苏教版高中数学教案-导数(学生)

第1课时平均变化率

【知识结构】

平均变化率的背景

平均变化率

求平均变化率

平均变化率的几何意义

【学习目标】

1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程；

2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.

【预学评价】

1.同学们，相信大家都玩过气球吧，我们回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内气

体的容量的增加，气球的半径增加的越来越慢，从数学角度，如何描述这种现象呢？

气球的体积V（单位:L）与半径r（单位:dm）之间的函数关系是.

如果将半径r表示为体积V的函数，那么.

2.当V从0增加到1时，气球半径增加了；气球的平均膨胀率为.

3.当V从1增加到2时，气球半径增加了；气球的平均膨胀率为.

4.现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.

时间3月18日4月18日4月20日

日最高气温3.5℃18.6℃33.4℃

观察：3月18日到4月18

日与4月18日到4月20日

的温度变化，用曲线图表示30

为：

B(32,1

（理解图中A、B、C点的

坐标的含义）

请观察曲线图，随着时间的

推移，气温的变化趋势；从

图中我们可以看出：303了《d)

平均每天上升了多少度？“气温陡增'’是一句生活用语，它的数学意义是什么？如何量化

(数学化)曲线上升的陡峭程度？观察这个比值与这两点连线斜率之间有什么关系？

【经典例题一】

例1在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的

经营成果？

【随堂练习一】

1.在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较

和评价甲，乙两人的经营成果？

【经典例题二】

例3已知函数/小尸一+2为分别计算出x)在下列区间上的平均变化率.

1.［1,2］2.［3,4］3.［-1,1］

变题1在曲线y=x?+l的图象上取一点A(l,2)及邻近一点B(l+4x,2+Ay),求生.

Ax

变题2已知函f(x尸2x+l,

⑴分别计算在区间［3-1］,［0,5］上函数f(x)的平均变化率；

(2)探求一次函数y=kx+b在区间［in,n］上的平均变化率的特点.

1

变题3求函数y=/(x)在区间［1,1+AX］内的平均变化率

y/x

例4自由落体运动的物体的位移S(单位:S)与时间t(单位：S)

之间的关系是：s⑴=ggt2(g是重力加速度)，求该物体在时间段由,

t2l内的平均速度；

【随堂练习二】

2.函数/(x)=5x+4在区间［0,1］上的平均变化率为

3.函数g(x)=2x2+l在区间［1,3］上的平均变化率上是.

4.函数/(x)=3x+l,g(x)=g(x)=-3x,则/(x)在区间［-2,-1］上的平均变化率

g(x)在区间［2OT,3W］(加＞0)上的平均变化率为.

【分层训练】

7TTT7T

1.试比较正弦函数丫=51小在区间0,-和上的平均变化率，并比较大小.

L6」|_32」

2.已知函数/(外=尔在区间［1,2］上的平均变化率为73,则/(X)在区间［-2,T］上的平

均变化率为.

3.A、B两船从同一码头同时出发,A船向北,B船向东，若A船的速度为30km/h,B船的速度

为40km/h,设时间为t,则在区间［t„t2］±,A,B两船间距离变化的平均速度为.

4.函数y=/一4x+3在区间［一2,3］上的平均变化率为.

5.若物体的运动方程是s=-g『+2〃_，5,则物体在区间［2,3］上的平均速度为一.

6.据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一.我国土地沙化总面

积在上世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况如图所示，由图中的相关信息,

可以得出沙化面积的平均变化率有趋势.

7.已知函数/(x)=--x在区间［,7］上的平均变化率是2,求2的值.

8.已知函数/(X)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[—3,7],[0,5]上函数/(%)及

g(x)的平均变化率.

9.已知质点按照规律s=2»+4/(距离单位：m,时间单位：s)运动，求:

(1)质点开始运动后3秒内的平均速度；

(2)质点在2秒到3秒内的平均速度.

232255

10.求函数y=/-2x+3在区间—,2和2,—的平均变化率.

121122

【师生互动】

学生质疑

老师释疑

第2课时曲线在一点处的切线

【知识结构】

平均变化率一一点处的切线

【学习目标】

1.理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念

2.掌握用割线逼近切线的方法.

3.会求曲线在一点处的切线的斜率与切线方程,

【预学评价】

1.平均变化率：函数/（x）在区间［』，X2］上的平均变化率—

2.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P附近的曲线的研究）

（从直线上某点的变化趋势的研究谈起，结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲，微观

上直”，“曲绝对，直相对”的初步感受，后提出“放大图形”的朴素方法.）

（1）观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？

（2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了

3.怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线/呢？如图

（1）试判断哪条直线在点P附近更加逼近曲线？

（2）在点P附近能作出比m,〃更加逼近曲线的直线/么？

（3）在点尸附近能作出比加，〃，/更加逼近曲线的直线/'么？

4.。为曲线上不同于点P的一点，这时，直线尸。称为曲线的；随着点0沿曲线

向点尸年初，割线尸。在点尸附近越来越遇近曲线，当点。无限逼近点尸时，直线PQ最

终成为点P处罩遢近曲线的直线/,这条直线/也称为曲线在点P处的

5.对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型，在这里平均

变化率表示为什么？又用怎样数学模型来刻画曲线上尸点处的变化趋势呢？

为了更好地反映点。沿曲线向点尸运动，我们选择了一个变量Ax.不妨设

产（方/（幻），0点的横坐标为x+Ar，则。点的坐标为，则割线P0的斜率

为kpQ=,当点0沿着曲线向点P无限靠近时，割线尸。的斜率就会无限

逼近点尸处切线斜率，即当Ac无限趋近于0时，无限趋近点尸（x,/（x））处

切线斜率（即为Ax取0时左3的值）.

【经典例题一】

例1已知/（x）=F,求曲线y=/（x）在x=2处的切线斜率和切线方程.

【随堂练习一】

1.已知/(x)=/,求曲线y=/(x)在x=-l处的切线斜率和切线方程.

2.已知/(x)=x，求曲线y=/(x)在x=_l处的切线斜率和切线方程.

3.已知/(x)=Jl—f,求曲线y=/(x)在x=；处的切线斜率是多少？

【经典例题二】

例2已知曲线片2/上一点/(1,2),求(1)点力处的切线的斜率.(2)点4处的切线方程.

【随堂练习二】

4.曲线的方程为12+1,那么求此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率，以及切线的方程.

5.求曲线_Xx)=x3+2x+l在点(1,4)处的切线方程.

1,,

6.求曲线40=]/一》2+5在k1处的切线的倾斜角.

【分层训练】

1.已知函数，（x）=-x2+10,则/（X）在x=1处的斜率.

2.曲线/（x）=石在点（4,2）处的切线的斜率.

3.-物体的运动方程是s=ga»%为常数），则该物体在，=0时的瞬时速度为.

4.一物体的运动方程是s=3+/2,则在一小段时间［2,2.1］内相应的平均速度为.

5.如果某物体做运动方程为s=2（1-/）的直线运动（s的单位为m,t的单位为s），那

么其在1.2s末的瞬时速度为一一.

6.尸工3在点尸处的切线斜率为3,求点尸的坐标.

7.求曲线y=」一在x=0处的切线斜率.

X+1

8.求曲线片在点以一2,5）处的切线方程.

9.设=则该函数在区间[1,2],[1,1.5],[1,1.1]上的平均变化率各多少?

10.已知曲线y=上一点求过点P的切线的斜率。

【师生互动】

学生质疑

老师释疑

第3课时瞬时速度与瞬时加速度

【知识结构】

平均速度----►瞬时速度

瞬时速度与瞬时加速度----------平均加速度---------瞬时加速度

平均变化率----►瞬时变化率

【学习目标】

(1)理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近”瞬

时速度与瞬时加速度的过程。理解平均变化率的几何意义；理解Ax无限趋近于0的含义;

(2)运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度。

【预学评价】

质点沿x轴运动，设距离为x(m),时间为«s)时，x=10+5/，则当W/O+A

时，质点的平均速度为；当/=小时，质点的瞬时速度为；当

t0<Z</0+A/Ht,质点的平均加速度为；当/=/()时，质点的瞬时加速度为.

注：

一、瞬时速度和瞬时加速度

(1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度。

(2)位移的平均变化率：$&+△')一S&)

A/

(3)瞬时速度：当4无限趋近于0时，s&+”)—s(7°)无限趋近于.•个常数，这个

A/

常数称为/=/0时的瞬时速度。“逼近”思想和以直代曲思想：

如何得到求瞬时速度的步骤？

a.先求时间改变量△/和位置改变量A?=5(/0+Az)—5(Z0)

Av

b.再求平均速度丫=一

△t

C.后求瞬时速度：当4无限趋近于0,u=丝无限趋近于常数V为瞬时速度。

(4)速度的平均变化率：式匕+△。一叱))

△t

(5)瞬时加速度：当△/无限趋近于0时，出士纪二出)无限趋近于一个常数，这

AZ

个常数称为t=t0时的瞬时加速度

【经典例题一】

例1物体作自由落体运动，运动方程为S=Lg”,其中位移单位是相，时间单位是

2

s，g=\Qm/s2,求：

(1)物体在时间区间［2,2刀上的平均速度；

(2)物体在时间区间［2,2.01］上的平均速度；

(3)物体在/=2(s)时的瞬时速度.

例2设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设/(s)时的速度为v(/)=/+3,求

/=/o(s)时轿车的加速度。

【随堂练习]

1一质点的运动方程为s=10+»（位移单位：m,时间单位：s）,试求该质点在f=3s的

瞬时速度。

1,

2自由落体运动的位移s（m）与时间/（S）的关系为S=]g/（g为常数）。

⑴求/=/°（s）时的瞬时速度；

（2）分别求f=1,2,3s时的瞬时速度。

【经典例题二】

例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热。

如果在第xh时原油的温度（°C）为/（x）=x2-7x+15（0或》或8）.计算第211和第611

时，原油的瞬时变化率，并说明意义。

例4一球沿一斜面自由落下，其运动方程是s=s(/)=J(位移单位：m,时间单位:

s),求小球在/=5时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较

【随堂练习二】

3.以初速度%(%>0)垂直上抛的物体，「秒时间的高度为5«)=卬-卜2,求物体在时

刻/(,处的瞬时速度.

4.已知质点M按规律s=2产+3做直线运动,(位移单位-cm，时间单位:s)

(1)当」=2,4=0.01时,求学.

△t

⑵当/=2,A/=0.001时,求学.

△t

(3)求质点在/=2时的瞬时速度.

【分层训练】

1.已知物体做自由落体运动的方程为s=s（7）=；g/，若/无限趋近于0时，

虫+加）-50）无限趋近于9.8加s,那么正确的说法是。

△t

①9.8机/s是在。〜1s这一段时间内的速度

②9.8m/s是在1〜（1+加）s这段时间内的速度

③9.8机/s是物体在/=1s这一时刻的速度

④9.8m/s是物体从1s到（1+加）s这段时间内的平均速度。

2.如果质点M按规律S=3+*运动，则在一小段时间［2,2.1］中相应的平均速度等于。

3.如果某物体的运动方程是s=2（1-则在f=1.2秒时的瞬时速度是o

4.设一物体在t秒内所经过的路程为s米，并且S=4/+2/-3/,则物体在运动开始的

速度为。

5.任一做直线运动的物体，其位移s与时间/的关系是s=3/-/，则物体的初速度是

___________O

6.枪弹在枪筒中可以看成是匀加速运动，如果它的加速度是5.0X105〃/S2。枪弹从枪

筒弹出的时间为1.6x10-3$,求枪弹弹出枪口时的瞬时速度。（位移公式是§=一皿2,

2

其中a是加速度，t是时间）

7.设一物体在，秒内所经过的路程为s米，并且s=4产+2/-3,试求物体分别在运动

开始及第5秒末的速度。

8.一块岩石在月球表面上以24〃?/s的速度垂直上抛，7(s)时达到的高度为

A=247—0.8”(单位：加)。

(1)求岩石在/(s)时的速度、加速度:

(2)多少时间后岩石达到最高点。

9-作直线运动的物体其位移s与时间t的关系是$=

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t=2秒时的瞬时速度；

(3)求t=0到t=2时的平均速度。

【师生互动】

学生质疑

老师释疑

第4课时导数

【知识结构】

【学习目标】

1.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.

2.会求函数在某点的导数.

【预学评价】

⑴求函数f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率.

2.直线运动的汽车速度/与时间/的关系是产=--1,求/=/(,时的瞬时速度.

3.函数y=x+,，在x=l处的导数是

X

注：

1.导数的定义：设函数y=/(x)在区间(。,6)上有定义，x0,若Ax无限趋

近于。时，比值包=/(4+AY)二,(之)无限趋近于一个常数A,,则称/(x)在x=x0处

AxAx

可导，并称该常数A为函数/(x)在x=x0处的导数，记作/'(/).

2.求导数的步骤：

①求函数的增量：Ay-

②求平均变化率：—/(xo+Av)-/(xo)

AYAX

③当AxfO时,则/'(%)=

上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限.

3.导数的几何意义：函数尸/1(")在尸M处的导数等于在该点(%,/(%))处的切线的

斜率，即f'(x0)=k

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：

①求出夕点的坐标；

②求出函数在点与处的变化率/'(x0)=%,得到曲线在点(%,/(%))的切线的斜

率；

③利用点斜式求切线方程.

【经典范例一】

例1(1)以初速度为%(%>0)做竖直上抛运动的物体，r秒时的高度为

2

sQ)=v0/-1g/，求物体在时刻t0处的瞬时速度•

(2)求y=2x?+l在X。至ijx。+Ax之间的平均变化率.

(3)设/(x)=/+l,求/(x),/'(-I),/'(2)

【随堂练习一】

1求函数y=3x?在x=l处的导数.

2求函数/(*)=-犬+》在x=_i附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

【经典范例二】

例2已知函数/(x)=4,求/(x)在x=2处的切线.

例3函数/(x)满足/'(I)=2,则当x无限趋近于0时,

(1)------------=________________

2x

/(l+2x)-/(l)_

\/—

X

变式:设/(X)在X=/处可导,

(3)/(/+4Ax)―/(/)无限趋近于1,则/'(%)=

Ax

(4)/(X。-4Ao-/(X。)无限趋近于1,则/”(x0)=

Ar

(5)当Ax无限趋近于0,"X。+2Ax)—/(与—2Ax)所对应的常数与/'(x0)的关

Ax

【随堂练习二】

3将半径为R的球加热，若球的半径增加AR,则球的表面积增加AS等于

4在曲线丁=，+1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1+Ax,2+Ar),则包为____

Ax

5已知函数/(x)=x3,求/(X)在x=2处的切线.

【分层训练】

1函数y=/(x)在x=Xo处的导数f(x0)的几何意义是。

①在点X=Xo处的函数值

②在点(x0,f(x0))处的切线与X轴所夹锐角的正切值

③曲线丁=/(X)在点(X。,/(x0))处的切线的斜率

④点(x0,/(Xo))与点(0,0)连线的斜率

2已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12》-即-16=0,则实数。的值为

3设/(x)=ax+4,若/'(1)=2,则。的值________o

4任一做直线运动的物体,其位移s与时间，的关系是s=3/-〃，则物体的初速度是

5求下列函数在相应位置的导数

(1)/(x)=x2+1,x-2

(2)f(x)=2x-1,x=2

(3)/(x)=3,x=2

1Q

6已知曲线^=；/上的一点尸(2,学，

求(1)点P处切线的斜率；(2)点P处的切线方程.

7已知曲线歹=：》3,求与直线》+4卜+8=0垂直，并与该曲线相切的直线方程.

8在曲线歹=/上过哪一点的切线，

(1)平行于直线歹=4x-5；

(2)垂直于直线2x—6y+5=0；

(3)与x轴成135°的倾斜角；

(4)求过点R(1,-3)与曲线相切的直线.

【师生互动】

学生质疑

老师释疑

第5课时常见函数的导数

【知识结构】

初等函数的求导公式

【学习目标】

会求初等函数的导数

用定义推导常见函数的导数公式.

【预学评价】

1.求下面几个函数的导数。

(1)%'=_________。(2)(X*2)'=»(3)(x3)'=;

(4)(x-l)'=。(5)(x2)'=

x

(6)(ay=o(a>0,owl)(7)(logax)"=o(a>0,月owl)

xr

(8)(e)=o(9)(Inx)'=o

zr

(10)(sinx)=o(11)(cosx)=o

【经典范例一】

例1求下列函数导数。

5V

(1)y=x~(2)y=4(3)y=log3x

(4)y=cos(2n—x)(5)y=/'⑴

例2已知点P在函数y=cosx上，(0<x<27t),在P处的切线斜率大于0,求点P的横坐

标的取值范围。(0，町

【随堂练习一】

1.求下列函数导数。

(1)y=sin(g+x)(2)y=sin]

2.曲线y=x3—4x在点(1,—3)处的切线倾斜角为。

【经典范例二】

例3已知函数治尸加+色且/，⑴=2,则a的值为o

例4若直线y=—x+6为函数y=：图象的切线，求b的值和切点坐标。

例5已知直线y=x-1,点P为产X?上任意一点，求P在什么位置时到直线距离最短.

【随堂练习二】

3.求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程

4.曲线歹=》3-4x在点(1,—3)处的切线倾斜角为

5.曲线/(x)=x3+x-2在po处的切线平行于直线y=4x-1,求p0点的坐标。

【分层训练】

1.求下列函数的导数：

(1)〃=/；(2)y=x"：(。为正整数)；⑶y=a(。为常数)

(4)3二sint；(5)x=cost(6)y=/r(—1)

2.求曲线y=2x-'3在点(],i)处的切线方程。

3.已知f(x)=x\jx2-16,求/'⑸的值。

4.在函数y=——8x的图象上，其切线的倾斜角小于（的点中，求坐标为整数的点的个

数。

5.求曲线y=sinx在点的切线方程

学生质疑

老师释疑

第6课函数的和、差、积、商的导数（1）

【知识结构】

导数的四则运算法则

I函数的和、差的导数1I函数的积的导数1I函数的商的导数

【学习目标】

1.理解两个函数的和（或差）的导数法则，学会用法则求一些函数的导数.

2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数

3.能够综合运用各种法则求函数的导数.

【预学评价】

1.求y=x?+x的导数.

2."(x)土g(x)]，=

[</«]'=(C为常数)。

"（x）g（x）『=o

（瑞卜-------------------------颉".

【经典例题一】

例1求下列函数的导数.

(1)y=d+sinx(2)y=2x3-3x2+5x-4

(3)y=xsinx(4)y=

例2求y=(2x2+3)(3x-2)的导数.

【随堂练习一】

1.求下列函数的导数:

(1)y=x2+cosx(2)y=2x-2\nx

2

(A、a-x

(3)、=工(4)y=----

sinxa+x

(5)y=—1—

(6)y=(2x-l)(x+3)

1-cosx

【经典例题二】

例3=x-sin—cos—的导数.

22

例4求函数y='尸+'L的导数.

\-y]X\+VX

例5•质点按规律s=；(d+sin/)作直线运动，求该质点运动的加速度。(7)。

【随堂练习二】

2.求;;=1@11%的导数

3.已知某运动着的物体的运动曲线方程为S=*+2/，求f=3时物体的运动速度。

【分层训练】

1.函数丁二者的导数是.

2.已知/(幻=1+3*+1113,则/(x)=

3.已知/(x)=sinx—cosx,则[/(—)]=

4.若/(x)=cotx,贝iJ/(x)=

5.Sf(x)=2x3+Vx-cosx,则/(x)=.

6.设/(x)=xlnx,若/(%)=2,贝lj/=

7.求函数歹=(l+x)sinxlnR的导数。

&求曲线在原点处切线的倾斜角。

9.已知〃>0,函数/(x)=ax3d----x,且/''(1)412,求。的值。

a

10.日常生活中的饮用水通常是要经过净化的。随着水纯净度的提高，所需净化费用也不

断增加。

已知1吨水净化到纯净水为x%时所需费用(单位：元)为

c(x)=-^-(80<x<100)»求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：

100—X

(1)90%；(2)98%.

【师生互动】

学生质疑

老师释疑

第7课函数的和、差、积、商的导数(2)

【知识结构】

【学习目标】

1.理解两个函数的积(或商)的导数法则、和(或差)的导数法则，学会用法则求复杂形

式的函数的导数

2.能够综合运用各种法则求函数的导数

【预学评价】

L[/(x)±g(x)]'=。0(切'=(C为常数)。

[/(x)g(x)]，=____________________(g(x)#0)。

2.函数y=/(x)在点x=x0处的导数/(x0)的几何意义是。

3.函数夕=/(x)在点(x0,/(x0))处的切线方程为

【经典例题一】

例1求曲线/(x)=x3+3x-8在x=2处的切线的方程.

例2偶函数〃对=#+加+工+公+6的图象过点尸(0,1),且在x=l处的切线方程

为y=x-2,求y=〃x)的解析式.

【随堂练习一】

1.求＞=卷±&在点x=3处的导数。

X+3

2.求曲线f(x)=-x{x-I)2在点(2,/(2))处的切线方程；

【经典例题二】

例3已知曲线尸：丁+*

(1)求曲线在P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.

例4设函数/&)=冰+—1(a,bwZ),曲线y=/(x)在点(2,y(2))处的切线方程为

x+b

y=3.

(1)求〃x)的解析式;

(2)证明：曲线y=/(x)上任一点的切线与直线x=l和直线y=x所围三角形的面积

为定值，并求出此定值.

2

例5用求导的方法求和：Sn=\+2x+3x+---+nx'"'(XHO,且"1)

【随堂练习二】

3.已知曲线C:y=x，-3/+2x,直线/:y=Ax,且/与C切于点(x。,%)(%w0),求直线

/的方程及切点坐标.

4.用求导的方法求和：=12+22X+32X2+---+M2X"_|(X*0,且xrl)

【分层训练】

1.曲线y=V-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为。

2./(x)=evcosx,则/'(0)=，

3.设/(x)=x(x+l)(x+2)…(x+〃)，贝o

4.若抛物线y=/-x+c上一点尸的横坐标是-2,抛物线在点尸处的切线恰好过坐标原

点，则C的值为o

5.设函数〃x)=S黑1+/等v+tan®,其中。亡田^叫，则导数/⑴的取值范围是

6.函数y=af+l的图象与直线y=x相切，则

7.求经过原点且与曲线y=祟相切的切线方程

8.有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙

脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4机时，梯子上端下滑的速度.

9,已知曲线C|：y=x2与。2：夕=-。-2)2,直线/与G、G都相切，求直线/的方程.

10.设函数=/若曲线y=/(x)的斜率最小的切线与直线

12x+>=6平行，求4的值；

【师生互动】

学生质疑

老师释疑

第8课时简单复合函数的导数

【学习目标】

1.理解复合函数的概念；

2.会求简单的复合函数的导数。

【预学评价】

1.设y=J1+4+A/1-X,贝ijy/等于o

2.直线y=x+b为函数y=ln，的图像的切线，则b=。

x

【经典例题一】

例1已知曲线G:歹=乂2与G：y=—（X—2）2,直线/与6,。2都相切，求/的方程。

例2试说明下列函数是怎样复合而成的？

⑴歹=（2-》2）3；（2）j>=sinx2；

（3）y=cos（；-x）；（4）y=lnsin（3x-l）.

例3求y=sin4x+cos'x的导数.

【随堂练习一】

1.函数尸(5x—3)4的导数是O

2.函数尸(2+3x)5的导数是。

3.函数尸(2—《)3的导数是

【经典例题二】

例4已知函数〃x)=/W，求导函数尸(x)。

(X-1)2

例5求函数尸(2X2-3)J1+X2的导数。

【随堂练习二】

4.写出由下列函数复合而成的函数：

(Dy=COSM,M=1+x2；(2)y=ln»,2，=lnx.

5.求y=(2x+l)s的导数。

【分层训练】

1.函数尸(2/+x)2的导数是.

2.函数尸sin〃丫的导数是

3.函数y=cosnx的导数是

4.函数j/=tanwx的导数是

5.函数产cot〃x的导数是

6.y=esinvcos(sinx),则y'(0)等于

7.求尸sinx?的导数。

8.求尸sii?(2x+1)的导数。

9.求尸的导数。

_.21

10.求V=sin-的导数。

【师生互动】

学生质疑

老师释疑

第9课时单元复习(1)

【知识结构】

【学习目标】

1.了解导数概念的某些实际背景；掌握导数的几何意义；理解导函数的概念;

2.熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；

3.会求简单的复合函数的导数。

【预学评价】

1.设函数/'(X)=2x3+ax2+x,/'(I)=9,则a=。

2.函数产(2x+Ip在x=0处的导数是o

3.函数y=cos2x在点号,0)处的切线方程是。

4.一质点做直线运动，经过ts后的距离为s=L八"+16-,则速度为零时t=—o

4

【经典例题一】

例1函数y=xtanx的导数是。

例2已知/(x)=a/*+6/+c的图象过点(0,1),且在％=1处的切线方程是y=x—2,

求^=/(x)的解析式。

例3若曲线丁=：3/,+1的切线垂直于直线2x+6y+3=0,试求这条切线的方程。

【随堂练习一】

1.已知函数且/'⑴=2,则a的值为。

2.已知自由下落物体的速度为V=gt,则物体从t=0到1所走过的路程为。

3.如果1ON的力能使弹簧压缩10cm,将弹簧拉长6cm,则力所做的功为。

【经典例题二】

例4已知曲线C：^=3X4-2X3-9X2+4

(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？

例5利用导数求和

(1)5„=1+2%+3尤2+...+〃x"TC#0,〃GN*)

⑵S“=C；+2C：+3C"..+〃C；；,(nGN,)

【随堂练习二】

4.设曲线y=上」在点(3,2)处的切线与直线QX+y+1=0垂直，则。=_

x-1

5.设函数/(X)=ax+—eZ)在点(2,/(2))处的切线方程为y=3。

x+b

(1)求3；=/(x)的解析式；

(2)证明：曲线y=/(x)上任一点处的切线与直线x=l和直线y=x所围三角形的面积

为定值，并求出此定值。

【分层训练】

1.过点P（-l,2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1,1）处的切线平行的直线是。

2.曲线=与工/一2在交点处切线的夹角是。（用弧度数作答）

24

57r

3.设曲线C：y=cosx与直线x=——的交点为P,曲线C在P点处的切线经过（a,0）点,

6

则a等于o

4.物体的运动方程是S=—1t3+2t2—5,则物体在t=3时的瞬时速度为_______。

3

5.过点/（0,16）作=/—3x的切线，则此切线方程为。

6.曲线y=Inx在点处的切线的方程为。

7.路灯距地面8怙一身高16〃的人沿穿过灯下的直路以84血加〃的速度行走，则人影

长度变化速率是多少？（要求以机/s为单位）

8.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离〃（单位：加）与时间/（单位：s）之

间的函数关系为〃="，求f=4s时此球在垂直方向的瞬时速度。

9.某工厂每日产品的总成本C是II产量x的函数，即C(X)=1000+7X+5X2,试求:

(1)当日产量为100时的平均成本；

(2)当日产量由100增加到125时，增加部分的平均成本;

(3)当日产量为100时的边际成本。

10.曲线S：y=X3-6X2-X+6哪一点切线的斜率最小？

设此点为P(xo,泗).证明：曲线S关于尸中心对称。

【师生互动】

学生质疑

老师释疑

第10课时导数在函数中的应用(1)

【学习目标】

1.掌握利用导数判断函数单调性的方法；

2.通过对一些简单函数单调性和单调区间的研究，探求归纳导数在函数单调性中的作用.

【预学评价】

1.设函数/(x)的定义域为I：

(1)如果在(。，6)内，,则“X)在此区间是增函数，(a,6)是/(x)

的•

(2)如果在(a,6)内，，则〃x)在此区间是减函数，(°,6)是/(X)

的•

2.一般地，如果一个函数在某一范围内,那么函数在这个范围内变

化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数图像就“平缓

【经典例题一】

例1确定函数〃x)=x:4x+3在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数.

例2确定函数"x)=2x，-6£+7在哪些区间上是增函数.

例3确定函数"X)=sinx(xe(0,2K))的单调减区间.

【随堂练习］

1.函数y=£+x的递增区间是.

2.函数y=4片+1的单调递增区间是.

X

3.y=2x+sinx的单调增区间为

【经典例题二】

例4已知函数〃x)=每'求导函数八x),并确定/㈤的单调性.

例5已知x>0,证明不等式：x>ln(l+x).

【随堂练习二】

1,若函数/(x)=gx;；n片+(a-l)x+l,在区间(1,4)上为减函数，在区间(6,+8)上为

增函数，试求实数。的取值范围.

2.已知x>2,求证：x-1>Inx.

【分层训练】

1.函数y=的单调增区间为,单调减区间为.

2.函数/(x)=2x>-6x2的增区间为.

3.函数了=xsinx+cosx,xe(-兀，兀)的单调增区间为.

4.已知函数〃x)=5+/7-1在R上是单调函数，则实数。的取值范围是.

5.若f(x)=ax'+bx2+cx+d(a>0)在R上为增函数，则a,b,c的关系式为.

6.对于R上可导的任意函数/(x),若满足(x-l)/U)》O,则必有/(0)+/(2)—2/(1).

7.已知/(x)=ar'+3x；x+l在R上是减函数，求a的取值范围.

8.已知/(x)=〃大+/>片+c的图像经过点(0,1),且在x=l处的切线方程是y=x-2.

(1)求y=/(x)的解析式；

(2)求y=/(x)的单调递增区间.

9.设函数/(x)=lnx-2at.

(1)若函数V=/(X)的图象在点(I"⑴)处的切线为直线/,且直线/与圆(X+1)2+/=1

相切，求〃的值；

(2)当4>0时，求函数/(x)的单调区间.

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

第11课时导数在函数中的应用（2）

【学习目标】

1.掌握利用导数求函数极值的方法；

2.正确理解利用导数研究函数的极值的具体过程.

【预学评价】

1,已知函数y=/（x）,设x.是定义域（。*）内任一点，如果对天附近的所有点x,都有一,

则称函数/（X）在点X。处取,并把X。称为函数/（X）的一个.如果

在X,附近都有，则称函数/（X）在X.处取,并把X。称为函数/（X）的一

个.

2.极大值与极小值统称为,极大值点与极小值点统称为.

【经典范例一】

例1求/（x）=x2-x-2的极值.

例2求-4x+；的极值.

【随堂练习一】

1.函数y=l+3x-x，极大