2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何11-20-专项训练【含答案】

方程①左边的特征，由对偶性原理可想到：但其值未知，故只要分子有理化即可得对偶式:，②所以由①②即得，③两边平方后得到④令则有标准方程这种求法难道不会让学生感到对偶思想的精美与神奇吗?同时，由④式我们还得到了一个副产品，即：这个式子用运动的观点看是:一动点到一定点的距离与到一定直线的距离之比为一常数.（这正是椭圆的第二定义）八、整理化简，抓住主元在解析几何运算中常常要涉及直线方程和曲线方程的联立消元问题，而这步运算的错误率很高，由消元整理产生的错误，会导致后续工作全面乱套，破坏了数学内在结构的完美与和谐，使运算钻进烦琐的死胡同.因此，有必要研究这步运算的合理性和科学性，既要速度快又要正确率高，那就是抓住“主元”，一步到位算系数，从高次到低次逐步计算相应系数和即可.例如化简方程只要先抓住“主元"的系数,再看的系数,最后看常数项,就得.这样化简不仅快，而且不易出错.（因为在计算t的不同次数的系数时，互不干扰、互不影响，且注意力相对集中在同次系数的和上）这里先不去分母保持整体性，最后再化简也是一种有效策略.九、定值定点，特值先知对于待定的参数预先可通过特定的位置先求出目标，为后续的正确运算提供保障.【例10】已知是抛物线上一定点，直线与轴正半轴的夹角互补并分别交抛物线于两点，求证:直线的倾斜角为定值.【解析】如图1,对取极端位置，使两者重合，此时，点重合，直线为切线，而切点即为点关于轴的对称点.由于的切线为,所以即直线的倾斜角为定值.【评注】先做到心中有目标.【例11】是抛物线上的一个定点，是抛物线上两个动点，如果，问:动直线是否过定点？定点坐标是什么？【解析】如图2,一方面,直接让垂直对称轴,交抛物线于点,此时平行于轴（点趋向无穷远),故也平行行于轴,所以定点必在其上,即纵坐标为.另一方面,过点的抛物线的法线(当点趋向点时,即为点的切线,此时即为法线)必过定点,即得定点的坐标为.即动直线过定点,定点坐标为.【变式训练】已知椭圆及其上一点为椭圆上不同于点的两点,且,求证:直线过定点.十、距离面积，化斜为直解题时我们常常遇到求线段长度或三角形面积问题，若用两点间距离公式计算，则会比较烦琐，此时就要“化斜为直”，即是把斜的线段转化为垂直或水平的线段，这样求解就简单多了.【例12】如图1,已知圆,过原点作此圆的切线,切点为又过原点任作一直线，交圆于两点，交直线于点.设求证.【解析】1设直线将直线方程代入圆方程,得整理得由于.则等价于此处即为“化斜为直").左边.过切点的直线的方程为,求方程组的解,得故,从而即证.【例13】直线过椭圆左焦点交椭圆于，两点,为右焦点,求面积的最大值.【解析】由于直线过点,一方面要利用“”坐标,另一方面求面积可“化斜为直”,故应设直线与椭圆方程联立解方程组,得.整理得得，当时,达到最大值.【评注】上述运算注意了两个地方的优化：一是设直线优化；二是化斜为直求面积，使得运算过程大大简化，快速完成.你不妨用一般法设直线时,先用点到直线距离公式求高，再求弦长,最后求面积，对两种方法进行比较，即可知对方法进行优化的重要性.十一、涉及中点，点差为宜若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为，，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.当所给条件涉及线段中点问题时，一般优先考虑“点差法”.【例14】在抛物线中，若直线与抛物线相交于两点是弦的中点,弦所在直线的斜率为求证【解析】设两点的坐标分别为则有①②，得所以.又因为.所以.【评注】使用这个公式的条件：（1）直线与拋物线有两个不同的交点;（2)直线的斜率存在且不等于零.同理可证,在拋物线中,若直线与抛物线相交于两点是弦的中点,弦所在直线的斜率为,则.【例15】已知椭圆是椭圆上的两点,线段的垂直平分线与轴相交于点求证.【解析】设中点由于的垂直平分线与轴相交,故不平行于轴,即.又交点为故有①-②并整理得:.把上述各式代入,得.又，所以.【评注】上述解法只是把条件一一列出，并作差代入,运算简捷.【例16】已知拋物线上恒有关于直线对称的相异两点,求实数的取值范围.【解析】如图1,设执物线上两点关于直线对称,且弦的中点为.根据题意，点在直线上,所以.设与联立得所以.又由得.点在拋物线的开口内.所以.解得故实数的取值范围是.【例17】已知椭圆试确定的取值范围,使得对于直线椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.【解析】设为椭圆上关于直线对称的两点,为弦的中点.则.两式相减得,即因为,所以,这就是弦中点的轨迹方程.它与直线的交点必须在椭圆内.联立得则必须满足即,解得.十二、代换消元，低次从优解与圆锥曲线相关的问题，经常会遇到将直线与曲线方程联立解方程组的情况，有时不注意优化，会使运算变得相当烦琐，尤其当曲线为抛物线时，二次方程出现一次项，故要充分抓住这个“低次”不放.若曲线方程为则设直线方程为；若曲线方程为,则设直线方程为.【例18】如图1,已知拋物线过点过定点(2,0)的直线与曲线交于两点,以为直径的圆交轴于两点,为原点.求证为定值.【解析】由题意得故所以.设，，以为直径端点的圆为:由此可得设则是方程即的两个实根，故有则，所以.【评注】本题方程是故设,使后续一系列运算变得简捷顺畅.【例19】如图，已知点，，是抛物线上两个动点，且求证:直线过定点.【解析】设把代入抛物线方程得由于,可得,从,整理得,即，,从而.所以直线过定点【评注】本题曲线方程中的指数为，故抓住这一特征,设可使运算更简捷.【例20】如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线,分别与线段和直线交于，两点.（1）若，求的值;（2）若为线段的中点，求证:直线为此抛物线的切线;(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.【解析】（1)设过点的直线方程为所以即设，因为所以即,整理得:.所以即所以舍去.（2)设过点的抛物线的切线为,所以即它与直线的交点为.又所以由于故有从而点即点和点重合,也就是为此抛物线的切线.（3)第(2)问的逆命题成立.由(2)可知因为轴,所以.因为所以为的中点.【评注】本题曲线方程为故设直线方程为下面运算就方便了.十三、两点直径，方程妙用定义以点为直径端点的圆方程,简称直径圆方程,其表达形式为:【解析】如图1，设为圆上一点，则，故.去分母,得直径圆方程【评注】直径圆方程的作用非常神奇，利用它可大大简化运算过程，而且高考考查频率很高，应予以足够重视.下面举例说明.【例21】如图2，已知抛物线过点，直线：与曲线交于两点问:是否存在这样的实数使得是以为斜边的直角三角形?【解析】由题意得故所以.设联立方程消去得,整理得因为,即所以,即,故故故故从而故存在满足题意.【例22】过直角顶点的两直角边交拋物线于两点，求中点的轨迹方程.【解析】设由已知及直径圆方程得：(5)式变形得,将(3)(4)化式代入得,整理得，即(6)(1)式变形得(7)(2)式平方得.(8)(8)(7)得((9)和(2)式均代入(6)式得,