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文档简介

高等数学简明教程第4版第5章定积分及其应用在科学技术和现实生活的许多问题中，经常需要计算某些“和式的极限”。定积分就是从各种计算“和式的极限”问题抽象出的数学概念，它与不定积分是两个不同的数学概念。但是，微积分基本定理把这两个概念联系起来，解决了定积分的计算问题，从而使定积分得到了广泛的应用。

图5-1如何计算曲边梯形的面积A呢？在前面我们已经作过类似的计算(见第1章第1。2节中的引例2)，方法是拆分区间、近似代替、求和、取极限，计算曲边梯形的面积也采用这种方法。图5-2图5-3

上述两个问题虽然实际意义不同，但解决问题的基本方法和步骤却完全相同，最终都归结为一种特殊和式的极限。对于处理类似这种问题的思想方法，给出一个统一的说法和简单具有代表性的记号，这就是下面要介绍的定积分。

图5-4

图5-5

图5-6

5.2微积分基本公式

5.3定积分的换元法与分部积分法

使用定积分换元积分法时，需要注意的是:(1)换元时，如果积分变量改变了，则积分上、下限必须同时改变，即“换元必换限”。(2)换元时，如果积分变量不变(例如用凑微分法时)，则积分限不变，即“凑元不换限”。(3)所作代换必须满足换元法中所限定的条件。

前面研究的定积分，积分区间有限且被积函数在积分区间上是有界的。但是我们还会遇到积分区间无限或被积函数有无穷间断点的积分，这就是本节所要讨论的问题。5.4广义积分

图5-7

5.5定积分的应用图5-8

图5-9

图5-10图5-11计算平面图形的面积的一般步骤:(1)画出的草图，根据被积函数的特点确定积分变量；(2)求出曲线与坐标轴或曲线间的交点，找出积分的上下限；(3)根据所给公式，求出所求面积。

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5.6提示与提高

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图5-28

课外学习51.在线学习（1）侯氏定理背后的84岁老先生：数学爱我，我爱数学（网页链接见对应配套电子课件）/s/GijDayRte1z1JOaX3vgy6g2.阅读与写作（1）阅读本章“背景聚焦：微积分的发展历程”

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