空间立体几何解答题（浙江省2021届高考模拟试题汇编（二模））（解析）

(浙江省2021届高考模拟试题汇编(二模))

空间立体几何解答题

一、解答题

1.(浙江省绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试数学试题)如图，在三棱柱

ABC-A心G中，==4,8C=2，AC=2G,AC_18cz41AB=60°.

(1)证明：8CJ_平面ACGA;

(2)设点。为CG的中点，求直线4。与平面人8玛4所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析；⑵当

【分析】

(1)根据勾股定理逆定理可知8C_LAC，然后利用线面垂直的判定定理可知结果.

(2)解法1通过作辅助线，找到直线A。与平面所成角，然后根据一角函数的

知识进行求解即可；解法2利用建系，求得平面464A的一个法向量，然后按公式计

算即可.

【详解】

(1)证明：如图，连接AB

由A8=A4,,NAAB=60。，所以△4明为等边三角形

因为AC=2。8c=2,48=4,

所以+所以BC_LAC,

又BC_LAC,ACr>AC=C，AC,^Cu平面ACQA,

所以8C_L平面ACGA.

(2)解法1：如图，设上为B片的中点，连结4片。石，作。尸，AE于E

因为8。，平面从。64，DE//BC,所以OE_L平面ACGA，

又CC]U平面ACGA，所以OE_LCC.

在△ACG中，AC=AG,

。为cq的中点，所以AOLCG，又ADcDE=D,所以CG_L平面4。邑

因为BBJ/CC],所以84J.平面AOE,所以3用_L。尸，

又因为£>b_LA£BBCAE=E,B综AEU平面4珥A，所以Z)FJ_平面,

所以直线A。与平面4所成角为NDAE.

在AOAE中，A,D1DE,A°=JAC2_22=2丘,DE=BC=2,

所以AE=JAD，+DE?=25/3,所以sinZ.D\E==~~

因此，直线A。与平面48片A所成角的正弦值为日

解法2：如图，以。为原点，以射线C4,CB分别为x,)，轴正半轴，建立空间直角坐标

系。一冷2,

则0(0,0,0),小2技0,0),8(0,2,0)，4(竽,0,平］

因此而唱0,一半、，

\/

AR=(-?A/5,2,O),和'=(-竽,0,孚

设平面A网A的法向量为*=a,y,z）,

n-AB=O-y=0

，・91L

=0\x-y/2z=0

可取万二（6而1）.

设直线A。与平面A8&A所成角为o,

则近皿=辰（而用卜圈邛

因此，直线A*平面四%所成角的正弦值是当

【点睛】方法点睛:

证明线面平行的方法：（1）根据线线平行得到线面平行（线面平行判定定理）；（2）根

据面面平行得到线面平行；（3）向量法;

线面角的一般求法；（1）根据定义找到线面角；（2）向量法.

2.（浙江省丽水、湖州、衢州三地市2021届高三下学期4月教学质量检测数学试题）

已知三棱柱人8C-44G，“IBC是正三角形，四边形ACGA是菱形且44=60。，M

是44的中点，MB=MC.

（1）证明：AMJ.BC；

（2）求直线AM与平面BCC由所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)昱.

21

【分析】

(1)取BC中点。，证明BC_LA。，BCYMD,即可得证；

(2)由(1)可证得平面BCCMJ_平面AMND,得直线AM在平面BCC4上的射影，从而探

求出直线AM与平面8CG4所成角，再经计算即可得解.

【详解】

(1)设8c中点为。，连结AZ),MD,如图：

由M8=MC得MQ_L8C,山△八台。是正三角形得ADJ_8C,

又MDcAD=D,故6cl.平面AA。，囚此3c:

(2)三棱柱ABC-AB©中，四边形ACC4是菱形，设40中点为E,平面AMO交

于N,连结NE,设A4=AC=1,

平面48(%平面AIBICI,平面AAWDC平面ABC=AD,平面AMNDc平面A\B\C\=MN,

则MN//AO,而AC冽Ci,由等角定理得NGMN=NC4O,ZA/C..V=ZACD,则有

△MC、N"CD,

M是4G中点，黑二罟:整=：，即得CN=：CO=：,

i\U\^LJACZZ4

小MG

由⑴8C_L平面AMM）得平面BCG妫，平面AMND,则£W

7〃7

为AM在平面BCC蜴内的射影,1

四边形4MNE为平行四边形，即所以

NEND为AM与平面8CG4所成的角,A

E

由四边形OCGN是直角梯形，得B

2

DN=y]CC；-(CD-C}N)=乎,

2

△A4附中，NA41M=120,pliEN=AM=y)AA；+A.M-2AA.•A.McosZAA.M

=J+g)2—2」.；.(一'=?,

222

△硒D士中，DE=&1AD=*月,”ENGD=EN2+EDNN-D-NDE

2V105sin/END=®~

2121

所以，直线AM与平面8CGBJ听成角的正弦值为立L

21

【点睛】

结论点睛：两个平面互相垂直，一个平面内任意一条直线在另一个平面内的射影必在两

个平面的交线上.

3.(浙江省嘉兴市2021届高三下学期4月教学测试数学试题)如图，四棱柱

48。。一48©。中，底面48CD是矩形，4)=2,AB=AA,=^-fZD,DC=120",

且二面角A-CO-A的平面角的大小为60。，E,尸分别为GA，BC的中点.

(I)求证：AD1EF;

(II)求。A与平面8CE所成角的正弦值.

3

【答案】(I)证明见解析；(II)本

【分析】

(I)由438是矩形得AD_LCD,则AO_LOE由aADE是等边三角形，得OE_LA/),

即可证">L平面EOF,故AQ_LE产得证；

(II)法一：用几何法求解，作CH_LEF,依题意可证G"，平面8CE,故NCC”即

CG与平面BCE所成角，根据三角知识可求得问题结果；法二：以。为原点建立空间直

角坐标系，求。口的方向向量与平面8CE的法向量，结合向量夹角公式即可求解问题.

【详解】

(I)取40中点O,连接OE.OF在菱形OCCQi中，DE=2^DE1CD,又因为

AD±CDt所以N£ZM即二面角A-CD-A的平面角，即/瓦乂=60。

因此“IDE是等边三角形，且0EJ.4)

显然AO_LO/，且OEcO尸=0,因此4)_L平面EO产

而即u平面因此，ADLEF.

（1【）法一：因为DD/CCi，即求CG与平面8CE所成角的正弦值

由（I）知4）_L平面EOFG，而AD//BC,所以8CL平面上。尸C

又因为BCu平面BCE,因此，平面3底_£平面及>“；

作G"_LEF,连接C”

因为平面BCECI平面EOFG=E尸，且G"u面EOFR

所以C|HJ.平面8CE,因此，NCC”即CG与平面BCE所成角

四边形EOFG中，S.ECF=gEC\EO=gEFC\H,得。”=竽

R3G”。中，sinNCCH=*q

LL]1U

DR与平面BCE所成角的正弦值为得

法二：由（I）知；CDJ•平面4）£\而CDu平面4笈8，因此平面ADEJL平面488

又因为平面4）ED平面ABC£>=A£>,OEu平面AOE,且。七_LAZ）

因此，。£_1_平面A8CO

如图，以。为原点，分别以射线OA,OF,OE为x,>,z轴的正半轴建立空间直角

坐标系，则

8,竽,。),《卜呼,。),E(0,0网,G(0,竽,可

因此而=(2,0,0),屈=，—半,6)，cq=1，一¥，6

设平面BCE的法向量1=(x,y,z),则

CBn=2x=0

一4J3，取〃=（0,3,4）

CE-n=x--^-y+y/3rz=0

记CC.与平面BCE所成角为氏则.9=尿佰,〃)卜亲一3

io

------x5

3

所以与平面BCE所成角的正弦值为三.

【点睛】

求直线与平面所成的角的一般步骤：

(1)、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把

直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；

(2)、用空间向量坐标公式求解.

4.(浙江省数海漫游2021届高三下学期第二次模拟考试数学试题)如图，在四面体

D-ABC中，AB=BC=^AC,已知M是线段C。的中点，|两|等于直线AB、CD

之间的距离.

D

（1）证明：AB1CD；

（2）若DB=DC,E是点。关于平面ABC的对称点，求直线人石与平面AC。所成角

的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

14

【分析】

（1）通过勾股定理的逆定理及异面直线的距离得到垂直关系，进而通过线面垂直证明

线线垂直；

（2）分别以不，丽，丽为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，再求平面AC。

的一个法向量，通过夹角公式计算即可.

【详解】

由AB=BC=Y^AC，可得AB'BC'AC?,所以“3C是等腰直角三角形，

2

所以AB_L8C,又因为|丽|等于直线A8与之间的距离，

D

所以8W±AB,BM1CD,

而A8_L8C,ABA.BMRBCC\BM=8,//\

所以平面BCD,而。Cu平面BCD,

所以AB_LCD.

B

(2)若DB=DC,且M为DC的中点，旦5MlDC,所以△BCD为等边三角.

取AC的中点为尸，取8。的中点为G,分别以存，痂，⑰为x轴、5轴、z轴正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设A8=8C=2.

所以A(2,1,0),5(0,1,0),C(0,-1,0),0(0,0,百),E(0,0,-6)，

所以荏=(-2,-1,-73),AC=(-2,-2,0),AD=(-2,-1,6).

设平面ACD的一个法向量为百=(乂y,z).

n-AC=0”…-2x-2y=0

则—八，所以〈[-2一，+后=。’令>5得—5-0，，

/?•AD=0

设直线AE与平面4CQ所成角为仇

则sin0=|cos<AE,n>\=\:咛―|叵

2V2-V7=14

故直线AE与平面ACD所角的E弦值为叵

14

D

E

y

5.（浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期第二次教学质量检测数学试题）已知三棱

“bC是等腰直角三角形，△州（7是等边三角形，且A8=AC=2,

BE=ECfNPCB=900.

（I）求证：PEIAC；

（II）求直线PC与平面所成角的正弦.

【答案】（I）证明见解析；（11）^.

【分析】

（I）取AC中点尸，连E尸，PF,根据线面垂直的判定定理，记明ACJ_平面尸所,

即可得出PE_LAC；

（II）以A为坐标原点，AB,AC方向为％,＞轴正方向建立空间直角坐标系A-町2,

设P（x,y,z）,根据题中条件，求出点尸坐标，再求出平面皿:的一个法向量，以及直

线PC的方向向量，根据向量夹角计算公式，即可求出结果.

【详解】

（I）如图，取AC中点尸，连瓦则EF//AB,因为A8J.AC,

则EF_LAC,①

又△PAC是等边三角形，尸是AC中点，

则尸产J_AC,②

且石尸口尸尸=尸，③

由①®③得AC_L平面PEF,故PELAC.

（0）注意到A8_LAC,以A为坐标原点，AB，AC方向为x,»‘轴正方向建立空间

直角坐标系A-型，

设尸(x,y,z),又C(0,2,0),仪2,0,0),E(l,l,0),

根据％=PC=2,PB=2£,

x2+y2+z2=4A

则「2+(y_2)2+z2=4,解得旬.

(x-2)2+y2+z2=12

UlU/___

则=AE=(1,1,0),

PIj_~^p

设平面PAE的一个法向最为7=(ag,c),则｛_

n_LAE

ll,,,AP=-a+b+v2c=0-八人./z\

所以〈—,,不妨令"1,则〃=(1,T,夜).

n-AE=a+b=017

因为定=(□,-&),

rumI|1-1-2|

所以直线PC与平面RAE所成角。满足sin6=|cos<n,PC>

Jl+1+2xJ]+1+22

【点睛】

方法点睛:

立体几何体中空间角的求法:

（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助

线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；

（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法

向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹

角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.

6.(浙江省绍兴市竦州市2021届高三下学期5月高考适应性考试数学试题)已知平行

六面体ABCO-ABCA，底面ABC。是边长为2的菱形，且

”=4。=2,AA=G

(I)证明：平面平面ACG4；

(II)求直线人田与平面AA。所成角的正弦值.

【答案】(I)证明见解析；(II)迦.

13

【分析】

(I)根据面面垂直的判定定理主要证线面垂直，依题意可证5。1面ACGA，则原命

题可证明；

(II)以。为原点，为4轴，08为y轴建系，求直线AB的方向向量与平面AA。的

一个法向量，根据向量夹角公式即可求解.

【详解】

(I)ACC]BD=O,连接4。

­,^OC]AC=O

.>J_面ACGA

Q8£)u面A/。

，面面ACGA；

(H)以0为原点，。4为X轴.OB为y轴建系.

A|—,o,|,B(0J,0),A(6O,O),0(0,T,O)

AB=__^-,1,—|,M=［一~^,0+,人£)二卜6,-1,0)

设平面AA。的一个法向量为方=(x,y,z),则

3

x+—z=01一

,22取x=-l,得y=G,z=_而所以〃

-\/3x-y=0

设直线A5与平面AAD所成角为0则

I川M13

求直线与平面所成的角的•般步骤:

(1)、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把

直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；

(2)、用空间向量坐标公式求解.

7.(浙江省普通高中强基联盟协作体2021届高三下学期统测数学试题)在直角梯形

EBCD中,AB=2EA=2BC,将△"£)沿4)翻折至△PAO位置，作AQ_LP8于点Q.

(1)求证：AQLPC；

(2)当二面角夕-BC-。最大时，求直线AQ与平面PZJC所成角。的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)叵.

7

【分析】

(1)证明D4L平面皿，得8cl平面BC1AQ.然后可得4QJ•平面PBC,

从而得证线线垂直；

(2)由(I)得NPBA是二面角尸-8C-D的平面角，由正弦定理可得它最大值为J,RQ

O

重合，因此求得A到平面PCO的距离可得所求线面角的正弦值.过「点作尸石_1_回交

A8于点E,过E点作EF_LDCf点尸，连接尸尸，过E点作硝_L尸产于点”.证明E"

即为直线A8到平面PCO的距离，设AB=2,求得其长度后，可得结论.

【详解】

(1)证明：:D4J_AB,DAIPA^ABr>PA=A,A&PAu平面Q48，

/.04_1_平面24小

少£>A,，8C_L平面抬5，AQu平面

BCLAQ.

又AQ_LP4,PBcBC=B,0BBCu平面PBC,，AQ_L平面PBC,PCu平面P8C,

・•・AQJ.PC.

p

(2)解：由(1)知，8cJ_平面••・NPBA是二面角P—3C-。的平面角，

sin/叫sinNAPB..sinNAP”I

由止弦定理得--------=---------，..sinZ/PDBDA4=---------0一.

PAAB22

••・当=g时，NP3A取得最大值9此时P,。两点重合.

26

过P点作尸E_LAB交AB于点E,过E点作所_LDC于点尸，连接P/，过E点作

EH±PF「点〃.

■平面Q43,BCu平面ABCO,・••平面A8C£)J_平面P43,

〈PEu平面BAB,，QEJL平面48cO,COu平面ABC。，CD_PE,

又CD工EF,EFcPE=E,即,"七<3平面产所，・・・。。1平面/>£尸，

COu平面PCO,工平面尸EFJL平面PC。，又E”_LPF,平面PMC平面PC£)=PF,

平面〃卯，

・•・EH_L平面PCD,EH为AB到平面PC。的距离.

设A8=2,则％=1,PE=—,EF=\,：.PF=—,EH=—,

227

:：=曳=叵.

PA7

【点睛】

关键点点睛：查考证明线线垂直，求直线与平面所成的角.证明线线垂直一般需要证线

面垂直,注意线面垂直的的判定定理和性质定理的条件必须全部满足，才能得出结论.求

线面角常用方法：

（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得（直角

三角形中直角边是点到平面的距离，也可求得点到平面的距离后得出结论）；

（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的

绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算.

8.（浙江省金丽衢十二校2021届高三下学期第二次联考数学试题）如图，在四棱锥

中，M,N分别是八3,"的中点，ABlBCtMDA.PC,MD/IBC,BC=\t

AB=2,PB=3,8=拒，PD=>/6.

（I）证明：PC〃平面MNO；

（II）求直线勿与平面P8C所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（II）巫.

5

【分析】

（I）要证明线面平行，根据判断定理，需证明线线平行，做辅助线，连接AC,交M/）

于E,再连接NE,证明PC7/NE,即可证明；（II）点A到平面的距离转化为点用到

平面PBC的距离的2倍，利用MD//BC,即MD上任何一个点到平面PBC的距离相等，

通过做辅助线转化.

【详解】

（I）连接AC,交MD于E,再连接NE

因为MO//8C,M是A8的中点，所以E是4C的中点，

又N是AP的中点，

所以NE//PC,且NEu平面MNZ）,PC0平面MND

所以PC〃平面MM）：

p

（n）过c作于尸，连接p尸,

又因为MD_LFC,且CFcPF=F

所以MD_L平面PPC,

所以8。_1平面尸产C,

所以平面P”CJ"平面P8C,过尸作尸GJ_PC于G,

又因为平面PFCPI平面PBC=PC,

且尸Gu平面P尸C,

所以AG_L平面P3C.

在肋△/55c中，PC=\/PB2-BC2=2V2»

在直角梯形M8CD中MB=8C=1,CD=&，则产。=R7=1

在舟△尸尸。中，PF=\IPlf-Flf=小,

在△PFC中，PF=&FC=1,PC=2日

则cos/PFC二竺=

2PFFC5

所以sin,C=也，从而皿=J叵

5PCPC2

又由叱=也＞,PFLMD,知PM=PD=^,

所以由232+丛2=2①"+肠12）可得抬=石，

因为点A到平面PBC的距离是点M到平面PBC的距离的2倍，点M到平面PBC的距

离和点F到平面P8C距离相等：所以点A到平面P5C的距离是点F到平面PBC的距

离的2倍，

所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为竺£=亚.

PA5

【点睛】

关键点点睛：本题考查线面平行，线面角的综合应用，本题第二问的关键是利用中点,

利用线面平行，转化点到平面的距离，即转化点A到平面P8C的距离是2尸G.

9.（浙江省宁波市2021届高三二模数学试题）在如图所示的几何体中,CO_L平面ABC,

E4J_平面A8C,RAB=BC=CA=CD=-EA尸是C4的中点.

2t

（1）求证：DFYFB：

（2）求踮与平面也冰所成角的正弦值.

3

【答案】（1）证明见解析；（2）不

【分析】

（1）由CD_LBF,8尸_14。可得8尸_1平面。。/，即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.

【详解】

（1）由题得CO_L平面ABC,B/u平面A8C,

则CD_L3尸.

又M_LAC,CDIAC=C,故〃卜JL平面。Cf,从而b

（2）设CD=2,以产为原点，E4为4轴正半轴，所为丫轴正半轴,

建立如图所示空间直角坐标系，

则A（1,O,O）,网0,6,0）,0（-102）,£（1,0,4）

故丽二（0,6,0）,赤=（—1,0,2）,

设平面8。尸的•个法向量为2=（x,y,z）

n-FB=0回=0

叫令x=2,则y=0,z=l

n-FD=0-x+2z=0D

可得平面皿万'的•个法向量为无=（2,0,1）,

又屁=（1,一石,4）.设的与平面5。尸所成角的为0,

\BE-n\63

则sin0=[]=—7=—-7==—,

阿.同B同5

3

即BE与平面BDF所成角的正弦值为g.

【点睛】

关键点点睛：求线面角时，建立空间直角坐标系，利用斜线上向量与平面法向量的夹角

的余弦值，即可求出线面角的正弦值，属于中档题.

10.（浙江省台州市高三下学期4月二模数学试题）如图,四棱锥E-ABCD中，ABHCDt

ABLAD,AD=CD=^AB=ltEC=2tAEA〃为正三角形.

（I）求证：AD±EBz

（II）若在线段EA上有点F,使得点F到平面ABCD的距离为由，求直线CE与平

7

面FBD所成角的正弦值.

【答案】（I）证明见解析；（II）通

【分析】

（I）取48中点0,连接OC,0E,证得EO_LA8,再由勾股定理，得出EO_LOC,

利用线面垂直的判定定理，证得OC_L平面£"，进而得到OC_L£6,即可得证；

（11）由（1）以。为原点，08,oc所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系

求得平面厂的•个法向量和向量而，结合向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

（I）取48中点0,连接OC.0E,

因为AB//CD,ABA.AD,CD=OA=l,则四边形064为矩形，j

又△£4B为正三角形，所以EO_LA5,£0=6，/

又由0C=l,EC=2,可得EC'EO'OC?,所以EO_LOC,/

乂因为A8cE0=0,且A&EOu平面E4B,所以。。_|_平面石钻,//

又由砂u平面E45,所以OC_LM,

又因为OC7/AO,所以A£>_L①.

（H）由（I）知OE_LOC,OE±AB,故OEJ_平面ABC。，

0E=J5,点尸到平面4BCD的距离为正，所以通=:通，

33

如图，以。为原点，OB,0c所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系O-个z.

则4—1,0,0）,8（1,0,0）,C（O,I,O）,。（一1,1,0）,E（0,0,石），

由A/=；AE,可得尸-：,（）,（■）,BF=一（°，亭），丽=（一2,1,0）,

设平面8£）尸的•个法向量为/J=（x,y,z）,

又由在=（0,-1,后卜

.\CEn\33x/30

设EC与平面尸6D所成角为0,则।在面=刁行=2-

所以直线CE与平面尸切所成角的正弦值为幽.

40

【点睛】

利用空间向量计算二面角的常用方法：

1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量

的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；

2、方向向量法；分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，

则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

11.（浙江省杭州市高三下学期4月二模数学试题）如图,在四棱锥P-A8CD中，dBC

为正三角形，底面48CQ为直角梯形，ADHBC,ZAZX?=90°,AD=CD=3tBC=4f

点M,N分别在线段八。和PC上，且丝■二维二2.

(1)求证：PM〃平面BDN；

(2)设二面角尸-AD-A为凡若cosO=；,求直线以与平面P3C所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)巫.

5

【分

(1)要证明〃平面SON,关键在于在平面50V中找到一条直线平行卜PM，己知

器二g=2,连接MC，可以根据相似证明线线平行，进而得出线面平行：

AMPN

(2)要求直线力与平面P8C所成角的正弦值，先求点A到平面PBC的距离，再求小

的长，进而可得正弦值.

【详解】

(1)证明：连接MC,交8。于E,

因为,T77=2,AD=3,所以DM=2,AM=1,

AM

因为A0〃8C,所以AMDESMBE,

CEBCCN

—=—=2=—,所以PM”NE,

EMDMNP

因为NEu平面BDN,平面BQV,所以尸M〃平面BON.

(2)解：取8c中点尸，连接破、PF,

p

N

因为APBC为正三角形，所以尸F_L8C,PF=Pfisin600=4sin600=2>/3,

因为A8C£>为直角梯形，ADHBC、ZAZ）C=90°,FC=MD=2,

所以四边形DMAC为矩形，所以A/F_L5C,

因为M尸c尸尸=尸，所以8CJ_平面尸M/，所以平面P8C_L平面PA",

因为4£>〃8C,所以ADL平面PW,

所以AD_LMD,AD1MF,

所以N必〃<r=6,设尸M=x,

由余弦定理得尸尸=尸"+加尸2-2•PM•g-cos，,

于是（26）2=丁+32-25・3、

整理得x2-2工-3=0，解得x=3或x=T（舍去）,

取尸产中点Q,连接MQ，

因为M~=M/，所以MQJ.PF,

又因为平面平面PBC,所以MQJ•平面PBC,

即线段MQ的长为点M到平面PBC的距离,

因为AD//BC,BCu平面P8C,4。仁平面P8C,

所以AO//平面PBC,

所以MQ的长也是A点到平面PBC的距离，

而MQ=,32_（可="，PA=\lil+\2=x/io»

所以直线与平面P8C所成角的正弦值为避=理=巫.

PA如5

【点睛】

求直线与平面所成的角的一般步骤：

①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成;

②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.

12.（浙江省嘉兴市平湖市高三下学期4月模拟测试数学试题）如图，在三棱柱ABC-DEF

中，AB=BC=2,BE=3,M是AC的中点，点A在平面8（才E上的射影为所的中

点.

（II）若直线AB与平面BCFE所成角的正弦值为1,求二面角M--C的平面角的

4

正切值.

【答案】（I）证明见解析；（H）叵.

6

【分析】

（I）连结乱交5户于。，连结。河，根据棱柱的几何性质，结合线面平行的判定定理

进行证明即可.

(II)建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角、面面角定义、同角

的三角函数关系式求解即可.

【详解】

解：(I)连结£C交5尸于。，连结。W.

••,ABC-。斯是三棱柱，・•・四边形8c正是平行四边形.

则EO=OC.

在AAEC中，'：AM=MC,：,OMHAE.

又AEcz平面助0尸，OMu平面〃平面

33

(II)因为AO_L平面3c庄，AB与平面8c尸E所成角为一，即sin/450=—,

44

乂因为在MAABO中，AB=2故AO=I，BO=—^

22

在ABEF中,由余弦定理求得N8M=60°,

过。作。OGJ.OH,

分别以0/7、0G、作为x轴、＞轴、z轴建立空间直角坐标系.

故丽=(620),BM=

%•FB=0

设平面5A*的法向最为E=（My,z）,则

雇的=0

3右J_八

「『十—,取证（2,-万2现

\/3x+2j=0

UU

又平面8CFE的法向量为q=（0,0,1）,

故3"牖第'所以sina=，l—cos%=m=后,

故…也母也

cosa2V36

晒

即所求二面角的平面角的正切值为叵.

6

13.（浙江省温州市高三下学期3月适应性测试数学试题）如图,在三棱锥A-B8中,

ZBCD=90°,8c=8=1,ZACB=ZACD=8.

（1）证明：AC±BD；

（2）有三个条件;

①6=60。；

②直线AC与平面BCZ)所成的角为45。；

③二面角A