苏教版高中数学《三角恒等变换》教学设计及习题

第三章三角恒等变换

一、课标要求：

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行

简单的恒等变换.

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三

角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变

换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.

1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；

2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、

余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

3.运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积

公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉

性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应

用.

二、编写意图与特色

1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”,“简单的三角恒等变换”,

在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为

基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；

2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；

3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运

算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、

联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；

4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的

内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、

积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.

三、教学内容及课时安排建议

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时

3.2简单的恒等变换约3课时

复习约2课时

§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、课标要求：

本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式

的特征及作用.

二、编写意图与特色

本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差

公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.

三、教学重点与难点

1.重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并

了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；

2.难点：两角差的余弦公式的探索与证明.

第一课时两角和与差的余弦

教学目标：

掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学

生的数学素质.

教学重点：

余弦的差角公式及简单应用

教学难点：

余弦的差角公式的推导

教学过程：

I.课题导入

在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样

的问题：已知任意角a、夕的三角函数值，如何求a+夕、a—0或2a的三角函数值?即：a+

夕、a一夕或2a的三角函数值与a、夕的三角函数值有什么关系？

H.讲授新课

接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos(a一夕)用a、夕的三角函数来表示的

问题.

在直角坐标系xOy中以Ox轴为始边分别作角a],其终边分别与单位圆交于P/cosa,

sina),P2(cos尸，sin。,则NPQP2=a一八由于余弦函数是周期为2兀的偶函数，所以，我

们只需考虑ga一4＜无的情况.

设向量。=炉1=(cosa,sina),b=0?2~(cosy?,sin/?),则：

ab—Ia|181cos(a—£)=cos(a—£)

另一方面，由向量数量积的坐标表示，有

ab=cosacos/?+sinasi巾

所以：cos(a—/f)=cosacos^+sinasin/f(c)

两角和的余弦公式对于任意的角a、都是成立的,不妨，将此公式中的万用一夕代替,

看可得到什么新的结果？

COS[«—(一£)]

=cosacos(一夕)—sinasin(一£)

=cosacosp—sinasin^

即：cos(a+4)=cosacos4一sinasinq(C<“+#>)

请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系？

(1)这一式子表示的是任意两角a与夕的差a一夕的余弦与这两角的三角函数的关系.

(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.

请同学们仔细观察它们各自的特点.

(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.

(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的利.

不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.

如：求cos15。可化为求cos(45。-30。)或cos(60°—45°)利用这一，式子而求得其值.

即：cos15°=cos(45°-30°)

=cos45°cos300+sin45°sin30°

_^2^/3VZl76+^2

=2'2+2'2=-4~

或：cos15°=cos(60°—45°)

=cos60°cos450+sin60°sin45°

1V2,V3V2V6+A/2

=2・2+2•2=4

请同学们将此公式中的a用]代替，看可得到什么新的结果？

cos(与-a)=cos方cosa+sin^sina=sina

即：cos(2—Q)=sin«

再将此式中的。用方一a代替，看可得到什么新的结果.

cos一(]—Q)]=cosa=sin(a-a)

HP：sin(1—a)=cos«

m.课堂练习

1.求下列三角函数值

①cos(45°+30°)②cos105°

解：①cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°

_y[21A/6->/2

=2'2~2'2=2

②cos1050=cos(60°+45°)=cos60°cos450—sin600sin45°

V2_V5V2V2-V6

.2―2.2=~~

3、

2.若cosacos4=-1,cos(a+尸)=-1,求sinasinQ.

解：由cos(a+夕)=cosacos/?—sinasin^

得：sinasin^=cosacos^—cos(a+.)

31

将cosacos£=—.,cos(a+尸)=—1代入上式可得：sinasin^=^

3.求cos23°cos22°-sin23osin22oW{t.

解：cos23°cos22°—sin23°sin22°=cos(23°+22°)=cos45°=^^

4.若点P(—3,4)在角。终边上，点。(一1，一2)在角夕的终边上，求cos(a+尸)的

值.

解：由点P(—3,4)为角a终边上一点；点。(一1,一2)为角夕终边上一点，

俎3-4.2一.下

倨:cos_5'sina=g；cosp=­§,smp=-§.

cos(a+y?)=cosacos/?—sinasinf)

,3、,岖、4/2小

=(一…(­5)-5X(55=5

121、

5.已知cos(a—£)=百，cos(a+4)=一诃，求：tanatan/?的值.

121

解：由已知cos(a—£)=百,cos(a+夕)=一行

可得：cos(a—4)+cos(a+/?)—七="H

即：2cosacosy?=y1'①

cos(a一4)—cos(a+£)=1

即：2sinasin^?=1②

由②*D得学蜂吟=tanatan/?=#

2cosacosp"11

13

tana-tan^的值为寸.

6.已知cosa—cos夕=T,sin。-sin£=—1,求：cos(Q一4)的值.

解：由已知cosa—cos夕

得：cos2(x—2cosacos尸+cos2夕=；①

由sina—siny?=—1

得：sin%—2sinasin夕+sin%=K②

13

由①+②得：2—2(cosacos^+sinasi邛)=立

13

HP：2—2cos(a—£)=TT

30

59

cos(a—y?)=万

IV.课时小结

两公式的推导及应用.

V.课后作业

课本P%习题1,2,3

两角和与差的余弦

1.下列命题中的假拿㈱是()

A.存在这样的Q和4的值，使得cos（a+/?）=cosacos^+sinasin/?

B.不存在无穷多个a和万的值，使得cos（a+尸）=cosacosjff+sinasin^

C.对于任意的a和夕，都有cos（a+夕）=cosacosy?—sinasin[i

D.不存在这样的。和夕值，使得cos（a+/?）#osacos^—sinasin/?

2.在△ABC中，已知cosAcos^>sinAsinB,则△ABC一定是钝角三角形吗？

s、

3.已知sina+sin/?=»求cosa+cos夕的最大值和最小值.

4.已知：aS（京，华），0G（0,；）,且cos（]—a）=|，sin（与+丑）=-

求：cos(a+jS).

5.已知：a>夕为锐角，且8sa=g,cos（a+万）=—荏，求cos尸的值.

,35

6.在△ABC中，已知sio4=m,cosB=-j-^,求cosC的值.

两角和与差的余弦答案

1.B

2.在△A8C中，已知cos4cosB>sio4sinB,则4ABC一定是钝角三角形吗？

解：•.•在△48C中，...OVCV乃，且4+8+C=?r

即：A+5=TT—C

由已知得cosAcosB-sinAsinBAO,即：cos(A+B)>0

Acos(7T—C)=—cos00,即cosCVO

・・・c一定为钝角

・•・△ABC一定为钝角三角形.

3.已知sina+sin/?=乎，求cosa+cos/7的最大值和最小值.

分析：令cosa+cosQ=x,然后利用函数思想.

解：令cosa+cos/?=x,则得方程组：

cosa+cosQ=x①

<•_U•A返台

sma-bsinp—②

①2+②2得2+2cos(cc—份=』+3

2/—3

cos(a-[))=~~

2x2—3

■:tos(a—)8)I<1,——1<1

解之得：一手Wx〈华

，cosa+cosS的最大值是彳^,最小值是一日士

4.已知:(/，卓)，℃(0,£),且cos(:—a)=1,sin(.+0)=-

求：cos(a+夕).

解：由已知:吟，,)

/3兀71、兀/兀c、

=>—(―彳，-4)~~aG(­]，0)

兀3714

XVcos(彳-a)=《,/.sin(]-a)=-§

[,、ZXV兀、兀ic/兀兀、

由尸£(0,4)=>4+g(I，5)

Xsin+£)=sin[兀+吟+£)]=-sin+£)=一的

TT127T5

BPsin(彳+夕)=古，Acos(1+夕)=古

兀7T

又q+尸)—(4—a)=a+/i

TTTT_

cos(a+4)=cos[(4+/?)—q—a)]

jrjrjrJU

=cos+4)cos—a)+sin+£)sin~a)

53.12.4.33

=EXv5+Ev*(-5)=—而

416

5.已知：a、夕为锐角，且cosa=g,cos(a+4)=一而，求cos尸的值.

解：・：0<af<^,：.0<a+^<7r

由cos(a+4)=—,得sin(a+夕)=||

X,.*cosa=-,sina="

/.cosy?=cos[(a+4)—a]

=cos(a+4)cosa+sin(a+4)since

评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.

35

6.在△ABC中，已知sin>4=m,cos8=w,求cosC的值.

分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.

解：由sinA=|<半知0°<A<45°或135°<A<180°,

5112

又8$8=万<2，**•600<B<90°,sinB=y^-

若135。<4<180。则4+8>180。不可能.

4

A0o<A<45°,即cosA=5-

/.cosC=-cos(A+5).

第二课时两角和与差的正弦

教学目标：

掌握S.+〃与S"-®的推导过程及公式特征，利用上述公式进行简单的求值与证明；培

养学生的推理能力，提高学生的数学素质.

教学重点：

两角和与差的正弦公式及推导过程.

教学难点：

灵活应用所学公式进行求值证明.

教学过程：

I.课题导入

首先，同学们回顾一下咱们前面所推导的两角和与差的余弦公式.

首先，我们利用单位圆及两点间的距离公式结合三角函数的定义，推导出了两角和的余

弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式及两个诱导公式，不妨,将cos吗=sinO

中的。用a+B代替，看会得到什么新的结论？

H.讲授新课

一、推导公式

兀

由sinO=cos(2一。)

TTTT

得：sin(Q+夕)=COS—(0+£)]=cos[(]~a)一夕]

JI兀

=cos(2—a)cosjff+sin(,—a)sin夕

X***cos(~~a)=sina,sin—a)=cosa

sinCa+fi)=sinacosyff+cosasiny?

这一式子对于任意的a,夕值均成立.

将此式称为两角和的正弦公式：

S(«+/?＞：sin(a+4)=sinacos^+cosasin/?

在前面，当我们推出两角和的余弦公式Cs6时，将其中的万用一尸代替，便得到了两

角差的余弦公式，这里，也不妨将S夕中的£用一£代替，看会得到什么新的结论？

sin[a+(­£)]=sinacos(一少)+cosasin(一£)

=sinacos夕一cosasin夕

即：sin(a­/?)=sinacosjff-cosasin^?

这一式子对于任意的a,4的值均成立.

这一式子被称为两角差的正弦公式：

S<<,-/；>：sin（a一4）=sina8影一cosasin”下面,看他们的应用.

二、例题讲解

［例1］利用和（差）角公式求75。，15。的正弦、余弦、正切值.

分析：首先应将所求角75。，15。分解为某些特殊角的和或差.

解：sin75°=sin（45°+30°）

=sin45°cos300+cos45°sin300

=返近上啦JV6+V2

=2'2+2'2=4

cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=加彳虫

sin75°而+6

=2+^/3

tan75°=cos750/

sinl5°=sin(45°-30°)

=sin45°cos30°—cos45°sin30°=加4立

或sinl5°=sin(60°-45°)

=sin60°cos45°—cos60°sin45°=

/7_s

或sinl50=sin(90°-75°)=cos75°=^---

cos15°=cos(45°-30°)=cos450cos300+sin45°sin300=*\立

或cos15。=cos(60°—450)立

或cos15°=8s(90°—75°)=sin750—

sin15OV6-V21-

tan15=而巧鬲T2f

［例2］已知sina=§,(^,^),cos/?=—1,g(兀，竽)，求

sin（Q一4），cos

(«+/?),tan(a+夕).

分析：观察此题已知条件和公式Cs+叱Sg",要想求sin(af),）s（a+4），应

先求出cosa,sin/?.

27C

解：由sina=?且(受，江)

得:cosa=­，1—sin%=一勺L)2=―乎；

33TT

又由cos^=一：且彼£(九，y)

得:sin^9=—y［1—cos2/?=—^1—4)2

sin(Q一4)=sinacos/?—cosasinfi

23

-x-)-(一~6~\35

3(-43DV47

H-12

)n1M

s-^p

(aV35C03S

(--2

O一S-sxl

()G4)-V473^5+2^7

3(-

12

由公式S(a+/可得

-6+4

sin(a+4)=

12

..sin(a+夕)

..1an(a+6)=---:~।“、

cos(a+p)

一6+而一32小+27也

-34+2市一17

in.课堂练习

.十、丁tanasin(a+6)+sin(a一1)

1•求证：丽

sin(a+4)—sin(a一4)

(sinacosH+cosasin.)+(sinacosQ-cosasin夕)

证明：右=

(sinacos夕+cosasin尸)—(sinacos/?-cosasin/?)

2sinacos)gtana

=左.

2cosasin/ytan夕

・•・原式得证.

3cos8=看(45°<B<90°),求sinC与cosC的值.

2.在△ABC中，sinA=g(0°<A<45°),

解：•.•在△ABC中，.*.4+B+C=180。

即C=180°—(A+B)

又；sin4=]且0。<4<45°4

..cosA=~

VcosB=-^且45°<B<90°12

..s]nB=yj

...sinC=sin[180°-(A+B)]

=sin(A+B)=sia4cosB+cosAsin^

35.41263

513^51365

cosC=cosE180°—(4+5)]

[6

=—cos(A+8)=sinAsinfi-cosAcos8=苗

对于练习1这种类型的习题，首先要仔细观察题目的结构，回忆有关公式，认真分析,

一般遵循由繁到简的原则.

对于练习2这种类型的习题，要仔细观察已知角与所求角的关系.做好准备工作，然后

着手求解.

IV.课时小结

在前面推导出的与cos吟-a)=sina的基础上又推导出两公式，即:

sin(ct+4)=sinacos夕+cosasin或(S

sin(a­/?)=sinacos^—cosasiiv?(SQ-夕)

同学们要注意它们之间的区别与联系，从而熟练掌握，以便灵活应用其解决一些相关的

问题.

V.课后作业

课本Ploo习题1，2,3.

第三课时两角和与差的正切

教学目标：

掌握Tf,九°胆的推导及特征，能用它们进行有关求值、化简；提高学生简单的推

理能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.

教学重点：

两角和与•差的正切公式的推导及特征.

教学难点：

灵活应用公式进行化简、求值.

教学过程：

I.复习回顾

sin(a+jff)=sinacosy?+cosasin[i(5<„+/?>)

sin(a一4)=sinacos^ff—cosasinp(S

cos(a+£)=cosacos“一sinasiny?(C<a+^>)

cos(a—£)=cosacos^+sinasiny?(C<„-/)>)

要准确把握上述各公式的结构特征.

II.讲授新课一、推导公式

上述公式结合同角三角函数的基本关系式，我们不难得出:

当cos(a+6)/0时

sin(a+0)sinacos/+cosasin0

tan(a+夕)=

cos(a+“)cosacos夕一sinasin夕

如果cosacos/?/),即cosa/0且cos/J/O,我们可以

将分子、分母都除以cosacos6,从而得到：

tana+tan//

tan(a+")=,

1-tanatan/?

不难发现，这一式子描述了两角a与“的和的正切与这两角的正切的关系.

tang—tan//

同理可得:tan(a—/?)

1+tanatan/?

或将上式中的夕用一夕代替，也可得到此式.

这一式子又描述了两角a与夕的差的正切与这两角的正切的关系.

所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式,

简记为TT.

但要注意：运用公式八塔时必须限定a、B、a土夕都不等于5+kn(YZ),因为tan

吗+kn)不存在.

下面我们看一下它们的应用

二、例题讲解

［例1］不查表求tan75。，tanl5。的值.

解：tan75°=tan（45°+30°）

tan45()+tan30°

1—tan45°tan300

tanl50=tan（45°-30°）

tan45°—tan30°3「

=l+tan45°tan30°=2-yJ3

1+3

［例2］求下列各式的值

tan710—tan2601—tan%。

1）l+tan71°tan26°⑵tan75（）

⑴分析：观察题目结构，联想学过的公式，不难看出可用两角差的正切公式.

皿tan71°—tan26°/、

解：l+tan71（）tan260=tan（71°-26。）=tan45°=l

⑵分析：虽不可直接使用两角和的正切公式，但经过变形可使用之求解.

解：由tanl50°=tan（75°+75°）=［、⑦"jo

1—tan75

/1—tan%。_1—tan%。

得：tan75l）=2'2tan75（）

=2.［a」50。=2cotl500=2cot（180°-30°）=-2cot30°=-273

说明：要熟练掌握公式的结构特征，以灵活应用.

［例3］利用和角公式计算善需的值.

分析：因为tan45o=l,所以原式可看成詈乎%1写i

1—tan45tan15

这样，我们可以运用正切的和角公式，把原式化为tan（45。+15。），从而求得原式的值.

解：Vtan45°=l

1+tanl5°tan45°+tan15°

=tan(45°+15°)=tan60°=V3

**1—tan15°1—tan45°tanl5°

说明：在解三角函数题目时，要注意“1”的妙用.

［例4］若tan（a+夕）=1,tan,求tan（。+；）的值.

7TTT

分析：注意已知角与所求角的关系，则可发现（a+t）+（夕一彳）=a+。,所以可

IT7T7T

将仪+彳化为（a+Q—（月一彳），从而求得tan（。+］）的值.

JTTT

解：tan（a+w）=tan［（。+•）一邛一工）］

tan(Q+S)-tan(夕一£)

71

1+tan(Q+夕)tan(口一^)

2

27rl5~43

将tan(a+4)=g,tan(4一工)=^代入上式，贝小原式=5―T=2^

1+G9

12

[例5]已知tana=],tan(a一夕)=-g,求tan(少一2a).

解：Va+(a—fi)=2a—B

.".tan(夕一2。)=tan]—(2a一夕)]

=­tan(2a-/7)=—tan[a+([一4)]

一+(——)

tana+tan(夕一夕)25_1

tanatan(a—£)—11212

/x(-彳)-1

x_____2sinx

4.证明tanytan2cosx+cos2x

分析：细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：y3x+fX=2r,f3_r-fx=x

3xx3xx

二・sinx=sin宁cos'_cos卞sin]①

3xx

cosx+cos2r=2cos5cos,②

①党即得：

3JVx

八.sinTTsinz

2sinr223_rx

=tan^--tan^.

cosx+cosZx3Xx

cos~^~cos/

IH.课堂练习

1.化简下列各式

tana-tan/?

(l)tan(a+少)•(1—tanatan/?)⑵tan(a-Q

tan(a-夕)+ta叨

(3)1—tan(a—£)tany?

解(1)tan(Q+夕)(1—tanatan/?)

tana+tanjfi/八.

=7--------、(1-tanatanp)=tana+tan。

1—tanatanpr

tana-ta印tana-tan^?

⑵tan(a-/?)tana-tan/?=1+tanatan/?-1=tanatany?

1+tanatany?

tan(<x—5)+tan5「/.,..

(3)------~r一一不---f,=tan[(a—/?)+£]=tana

'，1—tan(Q一夕)tan5/7

说明：这一题目若将tan（a-分用两角差的正切公式展开，则误入歧途，要注意整体

思想.

2.求值：

tan350+tan25°tan860-tan260

(,

⑴1—tan35lan25°⑵1+tan86°tan26°

(3)tan21°(l+tan24°)+tan24°

解：(1)「唱=tan(35°+25°)=tan60°=g

1—tan35tan25

tan86()—tan26°,、厂

(2)l+tan860tan260=tan(86。—26。)=tan60°=邛

/、tan45°—tan24°

(3)分析：因为tan21°=tan(45。-24。)=干甫前

又因为tan45°=1

所以，1+tan24°=1+tan45°tan24°

这样，可将原式化为：

tan(45°-24°)(1+tan45°tan240)+tan24°

从而求得原式的值.

解：tan210(l+tan24°)+tan240

=tan(45°-24°)(l+tan450tan240)+tan24°

tan45°—tan240

=l+tan45°tan24°(】+tan45°tan24。)+tan24°=l

w.课时小结

正切的和、差角公式以及它们的等价变形.

口r,I八、tan«±tan/?

即：tan(a土用)=—厂匕方

「1+tanatanp

Tana±tan/?=tan(0±4)[1+tan«tan^]

入tana孑ta叨

l,tanatan片lanatanS

这些公式在化简、求值、证明三角恒等式时都有不少用处.

V.课后作业

课本Pios习题1，2,3,4

3.2简单的三角恒等变换（3个课时）

一、课标要求：

本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中

的应用.

二、编写意图与特色

本节内容都是用例题来展现的.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、

分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及

变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提

高学生的推理能力.

三、教学目标

通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程

中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使

用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.

四、教学重点与难点

教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式

的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三

角变换的特点，提高推理、运算能力.

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高

从整体上把握变换过程的能力.

五、学法与教学用具

学法：讲授式教学

六、教学设想：

学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的

内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台

第四课时两角和与差的余弦、正弦、正切（一）

教学目标：

掌握S“步”C坳及的灵活应用，综合应用上述公式的技能；培养学生观察、

推理的思维能力，使学生认识到事物间是有联系的，培养学生判断、推理的能力、加强化归

转化能力的训练，提高学生的数学素质.

教学重点：

S（《±夕，C（以邛），T（a3）的灵活应用.

教学难点：

灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明.

教学过程：

I.复习回顾

请同学们回顾一下这一段时间我们一起所学的和、差角公式.

sin（a±/D=sinacos在土cosasin以S<&±夕）

cos（a±£）=cos«cos^+sin«sin^（C<„^；>）

tana±tan/?

tanQa±Q（T<吗?>）

1+tanatan/

n.讲授新课

这三个公式即为两角和（差）公式.下面请同学们思考这一组公式的区别与联系.苜先，可

考虑一下这组公式的推导体系.

我们为推导这组公式先引入平面内两点间距离公式，然后利用单位圆，三角函数的定义,

最先推导出余弦的和角公式C然后按如下顺序推导其余公式：

C<4+〃—>c9—S"—>S"-伊―T"+#>—>T<&-#）■

它们又有什么内在联系呢？

下面，结合例题来看一下如何灵活运用这组公式：

sin（a+0）sinja-£）

［例1］求证，

sin-ctcosptan-a

分析：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”

也是在三角式的变换中经常使用的方法.

(sinacos^+cosasinS)(sinacos£—cosasin£)

证明：左边=

sin2acos2^

sin2acos2/?—cos2asin25cos%sin2£tan%.、.

---------六_^7=1—------57-1-~：~2=右边,

sinacosp---------smacosptana

，原式成立.

cos%sin2£sin%cos%—cos%sin》

或：右边

=1sin2acos2^sin2acos2/7

(sinacos£+cosasin£)(sinacos£—cosasin/?)

sin%cos%

sin(a+@sin(仪一夕)

=左边工原式成立.

sin2acos2/?

［例2］已知sin£=m・sin(2。+4)，求证：tan("+夕)=j_mtana

分析：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的

2a+p可化为结论式中的a+fi与«的和，不妨将a+4作为一整体来处理.

证明：由sin夕=msin(2。+6)

=>sin[(a+p)—a]=msin](a+少)+a]

=>sin(a+夕)cosa—cos(a+4)sina

=m[sin(a+夕)cosa+cos(a+4)sina]

=>(1-m)-sin(a+尸)cosa=(1+m)-cos((z+夕)sina

1+w

=>tan(a+。)----tana

评述：此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成

证明.

[例3]tan700+tan500-V3tan50°tan70°的值.

分析：观察所求式子，联想有关公式注意到它的变形式：

tana+tan/?=tan(«+/?)(1—tanatan^).运用之可求解.

解：原式=tan(700+50°)(l-tan70°tan50°)一，5tan50°tan70°

=一审(l-tan70°tan500)一事tan50°tan70°

=一3+73tan70°tan50°-V3tan50°tan70°=-73

.♦•原式的值为一小.

川.课堂练习

1.化简下列各式：

(l)cos(a+()cos^+sin(.+()sin夕

-sin2xsinx+cosx

——sinx-cosx

cosxtanx—1

解:(l)cos(a+()cos夕+sin(a+夕)sin夕

=cos[(a+4)一尸]=cosa

这一题可能有些学生要将cos(a+B)与Sin(a+“)按照两角和的正、余弦公式展

开・，从而误入歧途,老师可作适当提示，让学生仔细观察此题结构特征，就整个式子直接运

用公式以化简.

入sin2xsinx+cosx

(2)----------5---——sinx-cosx

S1DX—COSXtanx~1

sin4sinx+cosx

一:-sin%—cosx

sinx-cosx

(—)2-l

cosx

sin'cos%(siar+cosx)

—(siru+cosjc)

sinx-cosxsin-x-cos-x

•22

sinx-cosx

(sinx+cosx)=0

sinx-cosx

这一题目运用了解三角函数题目时常用的方法“切割化弦”.

2.证明下列各式

sin(a+夕)tana+tan/?

(1)cos(a—£)1+tanatan夕

(2)tan(a+S)tan(a一夕)(1—tan2atan2/?)=tan2«—tan2^

…sin(2a+S)~,,八、sin£

⑶s.n/--2COS(a+。)T

sina_^_sin/?

cosacos夕sinacos夕+cosasin/

证明：（1）右边=

l卜sinnsin。cosotcos/?+sinasi叨

cosacosy?

sin(a+fi)

=左边

cos(a一尸)

(2)左边=tan(Q+4)tan(«—/?)(1—tan2c(tan2^)

tana+ta叨tana—tan/?

--------------*1-x-------------1-x(1—tan2«tan2/?)

1—tanatan^1+tanatan£

tan2a+tan2/?

(1-tan2atan2)ff)

1-tan2atan2/?X

=tan26(—tan2^=右边

(3)左边=型(a+仍+㈤-2cos(a+Q

sin(a+B)cosa+cos(a+/)sina—2cos(a+£)sina

sin。

sin(a+4)cosa-cos(a+4)sinasin[(a+/)-a]

sinasina

sin0

=右边

since

3

3.(1)已知sin(a+45°)=§,45°<a<135°,求sina.

⑵求tan11°+tan340+tan11°tan34°的值.

解：(l)V45°<a<135°,A90o<a+45°<180°

34

又...sin(a+45°)=5,Acos(a+45°)=-5

Asina=sin[(a+45°)—45°]

=sin(a+45°)cos45°-cos(a+45°)sin45°

=3V2.4返空

一52丁52—10

这题若仔细分析已知条件，可发现所给a的取值范围不能确定cos«的取值，所以需要

将a化为(a+45。)-45。，整体运用a+45。的三角函数值，从而求得sina的值.

(2)tan110+tan340+tan11°tan34°

=tan(ll°+34°)(1-tanll°tan34°)+tanll°tan34°

=tan45°(l-tanll°tan34°)+tanll°tan34°

=1-tanll°tan340+tanll°tan34°=1

注意运用公式的等价变形式.

IV.课时小结

通过本节学习，大家应初步掌握和、差角公式的基本运用.

V.课后作业

课本Pio65,6,7,8

第五课时两角和与差的余弦、正弦、正切(二)

教学目标：

熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，理解公式:asine+bcos®=q7而

,sin0=号-，。为任意角)，灵活应用上述公式解

sin(6+(p)(其中coscp

■\la2+h2\]a-+b-

决相关问题；培养学生的创新意识，提高学生的思维素质.

教学重点：

利用两角和与差的正、余弦公式将asin8+灰:os6形式的三角函数式化为某一个角的三角

函数形式.

教学难点：

使学生理解并掌握将asinG+bcos。形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式，并

能灵活应用其解决一些问题.

教学过程：

I.复习回顾

同学们，观察这些关系式，不难看出这是我们前面所推导出的两角和与差的正余弦公式

的倒写形式.有时，直接利用这种形式可使问题简化，这节课，我们就来探讨一下它的运用.

II.讲授新课

［例1］求证cosa+布sina=2sin哈+a)

兀兀兀

证明：右边=2sin(%+