专题02 三角函数解直角三角形3大题型-备战2024-2025学年九年级数学上学期期末（河南专用）

PAGE1PAGE2专题02三角函数解直角三角形3大题型题型一三角函数的计算1．（23-24九年级上·河南周口·期末）在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【详解】试题解析：∵cosA=，tanB=3，∴∠A=45°，∠B=60°．∴∠C=180°-45°-60°=75°．∴△ABC为锐角三角形．故选A．2．（22-23九年级上·河南周口·期末）在中，，都是锐角，，，则对的形状最确切的判断是（

）A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【答案】B【分析】根据特殊角三角函数值，可得、的值，根据直角三角形的判定，可得答案．【详解】解：由，，得，．．则对形状的判断最确切的是等腰直角三角形．故选：B．3．（21-22九年级上·河南南阳·期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=1，则∠A的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：∵∠C=90°，AB=2，BC=1，∴sinA=，∴∠A=45°．故选：B．4．（21-22九年级上·河南开封·期末）在中，与都是锐角，且，则的形状是．【答案】等腰三角形【分析】根据非负数的性质可得：，由此可求出，即为等腰三角形．【详解】根据绝对值的非负性可得：，∴，∴，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴为等腰三角形．故答案为：等腰三角形．5．（22-23九年级上·河南南阳·期末）已知是锐角，且，则°．【答案】【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，由题意得到，根据得到，即可得到答案．【详解】解：∵是锐角，且，∴，∵，∴，解得，，故答案为：6．（23-24九年级上·河南周口·期末）已知a为锐角，且则．【答案】60°/60度【分析】本题考查由特殊角的三角函数值，求角的度数．根据，得到，求解即可．牢记特殊角的三角函数值，是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．7．（22-23九年级上·河南郑州·期末）若，则锐角°．【答案】45【分析】根据即可求解．【详解】解：，，，故答案为：45．8．（22-23九年级上·河南漯河·期末）在中，若，，都是锐角，则是三角形．【答案】等腰【分析】根据绝对值和平方的非负性可得，，，求得，，即可求解．【详解】解：由可得，即，，解得，，则则为等腰三角形，故答案为：等腰9．（17-18九年级·河南洛阳·期末）在△ABC中，，则∠C=．【答案】75°/75度【分析】根据非负数的性质，可得特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：∵∴，∴∴故答案为：75°10．（23-24九年级上·河南安阳·期末）（1）（2）已知锐角，关于的一元二次方程有相等实数根，求的值．【答案】（1）（2）【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和根的判别式，正确进行二次根式的运算和解一元二次方程是关键．（1）首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的运算即可；（2）由方程有两个相等的实数根可得，解方程即可．【详解】（1）解：原式（2）解：由题意得，解得：，．题型二特殊角的三角函数值11．（23-24九年级上·河南南阳·期末）的值等于（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数进行计算即可求解．【详解】解：，故选：B．12．（23-24九年级上·河南商丘·期末）已知实数，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出各三角函数值，然后比较他们的大小即可．本题主要考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握所有特殊角的三角函数值，实数比较大小．【详解】∵，，，∴．故选:：A．13．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)3【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式：（1）先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可；（2）先计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．14．（23-24九年级上·河南漯河·期末）（1）计算：（2）解方程：【答案】（1）2；（2），【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法；也考查了实数的运算．（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）原式；（2），，或，，．15．（23-24九年级上·河南周口·期末）计算：．【答案】【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零次幂、算术平方根等知识点，掌握相关定义和运算法则成为解题的关键．先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零次幂、算术平方根化简，然后再进行计算即可．【详解】解：．16．（23-24九年级上·河南新乡·期末）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）6；（2），【分析】本题考查的是分式的化简求值，零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．（1）先根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【详解】解：（1）；（2），当时，原式．17．（23-24九年级上·河南安阳·期末）（1）解方程：；（2）计算：．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．（1）利用配方法即可求解；（2）依次计算零指数与负整数指数幂，绝对值及特殊角三角函数值，最后化简即可．【详解】解：（1）移项得：，配方得：，即，开平方得：，解得：．（2）原式．18．（23-24九年级上·河南周口·期末）（1）计算：；（2）经过实验获得两个变量，的几组对应值如下表．x123456y6321.51.21请在图中画出相应函数的图象，并求出函数解析式．

【答案】（1）；（2）图见解析，【分析】本题考查实数的混合运算，反比例函数解析式：（1）根据三角函数，立方根，零指数幂的方法计算即可；（2）先根据表格数据画出函数图象，设函数表达式为，把，代入，得，即可得出答案．【详解】解：（1）；（2）函数图象如图，

设函数表达式为，把，代入，得，函数的表达式为．19．（22-23九年级下·河南安阳·期末）（1）计算：．（2）解不等式组，并写出它的正整数解．【答案】（1）；（2）不等式组的解集是，该不等式组的正整数解是1，2【分析】（1）根据特殊角锐角三角函数、零指数幂、负整数指数幂的意义以及化简二次根式即可得到答案；（2）先分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集，再找出正整数解即可．【详解】解：（1）；（2），解不等式①，得，解不等式②，得，不等式组的解集是，该不等式组的正整数解是1，2．20．（22-23九年级上·河南周口·期末）（1）计算：（2）解方程：．【答案】（1）；（2），【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂运算法则，二次根式性质，算术平方根定义进行计算即可；（2）用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）；（2），，，，，∴，解得：，．题型三利用三角函数解非直角三角形21．（22-23九年级上·河南濮阳·期末）某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门测得历下亭在北偏东37°方向，继续向北走105m后到达游船码头，测得历下亭在游船码头的北编东53°方向．请计算一下南门与历下亭之间的距离约为（）（参考数据：，）A．225 B．275 C．300 D．315【答案】C【分析】如图，作于．设，．构建方程组求出，即可解决问题．【详解】如图，作于．设，．在中，，即，在中，，即，解得，，∴（），故选C．22．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，找出格点，连接，易知是直角三角形，三点共线，然后根据勾股定理逆定理可判断是直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，锐角三角函数，属于学生灵活运用所学知识【详解】解：如图，找出格点，连接，易知是直角三角形，∴三点共线，连接，由勾股定理可知：，∴，∴是直角三角形，∴，故选：C．23．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在菱形中，，，则的值是（

）

A．2 B． C． D．3【答案】B【分析】此题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是根据菱形四边相等的性质、勾股定理表示出各边长度，难度一般．设，则，，，继而根据三角函数定义可得出的值．【详解】解：由题意得，，设，则，由勾股定理，得∵四边形是菱形，∴∴，在中，．故选：B．24．（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，沿AE折叠矩形纸片，使点D落在边的点F处．已知，则的值为（）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】C【分析】先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形即可．【详解】解：四边形是矩形，，，由折叠的性质得：，，，，，设，则，，，，解得，，，故选：C．25．（22-23九年级上·河南鹤壁·期末）如图，在△中，，,.则边的长为.【答案】【分析】过A作AD⊥BC于D点，根据，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解题【详解】过A作AD⊥BC于D点，∵，AC=2∴CD=在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=又∵∠B=30°∴AB=2AD=.26．（21-22九年级上·河南新乡·期末）如图，小明同学在民族广场处放风筝，风筝位于处，风筝线长为100m，从处看风筝的仰角为30°，小明的父母从处看风筝的仰角为50°．求、相距多少米？（参考数据：，，，，结果精确到0.1m）【答案】【分析】如图，过作于，，在中，，求出的值，在中，，求出的值，然后根据计算求解即可．【详解】解：如图，过作于，∴，在中，∵，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，∴．即A、C相距约．27．（19-20九年级上·河南洛阳·期末）小王同学在地质广场上放风筝，如图风筝从处起飞，几分钟后便飞达处，此时，在延长线上处的小张同学发现自己的位置与风筝和广场边旗杆的顶点在同一直线上，已知旗杆高为10米，若在处测得旗杆顶点的仰角为30〫，处测得点的仰角为45〫，若在处背向旗杆又测得风筝的仰角为75〫，绳子在空中视为一条线段，求绳子为多少米？（结果保留根号）【答案】．【分析】利用三角函数求出,，求出AB的值，过点作于点M,可得，，利用三角函数可得：，，即可得出AC的值．【详解】在中，，，∴,又∵在中，,∴，∴（米），过点作于点M，如图所示，∵，，∴，，∴在中，，∴，，∵，，∴，在中，，∴米．28．（19-20九年级上·河南洛阳·期末）如图，河流两岸PQ，MN互相平行，C、D是河岸PQ上间隔50m的两个电线杆，某人在河岸MN上的A处测得∠DAB＝30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF＝70°，求河流的宽度（结果精确到个位，＝1.73，sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）【答案】河流的宽度CF的值约为37m．【分析】过点C作CE∥AD，交AB于点E，则四边形AECD是平行四边形，利用平行四边形的性质可得出AE、EB及∠CEF的值，通过解直角三角形可得出EF，BF的长，结合EF﹣BF＝50m，即可求出CF的长．【详解】如图，过点C作CE∥AD，交AB于点E，∵CD∥AE，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∵CD=50m，AB=100m，∴AE＝CD＝50m，EB＝AB﹣AE＝50m，∠CEF＝∠DAB＝30°．在Rt△ECF中，EF＝＝CF，∵∠CBF=70°，∴在Rt△BCF中，BF＝，∵EF﹣BF＝50m，∴CF﹣＝50，∴CF≈37m．答：河流的宽度CF的值约为37m．29．（18-19九年级上·河南周口·期末）在一次“数学实践”活动中，小明沿一条南北公路