专题30 平面向量的数量积及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）（含答案）

专题30平面向量的数量积及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义（新高考专用）考试要求：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.(3)投影向量如图，在平面内任取一点O，作OM→＝a，ON→＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1→就是向量设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1→与e，a，θ之间的关系为OM12.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：a=(3)夹角：cosθ＝(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x13.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.一、单选题1．设向量a=(x+1A．“x=−3”是“a⊥B．“x=−3”是“a//C．“x=0”是“a⊥D．“x=−1+3”是“a2．已知向量a→,b→满足|aA．12 B．22 C．33．正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅A．5 B．3 C．25 4．已知向量a=(3，1)A．117 B．1717 C．555．已知向量a,b,c满足|aA．−45 B．−25 C．6．已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=2，则PAA．1+22 B．1+222 C．7．已知向量a=(1,1)A．λ+μ=1 B．λ+μ=−1 C．λμ=1 D．λμ=−1二、填空题8．已知向量a，b满足|a【考点1】数量积的计算三、单选题19．已知|b|=2|a|，若a与b的夹角为60°，则A．12b B．−12b 10．已知a和b的夹角为150°，且|a|=2,A．−9 B．−3 C．3 D．9四、多选题111．已知向量a，b的夹角为π3，且|a|=1A．(B．|C．|2D．a在b的方向上的投影向量为312．已知向量a=(sinθ,cosθ)，bA．若a⊥bB．c在b方向上的投影向量为1C．存在θ，使得a在c−D．|a−五、填空题113．在梯形ABCD中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,AC⋅AB=32，点M满足AM=1314．已知e1，e2是两个单位向量，若e1在e2上的投影向量为12e2反思提升：平面向量数量积的两种运算方法(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.【考点2】数量积的应用六、单选题215．已知向量a，b的夹角为150°，且|a|=2，|bA．1 B．2−3 C．2+3 16．已知向量a=(1,t)，b=(−3,1)，且A．π4 B．π3 C．2π3七、多选题217．已知a，b，c是平面上的三个非零向量，那么（）A．若(a⋅B．若|a+C．若|a|=|b|=|a+D．若a⋅b=a⋅c，则18．已知向量a，b满足|a+b|=6，A．π6 B．2π7 C．3π8八、填空题219．已知平面向量a,b满足|a|=2|b20．已知向量a，b满足|a|=1，|反思提升：(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cosθ＝a·ba·b(夹角公式)，a⊥b(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【考点3】平面向量的综合应用九、单选题321．在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，设点D为AC的中点，E在BC上，且AE⋅A．16 B．12 C．8 D．−422．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，点M(A．23 B．53 C．63十、多选题323．定义两个非零平面向量的一种新运算a∗b=|a||bA．a在b上的投影向量为|B．(C．λD．若a∗b24．已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,A．2S=B．△ABC的外接圆周长为16C．S的最大值为4D．若M为线段AB的中点，且CM=43十一、填空题325．已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且sin2B+sin2C−sin226．如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），DC⊥BC，DC=BC，|AB|=2，|CA−BC|=；反思提升：向量数量积综合应用的方法和思想(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.【基础篇】十二、单选题427．在平面直角坐标系xOy中，点P在直线x+2y+1=0上.若向量a=(1,2)，则OPA．(−15,C．(−55,28．若向量a,b满足|bA．2 B．3 C．2 D．329．已知向量a=(λ,2)，b=(1,1)，若|aA．−2 B．2 C．−12 30．在Rt△ABC中，角A,B,C所对应的边为a,b,c，A=π6，A．4 B．2+10 C．3 D．十三、多选题431．已知直线l：mx+y−1−2m=0与圆O：x2+y2=A．直线l过定点(2B．当r=4时，线段AB长的最小值为2C．半径r的取值范围是(0D．当r=4时，OA⋅OB32．下列说法正确的有（）A．若复数z1，z2满足zB．若复数z1，z2满足|C．若向量a，b满足|a+D．若复数z满足z+1z33．已知向量a=(−1A．(B．|C．a与b的夹角为πD．a在b上的投影向量为−十四、填空题434．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD=60°，CB=CD=23.若M为线段BC中点，则AM⋅DM=；若N为线段BC（含端点）上的动点，则35．已知平面向量a=5,1,b=1,−136．已知a=(−1,3)，b=十五、解答题437．在△ABC中，a,b,c分别是角A,（1）试利用“AB+BC=（2）若A=π4,38．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m=(2sinA,3sinA+3cosA)，（1）求函数f(A)的最大值；（2）若f(A)=0，a=3，sinB+sinC=62【能力篇】十六、单选题539．在△ABC中，|AB|=22，O为△ABC外心，且AOA．30° B．45° C．60° D．90°十七、多选题540．已知向量a=(1,3A．aB．a与b的夹角为πC．aD．a+b在b十八、填空题541．已知向量u=(sinx,sin2(x+π4)),十九、解答题542．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为边BC上一点，且满足(AD（1）证明：AD=b；（2）若AD为内角A的平分线，且AD=13【培优篇】二十、单选题643．在△ABC中，AC=27，O是△ABC的外心，M为BC的中点，AB⋅AO=8，N是直线OM上异于M、A．3 B．6 C．7 D．9二十一、多选题644．在△ABC中，角A  ，B  ，C所对的边分别为a  ，b  ，c．若23ccos2A+C2A．B=π3 B．bC．△ABC面积的最大值为23 D．△ABC周长的最大值为二十二、填空题645．在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=23AB，点E在边DC上，满足DE=13DC，则向量AE在向量AD上的投影向量为（请用AD表示）；若AB=3，点M，N分别为线段AB，BC

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、当a⊥b时，a⋅b=0，则x⋅(x+1)+2x=0，解得x=0或−3，

即必要性不成立，故A错误；

B、当a//b时，2(x+1D、当x=−1+3时，不满足2(x+1故答案为：C.【分析】由题意，根据向量平行、垂直结合充分、必要条件等知识逐项判断即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：因为向量a→,b所以a→+2b→又因为(b−2a)⊥b，所以(b−2a故答案为：B.【分析】由|a→+2b→|=2两边平方化简可得3．【答案】B【解析】【解答】由正方形ABCD的边长为2，E为AB中点可知，AB→=AD→=2，AB→·AD→=0，

EC→=EB→+BC→=4．【答案】B【解析】【解答】∵a→=3，1，b→=2，2，∴a→+b→=5，3，a→-b→=1，-1，

∴a→+5．【答案】D【解析】【解答】解：因为a+b+即a2+b2+2设OA=由题知，OA=OB=1,AB边上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos〈故答案为：D.【分析】由题意可得a+b=−c，两边同时平方结合已知条件可得a⋅6．【答案】A【解析】【解答】根据题意，由PA→⋅PD→=PA→⋅PD→cos∠PAD，

当cos∠PAD夹角越小值越大，同时结合圆的对称性，故当PA与PC在圆O同测的圆弧上时，达到最大，

如下图所示，连接PO，OA，OD，

∴OA=r=1，∠OAP=90°，

∴AP→=PO→2-OA→2=1，

∴△OAP是等腰直角三角形，∠OPA=45°，

又∵D为BC的中点，

∴OD⊥PC

由|PO→|=2，设∠OPD=α，∠APD=θ

∴PD=2cosα7．【答案】D【解析】【解答】解：因为向量a=(1,1),b又因为(a+λb)⊥(a+μb)，所以故答案为：D．【分析】由题意，根据向量垂直的坐标表示列式计算即可.8．【答案】3【解析】【解答】∵a→+b→=2a→-b→，∴a→9．【答案】B【解析】【解答】解：因为|b|=2|a|，a与所以a⋅则(2a所以2a−b在b故答案为：B.【分析】根据向量数量积及运算律，结合投影向量公式计算即可.10．【答案】C【解析】【解答】解：(=|=2⋅故答案为：C.【分析】根据向量数量积运算求解即可.11．【答案】A,B【解析】【解答】解：因为向量a，b的夹角为π3，且|a|=1，|b|=2B、|a+bC、|2a+b又因为|2b|=4，所以D、a在b上的投影向量为a⋅故答案为：AB．【分析】根据题意，由(a12．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、若a⊥b，则则θ+π3=kπ(k∈Z)，即θ=kπ−B、c在b方向上的投影向量为c⋅C、a在c−b方向上的投影向量的模为若|sinθ+2cosθ即5|sin(θ+φ)|=2，其中cosφ=5所以存在θ，使得a在c−D、|a因为−1≤sin(θ+π3)≤1,所以1≤|故答案为：ACD.【分析】根据向量垂直数量积为零，结合正切函数的性质求解即可判断A；根据投影向量的计算公式计算即可判断BC；由向量的模长公式结合三角函数的性质即可判断D.13．【答案】2π3；【解析】【解答】解：AC⋅解得：cos∠DAB=−12，因为0<∠DAB<π以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：

由∠DAB=2π3，AB//CD则A(0,0),直线BD的方程为：3x+7y−33=0，两直线联立解得x=因N为线段AC延长线上的动点，故可设N(12于是，NP=(因t>1，故当t=76时，NP⋅故答案为：2π3；23【分析】利用向量的加减运算和数量积定义化简计算求得∠DAB=2π3；以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，设N(12t,14．【答案】π【解析】【解答】解：由题意可得e1⋅e即⟨e故答案为：π3【分析】由题意，根据投影向量的定义，结合向量夹角公式求解即可.15．【答案】D【解析】【解答】解：因为向量a，b的夹角为150°，且|a|=2，|b|=2，

所以a所以|a故答案为：D.【分析】由题意，根据向量的数量积，结合向量的模长公式求解即可.16．【答案】D【解析】【解答】解：因为a=(1,t(2a+b)⊥b则|a|=12cos〈a,b〉=a故答案为：D.【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直数量积为零求得t的值，再根据向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可.17．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、若(a⋅b)c=(b若λ=μ=0，则a⊥b，b⊥若λ，μ不同时为零，则λc=μaB、若|a+bC、利用向量线性运算的平行四边形法则，作平行四边形ABCD，如图，AB=a,由|a|=|b|=|a所以a与a−b的夹角为D、b，c在a方向上的投影向量为b⋅a|a|故答案为：ABD.【分析】根据平面向量数量积的概念和向量的共线定理即可判断A；等式两边平方可得a⋅18．【答案】A,B【解析】【解答】解：因为|a+b|=6，则|a|由①②可得4a⋅b=4，即a⋅即|a||b|≤2，设a与b的夹角为θ，则且|a||b|≤2，则cosθ≥12，所以θ≤π3故答案为：AB.【分析】根据题意，两式同时平方，相减求得a⋅b=119．【答案】1或−3【解析】【解答】解：将|a+kb|=37两边平方，得|a|2+2ka⋅b+故答案为：1或−3.【分析】由题意，利用向量数量积的运算律求解即可.20．【答案】3【解析】【解答】解：因为|a|=1，|b|=3，a−b则|3a故答案为：32【分析】由题意，根据向量的模长公式求得a→21．【答案】A【解析】【解答】解：因为在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，

以则A(4,0)，B(0,0)，C0,6，D(2,3)，设由题意可知AE⋅BD=0，即(−4,b)⋅(2则E(0,83)，故答案为：A.【分析】以B为原点，建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标运算求解即可.22．【答案】C【解析】【解答】解：由以MN为直径的圆过椭圆C的右焦点F(c,0)FM=(a2−由(OM−2则(a2c)2整理得2a2=3c2，解得c故答案为：C.【分析】由题意，可得FM⊥FN，结合圆的性质以及向量数量积的运算列式，化简可得23．【答案】B,D【解析】【解答】解：A、a在b上的投影向量为|aB、(aC、λ(显然λ<0时，λ(D、由a∗b=0，所以|a||故答案为：BD.【分析】由题意，根据投影向量的定义计算即可判断A；根据新运算结合向量的数量积运算即可判断B；根据新运算计算即可判断C；根据新运算，若a∗b=0求得〈24．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、根据三角形面积公式可得S=12bcsinA，即2S=bcsinA=B、记△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理可得2R=asinA=432=C、由余弦定理可得a2=b故S=12bcsinA=D、由C可知，当S=43时，△ABC为等边三角形，此时CM=2故答案为：AC.【分析】由三角形的面积公式和向量数量积的定义计算即可判断A；由正弦定理计算即可判断B；利用基本不等式求得S的最大值即可判断C；根据C中的结论可知当CM=23时面积为S=425．【答案】2π3；【解析】【解答】解：因为sin2B+sin2C−sin2A+sinBsinC=0，所以b2+c2-a2+bc=0,∴b2+c2-a2=-bc,∴cosA=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12，

因为A∈0,π，所以A=2π3.所以BC→=a=b226．【答案】2；2【解析】【解答】解：由题意可知O为AB的中点，且|CO则|CA设∠BOC=2θ,θ∈(0,π2)，作DE⊥OE，交在△BOC中，B故BC=2sinθ，则DC=2sinθ，

∠OCB=π−2θ2=π2则CE=DCcosθ=2sinθcosθ=sin2θ，故OC⋅当θ=π4时，故答案为：2；2.【分析】根据向量的线性运算结合向量的模长公式即可求解|CA→−BC→|的值；设∠BOC=2θ,θ∈(0,π227．【答案】A【解析】【解答】解：设点P(−2t−1,t)，则则OP·a=(−2t−1所以OP在a上的投影向量为OP→故答案为：A.【分析】由题意，设点P(−2t−1,28．【答案】A【解析】【解答】解：因为向量a，b满足|b|=1所以(a+b又因为(a+2b)⊥故答案为：A．【分析】由题意，根据向量垂直数量积为零，求得a⋅b=−1，再由(29．【答案】A【解析】【解答】解：由|a+b|=|a因此λ+2=0，所以λ=−2.故选：A【分析】利用给定条件，再利用数量积求向量的模的公式，再结合数量积的运算律求得a⋅b的值，再利用数量积的坐标表示得出实数30．【答案】A【解析】【解答】解：如图，

设Rt△ABC的外心为O，则点O是AB的中点，由PC⋅(因c=2，故|PO|=则PC⋅(PA+PB)≤2+2=4,当且仅当故答案为：A.【分析】由题意可得点O是AB的中点，将PC⋅(PA+PB)化简为231．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、直线l:mx+y−1−2m=0，可化为由x−2=0y−1=0，解得x=2,y=1，即直线lB、当r=4时，圆O方程为x2+y则|OM|=5，可得线段AB长的最小值为2C、因为直线l与圆O有总有两个公共点，可得点M(2,1)在圆所以22+1D、当r=4时，圆O的方程为x2则OA⋅当直线l过圆心O(0,0)，此时∠AOB=π所以OA⋅OB有最小值为故答案为：ABD.【分析】化直线方程为m(x−2)+(y−1)32．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、取z1=1+i，z2=−1+i，满足z1B、由A可知：z1+z2=2iC、因为|a+b|=|a−bD、因为z+1z=−1，所以(z+依此类推可得z2024故答案为：CD.【分析】根据复数不能比较大小即可判断A；取z1=1+i，z2=−1+i，根据复数的求模公式，结合复数代数形式的乘法求解即可判断B；根据模长结合数量积的运算求解即可判断C；由33．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、易知2a+b=(B、因为a−b=C、因为cos〈a,b〉=D、a在b上的投影向量为|a故答案为：ABD．【分析】由题意，根据向量的坐标运算结合向量数量积的坐标表示求解即可判断A；根据向量的模长公式即可判断B；根据向量夹角的坐标表示求解即可判断C；根据投影向量的定义即可判断D.34．【答案】6；214【解析】【解答】解：因为CB=CD=23，∠BCD=60°，所以△BCD因为AB⊥BC，AD⊥CD，所以在Rt△CBA和Rt△CBD中，CB=CD，CA=CA，则Rt△CBA≌Rt△CBD，得AB=AD，∠BCA=∠DCA=30因为在Rt△CBA中，tan30∘=ABCB，则AB2以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

B(0,0)，A(2,0则AM⋅设N(0,a),(则AN⋅因为a∈[0,23]，所以故答案为：6；214【分析】由题意，以B为原点，建立平面直角坐标系，求出各点坐标，结合平面向量的数量积公式和二次函数的性质求解即可.35．【答案】−2【解析】【解答】解：因为a→=5,1,b→=1,−1，所以a−b=4,2，

因为故填：−2.

【分析】根据向量的坐标运算可得a−36．【答案】−2或1【解析】【解答】解：易知a−因为(a−b)⊥b，所以(a−故答案为：−2或1.【分析】根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.37．【答案】（1）证明：在△ABC中，由向量的线性运算法则，可得BC=两边同时点乘BC，可得BC⋅所以a2两边同时约去a，可得a=bcos（2）解：如图所示，设∠BAD=α,∠CAD=β因为A=π4，所以α+β=π4，又因为AD⊥BC，所以所以tanπ化简得x2−5x−6=0，解得x=6或x=−1（舍去），所以所以△ABC的面积S=1【解析】【分析】（1）由题意，可得BC=AC−AB，两边同时点乘BC，化简可得a2=abcosC+accosB，消去a即可证明；

（2）设∠BAD=α,∠CAD=β,AD=x，得到38．【答案】（1）解：f=sin因为A∈[π6,所以当2A+π3=2π3，即A=（2）解：因为f(A)=0，所以2sin(2A+π因为A∈[π6,由正弦定理bsinB=csin又因为sinB+sinC=62由余弦定理有：a2=b2+所以S△ABC【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合正余弦的二倍角公式、辅助角公式化简求得f(A)=2sin2A+π3，再利用正弦函数的性质求最大值即可；

（2）由f(A)=0解得39．【答案】A【解析】【解答】解：由O为△ABC的外心，可得AO在AC方向上的投影向量为12则AO⋅AC=12AC2则cos=322由0°＜∠ABC＜180°可知，0°＜∠ABC≤30°，故∠ABC的最大值为30°．故答案为：A．【分析】根据三角形的外心性质以及数量积的几何意义，可得AO在AC方向上的投影向量为12AC，从而求得40．【答案】C,D【解析】【解答】解：A、a⋅B、由向量的夹角公式得：cos⟨a,b⟩=a⋅C、由a+2b=(1,3)+2(−2,D、由a+b=(1,3(a故答案为：CD.【分析】根据向量数量积的坐标表示求解即可判断A；根据向量的夹角公式即可判断B；根据向量数量积的坐标表示计算即可判断C；根据投影向量的定义计算即可判断D.41．【答案】[1−【解析】【解答】解：f(x)=2u因为函数y=f(x)−m在x∈[0,所以f(x)−m=0在x∈[0,得1+2sin(2x−π即函数y=sin(2x−π3)当x∈[0,π2画出y=sinz在z∈[−π结合函数图象可知，函数y=sin(2x−π3)在区间[0所以m−12∈[−32,故答案为：[1−3【分析】由题意，问题转化为f(x)42．【答案】（1）证明：记CD的中点为E，则AD+因为(AD+AC所以AE为CD的垂直平分线，所以AD=AC=b