数学宝典｜高中数学公式

数学宝典I高中数学公式汇总

集合

一、常用符号

G――属于生——不属于

G——包含于■一-真包含于

2——包含?——真包含

0——空集符号=一一集合相等符号

A——交集符号U——并集符号

U——全集符号----补集符号

N一一自然数集Z一一整数集

N+(N“)一一正整数集Q——有理数集

R——实数集CRQ——无理数集

二、常用公式

Ar\A=A4n0=0

/nU=4A>JA=A

4U0=4AVU=U

AClCy4=0AUCyA=U

0(44)=A"An8)=(5)US)

的(408)=3)。((：㈤

AC\B={%|xeA,KxGB]

A\JB=[%|xeA,或无E8}

基本初等函数I

一、概念与符号

1.函数的概念

一般地，我们有：设48是非空的数集，如果按照某种确定的对应

关系九使对于集合力中的任意一个数尢，在集合B中都有唯一确定的

数f(%)和它对应，那么就称八4TB为从集合力到集合8的一个函数

(function),记作：y=/(%),xEA.

2.映射的概念

一般地，我们有：设48是两个非空的集合，如果按某一个确定的

对应关系/,使对于集合乂中的任意一个元素%,在集合8中都有唯一

确定的元素y与之对应，那么就称对应/：At8为从集合71到集合B的

一个映射(mapping)。

3.函数的最值

一般地，设函数y=f。)的定义域为/,如果存在实数M满足：

(1)对于任意的蒐eI,都有/(%)<M(/Q)>M)；

(2)存在使得/1(%)=M.

那么称M是函数y=/(%)的最大(小)值，通常记为：

ymax=M或fOOmax=M()，min=M或/'QOmin=")•

4.奇偶函数等式的等价形式：

奇函数=/(-X)=-/1(%)=/(-%)+/1(%)=0

)；

O。“%)H°

偶函数=/(-%)=/(%)=/(-%)-/(%)=0

f(—%)

J

二、常用公式

1.幕指数运算法则

a)ar-as=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr.(a>0,r,sGQ)

(2)当?i为奇数时,W=a；

当九为偶数时，历=|a|=f'a~Q，

I—a,a<0.

m__

(3)规定：。豆=冒而(。>0,m,neNM,且?i>1)；

_mi

an=>0,m,nEN\且九>1)；

a~n

a°=l(aw0).

2.对数恒等式

a】ogaN=N,log°a=l,logal=0.(其中N>0,a>0,且a/1)

3.对数运算法则

设Q>0,且awl,M>0,N>0,贝(J

Ioga(MN)=logaM4-logaN,

10ga(?)=SgaM-log。M

n

logaN=nlogaN

4.对数换底公式

logcbrr

logab=----(a>0且Q/1；c>0且cW1：b>0)

logca

函数应用

一、概念与符号

1.函数的零点

对于函数y=/(%),我们把使/•(%)=0的实数%叫做函数y=f。)的零

点(zero)

2.二分法

对于在区间［a,可上的连续不断且f(a)•fg)V0的函数y=f(x),

通过不断地把函如。)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端

点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection)0

二、常用公式

1.二次函数式：

2ax

/(%)=ax+bx+c=a(x—%1)(x—%2)=(.—九)?+k(其中aH

0,九=」，k=生士).

2a4a/

2.二次函数图象在%轴上两点间的距离：

,----------------yjb2-4ac

X+X2

I%1-X2|=V(12)~4%I%2=-----而--

3.方程a/+bx+c=0(aH0)：

(1)判别式A=b2-4ac；

(2)求根公式4,2=(A20)；

(3)根与系数的关系f1+*2「一1‘

产1%2=--

三、常用定理

1.零点存在定理

一般地，我们有：如果函数y=f。)在区间［a，可上的图象是连续不

断的一条曲线，并且有/(a)•/(b)V0,那么，函数y=f。)在区间

(a,b)内有零点，即存在ce(a,b),使得/'(c)=0,这个c也就是方

程f(x)=0的根。

2.二分法的操作步骤

给出精确度£,用二分法求函数了。)在区间［匿可上零点近似值的步

骤如下：

(1)确定区间［a,b］,验证<0,给定精确度£；

(2)求区间(a,b)的中点c；

(3)计算F(c);

①若/(c)=0,贝!Jc就是函数的零点；

②若/1(a)•/1(c)V0,则令b=c(此时零点£(a,c))；

③若f(c)•f(b)<0,则令Q=c(此时零点%。e(c,b))；

(4)判断是否达到精确度。即若|Q-则得到零点近似值

a(或b)；否则重复(2)~(4)。

3.f(x)=f(2a—%)«­/(a+%)=/(a-%)=>f(x)的图象关于直

线丸=a对称.

4.f(m+%)=f(n一x)=/(%)的图象关于直线x=”了对称.

空间几何体

一、常用公式

S圆柱全=2?rr(r+I),%=Sh；

S图锥=m(r+‘)，%=2；

S圆台=7r(r'2+/+“+”)，％：(s+y'SS7+S')/i；

S球=4兀/?2,%=]R3.

二、常用定理

(1)用一个平面去截一个球，截面是圆面.

(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面.

(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径7•有下面关系：

r=y/R2-d2.

(4)球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截

面截得的圆叫做小圆.

(3)在球面上两点之间连线的最短长度，就是经过这两点的大圆在

这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离.

点、直线和平面的位置关系

一、概念与符号

平面a、0、y,

直线a、b、c,

点4、B、C.

A£a---点4在直线Q上或直线a经过点4

a<=a---直线a在平面a内.

an/?=a-----平面a、0的交线是a.

----平面a、0平行.

B1y-----平面0与平面y垂直.

二、常用定理

1.异面直线判断定理

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面

直线.

2.线与线平行的判定定理

(1)平行于同一直线的两条直线平行.

(2)垂直于同一平面的两条直线平行.

(3)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平

面相交，那么这条直线和交线平行.

(4)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平

行.

(5)如果一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个

平面的交线.

3.线与线垂直的判定

若一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内所有直线.

4.线与面平行的判定

(1)平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线与此平面平

行.

(2)若两个平面平行，则在一个平面内的任何一条直线必平行于另

一个平面.

空间向量与立体几何

一、常用公式

1.ci—（a],Q，2＞。3），b=（b1,b2,b?）,A»Vi，z】），

B（%2,%，Z2）,则

⑴IQ|=d*+a；+a：；

⑵cos〈a,b）=।。血+。2与+a3b3:

Ja"a介吟网+环+城

x_x222

⑶丽=V（i2）+-y2）+（2i-z2）.

2.中点坐标公式

已知4(尢1，zjB(X2＞纥，z2),若M(x,y,z)是线段/B的中

点，则有％=红生，y="及，z=5.

222

3.异面直线所成的角

设异面直线48、CD所成角为6,则

cos9=|cos港丽"绊雪

11|4B|-|CD|

4.直线与平面所成的角

如图，已知P4为平面a的一条斜线，一为平面a的一个法向量，过P作

平面a的垂线P。，连接04,则NP/。为斜线P4和平面a所成的角，记

为6,易得：sin6=sin-(n,AP))|=|COS(TI,族)|="备

5.二面角的向量求法

⑴基向量法：如图，二面角/一8£）-。中,4E1BD,CF1BD,AC.EF.

HE、CF长度已知，则由|而「=（荏+/+而产可求出cos〈版，FC）,

从而求得〈荏，FC）,则二面角4—BD-C的大小即为加-（荏，FC）.

⑵法向量法：已知二面角。一1一6的平面角为仇则

|cos8|=|cos〈7ii，n2）|

=*（其中％,%分别是两平面％台的法向量）.再结合直观图确

定6是锐角还是钝角，从而去掉绝对值号，结合反三角函数求出夕

6.点P到平面a的距离

设点P到平面a的距离为d,则d=』（其中n为a的法向量.M为平

Ini

面a内任一点）.

7.异面直线间的距离

设异面直线AB、CD间的距离为d,则

\BC-n\\BD-n\

=岸=萼（其中九满足n•通=0,且n•而=0）.

IniIni

注意：异面直线间的距离问题在新课标中有所淡化，此公式仅作了解

即可.要注意体会点到平面的距离公式与该公式的联系，从而体会点

面之距、异面直线之距间的相互转化.

二、常用定理

L设Q=,y]，Z1),b—(%2，y2，z2)，则

1X]==Ax?,

⑴Q||b(bHO)=y\=/约，

Zi=AZ2;

⑵若%2%22*0，贝"aII&—=—=—

X2y2Z2

(3)a1b=%1尢2+Ji)z2+ziz2—0-

2.共面向量定理：如果两个向量Q、b不共线，则向量c与向量a、b共

面的充要条件是存在唯一的一对有序实数%、y,使。=%。+3，。

直线与方程

一、概念与符号

1.倾斜角

在平面直角坐标系中，对于一条与无轴相交的直线，如果把X轴绕着交

点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a,那么a

就叫做直线的倾斜角，当直线和久轴平行或重合时,规定其倾斜角为0’,

因此，倾斜角的取值范围是0°MaV180：

2.斜率

倾斜角不是90’的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，常

用士表示,即k=tana,常用斜率表示倾斜角不等于90,的直线对于%轴

的倾斜程度.

3人到%的角

。依逆时针方向旋转到与％重合时所转的角.

4八和％所成的角

11和％相交构成的四个角中不大于直角的角叫这两条直线所成的角，

简称夹角.

二、常用公式

1.斜率公式

（1）P（%，H）,BJ（X2，％），贝/PIp=x-x（%工”2）

xx2%1—42

（2）若［的倾斜角为a,则k=tana（aHg）.

2.“到角”及“夹角”公式

设k：y=k1x+bi，l2：y=k2x+b2>

⑴当1+的七wo时，匕到％的角为仇则tan8=L与%的夹

角为a,则tana=8含.

l+k1k2

⑵当1+的的=0时，两直线夹角为90：

3.点到直线的距离公式

点P（%o，%）到I：/%+By+C=0的距离:

d_Ux04-By04-Cl

VX2+B2・

4.平行线间的距离公式

两平行线4c+By+Ci=0与4太+8、+。2=0之间的距离为：

d=l^l

\'A2+B2

三、常用定理

两直线位置关系的判定与性质定理如下:

(1)当h：y=的％+瓦，12：y=k2久+力2

平行：kr=k2,且瓦W

垂直:krk2——1

相交：的0k2

重合：的=k2,且%=b2

(2)当+Bty+J=0,l2-A2x+B2y+C2=0

平行：&=生，且

垂直：i41i42+B1B2=0

相交，A1B2*A2B1

重合：&=亘，且乙=Q

&%42

(或4/2=42反，^A1C2=A2C1)

圆与方程

一、概念与符号

1.曲线的方程、方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看做适合某种条件的点的集合或

轨迹)上的点与一个二元方程/■(%,y)=0的实数解建立了如下的关

系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的

点都是曲线上的点.

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.

二、常用公式

1.圆的标准方程

方程(尤—a)2+(y—b)2=产是圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方

程.其中当Q=b=0时，/+y2=产表示圆心为(0,(J),半径为表的

圆.

2.圆的一般方程

方程/+y2+D%+Ey+F=0,当D2+E2—4F>0时，称为圆的

一般方程.其中圆心为(一/-f),半街=：3+E2-4F

3.圆的参数方程

设C(Q,b),半径为A,则其参数方程为

(%=Q+Rcos6/de拈c,cJr\

{0(6为参数，0<6<

(y=b+Rsm02TT).

4.直线与圆的位置关系

设直线E：Ax+By+C=0,圆C：(%—+(y-办>="圆心

C(a,b)到［的距离为d=弓蜉，

则d>rol与圆C相离；

d=「=［与圆。相切；

d<r=，与圆C相交.

5.圆与圆的位置关系

设圆C/(%—%)2+6：—4)2=/，圆°2：(九一。2)2+6,—莅)2=

R2.设两圆的圆心距为d,

则当d>R+r时，两圆外离；

当£/=夫+「时，两圆外切；

当|R—力<dV灭+7•时，两圆相交；

当d=|R-r|时，两圆内切；

当d<\R-r|时，两圆内含.

圆锥曲线与方程

一、椭圆

1.椭圆[+[=l(a>b>0),c2=a2-b2(c>0),焦距IRFzl=2c.

2.如图5-3-11,

5-3-11

椭圆卫+1=1(。>办>0)的离心率有：e=-=11-^.

a2bza\Ja2

二、双曲线

1.双曲线三一《=1(。>0,b>0),有。2=。2+〃，焦距

IF/21=2c.

2.双曲线W-Q=1(Q>0,b>0)的离心率有形式：e=-=

a，a

3.等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，即Q=b的双曲线，双曲

线是等轴双曲线的充要条件，是两条渐近线垂直(或离心率e=V2).

2222

4.双曲线三一巳=1(。>0,匕>0)与其共转双曲线士一3=1的离

a2b2bza2

心率分别为e1、e2,则,+^—1.

61

三、抛物线

1.焦半径公式：设F是抛物线V=2px(p>0)的焦点，P(x0,%)是

抛物线上任一点，则

|PF|='O+42

2.F为抛物线y2=2p%(p>0)的焦点,1为其准线,弦48过焦点F,

且设4(%,%),F(%2,y2),48所在直线的倾斜角为6,则

ZT>P22

X^i-%2=7，"y2=-p\

=

②|/F|=%i+\BF\=x2+\AB|=%1+不+P:7a，•特别

22sin,。

地，当时6=；,弦长|/B|=2p,此时即为抛物线的通径长.

③S&OB=77^-

端+金=/

⑤过B作8。〃入轴，点C在准线上，贝必、B、F三点共线04、。、。三

点共线.

四、直线与圆锥曲线的关系

2

1.弦长公式：\AB\=V1+/CI%!-%2I=J1+*1%-y21-

2.抛物线的焦点弦|4a=1+必+?.

3.抛物线的通径|48|=2p.

算法初步

一、常用符号

图形符号名称

O起、止框

口输入、输出

框

—

处理框

判断框

二、基本算法语句

1.输入语句

IXPL7”提示内容”：变坦

2.输出语句

PR1XT“提示内容”；&送式

3.赋值语句

变情表达式

4.条件语句

TF条件计也\

语句体

ENDIF

IF条件THD

语句体1

ELSE

语句体2

ENDIF

5.循环语句

(1)直到型循环结构

IM)

循环体

LOOPUMIL条件

(2)当型循环结构

MILE条件

循环体

WEN1)

统计

一、常用符号

%——平均数,S2——方差,S——标准差,£——求和符号

二、常用公式

X=-（%1+%+-+%）,S2=-X）2

n2n

s==—署，”歹一版

回归方程

y=d+bx

其中

%=2之1（%一无）/一？）=一九〉••

'一£之式％-君2E21"-戒2'

XS.

Ia=y—ox.

相关系数

EX曲-nx-y

rJ-*—成;）•（!；资一之2）

概率

一、常用公式

1.随机事件力的概率：PG4)满足0EP(4)M1.

2.互斥事件的概率加法公式：

(1)如果4、B是互斥事件,则PQ4U果)=尸(4)+尸(3).

(2)如果4、3是相互独立事件,则P(AB)=P(4)P(B).

(3)如果事件4，A2,4两两相斥，贝！1

P(&U4U&U…U4”)=尸(4)+P(A2)+-+P(An).

3.互为对立事件概率加法公式：P(A)+P(A)=1.

4.古典概型：

p(A}=事件4包含的基本事件数

产⑷=试场的基本事件总数•

5.几何概型:

=构成事件A的区域长度(面积或体现)

()=试蛉的全部结果所构成的区域长度(面积或体积】•

离散型随机变量的分布列

一、常用公式

1.离散型随机变量的分布列的性质：

(1)Pi>0,(i=1,2,3,…，n)；

⑵Pi+p2+…+Pn=1-

2.离散型随机变量Z服从参数为N,M,九的超几何分布，则

pnipn-m

p(z=)=bMStM(0<m<Z),1为71和M中较小的一个.

mCN

3.条件概率公式：

P(8M)=掾M，PG4)>0.

4.如果事件A2,4互相独立，那么n这个事件都发生的概

率等于每个事件发生的概率的积，即

P(4n42n…n4)=尸(4)•P(R)••…P(4卜

5.如果在一次试验中事件”发生的概率是p,那么在九次独立重复试

验中事件4恰好发生k次的概率：

B(k)=C2pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…，n).

6.离散型随机变量X的均值或数学期望：

E(X)=XiPi+K2P2+…+^nPn(Pl+P2+…+Pn=

特别地：

(1)若X服从两点分布，贝花(X)=p

(2)若丫~8(”，p),贝(jE(X)=np

(3)E(aX+b)=QE(X)+b

7.离散型随机变量X的方差：

2

D(X)=-E(Z)]2Pl+[x2-E(Z)]2Pl+…+[xn-E(Z)]pn.

特别地：

(1)若X服从两点分布，贝|JD(X)=p(l—p)

(2)若X~B(n,p),贝(JD(X)=Tip(l-p)

(3)D(aX+b)=a2D(X)

8.正态变量概率密度曲线的函数表达式：

1”⑷2

其中生(7是参数，且。>0,-8<〃<+8,式中〃和。分别是正态

变量的数学期望和标准差.期望为〃，标准差为。的正态分布通常记作

NQi,(J2).

当〃=0,。=1时，正态总体称为标准正态分布，记作N(0,1).

标准正态分布的函数表示式是

1_任

/(%)=2,%GR.

三角函数

一、常用概念

1.角的概念及推广

(1)一条射线由原来的位置04绕着它的端点。按逆(顺)时针方向

旋转到另一位置。3,就形成角a.旋转开始时的射线。4称为角a的始

边，旋转终止时的射线08称为角a的终边，射线的端点。称为角a的

顶点(如图).

(2)逆时针方向旋转所形成的角称为正角，按顺时针方向旋转所形成

的角称为负角，当射线没有旋转时，称为零角.

2.弧度及弧度制

长度等于半径长的弧称为一弧度的弧，一弧度的弧所对的圆心角是一

弧度的角，这种度量角的制度称为弧度制.

3.三角函数的定义

22

如图，在a的终边上取一点P(x,y),\0P\=r=y/x+y>Q,

定义：sina=-r,cosa=-r,tana=x-

二、常用公式

1.孤长公式：l=\a\R,R为圆弧所在圆的半径，a为圆弧所对圆心角

的弧度数，I为弧长.

2.扇形的面积公式：S=-IR,R为圆的半径，I为弧长.

2

3.同角三角函数的关系式

(1)商数关系：tana=9,

cosa

(2)平方关系：sin2a+cos2a=1

(3)诱导公式：

X

sinxCOSTUnr

a+k・2n(keZ)sinacosatana

ir+a-sina-cosaUna

-a-sinacosa-tana

jr-asina-cosa-tana

JT

2~ttcosasina

n

2+acosa-sina

三、常用结论

1.一些特殊角的集合表示

⑴与a终边相同的角的集合：｛BlB=2k?i+a,fcGZ｝；

⑵终边在第一、三，二、四象限的平分线上的角的集合:

｛a|a=k7r+：,kEzj,.

｛/?|/?=kn—kEz｝；

⑶终边在坐标轴上的角的集合：｛a|a=g,kez)：

⑷终边在四个象限的平分线上的角的集合：

{a|a="+：,kEzj.

2.度与弧度的换算及特殊角的三角函数值

度0,30,45-60,90,180*270,360,

nVn3ff

02ff

6462n

1

正受0口立0T0

2

1

彼1匹立0-101

2

3

正切01b-0-0

三角函数的图象与性质

一、常用图形

1.三角函数线

sina=MP,cosa=OM^tana=AT.

2.三角函数的图象（如图9-2-23）

二、常用性质

函数名称正弦函数余弦函数正切函数

解析式y=sin%y=cosxy=tanx

\x\xeR且xhAn+g,k6z}

定义域RR

值域[T，1]H，1]R

奇偶性奇函数偶函数奇函数

有界性有界函数有界函数

周期性T=2nT=2nT=7T

增区间增区间增区间

r7TTT][Zkn-it,2kn](kn-g,fcir+^)

[2k7r-1>2kir+-]

(keZ)

单调性城区间减区间(fceZ)

rn37rl[Zkn,2kn+JT]

\2kTr+2,2kn+T\

(keZ)

(fceZ)

三、常用公式

1.正弦函数y=4sin（3%十3）和余弦函数y=4cos（3%+口）的周期

T27r

7=而

2.正切函数y=4tan（3x+伊）的周期为T=看

三角恒等变换

一、常用公式

1.两角和（差）公式

sin(a±0)=sinacos/?±cosasin/?；

cos(a±0)=cosacos0干sinasin0；

tan(a±/?)=tana+tanS

1+tanatan0

2.倍角公式:

sin2a=2sinacosa；

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a；

2tana

tan2a=

1-tan2a,

3.倍角公式的逆用:

解三角形

一、常用公式

1.三角形面积公式

1・nabc

S&ABC==底X高=：absinC=\bcsin”-aesmB=—

24R

其中R为A/BC的外接圆半径.

二、常用定理

1.正弦定理：

—^―=—^―=—^―=2R.

sinAsinBsinC

2.余弦定理：

a2=b2+c2—2becosA,

b2=a2+c2-2accosB、

c2=a2+b2—2abcosC.

3.求角公式

222222

-b+c—a刀a+c-b厂M+b2_c2

cosA=-----------,cosB=-----------,cosC

2bc2ac2ab

三、常用结论

在锐角44BC中，

1.i4+B+C=7T；

c・A+BC

2.sin---=cos-；

22

cA+B・C

3・cos----=sin-；

22

4.cos(i44-B)=—cosC；

5.sin(2i4+2F)=—sin2C；

6.cos(2i4+25)=cos2C；

7.A>B,则sinA>sinB.

平面向量

一、常用公式

设Q、b表示向量，且a=(%],%),b=(x2,y2),入表示实数.

1.加法原理：

a+b=(Xi+%2，

2.减法原理：

a-b=(<x1-x2,yi-y2).

3.数乘：Aa=(Ax1，入%).

4.数量积：

a-b=xxx2+外旷2-ab=|a||ft|cos0(其中6为Q与b的夹角)

5.平行关系：

QIIb=%1%2—yxy2=0.

6.垂直关系:

a1b=算1尤2+%%=0

7.中点坐标公式：

（+x2

x=-2，

'_yi+y2

\y-2•

8.三角形重心坐标公式：

（+%2+久3

「=3'

_71+、2+%

Vy=3Q，

其中（乙，%），（%2，%），（勺，%）为三角形三顶点的坐标・

9.长度公式

（1）|a|=42+y2,其中a=（%,y）；

22

（2）IABI=7（%1-X2）+（j^i-y2）»其中4aL，%），5（X2,y2）.

10,角度公式：

cos61=岛=小经警=，其中。为a与b的夹角.

同.㈤月袤.唇晟

二、常用定理

1.平面向量基本定理

如果0、02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的

任一向量a,有且只有一对实数入1、%,使a=入送1+入2&2・

2.两向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有有个实数X,使b=Xa.

3.两向量垂直定理

向量a与向量b垂直的充要条件是a•b=0.

数列

一、常用公式

1.等差数列、等比数列

等差数列等比数列

an+l

定义4+i-a=d=q

nan

a=a+(n—l)d,a=aiqf

通项公式ntn

nm

an=am+(n-m)da”=amq-

dy(”丰1)，q'T=工

公差（比）al

a-anm

d=--------(n*m)q-=-L

n-mam

/(%+4)

S"一2

前疝页和公式

n(n-1)5n="%(q=1)

=na1H-------------a

a+b

中项公式A=-------G=士Vab(ab>0)

2

"+、=%+aaaaa

m+nqmn=pq

=p+q

2.在等差数列｛4｝中：

（l）an=m,am=n,m^n,贝!|am+n=°；

⑵若Sn=m,Sm=n,mn,则Sm+n=~（m+n）；

⑶若Sn=Sm,m^n,则Sm+n=0.

3.若｛aj与血J均为等差数列，且前几项和分别为S”与〃，则詈=磬二.

bmRm一工

4.项数为2九（九EN,）偶数的等差数列｛册｝有：

S2n=九（％+a2n）=…=n（an+an+1）（an,册+i为中间的两项）;

S偶7奇…；家含

项数为奇数2九一1（九EN*）的等差数列｛七｝有：

^2n-l=（2九一1）0n（册为中间项）；

S奇一5偶=a九；£=六・

S苛、S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和.

5.常见数列的前九项和的公式

1+2+3+…+九=迺坦；

2

1+3+5+…+(2?1—1)=H2：

l2+22+32+--+n2=n(n+1)(2n+1)；

6

l3+23+33+-+n3=[^y^]2.

二、常用结论

1.4是。，b的等差中项的充要条件是4=?；

2.G是a,b的等比中项的充要条件是G2=ab,其中ab>0.

不等式

L不等式的性质

①a>bb<a

②Q>b,b>c=>a>c

③a>b=>a+c>b+c

④a>b,c>0ac>beia>b,c<0=>ac<be

⑤a>b,Od=>a+c>b+d

⑥a>b>0,c>d>0=>ac>bd

⑦a>b>0=>an>bn(nEN,n>2)

⑧a>b>00■>Vb(nGN,n>2)

2.一元二次不等式：

ax2+bx+c>0(a0),设支「牝是方程a/+bx+c=0的解,

且若Q>0，贝5J

A>0,｛x|x<xr,或%>^2｝；

A=0,｛尤x€R,且％H—2卜

A<0,x6R.

3.基本不等式：

,—a+b

\[ab<

乙

(其中a>0,b>Q,当且仅当。=匕时取

常用逻辑用语

一、常用符号

pVq-----p或q,pAq-------p且q,—>p-------非p

V——任意,三——存在

A=B一>4是B成立的充分条件

B=A——71是B成立的必要条件

A=B——4是B成立的充要条件

二、常用结论

1.

2.在p或q命题中，一真为真.

3.在p且q命题中，一假为假.

4.在非p命题中，与p的真假相反.

3.全称命题p：VxGM,p(x),它的否定叩：3%e•p(x).

6.特称命题q：3%GM,q(K),它的否定,q：VxGM,•(?(%).

导数及其应用

一、常用公式

1.常用函数导数公式

(1)C=O(C为常数)；

(2)(%n)z=(其中九eR)；

(3)(sinx)'=cos%；

(4)(cosx)z=—sin%；

(5)(In%)^-；

X

⑹(logax)'=-^—；

xlna

(7)(exY=ex；

(8)(ax)r=axIna.

(9)复合函数^二了值口刃的导数和函数^二八：〃)，u=g(%)的导数

间的关系为：%'=%'「%/.

2.函数的和、差、积、商的导数

(1)[/(%)±g(%)],=n%)±g,(%)；

(2)[/(%)•g(%)]r=r(%)g(%)+gwo)；

(3)[£^11'_fa)g3)-g，a)fGO

Lg(x)Jg2GO

3.定积分的线性性质

(1)[kf(x)dx=kJ：/1(x)dx；

(2)「[/(%)土g(x)]dx=Sa/(%)*土Cg(%)dx；

(3)£/(x)d%=1/(%)dx+£/(x)dx(a<b<c).

二、常用定理

1.函数的单调性与其导函数的正负的关系

在某个区间(a,力)内，如果f'(©>0,那么函数y=/(X)在这个区间

内单调递增；如果尸。)<0,那么函数y=f。)在这个区间内单调递

减.

2.一般地，求函数)，="第)极值的方法是：

解方程/'(%)=0,当广(而)=0时：

①如果在%。附近的左侧尸(第)>0,右侧尸(乃<0,那么/1(乙))是极大

值；

②如果在%0附近的左侧尸(无)<0,右侧尸(乃>0,那么fQo)是极小

值；

3.一般地，求函数y=f。)在［Q,b］上的最大值与最小值的步骤如

下：

①求函数¥=fO)在(a,b)的极值；

②将函数)，=/(%)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中

最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

4.微积分基本定理

如果F'a)=/a),且八尢)在心，耳上可积，则

J^/(x)dx=F(%)|*=F(fc)-F(a),其中F(x)叫做f3)的一个原函

数.

复数

一、常用公式

1.(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(匕+d)i,

(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(b—d)i,

(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i,

空生=个与+容±^«•+由