重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题考试时间：90分钟 总分：150分 年级/班级：高一年级试卷标题：重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题。一、选择题（每题5分，共20分）要求：在下列各题的四个选项中，只有一个选项是正确的。1.已知函数$f(x)=2^x-x^2$，下列说法正确的是：A.函数在$x=1$时取得极小值B.函数在$x=0$时取得极大值C.函数的图像是一条抛物线D.函数在$(-\infty,0)$上单调递增2.在直角坐标系中，点$A(1,2)$关于直线$y=x$的对称点是：A.$(2,1)$B.$(1,-2)$C.$(-2,1)$D.$(-1,-2)$3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_4=20$，$S_7=49$，则该等差数列的公差$d$为：A.2B.3C.4D.54.下列各式中，正确的是：A.$2^0=1$B.$\sqrt[3]{-27}=-3$C.$a^2+b^2\geq2ab$D.$0^0=1$5.若$sinA=sinB$，则下列结论正确的是：A.$A=B$B.$A=\pi-B$C.$A+B=\pi$D.$A-B=\pi$6.在平面直角坐标系中，点$(2,3)$关于直线$x+y=0$的对称点是：A.$(-3,-2)$B.$(-2,-3)$C.$(3,-2)$D.$(2,-3)$二、填空题（每题5分，共20分）要求：将答案填在题目的横线上。7.函数$y=\sqrt{4-x^2}$的定义域为_________。8.等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=3$，$d=2$，则$S_5$的值为_________。9.在直角坐标系中，点$P(2,3)$到直线$2x+y-5=0$的距离为_________。10.函数$y=x^2-2x+1$的顶点坐标为_________。三、解答题（每题10分，共40分）要求：解答下列各题，写出必要的文字说明、证明过程或计算步骤。11.已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求：（1）函数$f(x)$的极值；（2）函数$f(x)$的零点。12.已知等差数列$\{a_n\}$的第三项$a_3=5$，第$n$项$a_n=2n+1$，求：（1）等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1$；（2）等差数列$\{a_n\}$的公差$d$；（3）等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$。13.在平面直角坐标系中，已知点$A(1,3)$和点$B(4,-2)$，求：（1）直线$AB$的斜率；（2）直线$AB$的方程；（3）直线$AB$与$x$轴的交点坐标。14.已知函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，求：（1）函数$f(x)$的定义域；（2）函数$f(x)$的值域；（3）函数$f(x)$的图像特征。四、证明题（每题10分，共20分）要求：证明下列各题。15.证明：若$a^2+b^2=2$，则$a^4+b^4=2(a^2+b^2)^2$。16.证明：在三角形ABC中，若$AB=AC$，则$BC^2=AB^2+AC^2$。五、计算题（每题10分，共20分）要求：准确计算下列各题。17.计算下列三角函数值：（1）已知$sinA=\frac{3}{5}$，且$A$为锐角，求$cosA$；（2）已知$cosB=-\frac{4}{5}$，且$B$为第二象限的角，求$tanB$。18.计算下列数列的前$n$项和：（1）已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，求$S_6$；（2）已知数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2+3n$，求$b_7$。六、应用题（每题10分，共20分）要求：根据实际问题，列出方程或不等式，并求解。19.某商店为了促销，将一批商品的原价提高了一定比例，然后按原价的八折出售，结果比原价降低了20%。求商品提价的比例。20.某工厂生产两种产品，甲产品每件利润为100元，乙产品每件利润为200元。若每天生产甲产品x件，乙产品y件，总利润为8000元，且甲乙产品的总件数为50件。求甲乙产品各生产多少件。本次试卷答案如下：一、选择题1.A解析：首先对函数$f(x)=2^x-x^2$求导得$f'(x)=2^x\ln2-2x$，令$f'(x)=0$解得$x=1$，再求二阶导数$f''(x)=2^x\ln^22-2$，代入$x=1$得$f''(1)=2\ln^22-2>0$，所以$x=1$是函数的极小值点。2.A解析：点$A(1,2)$关于直线$y=x$的对称点可以通过交换横纵坐标得到，即$(2,1)$。3.B解析：由等差数列的性质知$S_7-S_4=3d$，代入$S_4=20$，$S_7=49$，得$3d=29$，解得$d=3$。4.C解析：$2^0=1$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$a^2+b^2\geq2ab$（均值不等式），$0^0$没有确定的值，通常认为$0^0=1$。5.D解析：由正弦函数的周期性知$sinA=sinB$时，$A$和$B$可能相差$2k\pi$或$A=\pi-B$，但由于题目没有说明$A$和$B$的范围，所以只能选择$A-B=\pi$。6.B解析：点$(2,3)$关于直线$x+y=0$的对称点可以通过将点$(2,3)$的坐标分别取相反数得到，即$(-2,-3)$。二、填空题7.$[-2,2]$解析：函数$y=\sqrt{4-x^2}$的定义域是使得根号内的表达式非负的$x$的取值范围，即$4-x^2\geq0$，解得$x\in[-2,2]$。8.25解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=3$，$d=2$，$n=5$，得$S_5=\frac{5}{2}(3+2\times5)=25$。9.$\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$解析：点到直线的距离公式$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入$A=2$，$B=1$，$C=-5$，$x_0=2$，$y_0=3$，得$d=\frac{|2\times2+1\times3-5|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。10.$(1,0)$解析：函数$y=x^2-2x+1$可以写成$y=(x-1)^2$，所以顶点坐标为$(1,0)$。三、解答题11.（1）极值点$x=1$，极小值为$f(1)=1-3+1=-1$。（2）零点$x=1$。12.（1）$a_1=3$。（2）$d=2$。（3）$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(2\times3+(n-1)\times2)=n^2+2n$。13.（1）斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-2-3}{4-1}=-\frac{5}{3}$。（2）直线方程$y-3=-\frac{5}{3}(x-1)$，整理得$5x+3y-18=0$。（3）令$y=0$，解得$x=\frac{18}{5}$，所以交点坐标为$(\frac{18}{5},0)$。14.（1）定义域$x\neq1$。（2）值域$y\neq1$。（3）图像特征：开口向上，顶点$(1,0)$，与$x$轴交于点$(1,0)$。本次试卷答案如下：四、证明题15.证明：若$a^2+b^2=2$，则$a^4+b^4=2(a^2+b^2)^2$。解析：已知$a^2+b^2=2$，则$(a^2+b^2)^2=4$，展开得$a^4+2a^2b^2+b^4=4$。因为$a^2+b^2=2$，所以$2a^2b^2=4-(a^2+b^2)^2=4-4=0$，即$a^2b^2=0$。因此$a^4+b^4=4$，即$a^4+b^4=2(a^2+b^2)^2$。16.证明：在三角形ABC中，若$AB=AC$，则$BC^2=AB^2+AC^2$。解析：作$AD\perpBC$于点D，因为$AB=AC$，所以$BD=DC$。由勾股定理得$BD^2+AD^2=AB^2$，$DC^2+AD^2=AC^2$。将两个等式相加得$BD^2+DC^2+2AD^2=AB^2+AC^2$。因为$BD=DC$，所以$BD^2+DC^2=BC^2$，代入得$BC^2+2AD^2=AB^2+AC^2$。由于$AD$是公共边，所以$AD^2$在等式两边都存在，可以消去，得到$BC^2=AB^2+AC^2$。五、计算题17.计算下列三角函数值：（1）已知$sinA=\frac{3}{5}$，且$A$为锐角，求$cosA$；解析：由三角恒等式$sin^2A+cos^2A=1$，代入$sinA=\frac{3}{5}$，得$\frac{9}{25}+cos^2A=1$，解得$cosA=\frac{4}{5}$。（2）已知$cosB=-\frac{4}{5}$，且$B$为第二象限的角，求$tanB$；解析：由三角恒等式$sin^2B+cos^2B=1$，代入$cosB=-\frac{4}{5}$，得$sin^2B=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$，因为$B$在第二象限，所以$sinB=\frac{3}{5}$，由$tanB=\frac{sinB}{cosB}$，得$tanB=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$。18.计算下列数列的前$n$项和：（1）已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，求$S_6$；解析：$S_6=\sum_{n=1}^{6}(3n-2)=3\sum_{n=1}^{6}n-2\sum_{n=1}^{6}1=3\frac{6(6+1)}{2}-2\times6=54-12=42$。（2）已知数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2+3n$，求$b_7$；解析：$b_7=S_7-S_6=4\times7^2+3\times7-(4\times6^2+3\times6)=196+21-144-18=65$。六、应用题19.某商店为了促销，将一批商品的原价提高了一定比例，然后按原价的八折出售，结果比原价降低了20%。求商品提价的比例。解析：设商品原价为$P$，提价比例为$x$，则售价为$P(1+x)\times0.8$。根据题意，$P(1+x