2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量81-90-专项训练【含答案】

所以因为所以即.(2)由(1)知即,又因为所以由余弦定理得,即解得所以.又因为所以,故的面积为.(3)由得,因为,所以所以.又所以【例8】在中，已知.(1)求证:;(2)若求的值.【解析】（1）在中，由及正弦定理得,于是即因为则，因此所以(2)由和(1)得,所以.又由知所以.从而有,所以.【例9】已知向量m,n记m·n(1)若求的值;(2)在锐角中，内角A,B,C的对边分别是，且满足的取值范围.【解析】分析：(1)由m=，n，，利用平面向量的数量积公式可得利用二倍角的余弦公式即可得结果.(2)由根据正弦定理得再由两角和的正弦公式化简可得从而求得利用三角函数的有界性即可得结果.(1)m·n=由得,所以.(2)因为,由正弦定理得所以因为所以且所以,又,所以则，又则得，所以，又因为故的取值范围是.【例10】已知的内角A,B,C的对边分别为，且(1)求角的大小;(2)若求面积的最大值.【解析】分析：(1)利用正弦定理与两角和公式即可得出结果。(2)利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出结果.(1)因为由正弦定理得,即因为则,所以,所以.(2)由余弦定理得,从而,所以.当且仅当时，面积的最大值为四、四类经典,破招有方(一)顶角固定不变【例11】已知的内角A,B.C的对边分别为(1)设求的解析式;(2)求面积的取值范围(3)求顶点的轨迹：(4)求AC边上的中线长的取值范围;(5)求角的平分线BD长的取值范围.【解析】由得所以(1)因为,所以,所以,即(2)由,得.(3)顶点B的轨迹是以AC为公共弦、的两圆的优弧组成的“8”字型图案(不含A,C两点).如图中蓝线所示.(4)一方面，设边上的中线长为.由余弦定理得,,则.经验证,等号能取到.另一方面，由,得综上得.(5)解法1：如图，设角的平分线的长为,由圆和角平分线的性质，运用运动观点和极端原理,即得.解法2:正弦定理法如图，设由得，进而得令,则有,所以解法3:余弦定理法由角平分线的性质得.在中，由余弦定理得,从而,所以.在中，由余弦定理得,即,所以,所以.又,所以综上,.解法4:几何法如图，因为,则为直径，所以,所以.(二)两条边长定和【例12】如图,已知的内角A,B,C的对边分别为，且(1)设求的解析式;(2)设.求的解析式;(3)求面积的最大值;(4)求顶点的轨迹;(5)求AC边上的中线长BM的取值范围(6)求角B的平分线BT长的取值范围.【解析】(1)由余弦定理得则,所以.(2)，又且.所以,即，得,所以.(3)由(1)知,则,所以面积的最大值为.(4)由椭圆的定义知，顶点B的轨迹是椭圆(不含与直线AC的两个交点).(5)AC边上的中线.(6)易知(4)中的椭圆离心率为焦点为(1,0),角的平分线BT长的范围是半通径长(取不到)到短半轴长.所以.(三)两条边长定比【例13】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为，，(1)设求的解析式(2)设求的解析式;(3)求面积的最大值(4)求顶点的轨迹;(5)求边上的中线长的取值范围;(6)求角的平分线长的取值范围.【解析】(1)如图1，由得,则,又所以.(2)如图,由得,则又则.(3)由(2)知=3.(利用柯西不等式)所以,即面积的最大值为(4)由阿波罗尼斯圆的相关知识知，顶点的轨迹是圆(不含与直线的两个交点).(5)如图3，由圆的特征得边上的中线长的取值范围为.(6)如图,由角平分线的定义知,为定点，从而角的平分线长的取值范围为(0,4)(四)两边平方定和【例14】在中，内角所对应的边分别为,且(1)求顶点的轨迹；(2)设,求的解析式;(3)设,求的解析式;(4)求面积的最大值(5)求BC边上的中线长的取值范围;(6)求角A的平分线长的取值范围.【解析】(1)取的中点,由中线长定理得,所以,知顶点的轨迹是以的中点为圆心为半径的圆.(2)设,则又,得,所以.(3)设,则,又所以,解得.所以(4)由(3)知所以面积的最大值是.(5)由圆的特征知BC边上的中线AO的长为定值(6)设角的平分线为,如图，当顶点在极端位置(即在直线上）时,设.则,得,由几何性质得角的平分线.【变式训练】在中,内角所对应的边分别为,且(1)求角的大小;(2)若,求角的平分线的取值范围.五、正余定理,解秘三角常用的主要结论1.在中,2.三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边，即，也即，或3.①等边对等角②大边对大角③在锐角三角形中:即④锐角三角形最小角的取值范围:⑤锐角三角形最大角的取值范围:4.正弦定理：正弦定理有以下几种变式.①边边、边角或角角为齐次型:②是三角形外接圆半径).③.④.⑤.5.余弦定理.6.射影定理.向底边投影:向高投影:7.底高是三角形内切圆半径已知两边及其夹角是三角形外接圆半径已知两角一边海伦公式,其中8.在中，给定内角的正弦值或余弦值,则内角的正弦值或余弦值有解的充要条件是证明:角有解有解因此判断角是否有解,只要考虑的符号即可.了解这一结论后，解答选择题或填空题将十分方便.抓往特征,合理配方【例15】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为已知△ABC的面积为，,,则___________【答案】8【解析】由,得，则，解得二)动态多解,多法破招【例16】若满足的:（1)只有一个,求的取值范围;（2)恰好有两个,求的取值范围.(1)①当时,恰有一解，如图1,得;②当时，恰有一解,如图,得综上,.(2)当时，恰有两解，如图,得2:由余弦定理得,化为以为主元，得(1)若方程(*)恰有一个正根,则,得;若方程有两个相等的根,则,解得.综上,.(2)若方程(*)恰有两个正根,则，解得.(三)多角并存,面积直求【例17】在中，内角的对边分另为已知(1)求的值(2)若,求的面