2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量91-100-专项训练【含答案】

【例18】在中,内角的对边分别为若且求的面积.【解析】解法1：如图，作，交于点，令，则由知，在中，由余弦定理得,化简得，由正弦定理得,则,所以.，，由正弦定理得:即，从而有,即即解得.故，所以.【评注】解法1中,若设则运算更简捷.(五)两元和积,韦达突围【例19】在中,内角成等差数列，且，，求三边的长.【解析】由，得，则由得,则得,所以得,所以又,从而是方程的两个根，设两根为故有,所以或者【例20】如图，在中,已知求内角的大小;又知顶点的对边上的高等于，求三角形各边的长.【解析】由和,得,所以为方程的两个根，解方程,得或所以或若则，若则,，所以或【例21】在中,已知求三角形的边的长.【解析】由,得,从而有即是方程的两根，所以或,进而可得(六)公式变形,突显奇功【例22】已知在中分别是内角的对边，.(1)求的值；(2)若求边的长.【解析】（1）,由得由得,所以.所以.(2)由得=1\*GB3①,又所以=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②两式解得又故即的长为.（七）扇形模型，设角破解【例23】如图，在半径为1，圆心角为的扇形中，是上的动点，设.（1）用表示平行四边形的面积（2）求平行四边形面积的最大值.【解析】设由题意得则所以.(2)当时，平行四边形的面积达最大值，则得,即当时，平行四边形的面积达到最大值.(八)边长最值,建模放缩【例24】已知为的三个内角,其对边分别为且（1）若的面积求的值;（2）求的取值范围.【解析】因为且.所以即又所以.又由得,由余弦定理得从而有故(2)解法1:弦定理得又,所以.又则则，所以的取值范围是 解法二：由（1）知，所以即经验证等号能取到，所以即【变式训练】在中,内角所对的边分别为，已知（1）求角的大小;（2）若求的取值范围.【例25】已知为的三个内角,向量且求的值；求的最大值,并判断此时的形状.【解析】(1)因为,所以,即,即,所以由于可得.(2)由知,当且仅当即时取得最大值.所以角的最大值为此时为等腰三角形.【变式训练】在中，内角所对的边分别为，已知且最长边的长为1.（1）求角的大小；（2）最短边的长.【例26】已知在中,内角所对的边分别为，且.(1)求角的大小;(2)若试求的最小值.【解析】（1）由得,即即所以.又所以.(2)因为所以因为所以从而.所以当即时取得最小值，所以.【例27】已知锐角三个内角为，向量与向量是共线向量.(1)求角的大小;(2)求函数的最大值.【解析】因为共线，所以得，又为锐角，所以得.（2）因为则当时取得最大值，所以当时.（九）中线范围，背景显形【例28】在锐角中,内角所对的边分别为，且.(1)求角C的大小;(2)当时,求的取值范围；(3)当时,求的取值范围.【解析】（1）由得所以,又为锐角三角形,所以.(2)由题意，有,从而有，又因为在锐角中，所以.(3)由(1)知,则,可得，所以，又因为在锐角中,所以.【评注】在（2）中，由知点的轨迹是圆的优弧，特别是注意到“锐角”，立即得；在(3)中，由柯西不等式及极端原理即得【变式训练】如图,在中，已知边上的中线则(十)求角大小,勿忘范围【例29】设的内角内角所对的边分别为，且(1)求角的大小;(2)若求角的大小.【解析】(1)由条件得即所以,又所以(2)则进而有,从而.又所以或所以或.【变式训练】已知在中求三个内角的大小.【例30】已知在中，内角的对边分别为，且,求.【解析】由正弦定理得,因为所以即,所以=1\*GB3①又由已知条件及余弦定理知:=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②可知整理得因为所以即又,所以.【评注】化齐次是关键.【变式训练】已知的内角，内角的对边分别为，且(1)求的值；(2)求的值.2.在中，内角的对边分别为，已知.(1)求的值;(2)若求的值.【例31】如图，已知在中点在边上，且，（1）求的大小;（2）求的长.【解析】(1)在中，因为所以,.(2)在中，由正弦定理得则,在中，由余弦定理得，所以【评注】考点为同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、正弦定理与余弦定理.【变式训练】1.如图,已知在四边形中.（1）求的值；（2）若，，求的值.2.已知在中，内角的对边分别为，（1）求的值;（2）若求的值.【例