2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何71-80-专项训练【含答案】

十三、圆幂定理巧妙运用【例17】如图，直线：交圆于，两点，已知点（-6，3），求的最小值.【解析】解法1如图2，取中点，过点作圆的外切线且切点为，直线过定点（6，3），则.其中.（，（圆幂定理））解法2如图3，联立，得，整理得.设，小值.令，则.因为，所以.故，此时.所以.故.【评注】本题用通法（解法2）解非常麻烦，但解法1巧妙地用向量分点插入，并借助圆幂定理获解.【规律探索】圆幂定理：如图4，过圆内一点作两条弦分别交圆于点，，，，则.如图5，过圆外一点作圆的两条割线，分别交圆于点，，，.再作切圆于点，则，其中，.【例18】直线过点（-1，0），交圆于，两点，交直线点，是中点，求证：为定值.【解析】解法1如图6，由已知得，，，四点共圆，由圆幂定理，得.解法2设直线，化斜为直联立得，整理得.又得..【评注】本题同样用通法（解法2）解较麻烦，但解法1利用，，，四点共圆并借助圆幂定理获解.【娈式训练】是半径为5的圆上的定点，是圆上的动弦，且弦长为6，则的最大值为 （）A.30 B.36 C.54 D.60【柘展提升】1.设，，若直线与圆相切，则的取值范围是 （）A. B.C. D.【答案】D【解析】圆心坐标为（1，1），半径为1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足，即.设，即，解得或.2.在平面内，定点满足，，动点，满足，，则的最大值为.【答案】【解析】由图7分析.过程略.3.在中，是的中点，，，则的面积的最大值为.【答案】【解析】以所在直线为轴，以为坐标原点建立如图8所示的平面直角坐标系，的面积只与点的纵坐标有关.设的长为2，则点既在以为圆心，2为半径的圆上，又在以，为焦点，实轴长为2的双曲线右支上，联立圆与双曲线的方程有两式相减并整理得.当且仅当时取到等号，所以.【例19】已知（3，2），点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是.【答案】3【解析】此问题中，都是动点，考虑先固定其中的一个动点，让另一个动点移动，看看何时的模取到最值.发现先固定点比较容易（先固定点则需要根据点的位置不同进行讨论），如图9.当点固定时，考虑的坐标.点的移动不改变这个和向量的横坐标，所以当这个和向量的纵坐标为零时，对应的模有最小值，且纵坐标一定可以取到零.接下来让点在圆上移动，考虑和向量的横坐标的绝对值何时最小.因为P的横坐标恒为-3，的横坐标小于等于零，所以当的横坐标为零时，和向量横坐标的绝对值最小，此时的模有最小值3.容易求出此时（3，-2），（0，6）.十四、切点弦方程快解题已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，.求证：直线过定点.【解析】设点，则，从而圆的切点弦所在直线的方程为：.变形得，于是，即.联立方程求得定点坐标为.【评注】本题利用了切点弦解决问题.【规律探索】1.切点弦方程求法：①过圆上一点（，）的切线方程是：.一般地，当（，）点在圆上时，直线记为过点（，）的切线，如图1；当点（，）在圆外时，直线为过点（，）两切线的切点弦所在直线的方程，如图2；当点（，）在圆内时，直线记为过点（，）且垂直于的直线，如图3.2.三者距离之间的重要关系若设点到直线的距离为，的长为，则为常数.注①一般地，如何求圆的切线方程？抓住圆心到直线的距离等于半径；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求.3.—般方程的切点弦已知圆和点，则圆的切点弦方程是：.【变式训练】已知（，）（）是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则 （）A.，且与圆相交 B.，且与圆相交C.，且与圆相离 D.，且与圆相离【例2】已知圆，过原点作此圆的切线，切点为，.又过原点任作一直线，交圆于，两点，交直线于点（如图4）.设，，，求证：.【解析】联立方程得.整理得，则，.切点弦：.联立方程得得.，而.故.【评注】化斜为直，利用切点弦方程.十五、切线长公式巧运用【例22】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为 （）.A.10 B.13 C.16 D.19【答案】B【解析】如图1所示，由于，为切线，在和中，有.又，所以最小值为13.故选B.【评注】本题考查双曲线的定义，直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系，数形结合的数学思想，划归与转化的数学思想.我们首先根据题意画出图象，然后根据半径垂直于切线，将题目中的，转化为，，再结合图象可知，当，，三点共线时，取得最小值8.【规律探索】切线长公式及意义：过圆外一点（，），所引圆的切线的长为（为切点）；过圆外一点（，），所引圆的切线的长为.【变式训练】1.设，为圆上两个动点，，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为.2.已知圆，圆，动点到两圆的切线长相等，求点的轨迹方程.3.求过两圆，的交点，且过坐标原点的圆的方程.【拓展提升】过点的圆的切线长等于点到点（-2，-1）的距离，求点到原点的最小距离.【解析】点的轨迹方程为：，所求的最小距离为.十六、圆与圆的位置关系【例23】在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是.【答案】【解析】因为圆的方程可化为：，所以圆的圆心坐标为（4，0），半径为1.由题意，直线上至少存在一点（，），以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，所以存在，使得成立，即.因为即为点到直线的距离，所以，解得.所以的最大值是.【评注】判断圆与圆的位置关系一般转化为判断圆心距与两圆半径的和差关系.【规律探索】圆与圆的位置关系.已知两圆的圆心分别为，，半径分别为，，则①当，两圆外离；②当时，两圆外切；③当时，两圆相交；④当时，两圆内切；⑤当时，两圆内含.【例24】已知为圆与圆的交点，'若，，则点与上的点之间距离的最小值是.【答案】2【解析】设，，，如圆，故.整理得.类似地，有圆，故.于是，是关于的方程的两个实根，于是.从而点的轨迹方程为.因此点到直线的最小距离为2.【娈式训练】双曲线的左焦点为，顶点为，，是双曲线右支上一点，则分别以线段，为直径的两圆位置关系为.【拓展提升】设圆和圆是两个定圆，动圆与这两个定圆都相切，则圆的圆心轨迹不可能是（）【答案】A【解析】设圆和圆的半径分别是，，.一般地，圆的圆心轨迹是焦点为，，且离心率分别是和的圆锥曲线（当时，的中垂线是轨迹的一部分；当时，轨迹是两个同心圆）.当且时，圆的圆心轨迹如选项B；当时，圆的圆心轨迹如选项C；当且时，圆的圆心轨迹如选项D；由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆的圆心轨迹不可能是选项A.十七、两圆的公切线问题【例25】如图1，在平面直角坐标系：中，圆，圆都与直线及轴正半轴相切.若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为（2，2），求直线的方程.【解析】由题意，圆心，都在轴与直线组成角的角平分线上.若直线的斜率，设，则.圆心，在直线上，可设，.交点（2，2）在第一象限，，，，所以，，所以即所以，是方程的两根，于是=.由半径的积，得，故.所以，直线的方程为.【规律探索】两圆的公切线问题：（1）两圆外离，公切