考研数学（数学一）模拟试卷6（共225题）

考研数学(数学一)模拟试卷6(共9

套)

(共225题)

考研数学(数学一)模拟试卷第1套

一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)

34

1设f(x尸JoSmXsinFdl,g(x)=x+x,当XT()时，f(x)是g(x)的().

A、等价无穷小

B、同阶但非等价无穷小

C、高阶无穷小

D、低阶无穷小

标准答案：B

由m」

知以点解析：因为ig(幻3,所以正确答案为(B).

(x»y)*(0,0),

2、设f(x,y)=Gr.y)=(0.0).则收，丫)在(°,0)处().

A、不连续

B、连续但不可偏导

C、可偏导但不可微

D、可微

标准答案：C

知识点解析：

当Q,y)丰(0,0)时.0<|I=Ix|•<|x|,

由迫敛定理得lim/Q.y)=。・〃0,0)•从而/(x,>)在(0,0)处连续，(A)不对；

由lim/(.。)'/(。⑼=Hm_0=o得/\(0,0)=0.

…XI工INI

由lim^^立一八°'°)=lim—p—r=0得/,(0,0)=O.(B)不对j

iyx-9>I>I

令P=勿+」,

因为lim£(三，))一八°.1―/\(0.0)“一乙(0,，9)了=Iim?不存在•所以f(j-.y')在

l。p-。工“十y

(0,0)处不可微分，(D)不对，应选(C).

lx-y—\=0,

3、点M(2,1,—1)到直线L：%+2y-2=°的距离为

(A)⑻察(C)冬

().11115

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：显然M()(l,0,1)为直线L上一点，直线L的方向向量为

?=3-1,O}X(1,2,-1}=<1,1,3},

KA?={1,1,一2},

AMJXT=<5,-5,0),点乂到直线心的距离为

,U._=zIH■一A'?X.・s|'_：=一55・・/2』5722.

I3I/TT11

88

:(3x4-1)"在N=—1处收敛，则级数2a.

4、设基级数幺W().

A、绝对收敛

B、条件收敛

C、发散

D、敛散性不能确定

标准答案：A

XM当。一2时收敛，故级数

知识点解析：令3x+l=t,贝］级数与*-0的收敛半

»』绝对收敛，即级数£。.

径RN2,因为1VR,所以当1=1时，级数金宗绝对收

敛，应选（A）.

5、设A,B为n阶矩阵，则下列结论正确的是（）.

A、若A2~B2,则A〜B?

B、矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等

C、若A,B的特征值相同，则A〜B

D、若A〜B,且A可相似对角化，则B可相似对角化

标准答案：D

知识点解析：由A〜B得A,B的特征值相同，设为九1，五，…，猫，且存在可逆

矩阵Pl，使得PI—AP尸B,即A二P|BP|T；

因为A可相似对角化，所以存在可逆矩阵P2,使得巴；加＞2

Ai

A：

即APJ，于她有

AzA：

P,BPF*=PiP」，或PJBEPJB=

Ai

取P=PjPz,则kHP='.，即B可相似对角化，应选（D）.

6、设n阶矩阵A=（ai，012，…，an）,B=（pi，班，…，Bn）,AB=（yi,丫2，…，

Yn），令向量组（I）：ai，...»an;（II）:pl,p2»...»pn；（DI）：Yl»丫2，…，

Yn,若向量组（HI）线性相关,则（）.

A、向量组（I）与向量组（口）都线性相关

B、向量组（I）线性相关

C、向量组（II）线性相关

D、向量组（I）与（口）至少有一个线性相关

标准答案：D

知识点解析：当向量组(I)线性相关时，r(A)<n,由r(AB)&r(A)得r(AB)<n,即向

量组(HI)线性相关；同理，当向量组(口)线性相关时，r(B)<n,由r(AB闫"(B)得

r(AB)Vn即向量组(DI)线性相关，应选(D).

(五)-4

7、设P(AIB)=P(BIA)=43,则

(A)事件A.B独立且P(A+B)==

(B)事件A,B独立且P(A+B)=今

7

(C)辨件A,B不独立且?(A+8)=营

(D)事件A・B不独立且P(A+B)=*

A、

B、

C、

D、

标准答案：C

由P(A|B)=P(B|A)=4■，得P(A)=P(B),

4

再由P(A)=—得P(A)=P(B)=4•，且P(AB)=4P(A)=U

因为P(AB)/P(A)P(B),所以A,B不独立.

==各选©.

知识点解析：故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=

8、设连续型随机变量X的概率密度f(x)为偶函数，且F(x)=Jfxf⑴则对任意

常数a>0,P{IXI>a)为］).

A、2—2F(a)

B、1—F(a)

C、2F(a)

D、2F(a)—1

标准答案：A

知识点解析：P{IXI>a)=l—P{IXI<a}=l—P(—a<X<a}=l一F(a)+F(一

a),而F(—a)=J—oo-af(x)dx"J+ooa(—t)(-dt)=Ja+ccf(Odt=l-f—ooaf(t)dt=l一

F(a),所以P{IXI>a)=2—2F(a),选(A).

二、填空题(本题共5题，每题7.0分，共5分。)

lim(-rH—2175+…—?q-)

9、+1n4-2n+3n/_

标准答案:21n2

知识点解析：

lim(—\-----\-I-----------)=lim——L"

\/IH-rIn-rin/“."i,，

**IH----

n

=Jj=ln(1-i-x)|o=2ln2.

g设尸"厂““山=1+1一y确定

2e-

标准答案：1+1）、

由|e°z>d/=e・d〃得je"d〃=工+1一y.

取1=0代人得「c・2=l-y,解得y=1.

|e'd〃=z+1—_y两边对《r求导得

e”•半=1一半,从而督e

drcLrclrIJI-01+e

•定二】一今两边再对“求导得

-2y(半)eJ+e，•=—.

axdxzd-rz

从而a2e?

知识点解析："।J-。(e+1产

11、微分方程yy”=y2yMy2满足y（O）=l,y，（0）=2的特解为.

In告

标准答案：，+1=x—ln2

知识点解析：

令_/■p.y=p）•则有》）■外十〃，因为y#0,所以上乎--jp=】•即

ayayyayy

d（2）=1,解得，=1/+Gy，由y（0）=1，3'（0）=2.得G=1,即半=M+y,由、装-=dr,

\Y】1dxy+y

得=i+c•再由y（0）=1，得a-_足2.于是所求的解为|\丫*力-1-1112.

12、(A-3E尸.O1=1为矩阵A的两个特征值，乂IB

标准答案：144

L

知识点解析：因为IB一”二行，所以IB1=3,义因为A〜B,所以A,B有相同

的特征值，设A的另一个特征值为九3,由IAI=IB|=入央2人3,得入3=一3,因为

A—3E的特征值为-4,—2,—6,所以IA—3EI=—

48.

因为夕+(一।=|B|B।-4B।=-8、所以

IB-+(_/B[(-1尸।|=_g

(A-3E)7O

于是=|(A-3E)-*|B'+(-j-B)1

13、设总体X〜N(0,1),X|,X2,X3,X4为来自总体的简单随机样本，则

Xi+尤

IX3+XJ服从的分布为.

标准答案：t(l)

知识点解析：

由X|+X?〜N(0,2)得X|二X2〜N(o,l),

42

由X3+X4〜N(0,2)得〜N(O,1),从而5/、)：〜/⑴,

422人

且X1+X?与位/这独立•山,分布的定义得

X.+X2

X|+X?

41，⑴•即

/(xT+XZIx4-X|I

7=4=3

三、解答题(本题共9题，每题7.0分，共9分。)

…乩­)…

标准答案:令D尸{(x,y)Ix+y<l,x>0,y>0),D2=D/D|,

则jjI/-1|&=jp(1—x2—y)da+jj(x2+y?—1)cb.

DD,

r(1—r2)dr=~

o

1)&=0(/+y2_1)加一0(工2+y2-1)由

=Jdj-J(x24-—1)d>—J7r(r2—1)dr

所以』IM+V-l|%=孑一｝.

知识点解析：暂无解析

b

15、设f(x)€c[a,b]Jlf(x)为单调增函数，?7f(a)<0,Jaf(x)dx>0,证明：(I)存

在06(a,b),使得JFf(x)dx=O；(II)存在i]E(a,b),使得J『f(x)dx=f(n).

标准答案：(I)由积分中值定理，af(x)dx=f(c)(b-a)>0,其中cW[a,b],显然

f(c)>。且c&a,b|.因为f(a)f(c)<0,所以由零点定理，存在xoE(a,c),使得

f(x())=O.再由f(x)单调增加得,当x6[a,xo)时，f(x)VO；当xW(xo，b]时，f(x)>

0.令F(x)=JaXf(t)dt,显然F(xo)vo,F(b)>0,由零点定理，存在乐(a,b),使得

F(9=0,即然f(x)dx=0.(11)4,(p(x)=exfaxf(t)dt,(p(a)=(p(O=0,由罗尔定理,存在

[]£(a,<)U(a,b),使得叫H)=0,而(p,(x尸°一、网)一工忏(。叫且。一、知，故

fanf(x)dx=f(i1).

知识点解析：暂无解析

16、设f(x,y)=(x-*6)(y+8),求函数f(x,y)在点(x,y)史的最大的方向导数g(x,

y),并求g(x,y)在区域D={(x,y)Ix2+y2&25}上的最大值与最小值.

标准答案：函薮f(x,y)的梯度为gradf(x,y)=(y+8,x—6},

罄=gcosa+率8邛

“'dxdy=gradf.(cosa,cosp)=gradf.e=IgradfIcosO,其中e为

射线对应的单位向量，。为梯度与射线的夹花，则g(x,y)=IgradfI二

人"一6)2+(y+8>令H(x,y)=(x-6)2+(y+8)2,当x?+y2V25时，因为

H[=2(x-6)=0,

H；=2(y+8)=0在x2+y2<25内无解，所以H(x,y)的最大值与最小值在区

域D的边界上取到.当x2-y2=25,令F(x,y,?v)=(x—6)2+(y+8)2+Z(x2+y2一

F[=2(x—6)+2Ax=0,

='或i=-3,

yF；=2(y+8)+2Ay=0,得《

25),由/+/—25=0,y——4,3=4,

因为H(3,

4)=25,HL3,4)=225,所以g(x,y)在区域D上的最大值和最小值分别为15和

5.

知识点解析：暂无解析

17^求曲面积分工xdydz+xzdzdx,其中，Z：x~+y~+z~=l(会0)取上侧.

标准答案：令Z：z=0(x2+y2<l),取下侧，则

jprdydz+.rzdzdx=©zdydz+xzdzdx+jjzdydz-|-xzdzdx.

2

由高斯公式得

9zdydis-4-xzdardx"Udv=筝

2

乂jpcdydz+Nzdzctr=0,故+xzdzdx=

与1

知识点解析：暂无解析

18、当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石

燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成

正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状.若它在进人

7_

大气层开始燃烧的前3s内，减少了体积的百，问此陨石完全燃尽需要多少时间？

标准答案：设陨石体积为V,表面积为S,半径为r,它们都是时间I的函数，

因为V==4"/•所以S=2W.

由题设条件得黑=一的凌＞D),即华=-k2嬴=匕，其中匕为燃烧前的体积.

解得30V=3河—龈赤•虹，

再由条件47=(1—旬匕="。，得

-1-y/Vt=3•\/VQ—326n•A,即367r•^=-^-y/V^,

所以3〃=3・际*河3令V=O,得，=6,即完全惬尽需要6s.

知识点解析：暂无解析

112]a40

-110,B=-10c

19、设A=1011b1问a,b,c为何值时，矩阵方程

AX=B有解，有解时求出全部解.

标准答案:令x=(&,及,⑵,B=(pi，的，的)，矩阵方程化为A&,及,

。尸(。1，p2»03)，即

&】=，】，

监=，2，

83—仇.

112a40112。40

(A：B)=-110-10c022a—14c

1011h10-1—11-ab-41

112a40

a-1c

0112

22

000-i-(a-l)6-21+5

乙£t

当。=1.6=2.c=-2时，矩阵方程有解，

1—k2-I1-I

于是X=一卜2-1-1-/(其中A,/“为任意常数).

kIt

知识点解析：暂无解析

20、设二次型f(X|,X2,X3)=xTAX经过正交变换化为标准形f=2y2—y2—y2,又

A*a=a,其中a—(1,1,-1)T.(I)求矩阵A；(II)求正交矩阵Q,使得经过正

交变换X=QY,二次型f(xi，X2,X3)=XTAX化为标准形.

标准答案：(I)显然A的特征值为入户2,X2=-1，入3二一1，IAI=2,伴随矩阵

A”的特征值为囚=1,眼=一2,汨=一2.由A%=a得AA"a=Aa,即Aa=2a,即

a=(l,1,一1)T是矩阵A的对应于特征值无=2的特征向量.令[=(x],X2,X3)T

为矩阵A的对应于特征值入2=—1，入3=一1的特征向量，因为A为实对称矩阵，

所以aT4=0,即xi+X2—X3=0>

于是X2=-1，13二—1对应的线性无关的特征向量

1-110

令P=(a，a?,%)=1010

01

2000-1

得A=P0-1010-1

00-1一1-10

11

(@3遇)Q

(n)令，1，关=CLz遇=。3(庆遇/一~21

—102

1II

_

N

1I1V13vl6

I

1I1_

令

再1<Q

_一

於v26

===一=

，

1：

II」f9

」

rl々O,_

ztr

-w一y6

73

X=OY

为则=XTAX——2y-yl-yl-

知识点解析：暂无解析

^sin(x+y),

0.

21、设(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=其他.(I)求

常数k；(口)求*的边缘密度；(HI)求当X=x(gx02)下丫的条件密度函数fYi

x(yIx).

标准答案:

=dxj2sin(z+y)dy得AJ'(sinx+cosx)(Lr=1,从而4=/

(1)*1

-1-sin(x+y),0<&4*

故/(x,y)=22

0,其他.

(H)/*(])=[fCx.y)dy.

当iVO或•时,fx（z）=0；

当0&i&会时,/'x(z)=sin(x+y)dy=y(siiw+cosx),

Msirir+cosx),0&Na

2

{0,其他.

（UI）/yx<>Ix）=R=sin(j~+y)

JxDsinx+cosx"

知识点解析：暂无解析

22、设随机变量X],X2，…，Xm+n(mVn)独立同分布，其方差为J,令

Y=^X,Z=*Xi

f-求：(I)D(Y),D(Z)：(n)PYZ.

标准答案：(I)因为X|,X2，…，Xm+n相互独立，所以D(Y尸

》D(X,)=廿，D(Z)=、

iw,2

(Xm_k)=na.(II)Cov(Y,

Z)=Cov[(X[+…+Xm)+(Xm-1+...+Xn),Xm+l+…+Xm+n]=Cov(Xi+…+Xm，

Xm+1+…+Xm+n)+Cov(Xm+厂…+Xn,Xm+1+…+Xm+n)

=D(Xm+i+...+Xn)।Cov(Xin+i+...+Xn»Xn+i+…+Xm+n)=(n一m)/,则pYz=

Cov(，,Z)_n-m

./Den•.

知识点解析：暂无解析

考研数学（数学一）模拟试卷第2套

一、选择题（本题共7题，每题7.。分，共7分。）

曲线

K

)

数为(

近线条

)的渐

l+e%

)+ln(

-l

条x(4

1

A.条

2

B.

U条

3

条

4

D.

：D

答案

标准

lim

lim

=8,

Lly

oo,

-Oy=

，且X

间断点

明显的

是两个

％=1

0和

，K=

首先

解析：

知识点

lim

lim

沿

所以

=0,

-*-y

,«

4-oo

♦-y=

，»-

其次

线；

直渐近

两条垂

1是

和％=

=0

所以％

后，

。最

=o

近线y

水平渐

有一条

方向

无一00

，沿

渐近线

有水平

方向没

+8

%T

x

)1