专题15 导数的概念及运算-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）

专题15导数的概念及运算-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）考试要求：1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.1.导数的概念(1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y'|x=x0，即f′(x0)＝limΔ(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝limΔx→02.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y-f(x0)＝f′(x0)(x－x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0且a≠1)f′(x)＝1f(x)＝lnxf′(x)＝14.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；[[cf(x)]′＝cf′(x).5.复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.2.[13.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.一、单选题1．曲线y=exx+1A．y=e4x B．y=e2x2．当x=1时，函数f(x)=alnA．−1 B．−12 C．13．若过点（a,b)可以作曲线y=ex的两条切线，则（）A．eb<a B．ea<b C．0<a<eb D．0<b<ea二、多选题4．已知函数f(x)A．f(x)B．f(x)C．直线x=7π6是曲线D．直线y=32−x5．已知函数f(x)=xA．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y=f(x)的对称中心D．直线y=2x是曲线y=f(x)的切线三、填空题6．若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是7．曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为8．已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax−ex29．已知函数f(x)=|ex−1|,x1<0,x2>0，函数f(x)10．曲线y=2x−1x+2在点(−1，【考点1】导数的运算四、单选题111．已知函数f(x)=2x−kx−b恰有一个零点x0，且A．(−∞,1−ln2ln2C．(1−ln2ln2,12．函数fx=−x2+ax+1−A．(−∞,2] B．(−∞,2) C．五、多选题113．已知函数f(x)=sinA．fx的最小正周期为B．点π6,0为C．若f(x)=a(a∈R)在x∈−πD．若fx的导函数为f'x，则函数14．已知函数f(x)=x3+x2A．a=−4B．f(x)<0的解集为(−1C．y=x−7是曲线y=f(x)的切线D．点(−1,0)是曲线六、填空题115．已知抛物线C:x2=4y，圆O:x2+y2=1，直线l与抛物线C16．已知函数f(x)=2f'(3)⋅x−2反思提升：1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.【考点2】导数的几何意义七、单选题217．limΔx→0A．72 B．12 C．8 D．418．与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线y=xA．34 B．1 C．1716 八、多选题219．已知函数f(x)A．函数f(x−πB．f(x)在区间(−πC．(7π6,D．直线y=32−x20．直线x+ay−a=0是曲线y=sinxxA．3π B．π C．π2 D．九、填空题221．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C:y=ex(x<1)的一条切线l与x轴、y轴分别交于A，B22．已知函数f(x)=4ex−f'(0)x+2（f'(x)是反思提升：1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.【考点3】导数几何意义的应用十、单选题323．斜率为1的直线l与曲线y=ln(x+a)和圆xA．0或2 B．−2或0 C．－1或0 D．0或124．若过点P(m,0)A．(−∞,+∞C．(−1,3十一、多选题325．已知函数f(A．f(xB．直线3x+y+6=0是曲线y=f(C．f(x−1D．方程f226．已知函数f(x)=−x2+2xA．f(x)≤g(x)恒成立的充要条件是a≥B．当a=1C．当a=12时，直线D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为2+22，则十二、填空题327．已知函数y1=x12的图象与函数y2=a28．曲线f(x)=(x+1)ex+lnx在(1,反思提升：1.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.2.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.【基础篇】十三、单选题429．利用导数的定义计算limΔx→0A．1 B．2e C．0 30．已知曲线f(x)=xlnx在点(1,f(1))处的切线为l，则l在A．−2 B．−1 C．1 D．231．已知函数f(x)=1ex−1，则曲线A．ex+y+1=0 B．ex−y+1=0 C．ex+y−1=0 D．ex−y−1=032．函数f(x)=|x3|+1A．y=4x+6 B．y=−2x+6 C．y=−3x−3 D．y=−3x−1十四、多选题433．已知函数f(x)=sinx+sin(1−x)，A．f(−x)=f(1+x) B．f(x)+f(π+x)=0C．f'(134．已知函数f(A．函数f(x)B．函数f(x)C．函数f(x)在点D．若关于x的方程f(x)=a35．为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度c随时间t的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（）A．在t1B．在t2C．在[tD．在[t1，十五、填空题436．过原点作曲线y=lnx的切线l，并与曲线y=tlnx(t>1)交于A(x1,t37．已知函数f(x)=ex38．已知直线y−2x=0与曲线f(x)十六、解答题439．已知函数f(x)=lnx，g(x)=ax−1（1）过原点作f(x)图象的切线l，求直线l的方程；（2）若∃x∈(0,+∞)，使f(x)≤g(x)成立，求40．设函数f(（1）求f'(−1（2）求f(x)【能力篇】十七、单选题541．若过点(a,2)可以作曲线y=lnx的两条切线，则A．(−∞,e2) B．(−∞,ln2)十八、多选题542．已知定义域为R的函数f(x)A．fB．fC．f(D．存在函数f(x)以及x0十九、填空题543．若两个函数f(x)=lnx+a和g(x)=bex(a,b∈R)存在过点(2,二十、解答题544．已知函数f(x)=ln（1）求f(x)的极值；（2）证明：lnx+x+1≤x【培优篇】二十一、单选题645．已知过点(−2,0A．(−∞,−1) B．(−∞,二十二、多选题646．已知函数f'(x)为定义在R上的函数f(x)的导函数，f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，且A．f(0)=f(2) B．fC．f'(4)=2 二十三、填空题647．如图，有一张较大的矩形纸片ABCD，O，O1分别为AB，CD的中点，点P在OO1上，|OP|=2.将矩形按图示方式折叠，使直线AB(被折起的部分)经过P点，记AB上与P点重合的点为M，折痕为l.过点M再折一条与BC平行的折痕m，并与折痕l交于点Q，按上述方法多次折叠，Q点的轨迹形成曲线E.曲线E在Q点处的切线与AB交于点N，则△PQN

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】∵y'=exx+1-exx+12=xexx+12，

∴y'|x=1=e11+12=e2．【答案】B【解析】【解答】解：因为函数f(x)定义域为(0,+∞)，依题可知，f(1)=−2，f'(1)=0，

而f'(x)=ax−bx2，所以b=−2,a−b=0，即a=−2,b=−2，故答案为：B.【分析】利用已知条件和求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出a，b的值，则得出函数的解析式，从而得出导函数的解析式，再由代入法得出导函数的值.3．【答案】D【解析】【解答】解：由题意易知，当x趋近于-∞时，切线为y=0，当x趋近于+∞时，切线为x=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=ex的下方.

故答案为：D

【分析】利用极限，结合图象求解即可.4．【答案】A,D【解析】【解答】解：由题意得：f(2π3)=sin(即φ=−4π又因为0<φ<π，所以，当k=2时，φ=2π3，故对于A，当x∈(0,5π12)时，2x+2π3∈(2π3对于B，当x∈(−π12,11π12)时，2x+2π3∈(π2,5π2)对于C，当x=7π6时，2x+2π3=3π对于D，由y'=2cos解得2x+2π3=从而得：x=kπ或x=π所以，函数y=f(x)在点(0则切线方程为：y−32=−故答案为：AD．【分析】利用已知条件和正弦型函数的对称性，再结合φ的取值范围，从而得出φ的值，进而得出函数的解析式，再结合换元法和正弦函数的图象判断单调性的方法，从而判断出选项A；利用x的取值范围和不等式的基本性质，再由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)5．【答案】A,C【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得x=-33或x=33，

当x<-33或x>33时，f'(x)>0，当-33<x<33时，f'(x)<0，

所以f(x)在-∞，-33，33，+∞上单调递增，在-36．【答案】a＞0或a＜-4【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)ex0)，则切线斜率为f(x0)=(x0+a+1)ex0，

可得切线方程为y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切线过原点，

可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化简得x02+ax0-a=0(※)，

又切线有两条，即方程※有两不等实根，由判别式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.7．【答案】y=1e【解析】【解答】解：方法一：因为y=ln|x|，当x>0时y=lnx，

设切点为(x0,ln又因为切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0(−x当x<0时y=ln(−x)，设切点为(x1,ln(−x1))又因为切线过坐标原点，所以−ln(−x1)=1x1(−x1)，解得x1方法二：当x>0时y=lnx，设切点为(x0,lnx0)，又因为切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0(−x因为y=ln所以，当x<0时的切线，只需找到y=1ex方法三：因为y=ln|x|，当x>0时y=lnx，设切点为(x0,lnx0又因为切线过坐标原点，所以−lnx0=1x0(−x当x<0时y=ln(−x)，设切点为(x1,ln(−x1))又因为切线过坐标原点，所以−ln(−x1)=1x1(−故答案为：y=1ex【分析】利用三种方法求解.方法一：利用绝对值的定义，将函数化为分段函数，再分x>0和x<0两种情况，当x>0时，设切点为(x0,lnx08．【答案】(【解析】【解答】解：f'因为x1，x所以函数f(x)在(−∞，x1)和(所以当x∈(−∞，x1)∪(x2，+∞)时，若a>1时，当x<0时，2lna⋅a故a>1不符合题意，若0<a<1时，则方程2lna⋅a即方程lna⋅ax=ex的两个根为x1，x设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x则切线的斜率为g'(x则有−lna⋅a则切线的斜率为ln2因为函数y=lna⋅a所以eln2a<又0<a<1，所以1e综上所述，a的范围为(1【分析】由x1，x2分别是函数f(x)=2ax−ex2的极小值点和极大值点，可得x∈(−∞，x1)∪(x2，+∞)时，f'(x)<0，9．【答案】(0,1)【解析】【解答】解：由题意得fx=1-ex,x<0ex-1,x≥0，则f'x=-ex,x<0ex,x≥0，

所以点A(x1,1-ex1)，点B(x2,ex2-1)，KAM=-ex1，KBN=ex2

所以-ex1·ex2=-1，x1+x2=0，所以AM：y-1+ex1=-ex1(x-x1)，M(0,10．【答案】5x-y+2=0【解析】【解答】由题，当x=−1时，y=−3，故点在曲线上．求导得：y'=2(x+2)−(2x−1)故切线方程为5x-y+2=0．故答案为：5x-y+2=0．

【分析】由导数的几何意义即可求解。11．【答案】A【解析】【解答】解：由f(x)=0可得2x=kx+b，

要使f(x)恰有一个零点，只需函数g(x)=2设切点坐标为(x0,2x0)，由g(x)=2x故需使k=2由b>k>0可得2x0(1−故答案为：A.【分析】利用函数的零点的定义，得出要使f(x)恰有一个零点，只需函数g(x)=2x的图象与直线y=kx+b相切，设切点坐标为(x0,2x0)12．【答案】C【解析】【解答】解：因为函数fx若函数fx在区间0,12上是减函数，则f即a≤1x+2x由对勾函数性质可知y=1x+2x在0,12单调递减，

故答案为：C.【分析】先求出导函数，利用求导的方法判断函数的单调性，则a≤1x+2x13．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由题意可得T=2π因为fπ6=sin5π令t=3x+π3，由−π根据题意，可转化为直线y=a与曲线f(x)=sin3x+π由数形结合可得32设f'x为则fx+f'x=sin3x+π3+3故答案围：ACD．【分析】直接由正弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用换元法和正弦函数的图象的对称性，则判断出函数fx的对称性，从而判断出选项B；画出函数fx的图象和直线y=a的图象，再利用方程的根与函数fx与直线y=a的图象的交点的横坐标的等价关系，则由数形结合结合已知条件得出实数a的取值范围，则判断出选项C；利用函数f14．【答案】A,C【解析】【解答】对于A，因为f(x)=x3+所以，不妨设f(x)=(x−x易知f(x)展开式中的常数项为−x1x又因为x1x2=x所以f(x3)=f(2)=对于B，因为f(x)=x令f(x)<0，即(x−2)(x+2)(x+1)<0，利用数轴穿根法，解得x<−2或−1<x<2，故B错误；对于C，易得f'当切线斜率为1时，令f'(x)=3x2+2x−4=1当x=1时，f(1)=(1−2)(1+2)(1+1)=−6，此时切线为y+6=x−1，即y=x−7，故C正确；对于D，因为f(−3)=(−3−2)(−3+2)(−3+1)=−10，又f(1)=−6，所以f(−3)≠f(1)，所以点(−1,0)是曲线故答案为：AC.【分析】利用已知条件和函数的零点与方程的根的等价关系，再结合二项式定理求常数项的方法，从而得出x3的值，再由代入法和函数的解析式，从而得出实数a的值，则判断出选项A；利用数轴穿根法得出不等式f(x)<0的解集，从而判断出选项B；利用导数的几何意义得出切线的斜率再由点斜式得出曲线y=f(x)15．【答案】1+【解析】【解答】解：由x2=4y，则y=14x2，所以y'所以，切线方程为y−14x又因为直线y=12x所以d=|−x02|所以14x02=故答案为：1+5【分析】设出切点，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线方程，根据直线与圆相切位置关系判断方法，从而由点到直线的距离公式与圆半径的关系，进而得出点P的纵坐标.16．【答案】16【解析】【解答】因为f(x)=2f'(3)⋅x−29x2+lnx，所以f'(x)=2f'(3)−49x+1x，则f'(3)=2f17．【答案】B【解析】【解答】解：令f(x)=xlimΔx→0因为f'(x)=3x故答案为：B．【分析】令f(x)=x18．【答案】A【解析】【解答】解：在曲线y=x4上任取一点P(t,t4)，

对函数若曲线y=x4的法线的纵截距存在，则所以，曲线y=x4在点P处的法线方程为即y=−14t3x+t4令s=t2>0，令f(s)=则f'(s)=2s−14s当0<s<12时，f'当s>12时，f'所以，f(s)故答案为：A.【分析】利用已知条件结合导数的几何意义，从而得出切线的斜率，再结合两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出曲线在某点处的法线的斜率，再由点斜式得出曲线y=x4在点曲线y=x4在点P处的法线的纵截距为t4+14t19．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为函数f(x)所以f(−π12)=sin(−因为0<φ<π，所以φ=2π3，则对于A，由f(x)=sin(2x+2π3)所以函数f(x−π对于B，当x∈(−π12,由正弦函数y=sinu图象知y=f(x)只有1个极值点，

即x=5π对于C，当x=7π6时，2x+2π所以(7π6,对于D，由f'(x)=2cos解得2x+2π3=从而得x=kπ或x=π所以，函数y=f(x)在点(0此时切线方程为y−32=−即直线y=32−x故答案为：ACD.【分析】利用已知条件和正弦型函数的图象的对称性和0<φ<π，从而得出φ的值，则得出正弦型函数的解析式.由f(x)=sin(2x+2π3)得f(x−π3)=sin2x，定义域为R，再结合奇函数的定义判断出函数20．【答案】A,B【解析】【解答】解：设切点为P(x0,y0)，y'=x⋅cos∴sinx0−x∵x0≠0，∴可取由导数的几何意义知，sinx则sin[(2k−1)π]−(2k−1)π[(2k−1)π]2所以a=(2k−1)π，k∈Z，∴当k=1时，a=π；当k=2，a=3π，故A，B正确，C，D不正确.故答案为：AB.【分析】设出切点坐标，再结合直线恒过定点的方法和导数的几何意义，从而得出a与k的关系式，再结合赋值法得出实数a可以的值.21．【答案】2【解析】【解答】解：设切点(x0,ex0)，x由切线l与x轴、y轴分别交于A,则A(x0−1得到S△AOB构造函数g(x)=12(x−1)求导g'令g'(x)=0，所以x∈(−∞,−1),g'(x)>0，所以g(x)故答案为：2e【分析】设切点坐标和导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线方程，由切线l与x轴、y轴分别交于A,B两点得出点A，B的坐标，再根据三角形的面积公式，从而构造出函数g(x)=12(x−1)22．【答案】2x−y+6=0【解析】【解答】解：由题意设切点P(0,f(0))，因为令x=0，得f'由导数几何意义知：k=f又因为f(0)=4e0−故曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为：y−6=2(x−0)，整理得：2x−y+6=0.故答案为：2x−y+6=0.【分析】设切点坐标，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，则由点斜式得出曲线y=f(x)在x=0处的切线方程.23．【答案】A【解析】【解答】解：依题意得，设直线l的方程为y=x+b，由直线和圆x2+y2=当b=1时，y=x+1和y=ln(设切点为(m,n又因为切点同时在直线和曲线上，即n=m+1n=ln(m+a即y=x+1和y=ln(y=x−1和y=lnx仍会保持相切状态，即b=−1时，综上所述，a=2或a=0.故答案为：A.【分析】设出直线方程，再结合直线与圆相切位置关系判断方法和点到直线的距离公式得出b的值，再利用b的值和直线y=x+1和y=ln(24．【答案】D【解析】【解答】解：设过点P(m,0)由f(x)=x+1ex整理得t2+(1−m)则Δ=(1−m)2−4>0所以m的取值范围是(−∞故答案为：D．【分析】设过点P(m,0)的直线与曲线f(x25．【答案】B,D【解析】【解答】对于A，当x>0时，f(x)当x<0时，f(x)对于B，令f'(x)=1−4x2=−3，得x=±1，f(1)=7，

所以图象在点(1,7)处的切线方程是y−7=−3(x−1)，即3x+y−10=0，f(−1)=−3，对于C，因为y=x+4x的对称中心是(0,0)，所以f(x)=x+4对于D，由f2(x)−5f当x+4x+2=−2时，得出(x+2)2=0，则x=−2，则有1个实根；

当x+故答案为：BD.【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而得出函数的值域，则判断出选项A；利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由点斜式得出曲线y=f(x)26．【答案】A,C,D【解析】【解答】对于A，若f(x)而g(x)−f(x)对于B，设切点(x1，f(x1))，(x则f(x将①代入②，可得2x当a=14时，代入方程解得：Δ=64−3×4×8<0，方程无解，即两个函数图象无公切线，故B错误；对于C，当a=12时，代入方程2x则x1=12，故所以函数f(x)与g对于D，如图所示，不妨设切线与f(x)切于A,B，与g(x)切于C,设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(故f所以xA+xyA+yC=−xA2+2xA则点A处的切线方程为y=(−2x点C处的切线方程为y=2x得出xA2+xC2=a，即xAx由选项C可知：A,B是f(x)的两个切点，所以xB，x所以2xB2−2x则xC=x|AB|=|AB令2a−1=t,t>0故2a−1=1⇒a=1故答案为：ACD．【分析】利用f(x)≤g(x)恒成立得出

g(x)−f(x)=x2+a+x2−2x=2x2−2x+a=2(x−12)2+a−12≥0恒成立，再由不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，则判断出选项A；设切点(x1，f(x1))，(x27．【答案】e12e；【解析】【解答】解：设公共点为(x0,y0)(x0>0)，则y由y1'=12x−又因为在公共点处有相同的切线，所以12x0−12=ax0lna，即12x0−12=故答案为：e12e；【分析】设公共点为(x0,28．【答案】e+1【解析】【解答】解：由题意，函数f(x)=(x+1)ex+可得f'(1)=3e+1，因为曲线y=f(x)在(1,a)处的切线与直线可得b=f'(1)=3e+1故答案为：e+1.【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再由两直线平行斜率相等和代入法求切点纵坐标的方法，从而得出a，b的值，进而得出b-a的值.29．【答案】B【解析】【解答】依题意，令函数f(x)所以limΔx→0故答案为：B.【分析】利用已知条件，令函数f(x)30．【答案】B【解析】【解答】解：由f(x)=xlnx得f'(x)=lnx+1，

所以直线l的斜率又因为f(1)=0，所以直线l的方程为y=x−1，

令x=0，得y=−1，即l在y轴上的截距为−1.故答案为：B.【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，则根据点斜式得出切线方程，再赋值得出直线在y轴上的截距.31．【答案】A【解析】【解答】解：由f(x)=1ex所以f'(−1)=−e，又故曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线的方程为y−(e−1)=−e(x+1)，即故答案为：A.【分析】利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出曲线y=f(x)在点(−1,32．【答案】D【解析】【解答】解：因为f(x)=|x3|+1当x<0时，f(x)=−x3+1，则f'(x)=−3所以切点为(−1,2)，切线的斜率为所以切线方程为y−2=−3(x+1)，即y=−3x−1.故答案为：D.【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，得出函数的解析式，再结合导数的几何意义求出切线的斜率，则由代入法得出切点坐标，从而根据点斜式得出函数f(x)=|x3|+133．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：由已知得f'f(−x)=sinf(x)+f(π+x)=sinx+sinf'(12)=f'故答案为：ABD.【分析】利用导数的公式和复合函数的导数运算法则以及代入法，从而判断出选项A和选项C；利用代入法、导数的公式和复合函数的导数运算法则以及诱导公式判断出选项B和选项D，从而找出结论正确的选项.34．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、因为f(x)=13x3−4x+4，x∈[0，3]，所以f'(xB、因为f(0)=4，f(3)=1，所以函数f(x)C、因为f'(1)=−3，f(1)=D、由f(2)=−43，函数要使方程f(x)=a在区间故答案为：AC.

【分析】利用导数判断函数f(x)35．【答案】A,C【解析】【解答】在t1在t2在t2，t在[t1，故答案为：AC．

【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此处切线的斜率，再结合图象逐一判断即可.36．【答案】2【解析】【解答】解：y'=1x，设切线则y−lnx0=1易知切线l的方程为y=1ex，所以tlnx1x1=tln故答案为：2e【分析】设出切点坐标，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据点斜式设出切线方程，则由代入法得出切点坐标，从而得出切线方程，再根据已知条件得出x137．【答案】e−2【解析】【解答】解：因为f(所以f'(x因为f(x),所以g'(1所以a−b=e−2.故答案为：e−2.【分析】利用已知条件和导数的几何意义得出切线的斜率，再由公切线的斜率相等和代入法，从而得出a-b的值.38．【答案】y=2x−1【解析】【解答】解：f'(x)=1+1x，设切点为(x0故切线方程为y−1=2(x−1)，即y=2x−1.故答案为：y=2x−1.【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合两直线平行斜率相等的判断方法，从而得出切点坐标，再根据点斜式得出该切线方程.39．【答案】（1）解：f设切点坐标为(t,lnt)，则切线方程为因为切线经过原点O，所以−lnt=1t(−t)所以切线的斜率为1e，所以l的方程为x−ey=0（2）解：∃x∈(0,+∞)，f(x)≤g(x)，即则得a≥x(lnx+1)在(0,故有x∈(0,+∞)时，令h(x)=x(lnx+1)，x>0，h'令h'(x)>0得x∈(1e故h(x)在(0,1e所以h(x)则a≥−1e2，故a【解析】【分析】（1）设切点，求导，写出切线方程，代入原点，即可求出切线方程；（2）将已知条件转化为a≥x(lnx+1)在(0,+∞)上有解，只需求h(x)=x(lnx+1)在40．【答案】（1）解：因为f(所以f'(x)=x2−f所以f(x)=13x3−故f'(−1（2）解：由（1）知f(x)则f'所以x、f'(x)与f(x)，x0(1(2f+0−f−单调递增极大值5单调递减1故f(x)【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则和代入法得出f'(−1)的值，再利用代入法和函数的解析式，从而得出f(1)41．【答案】C【解析】【解答】解：在曲线y=lnx上任取一点P(t,lnt)，对函数y=lnx求导，得所以曲线y=lnx在点P处的切线方程为y−lnt=1由题意可知，点(a,2)在直线y−lnt=1令f(t)=3t−tlnt,t∈(0,当t∈(e2,当t∈(0,e2所以f(t)max=f(e2)=e又因为直线y=a与曲线y=f(t)的图象有两个交点，所以a的取值范围为(0,故答案为：C.【分析】利用已知条件和导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出曲线的切线方程，由题意可知，点(a,2)在直线y−lnt=1t(x−t)42．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：由f(xy)=y3f(x)+x3f(y)，取x=y=1，得f(1)=2f(1)，解得f(1)=0．取x=y=−1，得f(1)=−2f(−1)=0，所以f(−1)=0，所以B错误．取y=−1，得f(−x)=−f(x)+x所以f(x)是奇函数，所以C正确．当xy≠0时，在f(xy)=y3f(x)+得f(xy)x3y3=f(x)x当x>0时，f(x)=x所以f'所以f'故答案为：ACD.【分析】利用已知条件和赋值法得出函数的值，则判断出选项A和选项B；利用已知条件和赋值法以及奇函数的定义，则判断出选项C；当xy≠0时，在f(xy)=y3f(x)+x3f(y)两边同时除以x3y3，得f(xy)x3y3=f(x)43．【答案】9【解析】【解答】解：f'(x)=1x，设切点坐标为切线方程为y−(lnx1+a)=1x1(x−x1g'(x)=bex，设切点坐标为则切线方程为y−bex2=ber2(x−x又因为1x1=bexf(x所以(x故答案为：9.【分析】设出切点坐标，利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式得出切线的方程，则由公切线的定义和斜率相等，从而得出(x44．【答案】（1）解：由题意得f(x)=lnx−ax+1的定义域为则f'当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在当a>0时，令f'(x)<0，则x>1a，令即f(x)在(0,1故x=1a为函数的极大值点，函数极大值为（2）证明：设g(g'(x)=(x+1)e则h'(x)=(x+2)ex+h(1故∃x0∈(12当x∈(0,x0)时，h(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，h(x)>0，故g即g(x)≥0，即xex≥【解析】【分析】（1