四川省成都市高新区2024年中考数学一诊试卷（含答案）

四川省成都市高新区2024年中考数学一诊试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五总分评分一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A表示的数为5，则点B表示的数是（）A．15 B．-15 C．52．空气，无色无味，无形无质，却承载着生命的呼吸，它的密度约为0.00129g/cm3，将0.00129用科学记数法表示应为（）A．12.9×10﹣4 B．1.29×10﹣3C．1.29×10﹣4 D．0.129×10﹣23．用一个平面去截下列几何体，截面可能是矩形的几何体是（）A． B． C． D．4．下列计算正确的是（）A．2a2﹣a＝2 B．a2•a3＝a6C．6m2n2÷3m2n＝2n D．（m+4n）（m﹣4n）＝m2﹣4n25．已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形6．若关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．-18 B．18 C．﹣87．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，问人数和物品价格各是多少？设有x人．根据题意，下面所列方程正确的是（）A．8x﹣3＝7x+4 B．8x+3＝7x﹣4 C．x−38=x+48．如图，∠AOB＝60°，在射线OA上取一点C，使OC＝6，以点O为圆心，OC的长为半径作MN，交射线OB于点D，连接CD，以点D为圆心，CD的长为半径作弧，交MN于点E（不与点C重合），连接CE，OE．以下结论错误的是（）A．∠DCE＝30° B．OD⊥CEC．DE的长为π D．扇形COE的面积为12π二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．因式分解2x2﹣4x+2=．10．如图，∠AOB的一边OB为平面镜，点C在射线OA上，从点C射出的一束光线经OB上一点D反射后，反射光线DE恰好与OA平行．现测得入射光线CD与反射光线DE的夹角∠CDE＝110°，则∠AOB的度数为°．11．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面进行测试，将学历、能力和态度三项成绩按2：4：4的比例确定最终成绩．某面试者学历、能力和态度三项测试成绩分别为80分，85分，90分，则该面试者的最终成绩为分．12．若点A（1，y1），B（4，y2）都在二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）13．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，过B、C两点分别作射线AD的垂线，垂足分别为点E，点F．若点F为AE中点，BE＝2，则BC的长为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（1）计算：(1（2）解不等式组：3−x<2x+6①x−215．为学习新时代榜样，某校准备组织师生开展“点亮人生灯塔”的社会实践活动，活动项目有“环境保护”“敬老服务”“文明宣传”“义卖捐赠”四项，每名参加活动的师生只参加其中一项．为了解各项活动参与情况，该校随机调查了部分师生的参与意愿，并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．项目人数环境保护6敬老服务a文明宣传8义卖捐赠b（1）分别计算出表中a，b的值；（2）该校共有1200名师生参加活动，请估计选择参加“环境保护”项目的师生人数；（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两人担任联络员，请利用画树状图或列表的方法，求出恰好选中甲、乙两人的概率．16．近几年，中国新能源汽车凭借其创新技术、智能化特性和独特设计赢得了全球的关注．某品牌新能源汽车的侧面示意图如图所示，当汽车后背箱门关闭时，后备厢门AB与水平面的夹角∠ABH＝72°，顶端A和底端B与水平地面MN的距离分别为152cm和70.3cm．现将后背箱门AB绕顶端A逆时针旋转至AB'，若∠BAB'＝102°，求此时的后备厢门底端B'到地面MN的距离．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°＝0.31，tan72°≈3.08）17．如图，⊙O是△ABC外接圆，AC=BC，直线CD∥AB，AO的延长线交BC于点E，交直线DC于点（1）求证：直线CF是⊙O的切线；（2）若AB＝6，tan∠B＝3，求⊙O的半径及CF的长．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y=kx的图象交于A（1，a），（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）过点B的直线与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．若BMMN=1（3）点C在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等．点C关于原点O的对称点为点D．平面内是否存在点E，使得△ABD∽△ACE？若存在，求E点的坐标；若不存在，请说明理由．四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．已知2m2＝2m+5，则代数式(m−1m)÷20．待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[xCuCO3•yCu（OH）2]加热分解的化学方程式为：xCuCO3•yCu（OH）2△__3CuO+H2O+xCO2↑，其中x，y为正整数，则y﹣x＝21．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖1次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是．22．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC＝4，点E，F分别在AC，BC上，将△CEF沿EF所在直线翻折，点C的对应点D恰好在AB边上，过点D作AB的垂线，交BC的延长线于点G，设CG＝x，则tan∠EFC的值为．（用含x的代数式表示）23．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，2），将三角形ABC绕点D（a，a）逆时针旋转90°得到△A'B'C'，若△A'B'C'上任意点都在半径为4的⊙O内部或圆上，则△ABC与△A'B'C'的“捷径距离”d（△ABC，△A'B'C'）的最小值是，最大值是．五、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．2024年4月23日是联合国教科文组织确定的第29个“世界读书日”．在世界读书日来临之际，某书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，已知每本甲种图书的进价比每本乙种图书的进价多25元，用2600元购买甲种图书的数量与用1600元购买乙种图书的数量相同．（1）求每本甲种图书与乙种图书的进价；（2）如果该书店决定用不超过2000元购买20本甲种图书和若干本乙种图书，则乙种图书最多能购买多少本？25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为x＝1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接BC，点D在直线BC上方的抛物线上，过点D作BC的垂线交BC于点E，作y轴的平行线交BC于点F．若CE＝3EF，求线段DF的长；（3）直线y＝﹣x+m（m＜4）与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线PC与直线BQ的交点为S，△OCS的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．26．已知，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，线段AE，BF交于点G．（1）如图1，∠BGE＝∠ABC，点F与点D重合，连接CG；（i）求证：BE•AD＝AE•AG；（ⅱ）若△CDG为直角三角形，求EGCG（2）如图2，AB=32，∠ABC＝45°．当cos∠BGE=AE

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】∵在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等

∴点A与点B互为相反数

∵点A表示的数为5

∴点B表示的数是-5

故选D.

【分析】在数轴上，位于原点的两侧，且到原点的距离相等的两个数是相反数.2．【答案】B【解析】【解答】0.00129=1.29×10-3

故选B.

【分析】对于绝对值大于0小于1的数表示成科学记数法为：±a×103．【答案】A【解析】【解答】A、用一个平面去截长方体，其截面可能是矩形，因此选项A符合题意；

B、用一个平面去截圆锥，其截面可能是三角形或圆，因此选项B不符合题意；

C、用一个平面去截圆台，其截面可能是圆或梯形，因此选项C不符合题意；

D、用一个平面去截球，其截面只能是圆，因此选项D不符合题意.

故选：A.

【分析】根据长方体，圆锥、圆台、球的形体特征以及用一个平面去截它们所得到的截面的形状逐项进行判断即可.4．【答案】C【解析】【解答】

A、a2与a不是同类项，不能合并，故A错误；

B、a2•a3＝a5，故B错误；

C、6m2n2÷3m2n＝2m2-2n2-1=2n，故C正确；

D、5．【答案】C【解析】【解答】设这个多边形是n边形，则（n﹣2）•180°=900°，解得：n=7，即这个多边形为七边形．故本题选C．【分析】设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．6．【答案】B【解析】【解答】∵关于x的一元二次方程2x2﹣x+m＝0有两个相等的实数根，

∴△=b2-4ac=0

∴1-8m=0

∴m=18

故选B.7．【答案】A【解析】【解答】∵每人出8钱，则多3钱；

∴物品价格为8x-3

∵每人出7钱，则差4钱，

∴物品价格为7x+4

∴8x-3=7x+4

故选A.

【分析】根据等量关系：物品价格=物品价格，列出方程即可.8．【答案】C【解析】【解答】

A、由题意知：OC=OE，DC=DE

∴OB垂直平方EC，

∴点D是CE^的中点，

∴∠DOE=∠AOB=600

∴∠DCE=12∠AOB=300

∵故A正确.

B、由A可知B正确，

故B正确.

C、DE的长为60π×6180=2π，

故C错误.

D、扇形COE的面积为120π×62360=12π9．【答案】2（x﹣1）2【解析】【解答】2x2﹣4x+2=2（x2﹣2x+1）=2（x﹣1）2故答案为：2（x﹣1）2．【分析】先提取2，然后用完全平方公式分解即可.10．【答案】35【解析】【解答】由物理学知识可得：∠BDE=ODC

∵∠BDE+ODC=180°-∠CDE=70°

∴∠BDE=∠ODC=35°

∵DE∥AO

∴∠BDE=∠AOB=35°

故答案为：35°

【分析】由物理中的入射角等于反射角，可以得出∠BDE=ODC，根据平角是180°，求出∠EDB

的度数，再根据两直线平行，同位角相等，求出∠AOB的度数.11．【答案】86【解析】【解答】该面试者的最终成绩为：80×22+4+4+85×412．【答案】<【解析】【解答】∵抛物线的对称轴为直线x=2，且1-2<4-2.

∵a=2>0，开口向上

∴y1<y213．【答案】210【解析】【解答】在Rt△ABC中，AB＝AC，

∠BAE+∠CAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°

∴∠ABE=∠CAF且∠BEA=∠AFC=90°

∴△BAE≅△ACF

∴AF=BE=2

∵点F为AE中点，

∴AE=2AF=4

在Rt△ABE中，AB=BE2+AE2=25

在Rt△ABC中，BC=2AB=210

故答案为21014．【答案】（1）解：原式=32（2）解：解不等式①，得：x>−1解不等式②，得：x≥4所以，原不等式组的解集是x≥4【解析】【分析】

（1）先计算负整数指数幂，开平方，取绝对值，求特殊角的三角函数值，最后进行加减运算即可.

(2)根据解不等式的基本步骤分别解出两个不等式的解集，再根据确定不等式解集的口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式的解集即可.

15．【答案】（1）解：本次调查的学生总人数为8÷20%=40（人）a=40×b=40−6−10−8=16（2）解：选择参加“环境保护”项目的师生有1200×6（3）解：列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，恰好抽到甲、乙两位同学的情况有2种，故恰好选中甲，乙两人的概率为212【解析】【分析】

(1)根据“文明宣传”的人数和百分比先求出总人数，再根据“敬老服务”的圆心角是90°，可以得出a，再算出b即可.

(2)先计算样本中“环境保护”所占百分比，再计算1200名师生参加“环境保护”项目的师生人数.

(3)利用画树状图或列表的方法得出总结果和恰好选中甲、乙两人的结果，再用概率公式可得答案.16．【答案】解：如图，过B'作B'Q⊥MN于点Q，过A作AP⊥B'Q于点P，∵由题可知，四边形BDCE是矩形，

∴BE=CD，BD=CE.

∵AC=152，BC=70.3

∴AE=81.7在Rt△AEB中,s在中，P∴答：后备箱门底端B'到地面MN的距离为195cm。【解析】【分析】通过过B'作B'Q⊥MN于点Q，过A作AP⊥B'Q于点P，构造Rt△AEB，利用AE=AC-BD，计算出AE的长，再根据sin72°≈0.95，计算出AB即得出AB'的长，再通过计算出∠B'AP=30°，算出B'P的长，最后利用B'Q=B'P+PQ，求出B'Q的值.17．【答案】（1）证明：连接CO，BO，

∵∴∠ABC=∠BAC在△AOC和△BOC中，AO=BO∴△AOC≌△BOC∴∠OCB=∠OCA

∵AB∥CD∴∠ABC=∠BCF，∠BAC=∠ACD∴∠BCF=∠ACD∵∠OCB+∠OCA+∠BCF+∠ACD=180°∴∠OCB+∠BCF=90°∴CO⊥CF∵OC是⊙O的半径∴直线CF是⊙O的切线（2）解：设⊙O的半径为r，延长CO交AB于点H∵AC=BC，OA=OB，∴CH⊥AB，AH=BH=∵在Rt△CBH中，tan∠B=3∴HC=9∴OH=9-r在Rt△OBH中，由勾股定理得(∴r=5∴OH=4∵AB∥CF∴△AOH∽△FOC∴AH∵AH=3∴FC=【解析】【分析】（1）连接CO，BO，构造△AOC≌△BOC，得出CO平分∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等和两直线平行，内错角相等，得出∠OCB+∠OCA+∠BCF+∠ACD=180°因而得出CO⊥CF，故直线CF是⊙O的切线.

(2)延长CO交AB于点H，根据等腰三角形三线合一得出CO⊥AB，再由tan∠B＝3，求出HC=9，根据勾股定理求出半径r，最后证明△AOH∽△FOC，利用相似三角形的性质求出CF.​​​​​​​18．【答案】（1）解：∵A(1,∴a=−1+5=4∵A∴k=1×4=4∴反比例函数的表达式为y=联立y=解之，得：x∴点B的坐标为（4，1）（2）解：如图，过点B作BP⊥x轴于点P，则△BMP∽△NMO∴设直线AN的解析式为y=mx+b∵点A(1，4)，N(0，-3)在直线AN上可得：m+b=4解之，得：m=7∴直线AN的解析式为y=7x-3设直线AN与x轴交于点Q，则Q(∴（3）解：如图1，设点C的坐标为(∵点C在反比例函数y=4∴∵点C在第三象限∴点C的坐标为（-2，-2）∵点D与点C关于原点对称∴点D的坐标为（2，2）∵A(1，4)、B(4，1)、D（2，2）∴DA=DB=5过点D作DF⊥AB∵AB的关系式为y=-x+5，D（2，2）∴DF的关系式为：y=x联立∴点F(过点F作FH∥y轴，分别过点A，D作AH⊥FH，DI⊥FH，垂足为H，I.∵∠DIF=∠FHA=∠DFA=9过点A作∠EAC=∠DAB，取AC的中点为点G，过点G作EG⊥AC与AE交于点E，连接EC。∵∠EAC=∠ECA=∠DAB=∠DBA∵点G为AC的中点∴点G(−过点G作PQ//x轴，分别过点A，E作EP⊥PQ，AQ⊥PQ垂足分别为P、Q。∵∠AGE=∠EPG=∠AQG=9∴如图2，过点E作关于直线AC的对称点E'。同理可得△AE'C∽△ADB∴点E综上，符合条件的E点坐标为(−【解析】【分析】

(1)先把A点坐标代入y=−x+5得出a的值，求出A的坐标，再代入反比例函数y=kx求出k；

再联立y=4xy=−x+5，求出B点坐标即可.

(2)过点B作BP⊥x轴于点P，构造△BMP∽△NMO，利用对应边成比例，求出N的坐标，再根据待定系数法求出直线AN的解析式为y=7x-3，最后利用割补法求出△AMN的面积.

(3)由题意求出点C的坐标，根据中心对称的性质得出D点坐标.利用两点间距离公式算出DA=DB=5，过点D作DF⊥AB，过点F作FH∥y轴，求出点F的坐标，分别过点A，D作AH⊥FH，DI⊥FH，构造一线三垂直，利用相似，计算出tan19．【答案】5【解析】【解答】(m−1m)÷m+1m2

=m2-1m·m2m+1

=m-1m+1m·m2m+1

=mm-1

20．【答案】-1【解析】【解答】根据题意得：x+y=32y=2

解得：x=2y=1

因此y-x=1-2=-1.

故答案为：-1.

【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.根据元素Cu和H的数量不变，可列出21．【答案】9【解析】【解答】

此图形共有25个小正方形，且飞镖落在每个小正方形的可能性是相等的，其中阴影部分是9个小正方形，所以任意投掷飞镖1次假设每次飞镖均落在游戏板上），击中有颜色的小正方形(阴影部分)的概率是925.

【分析】本题考查几何概率，理解几何概率的定义，可知击中阴影部分的概率是22．【答案】8−x【解析】【解答】在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=22+42=25

由翻折可知：ED=EC，FD=FC，∠EFC=∠EFD，∠EDF=∠ACB=90°

∴∠EDG+∠FDG=90°，

又∵∠EDG+∠ADE=90°

∴∠ADE=∠GDF

∵∠A+∠B=90°，∠B+∠G=90°

∴∠A=∠G

∴△ADE∽△GDF，

∴ADDG=DEDF=AEFG

∵tanA=tanG

∴DBDG=BCAC=12

∴DBBG=55，BG=x+2

∴BD=55x+2，DG=2BD=255x+2

∴23．【答案】2；21【解析】【解答】

（1）由题可知，点D(a，a)在直线y=x上移动，点C'在直线y=-1上运动，如图，当C'在点A的正下方时，C'A⊥直线y=-1，垂足为C'时，AC'距离最小，这时最小值为2

故答案为：2.

(2)当A'在⊙O上时，CC'最小，接OA'，过点A'作AE⊥x轴于点E，过点B作BE⊥x轴垂足为M，且交BC的延长线于点F，由题意可知：点A'在直线y=-2上运动，因此A'E=2，

又∵⊙O的半径是4，∴AO=4

在Rt△A'OE中，OE=A'O2-A'E2=42-22=23

又∵A'，B'之间的水平距离为1

∴EM=1，OM=23-1

∵C（﹣1，2），∴CF=OM+1=23-1+1=24．【答案】（1）解：设每本乙种图书的进价为x元，每本甲种图书的进价为(x+25由题可得：2600解得：x=40经检验x=40是原分式方程的解∴x+25=65答：每本甲种图书进价65元，每本乙种图书进价40元（2）解：设能购买y本乙种图书，由题可得：20×65+40y≤2000解得：y≤∵y为正整数∴y的最大值为17答：最多还能购买17本乙种图书。【解析】【分析】

（1）设每本乙种图书的进价为x元，每本甲种图书的进价为(x+25)元，根据等量关系：2600元购买甲种图书的数量与1600元购买乙种图书的数量相同，列出2600x+25=1600x并求解即可.

(2)设能购买y本乙种图书，根据不等量关系：购买20本甲种图书和若干本乙种图书的费用25．【答案】（1）解：∵抛物线对称轴为x=1，A(-2，0)∴B(4，0)设抛物线解析式为y=a∵抛物线与y轴交点为(0，4)∴a=−∴抛物线解析式为y=−（2）解：∵DF∥y轴，设点F的坐标为（m，-m+4）∴点D的坐标为(m∴DF=(−过点F作FG∥x轴∵CE=3EF∴设CE=3k，EF=k，则CF=4k.∵△CGF，△DEF是等腰直角三角形∴CG=GF=2∴GF=2DF∴m=2(−解之，得m∴DF=（3）解：设直线CP的解析式为y=k1联立y=解得,x=联立∴k1∴又∵∴同理，联立y=可得，1∴xB⋅xQ=−8k∴∴∴△OCS的面积是定值，且定值为4。【解析