高等数学（慕课版）教案 教学设计-1.3 极限的运算法则；1.4 极限存在准则与两个重要极限

《高等数学》教学设计授课内容：极限的运算法则授课教师：授课单位：完成时间：授课信息授课内容授课时长1.3.极限的运算法则2学时授课形式授课时间理论课授课对象授课地点内容分析极限的运算法则前接基础极限概念，后为导数、积分运算奠基。四则运算法则让极限计算更简便，复合函数极限运算法则处理复杂函数极限。它们助学生构建完整极限运算体系，提升运算与逻辑思维能力。学情分析1.知识基础：已完成极限概念的学习，会用观察法求简单函数的极限；2.认知能力：具备基本的数学能力和数学素养；3.学习特点：动手能力强，但学习积极性不高；独立思考能力较弱，团队合作意识有待提高。教学目标知识目标：1、掌握极限的运算法则和推论；2、掌握特殊类型的函数极限的求解方法。能力目标：1.运用极限的运算法则及法则的推论求函数极限。2.会求常见的特殊类型的函数极限。素质目标：通过学习极限的运算方法，培养学生的逻辑思维和创新思维能力。引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。教学重难点教学重点：1.极限的运算法则2.几种常见的特殊类型的函数极限的求解教学难点：几种常见的特殊类型的函数极限的求解教学方法任务驱动法、讲授法、引导探究法、练习法教学设计课前任务→导入新课（5min）→讲授新课（53min）→巩固提高（27min）→归纳总结（3min）→布置作业（2min）→课后拓展课程思政设计极限的运算的重点在“算”，在这一过程中培养学生的逻辑思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神。教学过程课前环节教学环节课前任务教师活动学生活动设计意图课前导学预习新课，完成课前小测试。1、发布任务：课前两天学习通发布任务，并提醒学生接收任务；2、跟踪提醒：通过学习通观测任务完成情况，及时督促提醒，把握学生学习难点；3、课前评价：根据学习通上传及互评结果，遴选课中展评的优秀任务，有机融入课中教学活动。按时完成课前任务，明确本节课个人学习难点。1、锻炼自学能力：自主预习，掌握易点，发现难点；2、优化教学策略：依据课前任务完成情况掌握学情，调整优化教学策略。课中环节教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图导入新课回顾复习：《极限的概念》重点内容复习。带领学生回顾上节课重点知识：极限的概念、简单函数极限的求解。积极思考复习，为学习极限的四则运算法则奠定基础。承前启后，为学习新知奠定基础。引入新知：由已有方法求函数极限的不便利性引出新知。先练习观察法求简单函数的极限；题目进阶，引发学生思考，已有方法能否求解？积极动手、积极思考积极回答。教师为主导，学生为主体，创设问题情境，引发学生的思考和探究欲望，循序渐进地引出新知。探究新知极限的四则运算法则介绍极限的四则运算法则及推论；2、重点强调法则及其推论的应用条件。认真聆听教师的讲解，掌握极限的四则运算法则及其推论。教师主导，学生主体，引导探究与讲授相结合，高效讲解本节课核心新知。常规类型函数极限求解引导学生应用刚刚所讲的运算法则及推论求解例题；引导学生观察并思考所求极限与函数值的关系，并总结该类型（常规类型）极限的求解技巧。积极思考，认真求解；认真观察，用心思考，与老师一起总结求解方法。特殊类型函数极限求解（“00“∞-∞“∞∞分类例题引出；分析求解：提出思考问题，能否直接用运算法则求解？组织讨论。讲授并总结求解方法。积极思考，分析所给极限能否用法则直接计算；若不能，如何求解？2、认真聆听教师关于这些特殊极限的求解分析，并认真总结方法。复合函数的极限运算法则1.写下两个简单函数，引导学生思考当趋近于某个值时，如何求复合函数的极限。提问学生：“我们已经知道了基本函数的极限求法，那对于这种复合函数，能不能把趋近的值直接代入关于的表达式来求极限呢？”激发学生的思考，引出复合函数极限运算法则的探讨。2.教师在黑板上清晰地写出复合函数极限运算法则，结合之前引入的例子，详细推导法则成立的原理。3.给出多个不同类型的复合函数极限计算实例，强调应用法则时要先判断是否满足法则的条件。1.结合已学的基本函数极限求法，在脑海中初步探索复合函数极限求解思路，积极回应老师的提问，分享自己的想法，如猜测能否直接代入计算等，从而开启对复合函数极限运算法则的探究。2.仔细观察老师在黑板上书写的复合函数极限运算法则以及推导过程，结合数轴和函数图像展示，理解推导过程中的关键步骤，如换元依据、条件使用等，积极提问，与老师互动，确保自己完全理解法则的原理和各个条件的意义。让学生理解复杂函数极限的求解方法，将不同类型的函数极限知识串联起来，形成完整的极限知识架构，从简单函数极限延伸到复合函数，深化对极限概念的整体认知。巩固提高常规类型极限求解练习；特殊类型函数极限求解练习。分类型、分层次设置练习题，引导学生对所学的求函数极限的方法进行巩固练习，已达到真正内化的效果。认真聆听教师对例题的讲解；独立完成练习题，并积极回答，并做好总结整理。使学生及时巩固所学。课堂小结本节课重点、要点内容总结。和学生一起回顾与强调本节课重点知识，强化学生学习效果。认真总结，从整体上把握本节课。诊断、强化课堂学习效果。课后环节教学环节教学活动教师活动学生活动设计意图拓展任务课后思考：含三角函数的“00”1、发布任务2、指导协助了解情况并给予指导。接受任务，查阅课本与资料，认真完成。延拓本次课内容，承接下节课新知；既巩固所学，又起到预习作用。教学评价（1）评价构成课程坚持强化过程性评价、探索增值性评价的评价改革要求，着眼于学生长期发展需要的满足，将终结性评价与过程性评价相结合，侧重过程性评价。（2）评价要素过程性评价主要依托学习通平台，完成课前、课中和课后全过程学习轨迹记录和评价。主要包括：课前任务完成、课堂学习活动、课后任务完成情况等要素。（3）评价标准在评价学生时注重“三个结合”：学习过程与学习结果结合、理论知识与实践能力结合、课程学习成绩与学生日常行为素质表现结合.教学反思本节课的核心在运算，重练习，一定要留给学生足够的练习时间，并及时地讲评。板书设计1.3.1极限的四则运算法则（一）（主板）四则运算法则定理1设，，则有（1）；（2）；（3）()．推论推论1若为常数，则．推论2若为正整数，则3.复合函数的极限运算法则（副板）例题重点步骤《高等数学》教学设计授课内容：极限存在准则与两个重要极限授课教师：授课单位：完成时间：授课信息授课内容授课时长1.4极限存在准则与两个重要极限4学时授课形式授课时间理论课授课对象授课地点内容分析极限存在准则与两个重要极限是高等数学极限理论的关键部分。其前承数列与函数极限基础，后启导数、积分知识。在体系中打破定义局限，灵活判定极限，助力复杂极限求解。同时，能培养学生逻辑和抽象思维，是从基础向微积分过渡的关键。学情分析1.知识基础：已完成极限概念和极限的四则运算的学习；2.认知能力：具备基本的数学能力和数学素养；3.学习特点：动手能力强，但学习积极性不高；独立思考能力较弱，团队合作意识有待提高。教学目标知识目标：1.学生能够理解并掌握夹逼准则和单调有界准则。2.熟练运用两个重要极限进行极限计算。能力目标：1.通过对准则和极限的推导，培养学生的逻辑推理能力。2.在解题练习中，提升学生运用数学知识解决问题的能力。素质目标：1.体会数学知识的严谨性和逻辑性，激发学生对数学学习的兴趣。2.培养学生的探索精神和创新意识。教学重难点教学重点：1.夹逼准则、单调有界准则的理解与应用。2.两个重要极限的证明及应用。教学难点：1.夹逼准则和单调有界准则应用中条件的把握。2.两个重要极限在复杂函数极限计算中的灵活运用。教学方法任务驱动法、讲授法、引导探究法、练习法教学设计课前任务→导入新课（5min）→讲授新课（53min）→巩固提高（27min）→归纳总结（3min）→布置作业（2min）→课后拓展课程思政设计在回顾数列极限和函数极限定义，引出极限存在准则与两个重要极限时，提及数学发展历程中无数数学家对极限理论的探索与完善，如柯西、魏尔斯特拉斯等。他们经过长期的钻研和不懈的努力，才构建起如今严谨的极限理论体系，以此激励学生在学习中要具备坚持不懈、勇于探索的精神，面对困难不轻易放弃。教学过程课前环节教学环节课前任务教师活动学生活动设计意图课前导学预习新课，完成课前小测试。1、发布任务：课前两天学习通发布任务，并提醒学生接收任务；2、跟踪提醒：通过学习通观测任务完成情况，及时督促提醒，把握学生学习难点；3、课前评价：根据学习通上传及互评结果，遴选课中展评的优秀任务，有机融入课中教学活动。按时完成课前任务，明确本节课个人学习难点。1、锻炼自学能力：自主预习，掌握易点，发现难点；

2、优化教学策略：依据课前任务完成情况掌握学情，调整优化教学策略。课中环节教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图导入新课回顾复习：极限的四则运算；特殊类型极限的求解方法。带领学生回顾上节课重点知识：极限的四则运算法则、特殊类型极限的求解。积极复习，为学习本节新课打下基础。承前启后，为学习新知奠定基础。引入新知：通过回顾数列极限和函数极限的定义，提出问题：如何更简便地判断极限是否存在以及求解极限？1.给出数列和函数形式的夹逼准则，结合数轴和具体的函数图像，直观地解释准则的含义：当一个函数（或数列）被另外两个函数（或数列）夹住，且在某一变化过程中，这两个夹住的函数（或数列）极限相等，那么中间函数（或数列）的极限也存在且等于这个相等的值。2. 阐述单调有界准则：单调递增有上界的数列必有极限，单调递减有下界的数列必有极限。通过生活中的实例，如存钱罐存钱（存钱数单调递增且有存钱罐容量这个上界）来帮助学生理解。1.认真观察图像和数轴，跟随老师的思路，思考函数（或数列）被夹住以及极限相等的情况，理解准则的几何意义。2.结合生活经验，积极思考并举例，分享自己生活中遇到的类似单调有界的情况，加强对准则的感性认识。1.首先是丰富学生判断极限存在的手段，让学生明白除了利用极限定义，还能从函数（或数列）的相互关系入手判断极限。2.通过生活实例帮助学生理解，能拉近数学知识与生活的距离，让学生感受到数学的实用性，增强学习兴趣。引入新知：给出一特殊类型的极限，让学生们判断类型，并思考上节课所学的方法适用与否；类似地，再给出同种类型的其他极限。2、指出求解像这种含三角函数的“0/0”型的极限需要学习——第一个重要极限。积极动手、积极思考积极回答。教师为主导，学生为主体，创设问题情境，引发学生的思考和探究欲望，循序渐进地引出新知。探究新知第一重要极限介绍第一个重要极限，以及第一个重要极限的等价形式、一般形式，强调一个重要极限的适用情形；2、引导学生们应用第一个重要极限及其推论求解例题。认真学习第一个重要极限，清楚适用场景，边听边记；在教师的引导下应用所学完成例题求解。教师主导，学生主体，引导探究与讲授相结合，高效讲解本节课核心新知。第二重要极限详细讲解复利计算原理，通过PPT展示不同结算周期下本息和的变化过程。引导学生观察结算次数不断增加时，本息和的变化趋势，引出极限。提问学生：“生活