2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷（附答案）

第1页（共1页）2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷（附答案）一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1．（3分）（2024•大庆）下列各组数中，互为相反数的是A．和 B．2024和 C．和2024 D．和2．（3分）（2024•大庆）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为A． B． C． D．3．（3分）（2024•大庆）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物4．（3分）（2024•大庆）下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是A． B． C． D．5．（3分）（2024•大庆）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是A． B． C． D．6．（3分）（2024•大庆）下列说法正确的是A．若，则 B．一件衣服降价后又提价，这件衣服的价格不变 C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形7．（3分）（2024•大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上．则下列判断正确的是A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行8．（3分）（2024•大庆）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为A． B． C． D．9．（3分）（2024•大庆）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是A．小庆选出四个数字的方差等于4.25 B．小铁选出四个数字的方差等于2.5 C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D．小萌选出四个数字的极差等于410．（3分）（2024•大庆）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为A．15 B． C． D．18二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。11．（3分）（2024•大庆）．12．（3分）（2024•大庆）若，则．13．（3分）（2024•大庆）如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，记球的体枳为，图柱形盒子的容积为，则（球体体积公式：．其中为球体半径）．14．（3分）（2024•大庆）写出一个过点且的值随着值增大而减小的函数表达式．15．（3分）（2024•大庆）不等式组的整数解有个．16．（3分）（2024•大庆）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是．17．（3分）（2024•大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为．18．（3分）（2024•大庆）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为．①函数是“倍值函数”；②函数的图象上的“倍值点”是和；③若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是；④若关于的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，的最小值为，则的值为．三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。19．（4分）（2024•大庆）求值：．20．（4分）（2024•大庆）先化简，再求值：，其中．21．（5分）（2024•大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时），用电低谷时段（简称谷时）次日，峰时电价比谷时电价高0.2元度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．22．（6分）（2024•大庆）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到1米，参考数据：23．（7分）（2024•大庆）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：平均数中位数众数第1小组3.94第2小组3.55第3小组3.253请根据以上信息，完成下列问题：（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为度；②请补全第1小组得分条形统计图；（2），，；（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？24．（7分）（2024•大庆）如图，在平行四边形中，，分别是、的平分线，且点，分别在边，上．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，求的面积．25．（7分）（2024•大庆）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第天且为整数）的售价为（元千克），当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元千克，第15天的售价为15元千克，设第天的销售额为（元．（1），；（2）写出第天的销售额与之间的函数关系式；（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？26．（8分）（2024•大庆）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上．点，在第一象限，四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3．提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，，，则中点坐标为，．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；（3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点为的中点，过点作于点．请直接写出点坐标和的值．27．（9分）（2024•大庆）如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，．求的值．28．（9分）（2024•大庆）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．（1）求二次函数的表达式；（2）在直线上方的抛物线上存在点．使得，求点的坐标；（3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

2024年黑龙江省大庆市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1．（3分）（2024•大庆）下列各组数中，互为相反数的是A．和 B．2024和 C．和2024 D．和【考点】绝对值；相反数【专题】实数；计算题；运算能力；符号意识【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．化简各个数，然后结合相反数的定义进行判断．【解答】解：、，2024和符号相反，互为相反数．、2024和互为倒数．、，两个数相等．、和的符号相反，但绝对值不相等；故选：．2．（3分）（2024•大庆）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为A． B． C． D．【考点】科学记数法—表示较小的数【专题】实数；数感【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：，故选：．3．（3分）（2024•大庆）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是A．厨余垃圾 B．有害垃圾 C．其他垃圾 D．可回收物【考点】轴对称图形；中心对称图形【专题】平移、旋转与对称；几何直观【分析】一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可．【解答】解：是轴对称图形，但它不是中心对称图形，则不符合题意；既是轴对称图形，也是中心对称图形，则符合题意；不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则不符合题意；不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则不符合题意；故选：．4．（3分）（2024•大庆）下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是A． B． C． D．【考点】简单几何体的三视图【分析】分别画出各个选项中的几何体的主视图、左视图即可．【解答】解：各个选项中的几何体的主视图，左视图如下：选项的几何体的主视图、左视图的形状不同，故选：．5．（3分）（2024•大庆）“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点．若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是A． B． C． D．【考点】列表法与树状图法【专题】数据分析观念；概率及其应用【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【解答】解：令四个景点：“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”，分别为、、、，列表得：由表格可得：共有12种等可能出现的结果，其中这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的有6种结果，所以这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为，故选：．6．（3分）（2024•大庆）下列说法正确的是A．若，则 B．一件衣服降价后又提价，这件衣服的价格不变 C．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 D．若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是六边形【考点】多边形内角与外角；直角三角形全等的判定【专题】推理能力；多边形与平行四边形；等腰三角形与直角三角形；图形的全等【分析】选项根据不等式的性质判断即可；选项根据百分数的意义解答即可；选项根据直角三角形全等的判定方法判断即可；选项根据多边形的内角和公式以及多边形的外角和等于判断即可．【解答】解：．，当时，；当时，，原说法错误，故本选项不符合题意；．设衣服原价为元，则降价后为元，又提价后为元，所以这件衣服的价格变便宜了，原说法错误，故本选项不符合题意；．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原说法错误，故本选项不符合题意；．设这个多边形的边数为，则，解得，即这个多边形是六边形，原说法正确，故本选项符合题意．故选：．7．（3分）（2024•大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上．则下列判断正确的是A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的判定与性质【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线【分析】对于纸带①，根据可求出，再由翻折的性质可得，据此可求出，据此可判断纸带①的边线不平行；对于纸带②，由翻折的性质得，，再根据，，在同一直线上，点，，也在同一直线上可得，，据此可判定纸带②的边线平行．由此可得出此题的答案．【解答】解：对于纸带①，，，，由翻折的性质得：，，，与不平行．对于纸带②中，由翻折的性质得：，，又，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，，，，，．综上所述：纸带①边线不平行，纸带②的边线平行．故选：．8．（3分）（2024•大庆）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为A． B． C． D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象【专题】函数及其图象；几何直观【分析】根据所给函数解析式，对的正负进行分类讨论即可解决问题．【解答】解：将代入得，，所以函数过定点．故选项不符合题意．当时，函数中随的增大而增大．因为当时，，所以此函数的图象都在轴的上方，所以不符合题意，符合题意．故选：．9．（3分）（2024•大庆）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从1，2，3，4，5，6这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是A．小庆选出四个数字的方差等于4.25 B．小铁选出四个数字的方差等于2.5 C．小娜选出四个数字的平均数等于3.5 D．小萌选出四个数字的极差等于4【考点】算术平均数；方差；极差【专题】应用意识；统计与概率【分析】根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可．【解答】解：、假设选出的数据没有1，则选出的数据为2，3，5，6时，方差最大，此时，方差为，当数据为1，2，5，6时，，，故该选项符合题意；、当该同学选出的四个数字为2，3，5，6时，，，故该选项不符合题意；、当该同学选出的四个数字为2，3，4，5时，，故该选项不符合题意；、当选出的数据为2，4，5，6或2，3，4，6时，极差也是4，故该选项不符合题意．故选：．10．（3分）（2024•大庆）如图，在矩形中，，，点是边的中点，点是边上任意一点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，则周长的最小值为A．15 B． C． D．18【考点】矩形的性质；轴对称最短路线问题；旋转的性质【专题】推理能力；模型思想；几何变换【分析】因为，要求周长最小，实际是求最小，转化成“将军饮马”模型，先找出运动轨迹，由线段旋转，可得三垂直全等，进而推出点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可．【解答】解：过点作，交、于、，过点作垂足为，矩形，，，四边形和都是矩形，，由旋转的性质得，，，，，点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为，，，，故选：．二、填空题：本题8小题，每小题3分，共24分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。11．（3分）（2024•大庆）．【考点】立方根【专题】实数；运算能力；数感【分析】根据立方根的定义进行计算即可．【解答】解：，的立方根是．故答案为：．12．（3分）（2024•大庆）若，则3．【考点】：完全平方公式；：分式的混合运算【专题】11：计算题；513：分式【分析】利用完全平方公式将变形为，再将代入计算即可．【解答】解：，．故答案为3．13．（3分）（2024•大庆）如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，记球的体枳为，图柱形盒子的容积为，则（球体体积公式：．其中为球体半径）．【考点】认识立体图形【专题】几何图形；空间观念【分析】设球的半径为，一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，圆柱的高为，用公式求解即可．【解答】解：设球的半径为，则，一个球恰好放在一个圆柱形盘子里，圆柱的高和底面圆的半径也为，，，故答案为：．14．（3分）（2024•大庆）写出一个过点且的值随着值增大而减小的函数表达式（答案不唯一）．【考点】一次函数的性质【专题】应用意识；一次函数及其应用【分析】根据一次函数中时，的值随着值增大而减小，写出符合要求的值，再确定值即可．【解答】解：由题知，令这个函数的表达式为，将点代入函数表达式得，，所以函数表达式为．故答案为：（答案不唯一）．15．（3分）（2024•大庆）不等式组的整数解有4个．【考点】一元一次不等式组的整数解【专题】一元一次不等式（组及应用；运算能力【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，进而可得出其整数解．【解答】解：解不等式得，，解不等式得，，所以不等式组的解集为：．所以不等式组的整数解为：，0，1，2，即不等式组有4个整数解．故答案为：4．16．（3分）（2024•大庆）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是．【考点】弧长的计算；作图—复杂作图；等边三角形的性质；扇形面积的计算【专题】运算能力；几何直观；作图题【分析】根据莱洛三角形的周长，可求出等边的边长，进而可求出莱洛三角形的面积．【解答】解：由题知，莱洛三角形的周长可转化为半径长为的圆周长的一半．又因为莱洛三角形的周长为，所以，则，所以等边的边长为3．过点作的垂线，垂足为，则．在中，．所以莱洛三角形的面积为：．故答案为：．17．（3分）（2024•大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为48．【考点】勾股定理【专题】面积法；操作型；规律型；创新意识；数形结合【分析】根据勾股定理易得图①中所有正方形的面积和为8，那么经过一次操作后增加的4个小正方形的面积的和为4，那么经过一次操作后所有正方形的面积和，同理可得经过2次操作后增加的8个小正方形的面积的和也为4，那么经过2次操作后所有正方形的面积和，那么可推断10次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．【解答】解：把图2中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为．正方形的面积为，正方形的面积为．由题意得：正方形的边长为2，并且是直角三角形的斜边．正方形的面积为4．根据勾股定理可得：．正方形的面积正方形的面积；图1中所有正方形的面积和．同理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积．图2中所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．即一次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积也是4．次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．次操作后所有正方形的面积和图1中所有正方形的面积和．18．（3分）（2024•大庆）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为①③④．①函数是“倍值函数”；②函数的图象上的“倍值点”是和；③若关于的函数的图象上有两个“倍值点”，则的取值范围是；④若关于的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，的最小值为，则的值为．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质【专题】运算能力；一次函数及其应用；二次函数图象及其性质【分析】依据题意，根据“倍值函数”的定义，结合一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，逐个进行判断分析可以得解．【解答】解：由题意，对于①，，又令，，此时方程无解．不是“倍值函数”，故①错误．对于②，，又令，．或．图象上的“倍值点”为，，故②正确．对于③，又令，，即．函数的图象上有两个“倍值点”，方程的△，且．或，故③错误．对于④，，又令，，即．的图象上存在唯一的“倍值点”，方程的△．．关于的函数的对称轴是直线，此时最小值为．又存在唯一的“倍值点”，且当时，的最小值为，①，；②，此时无解；③，（舍去）或．综上，或，故④错误．故答案为：①③④．三、解答题：本题10小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程。19．（4分）（2024•大庆）求值：．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值【专题】运算能力；实数【分析】利用绝对值的性质，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．【解答】解：原式．20．（4分）（2024•大庆）先化简，再求值：，其中．【考点】分式的化简求值【专题】分式；运算能力【分析】根据分式乘除法的计算方法进行计算即可化简，再把代入计算即可．【解答】解：原式，当时，原式．21．（5分）（2024•大庆）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时），用电低谷时段（简称谷时）次日，峰时电价比谷时电价高0.2元度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．【考点】分式方程的应用【专题】分式方程及应用；应用意识【分析】设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度，利用用电量总价单价，结合峰时用电量与谷时用电量相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设该市谷时电价为元度，则该市峰时电价为元度，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意．答：该市谷时电价为0.3元度．22．（6分）（2024•大庆）如图，是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路上由北向南行驶，在处测得桥头在南偏东方向上，继续行驶1500米后到达处，测得桥头在南偏东方向上，桥头在南偏东方向上，求大桥的长度．（结果精确到1米，参考数据：【考点】勾股定理的应用；解直角三角形的应用方向角问题【专题】解直角三角形及其应用；运算能力【分析】分别过点和点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．【解答】解：分别过点和点作的垂线，垂足分别为，，在中，，所以，在中，，所以，则，所以（米，所以（米．在中，，所以，所以米，则（米，故大桥的长为548米．23．（7分）（2024•大庆）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：平均数中位数众数第1小组3.94第2小组3.55第3小组3.253请根据以上信息，完成下列问题：（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为18度；②请补全第1小组得分条形统计图；（2），，；（3）已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？【考点】扇形统计图；中位数；总体、个体、样本、样本容量；条形统计图；用样本估计总体；众数【专题】运算能力；数据的收集与整理；数据分析观念；统计的应用【分析】（1）①求出第2小组“得分为1分”的学生所占被调查20人的百分比，进而求出相应的圆心角的度数；②求出样本中第一小组“得分为4分”的学生人数，即可补全条形统计图；（2）根据中位数、众数、平均数的计算方法进行计算即可；（3）求出三个小组60人中，“得分为5分”的学生所占的百分比，估计总体中“得分为5分”所占的百分比，根据频率进行计算即可．【解答】解：（1）①，故答案为：18；②第一小组中，得分为4分的人数为（人，补全条形统计图如下：（2）第一小组学生得分出现次数最多的是5分，共出现8次，因此第一小组学生成绩的众数是5分，即，第二小组20名学生成绩的平均数为（分，即，将第三小组20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分，所以中位数是3分，即，故答案为：5，3.5，3；（3）（名，答：该校4200名学生中大约有1260名学生竞赛成绩不低于90分．24．（7分）（2024•大庆）如图，在平行四边形中，，分别是、的平分线，且点，分别在边，上．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，求的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的面积；平行四边形的判定与性质【专题】推理能力；线段、角、相交线与平行线；多边形与平行四边形；图形的相似；等腰三角形与直角三角形；运算能力【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，再证明，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论；（2）过点作于点，证明是等边三角形，得，，进而由勾股定理得，，再由平行四边形的性质得，然后证明，得，，即可解决问题．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，分别是、的平分线，，，，，又，四边形是平行四边形；（2）解：如图，过点作于点，则，四边形是平行四边形，，，，是的平分线，，，是等边三角形，，，在中，由勾股定理得：，，由（1）得：四边形是平行四边形，，，，，，．25．（7分）（2024•大庆）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第天且为整数）的售价为（元千克），当时，；当时，．销量（千克）与的函数关系式为，已知该产品第10天的售价为20元千克，第15天的售价为15元千克，设第天的销售额为（元．（1），；（2）写出第天的销售额与之间的函数关系式；（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？【考点】二次函数的应用【专题】运算能力；应用意识；二次函数的应用【分析】（1）依据题意得，，计算即可得解；（2）依据题意，当时，由（1）得，从而计算可得；再由当时，，进而可以得解；（3）依据题意，分和两种情况进行判断即可计算得解．【解答】解：（1）由题意得，，．故答案为：；30．（2）由题意，当时，由（1）得，．当时，．．（3）由题意，当时，．，当时，取最大值为400．此时销售额不超过500元．当时，令，．共有7天销售额超过500元．26．（8分）（2024•大庆）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上．点，在第一象限，四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3．提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，，，则中点坐标为，．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；（3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点为的中点，过点作于点．请直接写出点坐标和的值．【考点】反比例函数综合题【专题】反比例函数及其应用；运算能力【分析】（1）根据题意先求出点坐标，待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）设点坐标为，根结点坐标可得线段长，根据条件可得点坐标，由中点坐标公式得到点坐标为，由两点间距离公式列出方程，求出值，根据平行四边形面积公式求出面积即可；（3）设直线与轴交于点，与轴交于点，则，作交于点，根据平移性质可得解析式，由解析式可计算出点、坐标，利用求出长，再联立方程组求出、坐标，由中点坐标公式求出点坐标继而求出长，将和代入所求代数式计算即可．【解答】解：（1）四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3．，点在反比例函数图象上，，反比例函数解