2024年四川省广元市中考数学试卷（附答案）

第1页（共1页）2024年四川省广元市中考数学试卷（附答案）一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）1．（3分）（2024•广元）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是A． B．1 C． D．32．（3分）（2024•广元）下列计算正确的是A． B． C． D．3．（3分）（2024•广元）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是A． B． C． D．4．（3分）（2024•广元）在“五四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是945．（3分）（2024•广元）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于（）A．64° B．60° C．54° D．52°6．（3分）（2024•广元）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）（2024•广元）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上，若，，则的长为A． B． C．2 D．8．（3分）（2024•广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买、两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的3倍，用6750元购买的种绿植比用3000元购买的种绿植少50株．设种绿植单价是元，则可列方程是A． B． C． D．9．（3分）（2024•广元）如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为A．5 B．7 C． D．10．（3分）（2024•广元）如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）11．（4分）（2024•广元）分解因式：．12．（4分）（2024•广元）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为秒．13．（4分）（2024•广元）点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为．14．（4分）（2024•广元）若点满足，则称点为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标．15．（4分）（2024•广元）已知与的图象交于点，点为轴上一点，将沿翻折，使点恰好落在上点处，则点坐标为．16．（4分）（2024•广元）如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则AC+BC的最大值为．三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）17．（6分）（2024•广元）计算：．18．（8分）（2024•广元）先化简，再求值：，其中，满足．19．（8分）（2024•广元）如图，已知矩形．（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接、，求证：四边形是菱形．20．（9分）（2024•广元）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识，为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成五个等级：；；；；．并绘制了如下尚不完整的统计图．抽取学生成绩等级人数统计表等级人数2730126其中扇形图中等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．（1）样本容量为，；（2）全校1200名学生中，请估计等级的人数；（3）全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法．求这两人来自同一个年级的概率．21．（9分）（2024•广元）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点，、、分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点处射入，其折射光线恰好从点处射出，如图②，已知，，求截面的面积．22．（10分）（2024•广元）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格类别短款长款进货价（元件）8090销售价（元件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？23．（10分）（2024•广元）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，，两点，为坐标原点，连接，．（1）求与的解析式；（2）当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围；（3）求的面积．24．（10分）（2024•广元）如图，在中，，，经过、两点，交于点，的延长线交于点，交于点．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的半径．25．（12分）（2024•广元）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图产生了如下问题，请同学们帮他解决．在中，点为边上一点，连接．（1）初步探究如图2，若，求证：；（2）尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；（3）创新提升如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．26．（14分）（2024•广元）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在直线上方抛物线上有一动点，连接交于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）作抛物线关于直线上一点的对称图象，抛物线与只有一个公共点（点在轴右侧），为直线上一点，为抛物线对称轴上一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．

2024年四川省广元市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）1．（3分）（2024•广元）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是A． B．1 C． D．3【考点】有理数的加法；数轴【专题】运算能力；实数【分析】将在数轴上对应的点向右平移2个单位，可列算式，求得此时该点对应的数是1，于是得到问题的答案．【解答】解：由题意得，所以在数轴上对应的点向右平移2个单位，此时该点对应的数是1，故选：．2．（3分）（2024•广元）下列计算正确的是A． B． C． D．【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式【专题】整式；运算能力【分析】根据完全平方式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；故选：．3．（3分）（2024•广元）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图【专题】空间观念；投影与视图【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示．【解答】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有一条捺向的对角线实线．故选：．4．（3分）（2024•广元）在“五四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是94【考点】算术平均数；中位数；众数；方差【专题】数据分析观念；数据的收集与整理【分析】根据平均数、中位数、众数及方差的定义逐一计算即可判断．【解答】解：把这组数据从小到大排列为91，92，94，95，95，95，96，故中位数是95，故选项说法正确，不符合题意；平均数为，故选项说法正确，不符合题意．方差为，故选项说法错误，符合题意；众数是95，故选项说法正确，不符合题意；故选：．5．（3分）（2024•广元）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于（）A．64° B．60° C．54° D．52°【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．【分析】根据圆周角定理先求出∠ABC＝64°，再根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案．【解答】解：∵∠AOC＝128°，∴∠ABC＝64°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝64°．故答案为：A．6．（3分）（2024•广元）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】坐标与图形性质【专题】运算能力；平面直角坐标系【分析】根据两个单项式的和仍是一个单项式，可求出，的值，进而得出点所在象限．【解答】解：因为单项式与单项式的和仍是一个单项式，所以，，解得，，所以点所在的象限为第四象限．故选：．7．（3分）（2024•广元）如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上，若，，则的长为A． B． C．2 D．【考点】旋转的性质【分析】连接，根据旋转的性质得出，，，再根据勾股定理求出的长，最后在等腰直角三角形中解直角三角形求出的长即可．【解答】解：如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，连接，点恰好落在线段上，，，，又，，，，故选：．8．（3分）（2024•广元）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”，现需要购买、两种绿植，已知种绿植单价是种绿植单价的3倍，用6750元购买的种绿植比用3000元购买的种绿植少50株．设种绿植单价是元，则可列方程是A． B． C． D．【考点】由实际问题抽象出分式方程【专题】应用意识；分式方程及应用【分析】根据，两种绿植单价间的关系，可得出种绿植单价是元，利用数量总价单价，结合用6750元购买的种绿植比用3000元购买的种绿植少50株，即可列出关于的分式方程，此题得解．【解答】解：种绿植单价是种绿植单价的3倍，种绿植单价是元，种绿植单价是元．根据题意得：．故选：．9．（3分）（2024•广元）如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为A．5 B．7 C． D．【考点】动点问题的函数图象【专题】应用意识；函数及其图象【分析】由面积公式和图象可知，，再根据完全平方公式即可得出的值，进而得出答案．【解答】解：当点运动到处时，的面积，即，即，又由图象可知，点从点出发沿以的速度匀速运动至点的时间为，即，，，，，．故选：．10．（3分）（2024•广元）如图，已知抛物线过点与轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与系数的关系；抛物线与轴的交点；根的判别式【专题】运算能力；二次函数图象及其性质【分析】根据题干条件逐一判断每一个小选项即可．【解答】解：①抛物线开口向上，，，当时，，故①不符合题意；②抛物线过点，函数的最小值，有两个不相等的实数根；方程有两个不相等的实数根；故②符合题意；③，，抛物线的对称轴为直线，且，且，而，，，故③不符合题意；④抛物线过点，，时，，即，当时，，，，，故④符合题意；⑤：，，，由根与系数的关系可得：，，，，，故⑤符合题意；综上，②④⑤正确，符合题意，正确个数有三个．故选：．二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）11．（4分）（2024•广元）分解因式：．【考点】54：因式分解运用公式法【分析】首先利用完全平方把展开，然后再合并同类项，再利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：．故答案为：．12．（4分）（2024•广元）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为秒．【考点】科学记数法—表示较小的数【专题】数与式；运算能力【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．【解答】解：阿秒是秒，阿秒．故答案为：．13．（4分）（2024•广元）点是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点，则的度数为．【考点】正多边形和圆【专题】运算能力；推理能力；三角形；正多边形与圆【分析】由正五边形的对称性得出是正五边形的对称轴，进而得到，再求出正五边形的外角的度数，由三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：由正五边形的性质可知，是正五边形的对称轴，，是正五边形的外角，，，故答案为：．14．（4分）（2024•广元）若点满足，则称点为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标（答案不唯一，满足且，．【考点】解分式方程【专题】分式方程及应用；运算能力【分析】根据“美好点”的定义，把已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算后，得到与的关系式，写出一个即可．【解答】解：根据题意得：，即，当，时，“美好点”的坐标为（答案不唯一，满足且，．故答案为：（答案不唯一，满足且，．15．（4分）（2024•广元）已知与的图象交于点，点为轴上一点，将沿翻折，使点恰好落在上点处，则点坐标为．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【专题】反比例函数及其应用；一次函数及其应用；运算能力【分析】依据题意，由在上，可得，故，，又在反比例函数上，进而可得，进而可得反比例函数为，再由翻折的性质，，进而可设为，则为，设直线与直线的交点为，建立求出，，又与关于直线对称，且，可得，，又在反比例函数上，最后可得，求出可以得解．【解答】解：由题意，在上，．，．又在反比例函数上，．反比例函数为．由翻折的性质，，可设为，为．设直线与直线的交点为，．，．又与关于直线对称，且，，．又在反比例函数上，．或（舍去）．．故答案为：．16．（4分）（2024•广元）如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则AC+BC的最大值为5．【考点】胡不归问题；解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1，首先推导出；延长DC到E，使EC＝CD＝x，连接BE，如图2，得到；由辅助圆﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，最后由勾股定理可得．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1所示：∵tan∠C＝2，在Rt△BCD中，设DC＝x，则BD＝2x，由勾股定理可得，∴，即，∴，延长DC到E，使EC＝CD＝x，连接BE，如图2所示：∴，∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD，∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E＝45°，在△ABE中，AB＝5，∠E＝45°，由辅助圆﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3所示：由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求的最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，如图4所示：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵∠E＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝5，∴BE＝AB＝5，则由勾股定理可得，即的最大值为，故答案为：．三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）17．（6分）（2024•广元）计算：．【考点】特殊角的三角函数值；负整数指数幂；实数的运算【专题】实数；运算能力【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式．18．（8分）（2024•广元）先化简，再求值：，其中，满足．【考点】分式的化简求值【专题】分式；计算题；运算能力【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可．【解答】解：原式，，，原式．19．（8分）（2024•广元）如图，已知矩形．（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接、，求证：四边形是菱形．【考点】菱形的判定；作图—基本作图；矩形的性质；线段垂直平分线的性质【专题】推理能力；几何直观；作图题【分析】（1）根据要求作出图形；（2）证明四边相等可得结论．【解答】（1）解：如图1所示：（2）证明：如图2设与的交点为，由（1）可知，直线是线段的垂直平分线，，，，，又四边形是矩形，，，在和中，，，，，四边形是菱形．20．（9分）（2024•广元）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识，为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成五个等级：；；；；．并绘制了如下尚不完整的统计图．抽取学生成绩等级人数统计表等级人数2730126其中扇形图中等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．（1）样本容量为90，；（2）全校1200名学生中，请估计等级的人数；（3）全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法．求这两人来自同一个年级的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；概率公式；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体【专题】运算能力；统计的应用；概率及其应用【分析】（1）由等级的人数除以所占比例得出样本容量，即可得出的值；（2）由全校学生人数乘以等级的人数所占的比例即可；（3）画树状图，共有20种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）样本容量为：，，故答案为：90，15；（2）（名，答：全校1200名学生中，估计等级的人数有200名；（3）把七年级1人记为，八年级2人分别记为、，九年级2人分别记为、，画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有4种，即、、、，这两人来自同一个年级的概率．21．（9分）（2024•广元）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点，、、分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点处射入，其折射光线恰好从点处射出，如图②，已知，，求截面的面积．【考点】解直角三角形的应用【专题】推理能力；运算能力；解直角三角形及其应用【分析】（1）根据，求出，再计算出，直接按照折射率公式计算即可；（2）首先根据，折射率为，算出，即，在中，设，，可算出，得到，又因为四边形是矩形，点是中点，故，直接算矩形面积即可．【解答】解：（1），如图，设，则，由勾股定理得，，，又，，折射率为：；（2）由题意可得，折射率为，，，四边形是矩形，点是中点，，又，，在中，设，，由勾股定理得，，，，，截面的面积为：．22．（10分）（2024•广元）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：价格类别短款长款进货价（元件）8090销售价（元件）100120（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用；一次函数的应用【专题】运算能力；应用意识；一元一次不等式（组及应用；一次方程（组及应用；一次函数及其应用【分析】（1）依据题意，设购进短款服装件，购进长款服装件，可得，计算即可得解；（2）依据题意，设第二次购进件短款服装，则购进件长款服装，从而，故，又设利润为元，进而，再结合一次函数的性质，即可判断得解．【解答】解：（1）由题意，设购进短款服装件，购进长款服装件，．．答：长款服装购进30件，短款服装购进20件．（2）由题意，设第二次购进件短款服装，则购进件长款服装，．．又设利润为元，则．随的增大而减小．当时，利润最大为：（元．答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元．23．（10分）（2024•广元）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，，两点，为坐标原点，连接，．（1）求与的解析式；（2）当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围；（3）求的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【专题】几何直观；反比例函数及其应用；一次函数及其应用；运算能力【分析】（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，求得，进一步利用待定系数法求得与的解析式；（2）根据图象即可求解；（3）利用即可求得．【解答】解：（1）反比例函数和一次函数的图象相交于点，，两点，，点，，，，把，，代入得，解得，；（2）由图象可知，当时，自变量的取值范围为或；（3）若与轴相交于点，，．24．（10分）（2024•广元）如图，在中，，，经过、两点，交于点，的延长线交于点，交于点．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的半径．【考点】解直角三角形；圆周角定理；勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质；等腰直角三角形【专题】运算能力；推理能力；解直角三角形及其应用；线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到根据切线的判定定理得到为的切线；（2）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：连接，，，为等腰直角三角形，，，，，为的切线；（2）解：过点作于点，为等腰直角三角形，，，，，在中，由勾股定理得，，，．故的半径为．