第12讲二项式定理高三二轮复习选填39讲

2025届高三二轮复习选填39讲第12讲二项式定理知识点解析知识点解析1.型步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式.步骤2：令展开式次数等于题目所求次数，求.步骤3：将代入展开式得系数.2.型步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式.步骤2：分类讨论，令展开式与的次数分别等于题目所求次数，分别求.步骤3：分别将代入展开式与得系数.3.型方法一：利用二项式定理展开，令展开式次数等于题目所求次数，求与，代入展开式得系数.方法二：将题目所求次数依次分配给、、，再利用二项式定理展开.4.二项展开式各项的系数和已知=1\*GB3①令，得；=2\*GB3②令，得；=3\*GB3③令，得；=4\*GB3④令，得；=5\*GB3⑤令，得；=6\*GB3⑥令，得；=7\*GB3⑦令，.5.二项式定理的性质=1\*GB3①若已知所有二项式系数之和为，则令，此时；=2\*GB3②若已知所有奇（偶）次项二项式系数之和为，则令，此时；=3\*GB3③若已知所有系数之和为，则，求解得；=4\*GB3④若已知第项和第项和二项式系数相等，则，此时；=5\*GB3⑤若已知只有第项的二项式系数最大，则最大，此时前后各有项，；=6\*GB3⑥若已知第项的二项式系数最大，则需分为只有第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大三种情况分类讨论；=7\*GB3⑦，.6.最大项问题考向一：若求二项式系数的最大值，可利用二项式定理的性质进行解决.考向二：若求系数的最大值，可先写出系数的表达式，利用作差法或作商法求表达式的单调性，进而得到系数的最大值.

真题真题速递1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】的二项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：A.2．（2023·北京·高考真题）在的展开式中，x的系数为（

）A． B．40 C． D．80【答案】D【详解】的展开式的通项为，令，解得所以的展开式中的系数为.故选：D.3．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为．【答案】20【详解】因为的展开式的通项为，令，可得，所以常数项为.故答案为：20.4．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为．【答案】5【详解】由题展开式通项公式为，且，设展开式中第项系数最大，则，，即，又，故，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为.故答案为：5.5．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为．【答案】【详解】展开式的通项公式，令可得，，则项的系数为.故答案为：60.

实战演练实战演练1．（2425高三上·北京通州·期末）在二项式的展开式中，常数项为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】的通项公式为，常数项时，则，所以常数项为，故选：D.2．（2425高三上·北京·期中）二项式的展开式中的常数项为（

）A．60 B． C．64 D．【答案】A【详解】设二项式的展开式中的通项为，，令，可得，,故选：A.3．（2425高三上·山东滨州·期末）的展开式中的系数为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【详解】，含的项为，所以展开式中的系数为.故选：C．4．（2425高二上·甘肃白银·期末）若的展开式中含的系数为15，则实数（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【详解】的展开式的通项，所以的展开式中含的系数为，令，即，解得．故选：D5．（2425高三上·山东威海·阶段练习）的展开式中，含的项的系数为（

）A．240 B． C．560 D．360【答案】B【详解】因为展开式的通项为，当，即时，展开式中会出现，此时，对于，通项为，要想得到，则需，此时，即含的项的系数为，故选：B.6．（2425高三上·河北·阶段练习）关于的展开式，下列判断正确的是（

）A．该展开式各项的系数之和为B．该展开式各项系数的绝对值之和为720C．该展开式中含的各项系数之和为D．该展开式中不含字母的各项系数之和为64【答案】C【详解】对于A，取，得展开式各项的系数之和为1，A错误；对于B，展开式的通项公式为，，当时，展开式的通项公式为，此时，的系数为，的系数为，的系数为，的系数为，的系数为，的系数为，展开式各项系数的绝对值之和为，B错误；对于C，展开式中含的各项系数之和为，C正确；对于D，展开式中不含字母的各项即展开式的各项，取，得展开式的各项系数和为0，D错误.故选：C7．（2425高三上·湖北·期中）若正整数a，b满足等式，且，则（

）A．1 B．2 C．2022 D．2023【答案】D【详解】∵，∴.故选：D.8．（2324高二下·江苏南京·期中·多选）若，则下列结论中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【详解】令，则，故A正确，令可得，故，故B错误，令可得，故，故C正确，令可得，，故D错误，故选：AC9．（2425高三上·甘肃·期末·多选）若，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【详解】令，得，令，得，所以，所以A正确；B正确；令，则，所以，因为二项式的展开式的通项公式为，，所以，故C不正确；令，得，所以，故D正确.故选：ABD.10．（2425高三上·湖南长沙·阶段练习·多选）若，则下列正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】对于A：令，则，故A错误；对于B：令，则，故B正确；对于C：令，则，故C正确；对于D，由，两边同时求导得，令，则，故D错误.故选：BC.11．（2425高三上·广西河池·期末）被15除所得余数为．【答案】1【详解】，而是15的倍数，所以被15除所得余数为1.故答案为：112．（2425高三上·山东临沂·阶段练习）若的二项展开式中含有常数项，则的最小值是.【答案】10【详解】易知，显然展开式中的第项为，若展开式中含有常数项可知有解，即，显然当时，取得最小值为10.故答案为：1013．（2425高三上·海南海口·期末）展开式的常数项为.【答案】60【详解】的常数项为,故答案为：14．（2025·广东佛山·一模）的展开式中的系数是．【答案】【详解】的展开式的通项公式为，的展开式的通项公式为，令，则的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，故的展开式中的