苏教版高中数学必修四说课稿

苏教版高中数学

必修四

全册说课稿

第一章三角函数

1、1任意角和弧度制

一、教材说明：

本节任意角和弧度制选自必修四第一章第一节

二、三维目标

(一)知识与技能

(1)了解正、负角与零角的相关定义；

(2)根据图形写出角及根据终边写出角的集合；

(3)了解弧度制；

(二)过程与方法

(1)培养学生数型转化的思想；

(2)训练学生思维活跃性，能够举一反三；

(3)培养学生思维的抽象与具体转化的过程；

(三)情感态度与价值观

(1)增强学生观察生活中事物的规律能力；

(2)在老师的引导下建立数学模型，把数学运用到生活中去；

三、教学重难点

(-)重点

(1)根据图形写出任意角度数；

(2)根据已知图形终边位置写出该终边所表示的角的集合；

(-)难点

根据终边写角的集合

(三)教学设计

(1)情境设计

(2)教学过程

(3)给出相关定义

(4)举出例题，深化正负角定义

(5)提出要点

(6)提出关于终边相同，写出所有角所在集合

(7)通过练习(教师引导，并作为主体练习)，能够独立进行习题练习

(8)学生自主练习、教师个别指导、师生互动

(9)习题讲解

(10)归纳总结

(11)引出下堂课知识点：弧度制

(12)布置作业

四、教学过程

(一)创设情境

(1)墙上挂钟，在某段时间内，指针转过角度；

(2)当手表不准时，我们旋转指针使之准时，这是指针转过的角度是多少？

方向如何？

(二)揭示课题

(1)1、1任意角和弧度制

(2)1、1、1任意角

(三)复习旧知识

顺时针、逆时针

(四)给出例题

(1)当指针快速顺时针由“12”调至“6”，指针转过多少度？

(2)指针由“6”又调回到“12”是，转过角度如何？方向又怎样呢？

(五)给出正角、负角定义

(1)正角：逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

(2)负角：顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

(六)注意要点

如果一条射线没有做任何旋转，则称它为零角。

(七)复习旧知识

(1)0°-180°内所有角

(2)周角

(3)平角的整数倍所有角

(A)新知识

(1)任意角的表示方法；

(2)判断当角的始变何种变相同时，角度是否相同。

(九)给出任意角及象限角概念

注意角的终边在轴上不叫做象限角。

(十)随堂练习

根据图形写角的度数。

(十一)拓展延伸

(1)所有与a终边相同的角，连同角a在内，构成一个集合

S={p|p=a+K-360°,Kez}

任一与角a终边相同的角都可以表示为角a与整数个周角的和。

(2)习题

y

Z1=90°,Z2=9O°+360°=540°,以y轴正半轴为终边角的度数为90°

+K-360°

Z3=120°,z4=120°+360°=480°，以120°为终边的度数可表示为120°

+K-360°

终边在y轴上的集合S

Si={pI6=90°+K-360°,K£Z}

S2={p|p=270°+K-360°,K£Z}

••.S=SiUS2={pI6=90°+K-180°,K£Z}

(3)总结

①终边在y轴上角的集合：S={BIB=90°+K-180°,KeZ}

②终边在x轴上教的集合：S={BIP=K-180°,KGZ}

③第一象限角的集合：S={BIK-360°<p<90°+K-360°,KeZ}

={BI2KJT<P<^+2KK,KeZ}

④第四象限角的集合：S={6I-900+K-3600<p<K-360°,KeZ}

={0|--+2KK<P<2KK,KGZ}

2

⑤终边在直线y=x上角所组成的集合：S={0|p=45°+K-180°,KeZ}

(十二)布置作业

(1)P5第3,4,5题；

(2)补充题：写出终边在二、三象限角的集合；

写出终边在y=^x上角的集合。

五、板书设计

1、1任意角与弧度制一、例题

1、1、1任意角

三、定义

正角：.....

负角：.....

注：（零角）.....

四、集合表示角

yX

X

六、流程示意图

新知讲解

开门见山，给出定义

任意角、终边相同的集合

师生共同总结、共同进步

<<任意角的三角函数》说课稿

深圳育才中学骆恒勇

各位同仁，各位专家：

我说课的课题是<<任意角的三角函数〉〉，内容取自苏教版高中实验教科书

《数学》第四册第1.2节

先对教材进行分析

教学内容：任意角三角函数的定义、定义域，三角函数值的符号.

地位和作用：任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念对三角内容的整体

学习至关重要.同时它乂为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，通过

这部分内容的学习，乂可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。所以这个

内容要认真探讨教材,精心设计过程.

教学重点：任意角三角函数的定义

教学难点：正确理解三角函数可以看作以实数为自变量的函数、初中用边长比值

来定义转变为坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及坐标定义的合理性的

理解；

学情分析：

学生已经掌握的内容，学生学习能力

1.初中学生已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些

常见的知识和求法。

2.我们南山区经过多年的初中课改，学生已经具备较强的自学能力，多数同学对

数学的学习有相当的兴趣和积极性。

3.在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强必须在

老师一定的指导下才能进行

针对对教材内容重难点的和学生实际情况的分析我们制定教学目标如下

知识目标：(1)任意角三角函数的定义；三角函数的定义域；三角函数值的符号，

能力目标：(1)理解并掌握任意角的三角函数的定义；

(2)正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；

(3)通过对定义域，三角函数值的符号的推导，提高学生分析探究解决问题的

能力.

德育目标：(1)学习转化的思想，(2)培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

针对学生实际情况为达到教学目标须精心设计教学方法

教法学法:温故知新，逐步拓展

(1)在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步一步扩展内容，发

展新知识，形成新的概念；

(2)通过例题讲解分析,逐步引出新知识,完善三角定义

运用多媒体工具

(1)提高直观性增强趣味性.

教学过程分析

总体来说，由旧及新，由易及难,

逐步加强，逐步推进

先由初中的直角三角形中锐角三角函数的定义

过度到直角坐标系中锐角三角函数的定义

再发展到直角坐标系中任意角三角函数的定义

给定定义后通过应用定义乂逐步发现新知识拓展完善定义.

具体教学过程安排

引入：复习提问：初中直角三角形中锐角的正弦余弦正切是怎样定义的？

由学生回答

SinA=对边/斜边=BC/AB

cosA=对边/斜边=AC/AB

tanA=对边/斜边=BC/AC

逐步拓展:在高中我们已经建立了直角坐标系，把“定义媒介”从直角三角形改

为平面直角坐标系。

我们知道，随着角的概念的推广，研究角时多放在直角坐标系里，那么三角函数

的定义能否也放到坐标系去研究呢？

引导学生发现B的坐标和边长的关系.进一步启发他们发现由于相似三角形

的相似比导致0B上任一P点都可以代换B,把三角函数的定义发展到用终边上任

一点的坐标来表示，从而锐角三角函数可以使用直角坐标系来定义，自然地，要

想定义任意一个角三角函数，便考虑放在直角坐标中进行合理进行定义了

从而得到

知识点一：任意一个角的三角函数的定义

提醒学生思考：由于相似比相等,对于确定的角A，这三个比值的大小和P点在

角的终边上的位置无关.

精心设计例题，引出新内容深化概念,完善定义

例1已知角A的终边经过P(2,-3),求角A的三个三角函数值

(此题由学生自己分析独立动手完成)

例题变式1,已知角A的大小是30度，由定义求角A的三个三角函数值

结合变式我们发现三个三角函数值的大小与角的大小有关,只会随角的大小而变

化,符合当初函数的定义，而我们乂一直称呼为三角函数，

提出问题：这三个新的定义确实问是函数吗？为什么？

从而引出函数极其定义域

由学生分析讨论，得出结论

知识点二：三个三角函数的定义域

同时教师强调：由于弧度制使角和实数建立了一一对应关系，所以三角函数

是以实数为自变量的函数

例题变式2,已知角A的终边经过P(-2a,-3a)(a不为0),求角A的三个三角函

数值

解答中需要对变量的正负即角所在象限进行讨论，让学生意识到三角函数值

的正负与角所在象限有关，从而导出第三个知识点

知识点三：三角函数值的正负与角所在象限的关系

由学生推出结论教师总结符号记忆方法,便于学生记忆

例题2：已知A在第二象限且sinA=0.2求cosA,tanA

求cosA.tanA

综合练习巩固提高，更为下节的同角关系式打下基础

拓展，如果不限制A的象限呢,可以留作课外探讨

小结回顾课堂内容

课堂作业和课外作业以加强知识的记忆和理解

课堂作业P161,2,4

（学生演板，后集体讨论修订答案同桌讨论，由学生回答答案）

课后分层作业（有利于全体学生的发展）

必作P231(2),5(2),6(2)(4)选作P233,4

《三角函数的图像与性质》说课稿

尊敬的各位评委老师大家好。我今天说课的题目是《三角函数的图像与性质》激

发学生的学习兴趣，培养创新思维是新教材所倡导的理念之一。我设计本节课的

关键是让学生参与知识的形成过程，成为学习的主人。下面我从教材分析、

教材处理、教法分析、学法指导，以及教学过程五个方面对本节课的设计加以说

明。教材分析本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书必修4第一章第四节

第一课时的内容。是在学习了任意角和弧度制、任意角的三角函数、三角函数的

诱导公式的基础上，对三角函数的进一步探索和研究，是一类与其他函数有很多

共性但又有独具特性的一类函数，并却通过本节课的学习对培养学生的观察分析

能力、作图读图能力、类比联想能力、归纳概括能力有着重要的作用。鉴于此。

我认为通过本节课的教学应达到如下的目标：知识与技能：掌握正弦函数图像的

作法；理解并掌握五点法做图过程与方法：先以动手操作的形式激发学生的探究

兴趣，再通过分析动态演示正弦曲线的形成过程，让学生领会数形结合的数学思

想方法。情感态度和价值观：使学生体验探究的乐趣，培养学生善于观察勇于探

究的良好习惯和严谨的科学态度，同时也能够促进师生间的教学相长。根据学生

的认知水平及教学目标，我将本节课的重点确定为：正弦函数的图像画法

难点为：正弦函数与余弦函数图像间的关系。

教材处理：教学应体现学生较深层次的思维过程，

应创设促进学生主动参与的教学情境,

以激发学生的学习兴趣，使学生变被动的接受知识为主动参与的探究过程。

为此，我在导课和探究的过程中加入了一些动手操作的环节，

使学生能层层深入，感受数形结合在实际问题中的应用。

教法分析：

本节课在教法上我采用：以激趣设疑为中心，以导思释疑、变式训练、归纳

升华为途径，创设一种“独立思考”、“自觉求异”、“探索求知”的环境，使学生

在动中求变、变中求规。为了激发学生的学习兴趣，突出重点突破难点，提高教

学效率，我采用了多媒体辅助教学。学法指导：授人以鱼，不如授人以渔，

教师的教并是单纯的知识传授，更应该教会学生如何去学。结合学生的实际情况,

精选例题，深挖教材.，进行变式训练，使学生的思维不停留在某一程序或模式上,

让学生形成独立、自主、富有个性的学习习惯。通过设计有梯度的问题激励学生,

培养学生克服困难的毅力和信心。在教学中，分组交流培养学生合作意识和

团队精神。下面我从激趣设疑，导思释疑，变式训练，归纳升华，信息反馈五个

方面重点说一下教学过程

(一)

激趣设疑：为了使学生对三角函数图像有一个直观的认识，拿出课前准备好的

沙漏装置，让学生亲自动手操作演示，体验物理简谐运动的“正弦曲线”“余弦

曲线”的生成过程，极大的调动了学生的学习兴趣和参与热情，继而提出一个

问题：如何通过我们新学的三角知识画出正弦函数的图像呢？带着疑问进入下

一个环节。

(-)

导思释疑：本环节是探索新知的过程。画出函数图像是研究函数性质的前提。

通过前面的学习，同学们已经非常清楚每一个角的正弦值可以通过单位圆中的

三角函数线给出，那么将每一个角的正弦线平移到坐标系中对应的角的位置上

就能得到丫=$也**€[0,2外抛出移每一个角，小组讨论解决办法；将单位圆

分割取特殊角。随之抛出问题二：画如何分割更合理？十二等分。问题三：如

何实现绘图：描点、平移、连线成图。通过教师环环相扣的引导的过程，把学生

的思维引向深入，在探究合作中完成了

正弦曲线的思考过程。为了展示我们的思维过程，更好的提高课堂效率，借助现

代多媒体技术手段，用几何画板迅速的展示了平移的动态生成过程、

利用这种动态演示功能，可以帮助学生发现图像的特点，观察函数变化过程，这

对学生认识三角函数的性质很有好处。画面上作图的痕迹已经消失，最后抽象为

Y=sinX,x€[0,2]图象，从而发现五点法作图的简单性、科学性、合理性。

三角函数与学过的其它函数相比较，最突出的独特性，就是它的“周而复始”性。

通过前面的学习sin（x+2k）=sinxx€R。学生已经从“数”上认识了这种

“周而复始”性的变化规律，那么本节课却从“形”上更好的认识了这样的“周

而复始”性.，从而把图像得以延伸到定义域R上。为了给学生更大的自主学习空

间，课堂上通过两个“探究”引导学生利用正弦函数与余弦函数的联系，在正弦

曲线的基础上，通过图像变换作出余弦曲线，放手让学生独立思考，自主活动，

通过自己的探究得出余弦曲线。这样处理，一方面是为了降低难度，另一方面也

可以加强正弦函数与余弦函数的联系。

（三）变式训练

:为了跟好的理解和应用“五点法”做图，完成练习一。画出

Y=l+sinX,Y=-cosX在（0,2）上的图象。变式训练：画出

Y=sinX-lY=-cosX+2在（0,2）上的图象，为后面学习图象变换埋下伏笔。

四、归纳升华：最后有学生从基础知识、思想方法两个方面进行总结，不但能培

养学生

归纳、概括和语言表达能力，同事能偶达到将本节课知识进行引申和升华的目的。

五、信息反馈：为了及时了解学生对知识的掌握情况，根据学生的自然情况分层

设计了两组作业：

1、基础作业：教材P34检查教学效果。

2、提高作业：

P46拓展学生数学思维。

第二章平面向量

2.1向量的概念及表示（说课稿）

【教学目标】

1.知识目标：

①能理解向量的概念，并能用两种方法表示向量；

②明确向量的长度（模）、零向量、单位向量的概念；

③掌握平行向量、共线向量和相等向量的概念，能根据图形判定向量是否

平行（共线）、相等.

2.能力目标：

培养学生数形结合的能力，学会用类比和分类讨论的方法解决问题的能力.

3.情感目标：

培养学生学以致用的科学探索精神和爱国主义情操.

【教学重点】

1.向量概念的引入，会表示向量.

2.理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念.

【教学难点】

1.“数”与“形”的结合思想

2.平行（共线）向量和相等向量区别和联系.

【教学过程】

-创设情境

二自主学习

概念：

向量的定义：我们把既有又有的量叫做向量.

向量的表示：常用：表示，

记作：,

也可以用小写字母表示.

向量A8的大小称为“"，记作：.

长度（模）方向表示规定

零向量

单位向量

平行向量

相等向量

相反向量a,c

三概念辨析

判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

题组一：①温度含有零上和零下温度，所以温度是向量；

②若Ia1>1b|则a>b；

向量的定义的注意点：_____________________________________________________

题组二：③起点相同的两个非零向量不平行；

④若a〃b,bile,则a//c；

⑤。与/，不共线，则a与力都是非零向量；

向量平行与直线平行的区别：_______________________________________________

题组三：⑥若四边形就力是平行四边形则AB=CO；

⑦若四边形戒9中，AB=DC,则被刀是平行四边形；

⑧若|。|=|卜|且。〃A则；

相等向量的注意点：_______________________________________________________

题组四：⑨单位向量都相等；

⑩共线的单位向量都相等；

单位向量的注意点：_______________________________________________________

题组五：g|a|-|a|=0；

⑫向量的模为正实数.

零向量的注意点：__________________________________________________________

四数学应用

例1.已知0点是的正六边形/况比户的中心，

在图中所标出的向量中：

(1)与EE共线的向量有

(2)与EE相等的向量有

(3)0A与BC是互为向量.

例2.如图，4x5的方格纸中有一个向量AB,分别以图中的格点为起点和终点

作向量，其中(1)与A8相等的向量有多少个？

(2)与AB相反的向量有多少个？

(3)与A8长度相等的共线向量有多少个？

(AB除外)

A

五.课时小结

六.课后作业课本p57习题2.1：1,2,3.

七.任务延伸根据地图，求以南通为起点，黑瞎子岛为终点的向量的模是多少？

方向是什么？

A.课后拓展课本p57习题第5题.

平面向量线性运算

知识梳理：

1.向量的概念：既有大小乂有方向的量叫向量，有二个要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母。等表示；③平面向量的

坐标表示：分别取与X轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底。任作一

个向量由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y,使得

a=xi+y）,（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x,y）,其中尤叫做a在x

轴上的坐标，y叫做W在y轴上的坐标，特别地，

—>—►—>―>I'

i=（1,0）,j=（0,1）,0=（0,0）.|«|=y/x2+y2；若A（王，%）,8（/,为），则

43=区一七,力-必），IA8|=卜/2—二）2+（为一%）2・

3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为（5；②长度为1个单

->

位长度的向量，叫单位向量.（注：多就是单位向量）.

Ia|

4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定6与任一

->—>—>—>—>—>

向量平行.向量a,6,c平行，记作R/R/c,.共线向量与平行向量关系：平行向量

就是共线向量.

5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法.向量加法的三角形法则和平行四边形

法则.②向量的减法向量a加上的〃相反向量，叫做。与人的差。即：

ci—h=Q+(—h),

->—>—>—>—»-»—>

差向量的意义：04=0,。3="则》4=。一人

③平面向量的坐标运算：若a=(xtyi),b=a2,y2),则

—>—>—>

a±b=(%j±x2,y1±y2)a=(&Ay).

-»—>—>—>—>—>—>—>—>—>

④向量加法的交换律：a+h^b+a；向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

—>—>

7.实数与向量的积：实数4与向量a的积是一个向量，记作：2a

(1)12a|=|2||a|；(2)4>0时；与5方向相同；几<0时与之方向相反；

4=0时;lU；

—>—>—>—>—>—»—>—>—>

(3)运算定律4(//a)=(2/z)a,(2+〃)。=%。+//a,4(a+b)=Aa+Ab.

练习：

1.化简，g(2^+筋)—(石一2幼的结果是()

A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b

——>—>—>—»—>—>—>—>

2.已知正方形ABCD边长为L48=4,8。=。,4。=0,则“+8+’的模等于()

A.0B.3C.272D.0

3.已知同=2亚，W=3,5与B的夹角为(，则以0=5"2Bj=4-33为邻边的平行

四边形的一条对角线长为()

A.15B.V15C.14D.16

4.0是AABC所在平面内一点，满足恒-0叫08+0020^,则AABC为()

A、直角三角形B、等腰直角三角形C、斜三角形D、等边三角形

5.已知点C在线段AB的延长线上，且2斤=而，丽则；I等于()

A.3B.-C.-3D,--

33八

6.在△戒中，已知〃是四边上一点，若劝=2密彷=〈方+4滂则入—

O

).

A.|

B-3C-3D--3

O

7.平面上不共线的4个点4B,C,〃.若(用+境一29)・(费一花)=0,则4

戒是().

A.直角三角形B.等腰三角形C.钝角三角形D.等边三角形

->-»—>—>—>

8.向量(48+加8)+(80+80+。加化简后等于()

A.BCB.ABC.ACD.AM

9.在ZXABC中,D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是Z^ABC的重心，

而+赢一标等于()

A.0B.4MDC.4MFD.4ME

10.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C),则4尸()

A.X(AB+AD).Xe(0,1)B.2(AB+BC),Ae(0,-—)C.A(AB-AD).Ae(0,1)

万

D.2(AB-BC).2e(0,—)

2

11.如左图，在ZSABC中，AB=BC=3,ZABC=3(T,4。是边BC上的高，则茄•豆；的

值等于()

A.0B.-C.4D._2

44

—>—>—>—>—>

12.已知向量a=(2,3),。+〃=(1,4),则b在a方向上的投影等于()

A.一晅B.叵C.一巫D,五

13132

13.已知苗=1,OB=y[3,3.而=0,点。在NA08内部，且ZAOC=30°.

设

OC=mOA+nOB{m,nwR),则一=

C.3D.V3

14.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点0,E是线段0D的中点，AE的延长

线与CD交于点F.若就=£,BD=b^\AF=()

11,21,11,12,

—a+—b—a+—b—a+—b—a+—b

A.42B.33C.24D.33

15.。是平面上一定点，A,8,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ARAC

OP=OA+巴+fJ),2e[0,-HX),则P的轨迹一定通过aABC的

\AB\\AC\

A.外心B.内心C.重心D.垂心

16.(文)已知等差数列｛aj的前〃项和为心若/=aioo应+aioi次且4氏C

三点共线(该直线不过点0),则Soo等于.

17.已知*6是非零向量，指出下列等式成立的条件：

①时+网=卜+可成立的条件是；②时+网=,-^|成立的条件是

_________,

③,+4=卜-可成立的条件是;④时-网=,-可成立的条件是

--------------O

.,—»..■«—>

18.已知平面上三点A、B、C满足AB=3,,CA=5,AB-BC+BCCA+CA-AB^_

19.已知4(1,5),8(4,2),直线/:x-y+l=O,直线A6与/交于点P,则点P分Q所成

的比；1=

20.已知是两个不共线的向量，«=2e,-e2,b=key+e2.若a与〃是共

线向量，求实数%的值.

21.如图，平面内有三个向量04、痂、沅，其中与QA与丽的夹角为120°,

C

()

。4与反的夹角为30°,且|3|=|无1=1,|沆'I=2百，若沅=入。4+

口无(入，pGR),求人+u的值.

22.(1)如图,&,0与不共线=用表示0万.

—>—>

(2)设,OA,OB不共线，点P在O,A,B所在的平面内，

->—>—>

OP=(1-t)OAfQB求证：A,8,尸三点共线.

平面向量的坐标运算（说课稿）

北师大附中荣红莉

一、【教材的地位和作用】

本节内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理

有了充分的认识和正确的应用后产生的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中

点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有

着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到

“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何

表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。

二、【学习目标】

根据教学大纲的要求以及学生的实际知识水平，以期达到以下的目的：

1.知识方面：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行

运算。

2.能力方面：数形结合的思想和转化的思想

三、【教学重点和难点】

理解平面向量坐标化的意义是教学的难点；平面向量的坐标运算则是重点。

我主要是采用启发引导式，并辅助适量的题组练习来帮助学生突破难点，强化重

点。

四、【教法和学法】

本节课尝试一种全新的教学模式，以建构主义理论为指导，教师在本节课中

起的根本作用就是“为学生的学习创造一种良好的学习环境”，结合本节课是新

授课的特点，我主要从以下几个方面做准备：（1）提供新知识产生的铺垫知识

（2）模拟新知识产生过程中的细节和状态，启发引导学生主动建构（3）创设新

知识思维发展的前景（4）通过“学习论坛时间”组织学生的合作学习、讨论学

习、交流学习（5）通过“老师信箱时间”指导解答学生的疑难问题（6）通过“深

化拓展区”培养学生的创新意识和发现能力。

整个过程学生始终处「交互式的学习环境中，让学生用自己的活动对已有的

数学知识建构起自己的理解；让学生有了亲身参与的可能并且这种主动参与就为

学生的主动性、积极性的发挥创造了很好的条件，真正实现「“学生是学习的主

体”这•理念。

五、【学习过程】

1.提供新知识产生的理论基础

课堂教学论认为：要使教学过程最优化，首先要把已学的材料与学生已有的

信息联系起来，使学生在学习新的材料时有适当的知识冗余。在本节之前，学生

接触到的是向量的几何表示；向量共线的充要条件和平面向量的基本定理为引入

向量的坐标运算奠定了理论基础。尤其是平面向量的基本定理，在新授课之前，

我以为应再次跟学生进行强调，揭示其本质：即平面内的任一向量都可以表示为

不共线的向量的线形组合。对于基底的理解，指出“基底不唯一，关键是不共线”。

这样就使得新课的导入显得自然而不突兀，学生也很容易联想到基底选择的特殊

性，从而引出坐标表示。

2.新课引入

哲学家卜尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题一

愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。

因此，在新课的引入中首先提出问题“在直角坐标系内，平面内的每一个点

都可以用一对实数（即它的坐标）来表示。同样，在平面直角坐标系内，每一个

平面向量是否也可以用一对实数来表示？”，问题的给出旨在启发学生的思维。

而学生思维是否到位，是否可以达到自己建构新知识的目的，取决于老师的引导

是否得当。

3.创建新知识

以学生为主体绝不意味着老师可以袖手旁观，在创设问题情景后学生已进入

激活状态，即想说但又不知道怎么说的状态，这时需老师适当加以点拨。指出：

选择在平面直角坐标系内与坐标轴的正方向相同的两个单位向量、作为基底，

任做一个向量。由平面向量基本定理知，有并且只有一对实数x,y，使

我们把（x,y）叫做向量的（直角）坐标，记作

其中x叫做在x轴上的坐标，也叫做的第一分量；丫叫

做在y轴上的坐标，也叫做第二分量。

指导学生回答，以及的坐标。

至此，完成向量的坐标表示的新知识的建构过程。整个过程决非把老师的认

识强加给学生，而是把学生放在认知的主体地位，学生通过观察幻灯片的演示和

老师的提示，思维得到了发展，观察、归纳能力得到了提高，对新授知识的理解

更加清晰和深刻。

4.突破难点、突出重点

本节的学习中最难理解的就是向量与实数对之间的一一对应关系。为了突破

该难点，我认为可以如此操作。通过动画设计，并结合向量相等的概念，指出任

一向量总可以通过平移，使起点与原点重合。则向量的坐标就是点A的坐标；

反过来，点A的坐标也就是向量的坐标。揭示向量坐标表示的实质：相等的向

量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。由此，向量与实数对之间的一一

对应关系就不难理解了。

向量（x,y）向量点A（x,y）

重点为向量的坐标运算。在理解了向量的坐标表示的实质后，学生很容易想

到，向量的坐标运算其实也就是数量的代数运算。其运算法则，可以在“学诩

年町回”引导学生分组讨论自己推得。老师在学生推导的基础上进行指导和严格

的归纳。如此一来，训练了学生独立思维、自主学习、交流互助的良好的学习习

惯。

(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：

(其中)

(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐

标：

如果，则；

(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标：

若，则；

5.简单应用

在理解了向量坐标表示的实质意义后，通过学生的谈论和老师的指导，学生

对本节的新知识有了系统的认识，都有跃跃欲试的心理，迫切希望在例题的应用

中一显身手；另一方面，新的知识是在问题解决中不断发展的，而问题的解决又

依赖于新知识作为理论基础，这种过程循环往复，既完善了新的知识又提高了学

生的能力。所以，教师应抓住学生的心理，结合典型例题，充分展示新授知识所

涉及到的各种题型。

例一的设计体现了解法发散和问题变换的思想。由一个典型例题的解答促使

知识的系统化。比如例一的三种解法既渗透r向量的几何表示又展现了向量的坐

标表示，这样结合一个例题就把各个知识点连成一个网络，形成一个体系，使新

旧知识系统化，完善r认知结构；完成了例一的解答后，再由这个问题牵出一个

同题鳍引导学生从不同的问题中领悟新旧知识的本质属性。

［例一］如图，用基底、分别表示向量、、、，并求它们的坐标；

方法-•：==2+3,=(2,3)同理=(-2,3),=(-2,-3),

=(2,-3)

方法二：A(2,2),B(4,5)=(4,5)-(2,2)=(4-2,5-2)=

⑵3)

同理=(-2,3),=(-2,-3),=(2,-3)

方法三：=⑵2),=(4,5)=-=(4,5)-(2,2)=(4-2,5-2)=(2,

3)

同理=(-2,3),=(-2,-3),=(2,-3)(2,2)=(2,3)

何您(问题变换)：⑴若点、的坐标分别为、，

那么的坐标是吗？(2)求出的坐标后，可以根据图形的什么特征，求出、、

的坐标？［说明］:还可根据对称性分别求出、、的坐标；

例二和例三的设计，是对新知识巩固和熟练的过程。可以让学生相互交流，

交换批改，在为对方纠错的过程中也是对自己的一种反思，认识到错误的症结所

在，有助于培养学生思维的深刻性和批判性；老师则是对普遍存在的问题集中处

理，集体指导。

［例二］已知=(x+y+1,2x-y),=(x-y,x+2y-2),若2=3,求x、y的

值；

分析：本题检测向量相等的概念，利用条件2=3,建立关于x、y的方程组，

解方程组就可求x、y的值；

解：2=2(x+y+1,2x-y)=(2x+2y+2,4x-2y),3=3(x-y,x+2y-2)=(3x-3y,

3x+6y-6),

I例三］已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(-2,1)、

(-1,3)、(3,4),求顶点D的坐标；

分析：本题检测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并利用相等向量的

坐标相同，建立等量关系求D点的坐标；

解：设D点坐标为(x,y)=(-1,3)-(-2,1)=(1,2)=(3,4)-(x,

y)=(3-x,4-y)

由=得l=3-x,2=4-y,所以x=2,y=2,即D点的坐标为(2,2)

6.深化拓展

对于学有余力的同学，我提供了一个课外思考题。

已知：点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10),若，试求为何值时，点P

在一、三象限角平分线上？点P在第三象限内？

对于这个问题，我先不予提示，学生通过自己的思考和今天的新授知识会找

到切实可行的方法，寻求问题的解答。

工教学反馈

本节课的教学重视发挥学生的主体作用与教师的主导作用，重视“过程”的

教学，力求做到提出问题，循循善诱；疏通思路，耐心开导；解题练习，精心指

导；存在不足，热情辅导；掌握过程，尽心引导。真正体现重情善导的教风与特

色。

向量的数量积说课稿

说课内容：普通高中课程标准实验教科书（苏教版）《数学必修4》第二章

第四节“平面向量的数量积”的第一课时--平面向量数量积的物理背景及其含

义。

下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学

媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。

一、背景分析

1、学习任务分析

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的乂一重要运算，也是高中数学

的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两

课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运

算，本节课是第一课时。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的

概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进

一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景

的抽象，乂是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度乂

有角度，既有形乂有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而

且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概

念，自然也是本节课教学的重点。

2、学生情况分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及

其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：

即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数

运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使

学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于

线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量

积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘

法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的

理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。

二、教学目标设计

《普通高中数学课程标准(实验)》对本节课的要求有以下三条：

(1)通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

(3)能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的

垂直关系。

从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。

为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的

实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够

使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最

后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探

究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是

很好的载体。

综上所述，结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为：

1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律,

并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；

3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能

力。

三、课堂结构设计

本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和

发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的

教学：

.回顾向量的线的线性

创设问题情景----------------------＞回顾向量线性运算的研究方法

物理背景---功

‘定义义分

抽T念----------------------►几何意义

物理意义

探究性质

探T质”［证明性质

探究运算律

探究后算律［证明运算律

应由概念

—例题与练习

即先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概

念，在此基础上研究数量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念的理解，

然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认

识，形成知识体系。

四、教学媒体设计

和“大纲”教材相比，“课标”教材在本节课的内容安排上，虽然将向量的

夹角在“平面向量基本定理”一节提前做了介绍，但却将原来分两节课完成的内

容合并成一节，相比较而言本节课的教学任务加重了许多。为了保证教学任务的

完成，顺利实现本节课的教学目标，考虑到本节课的实际特点，在教学媒体的使

用上，我的设想主要有以下两点：

1、制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式,

以此来节约课时，增加课堂容量。

2、设计科学合理的板书，一方面使学生加深对主要知识的印象，另一方面

使学生清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。

五、教学过程设计

课标指出：数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学

生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我

主要安排以下六个活动：

活动一：创设问题情景，激发学习兴趣

正如教材主编寄语所言，数学是自然的，而不是强加于人的。平面向量的数

量积这一重要概念，和向量的线性运算一样，也有其数学背景和物理背景，为了

体现这一点，我设计以下几个问题：

问题1:我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

问题2:我们是怎么引入向量的加法运算的？我们乂是按照怎样的顺序研究

了这种运算的？

期望学生回答：物理模型一概念一性质一运算律T应用

问题3:一物体在力F的作用下产生位移S,

问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所

要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的

线性运算相比，数量积运算乂有其特殊性.，那就是其结果发生了本质的变化。

问题2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研

究方法和顺序，为教学活动指明方向。

问题3的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研

究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从

而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

活动二：探究数量积的概念

1、概念的抽象

在分析“功”的计算公式的基础上提出问题4

问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗？如果我们将公式中的力与

位移推广到一般向量，其结果乂该如何表述？

学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向

量的大小及其夹角余弦的乘积。这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表

述了，在此基础上，我进一步明晰数量积的概念。

2、概念的明晰

已知两个非零向量£与Z,它们的夹角为我们把数量|£|♦|2|

cos&叫做】与否的数量积（或内积），记作：3不，即：5修=|5|♦|2|

COS&

在强调记法和“规定”后，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题5

问题5:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小

的因素有哪些？并完成下表：

0°W仪