2025高考数学二轮复习-排列组合+概率统计101-110-专项训练【含答案】

则，所求概率五、互斥事件概率（一）细胞分裂问题【例69】某种细胞如果不能分裂则死亡,并且一个细胞死亡或分裂为两个细胞的概率都为现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是().A.B.C.D.【答案】A【解析】先考虑一个母细胞,两次分裂后还有细胞存活的概率.这个概率.故两个这样的细胞,两次分裂后还有细胞存活的概率故选（二）数字排列问题【例70】随机取一个正整数,则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是.A. B. C. D.【答案】D【解析】若一个正整数的三次方的个位数是1,那么这个正整数的个位数字也必然是1.可试得中只有71符合要求，而且末两位是71的均符合要求.故选D.(三)彩票中奖问题【例71】某种体育彩票的抽奖规则是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个。有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码，也有人说，由于每个号码出现的机会相等，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，应该买这一号码,你认为他们的说法对吗?【解析】抽奖中的36个球的大小、重量等应该是一致的，严格说，为了保证公平，每次用的36个球,应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形,和没有用过的球一样.因此，当你把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的.(四)网络占线问题【例72】某单位的6名员工借助互联网开展工作，每名员工上网的概率都是0.5(相互独立).(1)求至少3人同时上网的概率；（2)至少几人同时上网的概率小于0.3?【解析】（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，故所求悅率，(2)至少4人同时上网的概率,至少5人同时上网的概率，因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.(五)试题抽答问题【例73】甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.（1）求甲答对的试题数的分布列及数学期望；（2)求甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率.【解析】（1）依题意，甲答对的试题数的分布列为0123甲答对的试题数的数学期望.（2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A,B,则，解法1因为事件A,B相互独立,所以甲、乙两人考试均不合格的概率，甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率.故甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率为.解法2因为事件A,B相互独立，所以甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率故甲、乙两人中至少有一人考试合格的概率为.(六)硬币抛掷问题【例74】投掷一枚硬币(正反等可能)，设投掷次，其中不连续出现3次正面向上的概率为.（1）求；（2）写出的递推公式，并指出单调性；（3）是否存在?有何统计意义?【解析】(1)显然又投掷4次连续出现3次正面向上的情况只有:“正正正正"或“正正正反"或“反正正正",故（2）共分三种情况:①如果第次出现反面，那么前次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是相同的，所以这个时候不出现连续3次正面的概率是;②如果第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是相同的,所以这个时候不出现连续3次正面的概率是；③如果第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续3次正面和前次不出现连续3次正面是相同的，所以这时候不出现3次连续正面的概率是.综上，由上式知，④所以，⑤由得.所以，当时单调递减,又易见(3)由(2)知，当时单调递减,且显然有下界0,所以的极限存在,对两边同时取极限可得其统计意义:当投掷的次数足够多时,不出现连续3次正面向上的次数非常少,两者的比值趋近于零.【评注】本题第三问用到了定理:单调递增(或递减)且有上界(或下界)的数列必有极限.【变式训练13】抛一枚均匀硬币,正反面出现的概率都是反复投掷.数列的定义如下：若则事件“的概率是A. B. C. D.(七)二项分布问题【例75】某厂生产电子元件，其产品的次品率为,现从一批产品中任意连续取出2件，求次品数的分布列。【解析】从大批产品中抽取2件产品，可视所抽到产品的次品数服从二项分布,故次品数的概率分布列为012【例76】系统内有个元件，每个元件正常工作的概率为若有超过一半的元件正常工作，则系统可正常工作，求系统正常工作的概率并讨论的单调性.【解析】在个元件中，若恰有个正常工作,则系统正常工作的概率为；若恰有个正常工作，则系统正常工作的概率为;......若恰有个正常工作，则系统正常工作的概率为.故。当有个元件时,考虑前个元件,为使系统正常工作,前个元件中至少有个元件正常工作.①前个元件中恰有个正常工作,它的概率为此时后2个元件必须同时正常工作,所以这种情况下系统正常工作的概率为.②前个元件中恰有个正常工作,它的概率为此时后2个至少有1个正常工作即可.所以这种情况下系统正常工作的概率为③前个元件中至少有个元件正常工作，它的概率为此时系统一定正常工作.故（这里用到）故当时为常数；当时单调递减；当时单调递增.（八）几何分布问题【例77】已知某射击手击中目标的概率为,概率分布列如下123…..…..…..…..求从射击开始到击中目标所需的次数的数学期望和方差.【解析】令①则两边同乘得②①-②得，即，，其中又则上式括号中的式子可化为关于的导数，则因此.六、几何概率问题（一）线性规划问题【例78】由不等式确定的平面区域记为,不等式确定的平面区域记为,在中随机取一点,则该点恰好在内的概率为().A. B. C. D.【答案】D.【解析】先根据给出的不等式组表示出平面区域,再利用几何概型公式求解.依题意,不等式组所表示的平面区域如图所示.由几何概型公式知,该点落在内的概率.【例79】某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上到校,且每人在该时间段内的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王早至少5分钟到校的概率为（用数字作答)【答案】【解析】可设出两人到校的时刻,列出相应的关系式,再画图并根据几何概型的概率公式进行求解.设小张与小王到校的时刻分别为7:30之后,分钟，则由题意知小张比小王早至少5分钟到校需满足其中所有的基本事件构成的区域为一个边长为20的正方形,随机事件“小张比小王早至少5分钟到校"构成的区域为图的阴影部分.由几何概型的概率公式可知,所求概率.【变式训练14】在圆内任取一点,则该点恰好在区域内的概率为（）A. B. C. D.（二）质点投放问题【例80】将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中则该质点落在以AB为直径的半圆内（图中的阴影部分）的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】求出阴影部分的面积，利用几何概型求概率。阴影部分为半圆，其面积，长方形面积所以由几何概型知该质点落在以AB为直径的半圆内的概率是.【例81】如图所示，在边长为1的正方形中,随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为【答案】0.18【解析】由几何概型可知，所以.【例82】正方形的四个顶点，，，分别在抛物线和上,如图所示，若将一个质点随机投入正方形中,则质点落在图中阴影区域的概率是.【答案】【解析】阴影部分面积等于正方形面积减去其内部的非阴影部分的面积，由对称性可知.根据几何概型知,质点落在图中阴影区域的概率.【评注】结合对称性，计算正方形内部的非阴影部分的面积时，要防止复杂化，导致增加计算量.【例83】在半径为1的圆周上随机选取3点，它们构成一个锐角三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图14所示,当且仅当的长度均小于时,为锐角三角形.不妨设,则为锐角三角形的充要条件是由于则即为一个三角形平面(如图15所示且对应的点是三条中位线围成的小三角形.故由几何概型知,所求构成锐角三角形的概率为.故选C.（三）彩灯闪亮问题【例84】节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后4秒内的任一时刻等可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次次亮的时刻相差不超过2秒的概率是().A. B. C. D.【答案】C【解析】由于两串彩灯第一次闪亮相互独立,且在通电后4秒内的任一时刻等可能发生,所以基本事件总数可视为图中正方形的面积,而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件,可视为图中阴影部分的面积.（四）信号覆盖问题【例85】如图所示，在矩形区域的,两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机选一点,则该点无信号的概率是().A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设可知,矩形的面积为2，曲边形的面积为.故所求概率.(五)随机取数问题【例86】利用计算机产生之间的随机数,则使得“”的概率为【答案】【解析】设事件则所以【评注】几何概型的问题时，一个变量可考虑图形的长度,两个变量可考虑图形的面积.【例87】在区间[-3,3]上随机取一个数,使得成立的概率为【答案】【解析】先定义新函数则然后根据分段函数的特点将问题转化为几何概型问题.由解得.故当时.由几何概型公式得所求概率.【例88】已知是边长为1的正六边形的6个顶点,由这6个顶点构成的所有三角形中,随机(等可能)取一个三角形.设随机变量为取出三角形的面积.（1）求概率；（2)求数学期望【解析】（1）由题意得,取出的三角形的面积是的概率.(2)随机变量的分布列为所以如图所示，已知面积为1的正三角形三边的中点分别为从这6个点中任取3个不同的点,所构成的三角形的面积为三点共线时,规定).(1)求;(2)求.七、概率密度函数（一）一般密度函数【例89】已知连续型随机变量的概率密度函数且求常