理论力学习题答案

静力学第一章习题答案

1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图

1-4试画出两结构中构件ABCD的受力图

1-5试画出图a和b所示刚体系整体合格构件的受力医

l-5a

l-5b

1-8在四连杆机构的ABCD的较链B和C上分别作用有力Fi和F2,机构在图示位置平衡。

试求二力Fi和Fz之间的关系。

解:杆AB,BC,CD为二力杆，受力方向

分别沿着各杆端点连线的方向。

解法1（解析法）

假设各杆受压，分别选取销钉B和

C为研究对象，受力如下图：

分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封

闭的力多边形，如下图。

对坳曲参工=%co

对C点如球焉知：FBC=^cos®^y

解以上两式可得：£=1.63工

静力学第二章习题答案

2-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束

力。

解：BC为二力杆（受力如下图），故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方

向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆

AB保持平衡。AB受力如下图，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：

其中：tan<9=-o对BC杆有：F=F=F=0354—

3‘八’a

A,C两点约束力的方向如下图。

2~4

解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡

条件，点0,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如下图。对BC杆有：

Z^=O^BCsin3O°-M2=0

对AB杆有：FH=FAX

对0A杆有：ZM=。匕_•O4=0

求解以上三式可得：=3N•m，£〃=笈=3=5N，方向如下图。〃

2-6求最后简化结果。

解：2-6a

坐标如下图，各力可表示为：

F=-F7+—FJ^户、=河,F.=--F1+—FJ

122—322

先将力系向A点简化得（红色的）：

蜃=行+/机M4=旦Fak

方向如左图所示。由于A可进一步简化为一个不过A点的力（绿色的），主

1\/I

矢不变，其作用线距A点的距离位置如左困所示。

4

2-6b

同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：

其作用线距A点的距离d=Y3〃，位置如右图所示。

4

简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？

2-13

解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以

水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：

选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：

求解以上五个方程，可得五个未知量F”FAy,F8,FBy,MA分别为：

F、=—Psina（与图示方向相反）

AA=FDRX

FAv=Ft{y=P（l+cosa）（与图示方向相同）

MA=P（l+cosa）/（逆时针方向）

2-18

解：选AB杆为研究对象，受力如下图，列平衡方程：

求解以上两个方程即可求得两个未知量N>a，其中：

未知量不一定是力。

2-27

解：选杆AB为研究对象，受力如下列图所示。列平衡方程：

由=0和=（）可求出尸…，匕,。平衡方程"〃=0可用米校核。

思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？

2-29

解：杆1,2,3,4,5,6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选

板ABCD为研究对象，受力如下图，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：

F=_立尸（受拉）

62

=0-月cos45°•〃一冗COS450-Q=0产二退尸（受压）

2

F="乐/（受压）

'2

2Mm=06・4+工・q—bsin45°・a=0R=_!/（受拉）

此题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似此题的

情况采用六矩式方程比拟方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，防止求

解联立方程。

2-31力偶矩M=1500N-cm

解：取棒料为研究对象，受力如下图。列平衡方程：

补充方程：［耳=加

五个方程，五个未知量K，M，8，N2,£，可得方程：

解得fsi=0.223,人2=4.491。当八2=4.491时有：

即棒料左侧脱离V型槽，与提议不符，故摩擦系数4=0.223。

2-33

解：当a=45°时，取杆AB为研究对象，受力如下图。

列平衡方程：

附加方程:Fs=fsFN

四个方程，四个未知量A，,乙,。/；，可求得£=0.646。

2-35

解：选棱柱体为研究对象，受力如下图。假设棱柱边长为a,重为P,列平衡方程：

如果棱柱不滑动，那么满足补充方程［死=£|尸心时处于极限平衡状态。解以上五个方程,

I\F，。=Jfs2‘FNii

可求解五个未知量乙，/^,《，尸如。，其中:

7M+几）

tana=⑴

/Y+26

当物体不翻倒时尸nNoA20,那么:

tana460"⑵

即斜面倾角必须问时满足⑴式和⑵式，棱柱才能保拧平衡。

静力学第三章习题僦

3-10

解：假设杆AB,DE长为2a。取整体为研究对A

象，受力如右图所示，列平衡方程：

取杆DE为研究对象，受力如下图，列平

DH

衡方程：）E

取杆AB为研究对象，受力如下图，列平衡方程:

ZF,=0FAy+7%+FBy=0FAy=一b（与假设方向才45°

ZMA=05,・a+£^2〃=0用,=一/（与假设方制R

=0—•2〃一笈,•〃=0"=一厂（与假设方向相反）

3-12

解：取整体为研究对象，受力如下图，列平衡方程:

取杆AB为研究对象，受力如下图，列平衡方程：

杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如下图,

列平衡方程：

解得乙°=尸，命题得证。

注意：销钉A和C联接三个物体。

知该力系对任一点之矩为零，因此有：

也就是F1和K是大小相等，方向相反且共线的

An

衡方程：

解：支撑杆1，2,3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如下图。其

中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa,作用在BC杆中点。列平衡方

程：

2M8=0"0由45°・々—2私・4—知=0冗=后（丝+2«）（受压）

a

选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：

£月=04_"3545°=0£="+2的（受压）

a

2尸、=0_忆_"$布45°=0£=_（"+2网）（受拉）

a

选梁AB和BC为研究对象，受力如下图。列平衡方程：

ZK=0七+8cos45°=0及=-（—+2的）（与假设方向相反）

a

ZS=0MA+F2a-P-2a-4qa•2a+Fysin45°-3a-M=0

2

MA=4qa+2Pa-M（逆时针）

3-21

解：选整体为研究对象，受力如右图所示。

列平衡方程：

+七+/=0（1）

由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G,受力如下图,

画出力的三角形，由几何关系可得：F=丝6

E2

取CEB为研究对象，受力如下图。列平衡方程：

代入公式⑴可得：1FAx=-,-

3-24

解：取杆AB为研究对象，发杆重为P,受力如下图。列平衡方程：

取圆柱C为研究对象，受力如下图。列平衡方程：

注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对

销钉的作用力。

3-27

解：取整体为研究对象，设杆长为L,重为P,受力如下图。列平衡方程：

〜IP

2MA=0F.2Lsin^-2P--cos^=0Fv=—^—（D

A2A2tan9

取杆BC为研究对象，受力如下图。列平衡方程：

ZMB=0鼻•Lsin®+P^cos。一F•Leos。=。Fs=PQ）

’2、

证明：

法1：

取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约

7

束力居「7，工n来表示，如下图。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，那7么居「,兄力等反向,

KCKUnCKIJ

共线。由几何关系可知，冗…7工与接触点C,D处法线方向的夹角都是4,因此只要接

nCA/2_

2

触面的摩擦角大于4,不管F多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。

法2（解析法）:

首先取整体为研究对象，受力如下图。列平衡方程：

再取杆AB为研究对象，受力如下图。列平衡方程：

取圆柱为研究对象，受力如下图。假设圆柱半径为R,列平衡方程：

由补充方程：Fsc<fsc-F^FSD<fSD-F^可得如果：

那么不管F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。

证明：（2）圆柱重量P时

取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P,C点和D点处的全约束力％一4〃。

如果圆柱保持平衡，那么三力必汇交于D点（如下图）。全约束力入「与C点处法线方向的

夹角仍为4,因此如果圆柱自锁在c点必须满足：

2

上、sintza

f.r>-------=tan-⑴

14-COS6Z2

该结果与不计圆柱重量时相同。只满足⑴式时C点无相对滑动，但在D点有可能滑动（圆

柱作纯滚动）。再选杆AB为研究对象，对A点取矩可得'帽=,尸，由几何关系可得：

a

F,c=tan—•—Fp_Fl（2）

sc2a%一-

-COS—

2

法1（几何法）:

圆柱保持平衡，那么作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如下图。由几何关系可知:

P

sin[18O°-^-(18O0--)]sin^

Flsina

将(2)式代入可得:tan(p=-----------------------

{Pa4-F/)(l+cos(7)

r、Flsina

因此如果圆柱自锁在D点必须满足:f2tan0=---------------⑶

.sn甲(a+&)(l+cosa)

即当同时满足(1)式和(3)式时,圆柱自锁，命题得证。

法2(解析法):

取圆柱为研究对象，受力如下图，列平衡方程：

「nFI..a

解得：F,=F=tan-«-F»(x

ovJw"cFND=P+——cosa+sina♦tan—)

2aa2

代入补充方程：FSD<fSD-F^

Flsina

可得如果圆柱自锁在D点必须满足:/>tan^=⑶

w(Pa+F/)(l+cosa)

即当同时满足(1)式和(3)式时，圆柱自锁，命题得证。

3-30

解：取整体为研究对象，受力如下图，列平衡方程：

由题可知，杆AC为二力杆,作用在杆BC上的力有主动力产，以及B和C处的约束力F.

和心，由三力平衡汇交，可确定约束力工和心的方向如下图，其中：3咤，杆

AC受压。

取轮A为研究对象，受力如下图，设厂“.的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：

AC

取轮B为研究对象，受力如下图，设入的作用线与水平面交于G点，列平衡方程；

解以上六个方程，可得：

%=P+；F，%=P+（F，

%=%=%'MD=ME=^FR

假设结构保持平衡，那么必须同时满足：

〈

MD3FND，ME<8FNE^FSD<fFND^FSE<fFNE

即：尸金疝“上尸,上尸,如，"}=*P,

R-6R—3bl-X1-3/R-b

因此平衡时尸的最大值尸niiix=0.36,此时：

FSI）=FSE=0.091（N），MD=ME=0.9KN-cm）

3-35

解：由图可见杆桁架结构中杆CF,FG,EH为零力杆，用剖面SS将该结构分为两局部,

取上面局部为研究对象，受力如下图，列平衡方程：

=0Ecos9・6+5,4—冗-3=0£=—14.58QW）（受拉）

ZF=O-F}sin0-F3-FH=06=—31.3（受拉）

Z工二0£-Ecose-凡=08=18.3（受压）

3-38

解：假设各杆均受压。取三角形BCG为研究对象，受力如下图。列平衡方程：

尸（受压）

ZF=QF-FCD=QFC1）=

取节点C为研究对象，受力如下图。列平衡方程：

其中：tan*1+-,解以上两个方程可得：耳昭=0586户（受压）

2+A/2

3-40

解：取整体为研究对象，受力如下图。列平衡方程:

XMA=0FB-2a-F-2a-F-3a=0FB=2.5F

=3尸（受拉）

ZFx=02F-F]-F2=0FI

6

静力学第四章习题答案

4-1

解：

1.选定由杆OA,O.C,DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。作用在系统上的

主动力为户，弧。

2.该系统的位置可通过杆0A与水平方向的夹角。完全确定，有一个自由度。选参数0为

广义坐标。

3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆0A有一个微小的转角60,相应的各点的

虚位移如下：

SrA=OA♦80，8rn=OB-SO，3rc=O}C-80

6rn=OQ•80，3%=6rc，SrD=6rr

代入可得：SrA=3（）d>/;.;

4.由虚位移原理工3VM（e）=0有：

对任意砌.wO有：尸”=30尸，物体所受的挤压力的方向竖直向下。

EM

4-5

解：

1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。设弹簧力片，£,且月=£,将弹簧力视

为主动力。此时作用在系统上的主动力有月，E，以及重力产。

2.该系统只有一个自由度，选定8为广义坐标。由几何关系可知：

3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微G的虚位移39,那么质心的虚位移

为：

弹簧的长度/=24sin2.在微小虚位移60下：

、2

4.由虚位移原理'NV（月）=0有：

其中尼=4（2温瑶一乡，代入上式整理可得：

由于awO,对任意相。0可得平衡时弹簧刚度系数为：

4-7

解：将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷E，大小为6“。

1.求支座B处的约束力

解除B点处的约束，代之以力入，并将其视为主动力，系统还受到主动力

F；，E，g,A/的作用，如下图。在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C

点转动。系统有一个自由度，选转角夕为广义坐标。给定虚位移59,由虚位移原理

2*(月)=0有：

FB-5rBcos45°-60+F2-6y2cos150°-F^6y3=0(D

各点的虚位移如下：

代入(1)式整理可得：

对任意为9工0可得：FB=186*N)，方向如下图。

2.求固定端A处的约束力

解除A端的约束，代之以万；Av>，忆Ay>，AA/j并将其视为主动力，系统还受到主动力

F^F29F^M的作用。系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角0为

广义坐标。

2a.求心

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移&八工0,今月=0,&9=0,此时整个结

构平移，如上图所示。由虚位移原理(尸)=0有：

凡「及人+石•阴+E•cos120°=0(2)

各点的虚位移如下：

代入(2)式整理可得：

对任意烝人不()可得：八、=2(kN)，方向如下图。

2b.求FAy

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移品八=0，a八w0,59=0,此时梁AC

向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。由虚位移原理Z5W(e)=0有：

死，•—K・»3+gCos30°-M36=0⑶

各点的虚位移如下：

代入(3)式整理可得：

对任意方人工。可得：万［=3.8（yV），方向如下图。

2c.求吃

在不破坏约束的前提下给定一组虚位移近氧=0,SyA=（）,加=（），此时梁AC

绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。由虚位移原理Z5W（e）=0有：

-MA+F26X2cosl20°=0（4）

各点的虚位移如下：

代入（4）式整理可得：

对任意为920可得：MA=-24（kN-m），顺时针方向。

4-8

解：假设各杆受拉，杆长均为a。

1.求杆1受力

去掉杆1，代之以力广，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角e为广义坐标,

如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A

点转动，因此有物），不方，然，不X，且：

滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。

三角形BEK绕B点旋转西;J_豆后，且：

对刚性杆CD和杆CE,由于四）±C'D.8rK±CE＞因此之.=0。由虚位移原理

zHv（e）=o有：

代入各点的虚位移整理可得:

二（受压）。

对任意S9工0可得:4=

2

2.求杆2受力

去掉杆2,代之以力鸟，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角6为广义坐标,

如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有

6rK±AK^且：

同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转物」百方，且：

C,

杆AD绕A点转动物）±AD＞由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如下

图，且：

同理可知久.=0。由虚位移原理工的"（石）=0有:

代入各点的虚位移整理可得:

对任意sewo可得:="人〔受压）。

3.求杆3受力

去掉杆3,代之以力白，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角8为广义坐标,

如上图所示。在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，

SrDA.AD,8rK±AK^且：

同理可知B点不动，6rr±BE，且:

由虚位移原理£»W（e）=0有:

代入各点的虚位移整理可得:

P=正气（受拉）。

对任意0可得;

36

动力学第一章习题答案

1-3

解：

运动方程：y=/tan®,其中。=2人

将运动方程对时间求导并将0=300代入得

1-6

证明：质点做曲线运动，所以。二%+a-

设质点的速度为人由图可知：

CQS9=±=M,所以：a=^~

va

V

代入上式可得（1=一

cp

证毕

1-7

v2-llaxvll

证明：因为夕=—,an=6/sin^=---------

o

V

所以：p=

II。XV||

证毕

1-10

解：设初始时，绳索AB的长度为L,时刻Z时的长度

为S,那么有关系式：

并且/二广+工2

将上面两式对时间求导得：

s--v0，2ss=2xx

由此解得：£=一色⑥(a)

x

(a)式可写成：xr=-v05,将该式对时间求导得：

2

XX+x=-sv0=VQ(b)

将(a)式代入(b)式可得：4=尤二支二三二-华(负号说明滑块A的加速度向上)

xX3

取套筒A为研究对象，受力如下图，根据质点矢量形式的运动微分方程有:

将该式在X,)，轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程：

X

其中：cos6=

+广M总'TWO

F=m(g+*)/+(，

将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得:

(b)

X

将上式代入(a)式得到A点速度的大小为:

(c)

由于以=一£，（c）式可写成：一土J/—R2=/入.，将该式两边平方可得:

符上式两边对时间求导可得：

将上式消去2£后，可求得：

a)2R4x

X=(d)

(x2-/?2)2

①NR1

由上式可知滑块A的加速度方向向左，其大小为%=

取套筒A为研究对象，受力如下图,

根据质点矢最形式的运动微分方程有：

将该式在X），轴上投影可得直角坐标形式的

运动微分方程：

其中：X

Vx2-R2..。2底

，工=彳~

X*2-R”

将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得

1-13

解：动点：套筒A；

动系：0A杆；

定系：机座：

运动分析：

绝对运动：直线运动；

相对运动：直线运动；

牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理匕=匕+匕

有：匕COS0=匕，因为AB杆平动，所以匕=y,

由此可得ncose=Uc，OC杆的角速度为。=工，OA=——,所以@=上立■里

OAcos（pI

当°=45°时，OC杆上C点速度的大小为%=的=；=完

1-15

解：动点：销子M

动系1：圆盘

动系2：OA杆

动系：机座；

运动分析：

绝对运动：曲线运动

相对运动：直线运动

牵连运动：定轴转动

根据速度合成定理有

匕1=匕|+匕1，』2二匕2+匕2

由于动点M的绝对速度与动系的选取无关，即匕2=匕1，由上两式可得:

(a)

将⑶式在向在X轴投影，可得：-匕|Sin30°=-%sin3（）0+%cos30”

由此解得:

1-17

解：动点：圆盘上的C点；

动系：OA杆；

定系：机座；

运动分析：绝对运动：圆周运动；

相对运动：直线运动（平行于OA杆）;

牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理有

，匕6）

将（a）式在垂直于0A杆的轴上投影以及在0C轴上投影得:

匕cos30°=vecos30°,v..sin30°=v,sin30°

v=v=Ra),v=v=RM,(o==—=0.5。

a1O,A2R

根据加速度合成定理有

%=4+《'+6+°c⑹

将（b）式在垂直于OA杆的轴上投影得

2

其中：a.{=Reo,a：=2Ra）；,ac=2coxvt

由上式解得：ctx——

2R12

1-19

解：由于ABM弯杆平移，所以有

取：动点：套筒M；

动系：OC摇杆；

定系：机座；

运动分析：

绝对运动：圆周运动；

相而运动：直线运动：

牵连运动：定轴转动。

根据速度合成定理L=%+匕

可求得：vM=vA=va=V2ve=42bco=2V2ni/s,vr=vc=ba>=2nVs,

根据加速度合成定理

将上式沿方向投影可得：

22

由于。：=3：/=8nVs2,a\=ab=InVs,ac=2<yvr=8nVs,根据上式可得:

t7+4后。：2v2(7+4V2)..2

a,=-------,a.=—=-------------«12rad/s

acos45°'I3

1-20

解：取小环为动点，OAB杆为动系

运动分析

绝对运动：直线运动；阳

相对运动：直线运动；0sw.

牵连运动：定轴转动。①啜胃

由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如下图,

rC

其中：vc=OMa)=―°=Irco

ccos600

根据速度合成定理：匕=匕+匕

可以得到：v=tan吗=2y[?>rco,v=--=4rco

41e='cWos26()°rcos60(

加速度如下图，其中:

人，

2

将上式在£轴上投影，可得：cos^=-accos^+ac由此求得：ad=I4r(w

1-21

能：求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车

A为参考系观察汽车B的速度。

取：动点：汽车B；

动系：汽车A(Oxy)；

定系：路面。

运动分析

绝对运动：圆周运动；

相对运动：圆周运动；

牵连运动：定轴转动(汽车A绕O做定轴转动)

求相对速度，根据速度合成定理

将上式沿绝对速度方向投影可得：

匕=—匕+匕

因此vr=vc+va

其中：匕=也，%=课外9=4,

由此可得：vr=-^-vA+vH=—nVs

A

求相对加速度，由于相对运动为圆周运动,

相对速度的大小为常值，因此有：

1-23质量为加销钉M由水平槽带动，使其在半径为r的固定圆槽内运动。设水平槽以匀速口向上运动,

不计摩擦。求图示瞬时，圆槽作用在销钉”上的约束力。

0

解：销f%洛力知b/圆槽的约%勿勿如M的运动是给定的,

所以先才华皆言_回微分方程无件会机力动系。由运动分

析可知销钉的迷凌⑻M

Y)mg

/r//Z^Z^/Z/Z^

根据速度储成定邦匕=匕+Vr

由此:求联

■再根据加速度合成;

cos。cos

由于绝对运动是圆周运动，牵连运动是匀速直线平移，所以4=0,并且

v2所以根据上式可求出；上嘤

因为《二——a=<tan6>=

rrcos2^rcos0

根据矢量形式的质点运动微分方程有：〃z（a：+〃：）=F+Fo+"吆

将该式分别在x轴上投影：，力（〃：sin0+《cos。）=FocosG

777V2

由此求出:(tan2^+l)

%rcos2^

1-24图示所示吊车下挂一重物M,绳索长为/,初始时吊车与重物静止。假设吊车从静止以均加速度。

沿水平滑道平移。试求重物M相对吊车的速度与摆角。的关系式。

因为冗=64=〃也，分=皿=^^些=占丝，所以上式可写成

drd。d/d。

整理上式可得

将上式积分：

其中c为积分常数（由初始条件确定），因为相对速度匕=①，上式可写成

初始时。=0,系统静止，匕=匕=0,根据速度合成定理可知匕=0,由此确定c=-g。重物相对速

度与摆角的关系式为：v>2/fg（cos<9-l）+«sin<9]

1-26水平板以匀角速度。绕铅垂轴。转动，小球U可在板内一光滑槽中运动（如图7-8）,初始时小球

相对静止且到转轴0的距离为R。,求小球到转轴的距离为R>Ro时的相对速度。

1,、

初始时R=R。,匕=0,由此确定积分常数。=一；。~跖，因此得到相对速度为

1-27重为P的小环M套在弯成冷，=。2形状的金属丝上，该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度。转动，如卜，

图。试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。

解：取小环为动式四方学两系，’裾胭题意,相对平衡位居和史尹[为■金感丝为曲线，所以斗二0,

因此在此题中相对平胸晶是相对静止位置。小环受力如部F,点尸分别为约束力、牵连惯

性力和小环的重力:鼠据质点梏对运动微分方程有："।

其中：月二一）口2,将上式分别在轴上投影有

g.

P-Fsin6=0

Fc-Feos®=0

以为tan。=一出，y=—,更=一二，因此

dvxeLvx~

c2

tan^=—（b）

厂

由（a）式可得

tan9=—(c)

P

将4=£)，〃代入(C),联立求解(b)、(C)并利用孙=。2,可得:

g'

再由方程(a)中的第一式可得

动力学第二章习题稣

2-1解：当摩擦系数/足够大时，平台AB

相对地面无滑动，此时摩擦力?WJFN

取整体为研究对象，受力如图，

系统的动量：p=/〃2匕

将其在大轴上投影可得：Px=m2vr=m2bt

根据动量定理有：^=m,b=F<fFN=f(m.+)g

dr

即：当摩擦系数了之一迎一时，平台AB的加速度为零。

(〃L+m2)g

当摩擦系数/<—"叁一时，平台AB将向左滑动，此时系统的动量为:

(g+m2)g

将上式在x轴投影々：px=m2{-v+匕)+犯(-v)=m2bt-{mi+m2)v

根据动量定理有:=m、b-(叫+吗)a=F=fFN=f(叫+世)g

dr

由此解得平台的加速度为：a=-^-——把(方向向左)

mx+m2

2-2取弹簧未变形时滑块A的位置为x坐标原点，取整体为研究对象，受力如下图，其中尸为作用在滑

块A上的弹簧拉力。系统的动量为：

将上式在x轴投影：

根据动量定理有：

系统的运动微分方程为：(〃?+吗)工+Zx=mjco1

2-4取提起局部为研究对象，受力如图(a)所示,内速度为y,

根据点的复合运动可知质点并入的相对速度为匕，

(a)

根据变质晟质.[〃«)

将上式在<Q

叶I叫

由于一=0,所以由上式可求得：/⑺=01期+产）。

d/

再取地面上的局部为研究对象，由F地面上的物体没有运动，并起与提起局部没有相互作用力，因

此地面的支撑力就是未提起局部自身的重力，即：FN=（I-vt）pg

2-5将船视为变质量质点，取其为研究对象，

受力如图。根据变质量质点动力学方程有：A尸

船的质量为：机=-qt，水的阻力为产=-Jvv-彳

将其代入上式可得：（小（）-qi）—=-fi+fug-qvt--=^">烟―-

dt

.___________________>x

将上式在x轴投影：（in1）-cjt）—=-fv-^-vT）.应用别离变量法可求得

dr

由初始条件确定积分常数c=皿⑷匕）-4In叫），并代入上式可得：

q

2-8图a所示水平方板可绕铅垂轴Z转动，板对转轴的转动惯量为、/,质量为〃7的质点沿半径为A的

圆周运动，其相对方板的速度大小为〃（常量）。圆盘中心到转轴的距离为兀质点在方板上的位置由夕

确定。初始时，0=0,方板的角速度为零，求方板的角速度与。角的关系。

解：取方板和质点满氢1%,作用在研方对夕上的外力又匕

:统对z轴的动量

矩守恒。下面分，二、A矩。。/^7\

设方板对转车，/后/于是有

设质点，动系,质点为‘

M/—_—z,aM更分别为匕,匕。

相对速度沿相对轨线方向，牵连速度垂直于0M考系的绝对速度

va=vc+vro它对转轴的动量矩为

其中：

系统对z轴的动量矩为4=L]+4。初始时，69=0,^9=0,1；二〃，此时系统对z轴的动量矩为

当系统运动到图8-12位置时，系统对Z轴的动量矩为

由于系统对转轴的动量矩守恒。所以有4二4,因此可得：

由上式可计算出方板的角速度为

2-11取链条和圆盘为研究对象，受力如图（链条重力未画：设圆盘的角速度为0,那么系统对O

轴的动量矩为：

L=Jco+pi（la+m产①

oO%

根据动量矩定理有：

整理上式可得：

由运动学关系可知：5=文,因此有：cor=x.上式可：舟

2

令力=-------也-------7,上述微分方程可表示成：x-zx=O,该方程的通解为:

Jo+Pj(2a+m,)r~

根据初始条件：，=O,x=x0,元=0可以确定积分常数q=。2=+，于是方程的解为：

系统的动量在X轴上的投影为：px=，◎厂sin即“d。=2空/=2P.

系统的动量在y轴上的投影为：py=pt(a-x)cor-p^a-vx)cor=-2plxa)r=2ptxx

根据动量定理：

2

由上式解得：FOx=2p;/x0/lch/lr,F)y=P+q(2a+")g-4q/12x：ch(2>lt)

2-14取整体为研究对象，系统的动能为：AL

其中：匕,％分别是AB杆的速度和楔块C的速度。

彳Eg

假设匕是AB杆上的A点相对•楔块C的速度，那么木

复合运动速度合成定理可知：vA=vctan<9,

AB杆的重力作功。根据动能定理的微分形式有：dT=65W,系统的动力学方程可表示成:

由上式解得：用=誓=q，ac=aAc^0

drni+mccot,^6

2-17质量为〃%的均质物块上有一半径为R的半圆槽，放在光滑的水平面上如图A所示。质量为

机(，叫)=3加)光滑小球可在槽内运动，初始时，系统静止，小球在A处。求小球运动到B处夕=30°时

相对物块的速度、物块的速度、槽对小球的约束力和地面对物块的约束力。

解：取小球邛超块为研和象，考备如图B所示,由于旧IJ在系统央勺主动功为有势力,水平方向无

外力，因此彳量守恒。设小球M川卜球相对物块的速度为

匕，物块的;

设(P=(勿勿物

根据机械能守恒定理和初始条件有7+V=0,即।

系统水平方向的动量为：

根据系统水平动最守恒和初始条件有

由此求出匕=：匕sin夕，将这个结果代入上面的机械能守恒式,且。=30°最后求得：

下面求作用在小球上的约束力和地面对物块的约束力。分别以小球和物块为研究对象，受力如图C,I)

明不。设小球的相对物块的加速度为风，物块的加速度为对于小球有动力学方程

mad=m（ac+a；+a；）=P+mg（a）

V2工"”

其中相对加速度为量，〃：=幺。将方程(b)在水平方向和铅垂方向叔影，可得

R

领夕=30°,联立求解三个投影可求出

2-18取小球为研究对象，两个小球对称下滑，

设圆环的半径为R。每个小球应用动能定理有：

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