2025高考数学二轮复习-函数与不等式311-320-专项训练【含答案】

三、有关周期性的问题[例1]设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,求证是周期函数.故即,又由是偶函数知则,将上式中-用代换,得.这表明是上的周期函数,且2是它的一个周期.[例2]是定义在R上的函数,对任意有并存在正实数c,使试问是否为周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由.解析:用分别替换条件中的x,y得即,所以故是周期函数,2c是它的一个周期.《评注》这类问题应该仔细分析题设条件，通过类比、联想找到满条件的函数模型，通过对函数模型的分析赋值代换以获得问题的解答.请记住下列抽象函数模型：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)的函数模型是余弦函数型f(x-y)=1+f(x)f(y)/{f(x)-f(y)}的函数模型是余切函数型f(x+y)=f(x)-f(y)/1+f(x)f(y)的函数模型是正切函数型，它们的共同点是都具有周期性.[例3]设函数的定义域关于原点对称且若,求证的周期为解析：由得,故的周期为.变式训练已知是定义在上的函数,且满足求的值..[例4]设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意都有求及的值;求证：f(x)是周期函数；记=，求.解析：(1)因为对都有所以又所以得.（2)依题设关于直线对称,有即又由是偶函数知,所以得这表示是上的周期函数,且2是它的一个周期.(3)由(1)知,故因为的一个周期是2,所以从而，所以四、抽象函数的综合展现[例1]已知定义域为[0,1]的函数同时满足:（1）对于任意,总有;(3)若则有（1)试求的值（2)试求函数的最大值(3)求证:满足上述条件的函数对一切实数都有.解析：令,依条件可得即又由条件(1)得则(2)任取可知,则,即,故.于是当时,有因此,当时有最大值为1.(3)()当时;(ii)当时则,显然,当时成立假设当时,有成立,其中.那么当时可知对于总有其中而对于任意存在正整数n,使得,此时.(iii)当时.综上可知,满足条件的函数对总有成立.[例2]已知函数满足对任意实数x,y都有且.(1)求的值;（2)求证:对一切大于1的正整数t,恒有（3)试求满足的整数的个数,并说明理由.解析：(1)令得令因为所以令得,所以(2)令得,故当时,有由可知,对一切正整数都有当时故对一切大于1的正整数,恒有(3)解法1:由及(1)可知下面证明当时,.早得.因为,所以同理可得将各不等式相加得由得综上所述，满足条件的整数只有两个,即1和一2.解法2:由得((2)故是二次函数.（由（1）知最高次数不是四次,由（2）知最高次数为三次也不可能,故只能是二次）设待定系数得,则即解得或一2.故满足条件的整数只有1和-2.解法得,分别用和1代换和得,递推累加即得令得或故满足条件的整数只有1和一2.[例3]已知函数满足条件:(4)当时,有.(1)求的值;f(1),f(2),f(3)的值,猜想的解析式,并证明.解析：（1）又,故.又且故(2)由猜想.用数学归纳法证明:(n=1时函数解析式成立(ii)假设时成立.(1)若则(2)若则所以即时,函数解析式成立.综合(1)(2)可知成立.[例4]已知函数对任意都有.(1)求和的值(2)若数列满足则数列是等差数列吗?请给出证明;(3)令试比较与的大小.解析：(1)因为所以.令得即.(2),又,两式相加得所以又故数列是等差数列.当时,当时，所以.[例5]设函数定义在上,对任意都有且存在正数满足求证:(1)是偶函数；(2)是的周期;f(x)在上是减函数时的最小正周期是解析：((1)令得由得又,得所以是偶函数.(2)由得即,故所以是的周期.(3)设是的最小正周期,若则又在上单调递减0,故在中取得则,又则.但矛盾所以的最小正周期不小于又是的正周期,故是的最小正周期.（也可以证明在上是减函数,再证明在上是增函数,由故在之间不存在使得而最小正周期满足于是[例6]已知定义在上的单调函数当时且对任意的实数有(1)求,并写出一个适合题意的函数的解析式;(2)若数列满足且,（i)求通项公式;(ii)令试比较与的大小，并加以证明;(iii)当时,不等式对于不小于2的正整数恒成立,求的取值范围.解析：(1)令得则.适合题意的的解析式是.(2)(i)由递推关系知・即,从而又故(ii欲比较与的大小,只需比较与的大小,容易知道从而(iii)令故当时.由题意有又知.[例7]已知函数在(-1,1)上有定义,且满足对任意有在数列中求证在(-1,1)上为奇函数;求的解析式；(3)是否存在自然数m,使得对于任意有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.解析：(1)当x=y=0时令得即,对任意的,故在(-1,1)上为奇函数.(2)由满足得.由在(-1,1)上为奇函数.得;由得从而.$假设存在自然数m,使得对于任意有成立,即恒成立,则解得故的最小值为16.[例8]已知偶函数对任意恒有求:(1)的值;f(x)的解析式(3)且在上的最值.解析(1)取则故;取则故取则故(2)又,故(3)设当时无最大值，所以时无最大值，时无最小值.(例9)已知对任意正实数x,y,总有.(1)求的值;(2)求证:.解析:1)令y=1,则・1故.(2)令,则・),故.令则又故.[例10]已知函数对任意的实数m,n有且当时有求证在上为增函数$;$若f(1)=1,解不等式解析:解法1:(1)设则即.所认在上为增函数.(2)由得,即所认是解得即或.故原不等式的解集为或.例11、已知定义在上的函数y=满足(1)对任意有;(2)当时;(3).(1)求证:函数在上为单调减函数（2）若集合集合试问是否存在p,q的值,使若存在,请求出p,q的值;若不存在,请说明理由.解析：取则故令则故,任取且,则即,所以函数在上为单调减函数.（2)假设存在这样的p,q,使.由条件(1)(3)可得,由得即（4）由(4)式得.（5）而且函数在上单调所以即(6).将（6）代入(5)可得即,所以这样的p,q不存在.例12;已知函数的定义域为R，并满足以下条件：(1)对任意有(2)对任意有;(3).(1)求的值;(2)求证在上是增函数;(3)若且求证.解析：解法1:(1)令x=0,y=2,得.因为所以.（2)任取且.设则，所以因为所以.所以在上是增函数.(3)由(1)(2)知所以.因为所以所以.解法2:(1)因为对任意有所以所以当时因为时所以(2)因为所以,所以为上的增函数.(3),ऊा所以所以.详解详析一、函数单调,十二大类(一)一次分式,含参探求例变式训练1.答案2.答案4.答案二、二次分式,变换对勾例1变式训练单调区间为，.(解析则画出图象，如图所示，即可求出单调区间.例1I变式训练$）$1.答案(解