0,即。=5,力=12,c=13,

,**a2+b2=c2，

•••△ABC是以c为斜边的直角三角形，

故选C.

【点睛】

本题主耍考查绝对值和偶数次塞的非负性以及勾股定理的逆定理，根据条件求出三角形各边

长，是解题的关键.

6.D

【分析】

根据点的坐标，分别计算OA、OB、AB的长度，可得0B=AB,利用勾股定理的逆定理可

判定三角形为直角三角形，于是可判断MBO是等腰直角三角形.

【详解】

解:VA(-2>/2,0),BQ&塔,

・・・OA=J0-(-2>/2)]2=2>/2，

08;J0-(-V2)2+(0-V2)2=2,

AB=^-2y/2-(-y[2)2+(0-V2)2

=2，

•-OB2+AB1=O^c

・•・AA8O是等腰直角三隹形，

故选：D.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义，坐标与图形.判断三角形是否为直

角三角形，先求出三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

7.不相等的角互余

【分析】

先写出原命题的条件和结论，然后按照原命题的条件即为它的逆命题的结论，原命题的结论

即为它的逆命题的条件即可写出原命题的逆命题.

【详解】

解：“互余的角不相等”的条件是互余的角，结论是不相等，故逆命题是:不相等的角互余.

故答案为：不相等的先互余.

【点睛】

此题考杳了命题与定理，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的

结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个令题叫做原命题，另外一个命题叫做

原命题的逆命题.

8.60030°

【分析】

根据直角三角形两锐角互余可得：ZA+ZB=90°,再结合NA-NB=30。即可求出NA和

ZB.

【详解】

由题意可得NA+NB=90。，ZA-ZB=30°,

解得NA=60。，ZB=30°.

【点睛】

此题主要考查了直角三角形两锐角互余.熟记直角三角形两锐角互余是解决此题关键.

9.5

【分析】

直接利用勾股定理可求得斜边c的长

【详解】

解：c=0+加=5.

【点睛】

本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边工分别是a,h,斜边长为c,那么

a2+b2=c2.

10.4

【分析】

由A、B点的坐标可知它们的纵坐标相同，所以线段AB的长度就是这两点横坐标差的绝对

值.

【详解】

解：VA(i,4),B(-3,4),

，线段AB的长为|l-(-3)|=|l+3|=|4|=4.

故答案为:4.

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，观察出点A、B的纵坐标相同是解题的关键.

II.10

【分析】

根据中垂线(即线段垂直平分线)的性质可得AD=BD,结合ZWCD周长为30cm可求得

AC+BC=30cm,由此可求BC的长度.

【详解】

解：如图所示：

D

『-------------C

•・•腰A8的中垂线交AC于点。，

・・・AD=BD.

♦：ABCD周长为30cm,

・•・BD+CD+BC=30,即AD+CD+BC=30.AC+BC=30.

\*AC=20cm,

/.BC=10cm.

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质，能根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等求出

AD=BD是解决此题的关键.

12.线段的垂直平分线，不包括的中点.

【分析】

满足△48。以线段AB为底边且CA=CB,根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的

垂直平分线上，除去与A3的交点（交点不满足三角形的条件）.

【详解】

•••△A4C以线段为底边，CA=CB,・,•点C在线段/W的垂直平分线上，除去与48的交

点（交点不满足三角形的条件），，以线段人8为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是线段

48的垂直平分线，不包括的中点.

故答案为：线段A6的垂直平分线，不包括A6的中点.

【点睛】

本题考查了轨迹：轨迹是动点按一定条件运动所经过的痕迹.也考查了线段的垂直平分线判

定与性质、等腰三角形的判定与性质.解题的关键是熟记线段A6的垂直平分线的定义.

13.24

【分析】

先根据二角形的内角和定理和等腰二角形的性质求出N48C,再根据线段垂直平分线的点到

线段两端距离相等可得AD=BD,结合等腰三角形等边对等角可求得NABD,由此可求

/DBC的度数.

【详解】

解：*：AB=AC,NA=44°,

A^ABC=-（180。-NA）=-x（1800-44。）=68°,

22

YMN足AB的垂直平分线，

：.AD=BD,

：.NA8O=NA=44。，

/DBC=ZABC-N44D=68。-44°=24°.

故答案为：24°.

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理.熟记垂直平

分线上的点到线段两端距离相等和等腰三角形等边对等角是解决此题的关键.

14.25

【分析】

先根据题意画出AA3C,作出它的高线CD,根据三角形的外角性质可求得NCAD=3（T,由

直角三角形30。角所对边是斜边的一半可求得CD的长度，由此可求^ABC的面积.

【详解】

解：如图所示，过点。作8_LA8交K4的延长线于点D，

・•・ZB=ZACB=\50,

•••ZCAD=ZB+ZACB=150+15°=3()°,

ACD=-/lC=-xl0=5,

22

・•・A4BC的面积=LABCO=LX10X5=25.

22

【点睛】

本题考查含30。角百角三角形，三角形外角性质，等腰三角形的性质.熟记这些性质并能灵活

运用是解题的关键，作出困形更形象直观.

15.(-9,0)或(15,0)

【分析】

设点8的横坐标为,,利用两点间的距离公式得到J(3T)2+5?=13，从而可以求出t的

值.

【详解】

解：设点B的横坐标为1,

根据题意得；(3—)2+52=13,即(3—)2=12.

所以3-t=12或3-t=-12.

t=-9或t=15.

故答案为(—9,0)或(15,0).

【点睛】

本题考查了两点间的距离公式：设有两点从(XI,V),8(X2,”)，则这两点间的距离为

2

AB=yl(xl-x2)"+(y1—y2).

16.55

【分析】

根据题意，过点A作8力J.AC,根据三角形的面积可求得BD的长度，根据更角三角形30°

角所对边是斜边的一半和勾股定理即可求出AB的尺度.

【详解】

解:过点3作8D_LAC.

•・・508c=2206，AC=16,

—xACxBD=220G，

2

•・.BD=—V3.

2

在RtAABD中，ZA=60°,

・•・ZABO=30。，

••・AD=-AB.

2

AD1+BD1=AB1

・•・'■!■AB〕+f—Vsl=AB\解得人8=55.

（2）I2J

【点睛】

本题考杳含30。角的直角三角形的性质和利用勾股定理解直角三角形.能根据题意构造图形

是解决此题的关键.

17.169

【分析】

能够发现正方形A,B,C,D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理

最终能够证明正方形A,B,C,D的面积和即是最大正方形的面枳.

【详解】

解：如图：

根据勾股定理得到：C与D的面积的和是P的面积；A与B的面积的和是Q的面积；而P,

Q的面枳的和是M的面积.

即A、B、C、D的面积之和为M的面积.

•••M的面积是132=169,

:、A、B、C、D的面积之和为169m2.

故答案为：169m2.

【点睛】

本题考杳了勾股定埋的应用.埋解以直角二角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜

边为边长的正方形面积是解决此题的关键.

18.正

3

【分析】

依据题意画出图形，根据直角三角形两锐角互余和三角形的角平分线可求得

ZA=ZABD=ZLCBD=30°,根据直角三角形30。角所对边是斜边的一半和勾股定理求得

BD的长度，然后根据等腰三角形等角对等边即可求出AD.

【详解】

解：如图所示，

CDA

VZC=90°.△4=30。，

・•・ZABC=90°-30°=60°.

,/BD平分4ABC,

ZABD=ZCBD=30Q.

又・・・NA=NA3O=3()。，

:・BD=AD,/8DC=60。，

在RtABC。中，CD=、BD,

c乙

:,CD?+BC?=BD?，田+12=87)2,

(2J

解得BD=述,

3

・•・AD=-y/3.

3

【点睛】

本题主要考查含30。角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的角平分线，

直角三角形两锐角互余.能根据题意构造图形且熟练掌握相关定理，能根据定理进行分析是

解决此题的关键.

19.详见解析

【分析】

先连接8C,根据等腰三角形的现在，即可解答.

【详解】

连接BC，

♦:BD=CD,

•••△DBC为等腰三角形，

・•・/DBC=/DCB.

,/ZABD=ZACD,

JZABC=ZACD.

AB=AC.

【点睛】

此题考查等腰三角形的判定与性质，解题关键在于需要熟练掌握判定定理.

370120

20.这个点将绳子分成的两段分别是30cm、40cm或---cm、——cm.

77

【分析】

设4C=把m,则8C=(70—x)cm,分以AB为斜边，AC为斜边，BC为斜边三种情

况讨论，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出x的值.

【详解】

如图所示：

设AC=xcm，则BC=(70—x)cm,

22

若A3为斜边，WJ50=X+(70-X)\解得：x,=30,x2=40

若AC为斜边，贝iJ5O2+(7O-R)2=f,解得：x=—

若5c为斜边，则5()2+寸=(7()-司2,解得：/=与

370120

综上所述，这个点将绳子分成的两段分别是30cm、40cm或一cm、一cm.

77

【点睛】

此题主要考杳了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关

键.

□Iq=30+22>/3

”,力四边形A8CO

【分析】

连接AC,然后根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理逆定理计算出NADC=90。,

然后根据四边形ABCD的面积=4ABC的面积+Z\ACD的面积，列式进行计算即可得解.

【详解】

解：连接AC,

vZABC=90°,AB=1\,BC=4也

・.・由勾股定理可得：AC=,6+心=13

在AADC中，AD=5,CD=T2,AC=\3

根据勾股定理的逆定理可得：ZADC=90n

=-AD-DC+-ABBC=-x5x\2+-x\\x4>]3=30+2243

AiZHyAOLL/2222

【点睛】

本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，通过作辅助线将一般的四边形转化为两个直

角三角形是解题的关键.

22.(1)见解析；(2)见解析.

【分析】

(1)根据平行线的性质可证N5C4=NZMC=90。，再利用直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半即可证明：

(2)根据HL定理证明RtMCDgRt\CAB即可证明=ZZ>

【详解】

(1)证明：VAD//BC,ACLBC

/.ZBC4=ZZMC=90c

・：E、厂分别为A3、CO的中点

AAF为RSACO斜边上的中线

・•・AF=-CD

2

(2)证明：•：AD//BC.ACLBC

,NAG4=N/%C；=9S

在RtAACZ)和R@C48中

CD=AB

AC=CA

・•・R9CD冬RtACAB(HL)

，ZB=ZD

【点睛】

本题考查直接三角形斜边上的中线，平行线的性质定理，全等三角形的判定和性质.(1)中

掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键；(2)中掌握证明直角三角形全等

的HL定理是解题关键.

23.见解析.

【分析】

先证明AAC。口AC3b推出CD=BF,再结合。是4c的中点证明ABDF为等腰三角形，然

后证明NCBA二NFBA,根据等腰三角形三线合一即可得出结论.

【详解】

证明：・・・NAC3=90。，CEA.AD,

・•・NBCE+ZACE=90°，ZACE+ZCAE=90°，

:・/BCE=/CAE,

•・•BFHAC,

・•・ZACD=NCBF=90。,

•・•AC=CB,

AMCD^ACTF(ASA),

:・CD=BF,

VD是BC的中点,

：.CD=BD=-BC

2

・•・BF=BD

•••△B/Z)为等腰直角三角形

VZACB=90°,CA=CB

/ARC=45°

•・•ZFBD=90°

：.ZABF=45°

・•・ZABC=ZABF,即84是NFBD的平分线

・•・KA是尸力边上的高线，R4又是边产。的中线

・•・A3垂直平分力产

【点睹】

本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质定理，等腰三角形的性质和判定.本题

中能证明MCD^ACBF,并结合全等三角形的性质证明^BFD为等腰直角三角形是解决

此题的关键.

24.存在，=

【分析】

作出A点关于x轴的对称点连接AB交x轴于P即为所求，利用两点之间距离公式求

出\ArB\即为|+PB\的最小值.

【详解】

解：存在，如图，作A关于无轴对称点4(2,-3),联垢A8交x轴于点P,

则有最小值，因为两点之间线段最短

・•・\PA+PB\=14邳=J(4-2〉+[5-(-3)了=2>/17

【点睛】

本题考查的是利用轴对称性质求最短路彳仝问题，坐标与图形.熟练掌握轴对称的性质，找出P

点是解题的关键.

25.(1)CE=2；(2)j=3-^(0<x^6)；(3)满足条件的4c的长为2指，473.

【分析】

(I)连接BE,点D