近五年（2018-2022年）数学高考真题分类汇编11：立体几何（含答案+解析）

:立体几何

一：选择题

1.（2022•全国甲（文、理）T4）如图，网格纸上绘制的是个多面体的三视图，网格小正方形的边K为1,则该多

面体的体积为（）

2.（2022•全国甲（文）T9）在长方体人BCO-ABCR中，已知同力与平面48CD和平面AA48所成的角均为30。，

则（）

A.AB=2ADB.48与平面ABC。所成的角为30°

C.AC=CBtD.与。与平面88CC所成的角为45。

3.（2022•全国甲（文）T10）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和

Sy

S乙，体积分别为％和%.若U=2，则”二（）

）乙VL

A.逐B.25/2c.MD.

4

4.（2022•全国甲（理）T7）在长方体ABCD-ABGR中，已知与。与平面48co和平面例8乃所成的角均为30°,

则（）

A.AB=2ADB.A8与平面ABC。所成的角为30°

C.AC=CBXD.以力与平面所成的角为45。

5.（2022•全国甲（理）T8）沈括的《梦溪笔淡》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆

术”，如图，AB是以。为圆心，OA为半径的圆弧，C是的A8中点，。在A8上，CDLAB.“会圆术”给出AB

CD2

的弧长的近似值s的计算公式：S=AB+—.当OA=2,NAO8=60°时，s=（）

OA

D

11-3A/3dll-4>/3-9-3百n9-4^

----------------------D.-----------------------C.------------------U.---------------------

2222

6.（2022•全国甲（理）T9）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙,

%一%

体积分别为%和彩.若法=2,则”=（）

3乙V乙

55/w

A.逐B.2X/2C.V10

4

7.（2022•全国乙（文）T9）在正方体A8CO-A4GA中，E,产分别为A3,8。的中点，则（）

A.平面B.EF1平面BDD.B.平面B.EF1平面\BD

C.平面4E产〃平面RACD.平面耳瑁7//平面AC。

8.（2022•全国乙（文）T12）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当

该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A1R1D夜

A・o.-C.-----\J.---

3232

9.（2022•全国乙（理）T7）在正方体A8CO-A4CQ中，E,尸分别为48,3。的中点，则（）

A.平面B、EF1平面BDD,B.平面B.EF1平面A.BD

C.平面4所〃平面AACD.平面耳£尸〃平面AG。

10.（2022•全国乙（理）T9）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当

该四棱锥的体积最大时，其高为（）

11.（2022,新高考I卷T4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水

库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔1575m时，相应水面的面积为ISO.Okn?,

将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为

（币«2.65）（）

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

12.（2022•新高考I卷T8）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面匕若该球的体积为36"，且

3W/W3、回，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

27812764

A.谟B.C.D.[18,27]

4T'7丁石

13.（2022・新高考I卷T9）已知正方体ABC。-ABGA,则（）

A.直线3G与。4所成的角为90。B.直线BG与CR所成的角为90。

C.直线Bq与平面所成的角为45。D.直线BG与平面4BCD所成的角为45。

14.（2022・新高考口卷T7）正三棱台高为1,上下底边长分别为36和4石，所有顶点在同一球面上，则球的表面

积是（）

A.1007TB.128兀C.144兀D.192兀

15.（2022•新高考口卷T11）如图，四边形48co为正方形，EO_L平面ABC。，FB〃ED,AB=ED=2FB,

记三棱锥E—ACD,F-ABC,尸一4CE的体积分别为匕匕,匕，则（）

A.匕=2%B.匕二2匕

C.匕=乂+匕D.2匕=3匕

16.（2022•北京卷T9）己知正三棱锥P-43C的六条棱长均为6,S是及其内部的点构成的集合.设集合

T={QeS\PQ<5}

则丁表示的区域的面积为（）

3九

A.—B.冗C.2万D.3万

4

17.（2022•浙江卷T8）如图，已知正三棱柱430-4301,4（7=4^,E,尸分别是棱5C,AG上的点.记所与

A4所成的角为a,E尸与平面ABC所成的角为夕，二面角/一8C—A的平面角为/,则（）

A.a<p<yB.(3<a<yc.P<y<aD.a<y<p

18.（202”全国高考真题）在正三棱柱ABC-A用G中，AB=AAy=\t点尸满足丽前+〃西，其中

2e[0,l],/ZG[0J],则（）

A.当义=1时，瓦尸的周长为定值

B.当，=1时，二棱锥尸一43c的体积为定值

C.当2=g时，有且仅有一个点P,使得

D.当〃二;时，有且仅有一个点尸，使得AB_L平面

19.（2021•浙江高考真题）如图己知正方体ABCD—，M./V分别是AQ,。姿的中点，则（）

A.直线4。与直线。乃垂直，直线MN//平面A3CO

B.直线4。与直线。乃平行，直线MN_L平面80。出

C.直线4D与直线。乃相交，直线MN//平面ABC。

D.直线4。与直线异面，直线MNJL平面

20.（2021•浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

21（2021•全国高考真题（理））已如4B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC_18cAe=8C=1,

则三棱锥。—ABC的体积为（）

A女B石C夜D6

121244

22.（2021•全国高考真题（文））在一个正方体中，过顶点4的三条棱的中点分别为£,F,G.该正方体截去三棱锥

A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

23.（2021•全国高考真题（理））在正方体ABCO—AqGA中，P为片仅的中点，则直线总与所成的角为

（）

nnnn

A.-B.-C.-D.一

2346

24.（2021•全国高考真题）已知圆锥的底面半径为近,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）

A.2B.2y/2C.4D.4夜

25.（2020•天津高考真题）若棱长为2百的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.12兀B.24万C.36乃D.144万

26.（2020•北京高考真题）某三棱柱的底面为正三角形，其二视图如图所示，该三棱柱的表面积为（).

侧（左）视图

A.6+>/3B.6+25/3c.12+百D.12+2石

27.（2020•浙江高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位:cm3）是（）

帕根图

714

A.-B.—C.3D.6

33

28.（2020•海南高考真题）日辱是中国古代用来测定时间的仪器，利用与鼻面垂直的痔针投射到唇面的影子来测定

时间.把地球看成一个球（球心记为。），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平

面是指过点4且与OA垂直的平面.在点4处放置一个日暮,若辱面与赤道所在平面平行，点4处的纬度为北纬40°,

则劈针与点4处的水平面所成角为（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

29.（2020•全国高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（)

A.6+472B.4+472C.6+2&D.4+273

30.（2020•全国高考真题（理））已知A3,。为球0的球面上的三个点，团。|为AA/C的外接圆，若回。|的面积

为4兀，48=8C=AC=OQ,则球。的表面积为（）

A.64兀B.48兀C.36兀D.3271

31.（2020•全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四

棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边

长的比值为（）

1

AV5-1RV5-1r乖+n>/5+1

4242

32.（2020•全国高考真题（理））已知M8C是面积为地的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球。的表面

4

积为167T,则。到平面ABC的距离为（）

r-3y/3

A.J3B,-C.1D.—

22

33.（2020•全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为

M，在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为（）

A.EC.GD.H

34.（2019•浙江高考真题）祖晅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“塞势既同，则积不容异”称为祖眶原理，

利用该原理可以得到柱体的体积公式匕E体=，?，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图

所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：cm3）是

・2+2+2313—»H—3—H

正视图侧视图

A.158B.162

C.182D.324

35.（2019•全国高考真题（理））如图，点N为正方形A8CO的中心，△£（»为正三角形，平面EC。_L平面

ABC。,M是线段后。的中点，则

A.BM=EN,且直线是相交直线

B.BMhEN,且直线〃是相交直线

C.BM=EN,且直线是异面直线

D.BM手EN,且直线BM,EN是异面直线

36（2019•浙江高考真题）祖咂是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幕势既同，则积不容易”称为祖咂原理，

利用该原理可以得到柱体体积公式/体=5〃，其中s是柱体的底面积，力是柱体的高，若某柱体的三视图如图所

示，则该柱体的体积是

37.（2019•浙江高考真题）设三棱锥V—A3c的底面是正三角形，侧棱长均相等，。是棱上的点（不含端点）,

记直线必与直线AC所成角为。，直线尸8与平面48c所成角为二面角P-4c-8的平面角为/，则

A.B<y,a<yB.0<a，B<y

c.p<a,y<aD.a<<0

38.（2019•全国高考真题（理））已知三棱锥P-48C的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,朋8c是边长为2的正

三角形，E,F分别是小,48的中点，（3CEFW0。，则球。的体积为

39.（2019•全国高考真题（文））设a,6为两个平面，则或6的充要条件是

A.a内有无数条直线与6平行

B.a内有两条相交直线与6平行

C.a,6平行于同一条直线

D.a,6垂直于同一平面

40.（2019•上海高考真题）已知平面。、了两两垂直，直线。、b、c满足：aja，bqB、yy,则直线a、b、c

不可能满足以下哪种关系

A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

41.（2018•浙江高考真题）已知直线相，〃和平面a,〃ua,则“相〃〃〃是"m〃a"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

42.（2018•上海高考真题）《九章算术》中，称底面为矩形而有-侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AR是正六棱

柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）

43.（2018•浙江高考真题）已知四棱锥S-必8的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段上的点（不含端

点），设题与5C所成的角为4，SE与平面ABC。所成的角为4,二面角S-A3—C的平面角为4,则

A.ox<e2<B,<e2<oxc.o}<oy<o2D.o2<e3<

44.（2018♦全国高考真题（文））在长方体ABC。一中，AB=BC=2,AG与平面3片6。所成的角为

30°，则该长方体的体积为

A.8B.6夜C.8夜D.8道

45.（2018,北京高考真题（理））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

A.1B.2

C.3D.4

46.（2018,全国高考真题（文））某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视

图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左观图上的对应点为6，则在此圆柱侧面上，从河到N的路径中，最

短路径的长度为

□□

B

A.2VF7B.2>/5c.3D.2

47.（2018•全国高考真题（理））设A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，AABC为等边三角形且

其面积为96，则三棱锥。-A5c体积的最大值为

A.126B.18百C.24逐D.54追

48.（2018•全国高考真题（理））中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫桦头，凹进部分叫卯眼，

图中木构件右边的小长方体是桦头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的

木构件的俯视图可以是

49.（2018•浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm3）是（）

50.（2018•全国高考真题（文））在正方体/WCO-A耳GR中，E为棱CG的中点，则异面直线AE与CO所成

角的正切值为

AV2BbC石口出

2222

51.（2018•全国高考真题（文））已知圆柱的上、下底面的中心分别为。1,。2,过直线RO?的平面截该圆柱所得

的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为

A.i2>/2rtR-12冗C.807tD-IChr

52.（2018•全国高考真题（理））在长方体ABC。—中，AB=BC=1,4Al=6，则异面直线从口与。百

所成角的余弦值为

A1B756拉

5652

53.（2018•全国高考真题（理））己知正方体的校长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相等，则a截此正方

体所得截面面积的最大值为

3g2后3夜G

4342

二；填空题

54.（2021•全国高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三

棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

55.（2021•全国高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30%则该圆锥的侧面积为.

56.（2020•海南高考真题）已知正方体A8CD-481GD1的棱长为2,M、N分别为881、48的中点，则三棱锥4/VMDi

的体积为____________

57.（2020•海南高考真题）已知直四棱柱4BCD-481GD1的棱长均为2,0840=60°.以。为球心，逐为半径的球

面与侧面BCCiBi的交线长为.

58.（2020•江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边

形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是—cm.

59.（2020•全国高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体枳为

60.（2020•全国高考真题（理））设有下列四个命题：

pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

P4：若直线/u平面用直线平面a,则mW.

则下述命题中所有真命题的序号是.

①历八A②0八P2③「27必④〜3V

61.（2019•江苏高考真题）如图，长方体A8CO-的体积是120,E为CG的中点，则三楂锥E-8CD的体

积是,

62.（2019•北京高考真题（理））某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上

小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.

64.（2019•全国高考真题（理））学生到工厂劳动实践，利用3。打印技术制作模型.如图，该模型为长方体

ABC。—挖去四棱锥O—EFG”后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,〃分别为所在棱的

中点，AB=BC=6cm,AAi=4cm,3。打印所用原料密度为0.9g/oz?,不考虑打印损耗，制作该模型所需原

料的质量为8.

65.（2019•天津高考真题（文））已知四棱锥的底面是边长为友的正方形，侧棱长均为石.若圆柱的一个底面的圆

周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.

66.（2019•全国高考真题（文））已知MCB=90。，P为平面48C外一点，PC=2,点P到MCB两边AC,8c的距离均为

日那么P到平面ABC的距离为.

67.（2018•江苏高考真题）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为

68.（2018全国高考真题（文））已知圆锥的顶点为S,母线SA,S3互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30。,若△S48

的面积为8,则该圆锥的体积为.

69.（2018•全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为S,母线SA,S3所成角的余弦值为:，SA与圆锥底面所成角

O

为45。，若aSAB的面积为5厉，则该圆锥的侧面积为.

70.（2018•天津高考真题（理））已知正方体A8CD-A旦G4的棱长为1,除面ABCO外，该正方体其余各面的

中心分别为点E,F,G,H,M（如图），则四棱锥M—EFG”的体积为.

71.（2019•全国高考真题（文））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正

方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体"（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的

正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在

同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有八面，其棱长为.

图1图2

三：解答题

72.（2022•全国甲（文）T19）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABC。

是边长为8（单位：cm）的正方形，△EABqFBC/GCDeUDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD

垂直.

（1）证明：所//平面488：

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

73.（2022•全国甲（理）T18）在四棱锥尸一ABC。中，电＞_1_底面

ABCD,CD//A6,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=G

（2）求尸。与平面R43所成的角的正弦值.

74.（2022令国乙（文）T18）如图，四面体4BCD中，4O_LCD,4O=CD,Z4O8=NBDC,E为AC的中点.

（1）证明：平面3七。_1_平面48;

（2）设MB=30=2,48=60。，点尸在BO上，当△人人?的面积最小时，求三棱锥产一48C的体积.

75.（2022•全国乙（理）T18）如图，四面体A3C。中，A。J.CO,AD=C£）,NAT后=N8OC,E为AC的中

点.

（1）证明：平面3ED_L平面ACO；

（2）设48=50=2,NACB=60。，点F在BD上,当Z\A"1的面积最小时，求C尸与平面ABZ）所成的角的正

弦值.

76.（2022・新高考I卷T19）如图，直三棱柱4BC-AqG的体积为4,△RBC的面积为2啦.

（1）求A到平面平5。的距离;

（2）设。为A。的中点，AAi=ABf平面A6C_L平面A64A，求二面角A—9―C的正弦值.

77.（2022・新高考n卷T20）如图，PO是三棱锥P—ABC的高，PA=PB，AB1AC,E是尸8的中点.

（1）求证：QE7/平面尸4C；

（2）若NABO=NCBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—A£—B的正弦值.

78.（2022•北京卷T17）如图，在三棱柱”^。一A4G中，侧面BCG4为正方形，平面BCCM_L平面48片A,

AB=BC=2t知，N分别为"M,AC的中点.

（1）求证：MN〃平面BCGBi：

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.

条件①：ABtMN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

79.（2022淅江卷T19）如图，已知ABC。和CDE/都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=l，ZBAD=ZCDE=60°,二面角F-OC—B的平面角为60°.设M,N分别为A£8C的中点.

（1）证明：FNLAD；

（2）求直线BM与平面4OE所成角的正弦值.

80.（2021•全国高考真题）如图，在三棱锥4-8C。中，平面A3£）_L平面3CQ,AB=AD.。为3。的中点.

（1）证明：OA1CD；

（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱40上，DE=2EA，且二面角E—3C—£）的大小为45。,

求三棱锥A—BCD的体积.

81.（2021•全国高考真题（文））如图，四棱推夕一48。力的底面是矩形，底面ABC。，M为的中点,

且P8_LAA7.

（1）证明：平面RAM_L平面08。；

（2）若PD=DC=1,求四棱锥P-A5CQ的体积.

82.（202］浙江高考真题）如图，在四棱锥尸一A5C£＞中，底面A3CD是平行四边形,

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=V15,M，N分别为BCPC的中点，PD1DC,PM工MD.

（1）证明：ABLPM:

（2）求直线4N与平面尸DW所成角的正弦值.

83.（2021•全国高考真题（文））已知直三棱柱A5C-A旦G中，侧面例8乃为正方形，AB=BC=2,邑F分

别为4c加CG的中点，BF1A.B,.

（1）求三棱锥F—EBC的体积；

（2）已知D为棱4月上的点，证明：BFA.DE.

84.（2021•全国高考真题（理））已知直三棱柱A3C—4旦G中，侧面44,8产为正方形，AB=BC=2,E,F分

别为AC刃CG的中点，。为棱A以上的点.8/_1_4A

（1）证明：BF±DE；

（2）当与。为何值时，面34cle与面。立;所成的二面角的正弦值最小?

85.（2021•全国高考真题（理））如图，四棱锥P—ABCO的底面是矩形，尸。_1_底面48cO,PD=DC=1,M

为8C的中点，且依_LAM.

（1）求sc；

（2）求二面角—8的正弦值.

86.（2020•海南高考真题）如图，四棱锥P-4BCD的底面为正方形，PDJ_底面48CD.设平面外。与平面P8C的交

线为/.

（1）证明：/I平面PDC：

（2）已知PD=4D=1,Q为/上的点，Q8=a,求P8与平面QCD所成角的正弦值.

87.（2020•天津高考真题）如图，在三棱柱4?。-4片0中，ccx_L平面ABC,ACJ_8GAe=8C=2,CC,=3,

点O,E分别在棱AA和棱CG上，且40=1CE=2,M为棱4片的中点.

（0）求证：C.MIB.D；

（回）求二面角3-4七一。的正弦值；

（0）求直线A3与平面。旦后所成角的正弦值.

88.（2020•北京高考真题）如图，在正方体ABCO-A与中，E为BB1的中点.

（回）求证：BJ//平面ARE；

（0）求直线A4与平面所成角的正弦值.

89.（2020•浙江高考真题）如图，三棱台48C-0EF中，平面ACFD回平面A8C,蜘CB=MCD=45°,DC=2BC.

（I）证明：EF^DB；

（II）求OF与面。8c所成角的正弦值.

90.（2020•海南高考真题）如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，PD0底面A8CD.设平面以D与平面P8c的交线

为I.

p

（1）证明：位平面PDC；

（2）已知PD=4?=1,。为/上的点，求P8与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

91.（2020•江苏高考真题）在三棱锥4-8C0中，已知C8=CD=逐,8。=2,O为8。的中点，AO0平面88,40=2,E

为47的中点.

（1）求直线48与DE所成角的余弦值；

（2）若点F在BC上，满足8F=18C,设二面角F-DE-C的大小为0,求sin。的值.

4

92.（2020•江苏高考真题）在三棱柱。8G481考中,AB^AC,81C0平面48C,E,F分别是AC,81c的中点.

（1）求证：£用平面A81G；

（2）求证：平面481C0平面4881.

93.（2020,全国高考真题（理））如图，在长方体438-4与。1。中，点民尸分别在棱。。，上，且2。石=ER,

BF=2FB\.

（1）证明：点G在平面AE/7内；

（2）若4B=2,AD=1，AA=3,求二面角A-EF-A的正弦值・

94.（2020全国高考真题（文））如图，在长方体，46。£＞一44。。1中，点八”分别在棱。2，上，且2。七=印，

BF=2FB[.证明:

（1）当=时，EF±AC；

（2）点C1在平面AM内.

95.（2020•全国高考真题（文））如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，△46C是底面的内接正三角形,

尸为。。上一点，04PC=9O°.

D

（1）证明：平面勿8回平面力C；

（2）设C0=加,圆锥的侧面积为扃，求三棱锥P78c的体积.

96.（2020全国高考真题（理））如图，。为圆锯的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.^ABC

是底面的内接正二角形，P为DO上.一点、,尸0=巫。。.

（1）证明：B4_L平面尸8C：

（2）求二面角3—PC—E1的余弦值.

97.（2020•全国高考真题（文））如图，已知三棱柱a8C-4BiG的底面是正三角形，侧面881GC是矩形，M,N分

别为8C,比C1的中点，P为AM上一点.过81G和P的平面交A8于E,交4c于F.

（1）证明：AA1//MN,且平面44M/V0平面E&C1F；

（2）设。为蜘181cl的中心，若八。=阳=6,4。〃平面E&GF,且IWPN=巴，求四棱锥8-EBiCiF的体积.

3

98.（2020•全国高考真题（理））如图，己知三棱柱八8C-481G的底面是正三角形，侧面8&GC是矩形，M,N分

别为8C,81cl的中点，P为4M上一点，过&G和P的平面交48于£交4c于F.

（1）证明：AAi^MN,且平面4遇MM3EB1GF；

（2）设。为加181cl的中心，若400平面E86F,且40=48,求直线8正与平面AMMN所成角的正弦值.

99.（2019•江苏高考真题）如图，在直三棱柱A8c—481G中，D,£分别为8C,AC的中点，AB=BC.

求证：（L）4B迪平面DEG；

(3)8F0QE.

100.（2029•天津高考真题（理））如图，AEJL平面ABC。，CF//AE,AD//BC,

AD±AB,AB=AD=\,AE=BC=2.

E

O）求证：W7〃平面AOE；

（0）求直线CE与平面所成角的正弦值；

（团）若二面角七一3。一产的余弦值为g，求线段CF的长.

101.（2019•全国高考真题（理））图1是由矩形八DE8,Rt附8c和菱形8FGC组成的一个平面图形，其中48=1,8E=8F=2,

团F8C=60。，将其沿48,BC折起使得8E与8F重合，连结0G,如图2.

（1）证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABCQ平面8CGE；

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

S1图2

102.（2019•全国高考真题（文））如图，直四棱柱A8CD-481C1DJ的底面是菱形，.44=4,48=2,（384D=60°,E,M,

N分别是8C,BBi,4。的中点.

（1）证明：MA/0平面GD£；

（2）求点C到平面GDE的距离.

103.（2019•全国高考真题（理））

如图，长方体48C0-481GD1的底面ABCD是正方形，点£在棱44上，BE^ECi.

（1）证明：8E0平面E81G；

（2）若已求二面角8-EC-G的正弦值.

104.（2019・上海高考真题）如图，在正三棱锥P-A3c中，PA=PB=PC=2,AB=BC=AC

（1）若PB的中点为M，8。的中点为N,求4C与MN的夹角；

（2）求P—A3C的体积.

M

B

105.（2018•上海IWJ考真题）已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为O，半径为2.

（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；

（2）设尸0=4,OA、。8是底面半径，且乙4QB=90。，M为线段A5的中点，如图.求异面直线PM与

所成的角的大小.

106.（2018•江苏高考真题）在平行六面体48。一片qGA中，AA.=ABfAB,±.

求证：（1）AB//平面4与。；

（2）平面与4J_平面ABC.

107.（2028•江苏高考真题）如图，在正三棱柱48O481Q中，48=44=2,点P,Q分别为481，8c的中点.

（1）求异面直线8P与4G所成角的余弦值；

（2）求直线CG与平面4QG所成角的正弦值.

108.（2018•全国高考真题（文））如图，矩形ABC。所在平面与半圆弧CO所在平面垂直，M是CO上异于C，D

的点.

（1）证明：平面AMD_L平面BWC；

（2）在线段44匕是否存在点尸，使得〃平面?斑＞?说明理由.

109.（2018•北京高考真题（理））如图，在三棱柱48C-ABC中，CGJ■平面ABC,D,E,F,G分别为AA，AC,

AC，8B］的中点，48=8C=逐，AC=AAi=2.

（1）求证：4C0平面BEF：

（2）求二面角8-CD-G的余弦值;

（3）证明：直线FG与平面8CD相交.

110.（2018•北京高考真题（文））如图，在四棱锥尸一A8CD中，底面A8c。为矩形，平面R4£）_1_平面48cO,

PA1PD,PA=PD，E、尸分别为A£＞、尸8的中点.

（0）求证：PE1BC；

（0）求证：平面A4B_L平面PC。；

（0）求证：EF〃平面PCD.

111.（2018•全国高考真题（理））如图，四边形4BCO为正方形，瓦产分别为4。,BC的中点，以OR为折痕把

△DR7折起，使点C到达点P的位置，且尸产_LM.

（1）证明：平面平面A3/7）；

（2）求OP与平面A3FQ所成角的正弦值.

112.（2018•全国高考真题（理））如图，边长为2的正方形ABCO所在的平面与半圆弧co所在平面垂直，M是CD

上异于C，。的点.

（1）证明：平面平面3MC；

（2）当三棱锥ABC体积最大时，求面M48与面A/CO所成二面角的正弦值.

113.（2018•浙江高考真题）如图，已知多面体ABC-AiBiCi,AiA,BiB,JC均垂直于平面ABC,0ABC=12O°,AiA=4,

CiC=l,AB=BC=BiB=2.

（0）证明：AB面平面AiBiCi；

（0）求直线ACi与平面ABBi所成的角的正弦值.

114.（2018•全国高考真题（文））如图，在三棱锥P-48C中，AB=BC=2O,PA=PB=PC=AC=4,0

为AC的中点.

（1）证明：PO_L平面ABC；

（2）若点M在棱8c上，且MC=2M3,求点。到平面尸的距离.

M

B

115.(2018•全国高考真题(文))如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3,ZACM=90°.以AC为折痕

将团ACM折起，使点M到达点。的位置，且A5D.

(1)证明：平面ACDJ_平面ABC：