2023届高考数学特训营第1节-函数的概念及其表示

第二单元第1节函数的概念及其表示2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养1.建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系.2.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.3.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；4.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)1.函数的定义域数学抽象数学运算直观想象2.函数的解析式3.分段函数0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练1．函数设A，B是两个_____________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中________的一个数x，在集合B中都有___________的数f(x)和它对应，称为从集合A到集合B的一个函数___________，记作y＝f(x)，x∈A.非空的数集任意唯一确定f：A→B2．函数的有关概念及表示自变量函数值{y|y＝f(x)，x∈A}定义域对应法则值域定义域对应法则解析法列表法[探究]

函数关系是一种怎样的对应关系？点拨：可一对一，多对一，但不能一对多．[探究]

如何根据函数的不同表示求函数的定义域？点拨：(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．[注意]

求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的_________，这样的函数通常叫作分段函数．[思考]

分段函数是一个函数吗？点拨：分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．对应关系[注意]

关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．1．[知识拓展]常见函数定义域的类型2．[思想方法]求抽象函数定义域的方法口诀助解定义域，是何意，自变量，有意义；分式分母不为零，对数真数只取正；偶次根式要非负，三者结合生万物；和差积商定义域，不等式组求交集；抽象函数定义域，对应法则内相同．3．[知识外延]函数的新定义问题函数新定义问题的一般形式：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题．[解题策略]①理解定义：深刻理解题目中新函数的定义、新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．②合理转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或将新函数转化为已学函数的复合函数等形式解决问题．③特值思想：如果函数的某一性质(一般是等式、不等式等)对某些数值恒成立，那么通过合理赋值可以得到特殊函数值甚至是函数解析式，进而解决问题．1．[易错诊断]下列所给图象是函数图象的个数为(

)

A．1 B．2C．3 D．4解析：图象①关于x轴对称，当x>0时，每一个x对应2个y，图象②中x0对应2个y，所以①②均不是函数图象；图象③④是函数图象．B【易错点拨】直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点，如果有两个交点该图象就不是函数的图象，本题不能正确理解函数的定义导致错误．

B答案：(0，1)∪(1，e]答案：202能力特训特训点1特训点2特训点3答案：(0，＋∞)特训点1函数的定义域【自主冲关类】

B答案：[－2，1)∪(1，2020][锦囊·妙法]函数定义域问题的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)抽象函数：应用整体法推理求解(具体方法见：知识特训→拓展链接→2.思想方法)．(4)已知函数的定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式或方程，然后求解．(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．特训点2函数的解析式【师生共研类】

(3)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，

①得f(x)＋2f(－x)＝2－x.

②由①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，◎思维发散◎1．(变条件)本例(2)中，若已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，

求函数解析式的4种方法及适用条件(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数，且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．解：(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t，∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]，即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]．

(4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，

①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，

②由①②解得f(x)＝3x.

特训点3分段函数【多维考向类】B

求分段函数的函数值的步骤(1)确定要求值的自变量所在区间．(2)代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止．提醒：①自变量的值不确定时，必须分类讨论；②求值时注意函数奇偶性、周期性的应用；③出现f(f(a))求值形式时，应由内到外或由外向内逐层求值．答案：(－2，0)∪(2，＋∞)解析：当a＝0时，显然不成立．当a>0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时，不等式f(a)－f(－a)>0可化为－a2－2a>0，解得－2<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－2，0)∪(2，＋∞)．答案：2解析：由题意可知，f(x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x<0)和y＝－x2－4x(x<0)的图象的交点个数．由图象知，函数f(x)有2