2025年春沪科版七年级数学下册 8.3 完全平方公式与平方差公式（上课、复习课件）

8.3完全平方公式与平方差公式第1课时完全平方公式学习目标会推导完全平方公式，理解公式的结构特征，并能正确利用公式进行乘法运算.在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解完全平方公式的几何意义，感知数形结合的思想.在探索完全平方公式的过程中，感悟从一般到特殊的研究问题的方法.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.完全平方公式复习回顾应用新知创设情境巩固新知课堂小结布置作业探究新知

先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.多项式与多项式相乘(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq多项式与多项式相乘的法则计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究

(p+1)2=

=

；

(m+2)2=

=

.观察上面的等式，你能发现什么规律？p2+2p+1m2+4m+4(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)原算式有什么共同点？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究

(p+1)2=

=

；

(m+2)2=

=

.p2+2p+1m2+4m+4(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)均为两个数的和的平方.创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究

(p+1)2=

=

；

(m+2)2=

=

.p2+2p+1m2+4m+4(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)m2+2·m·2+22p2+2·p·1+12原算式中的各项与它们结果中的各项有什么关系？两个数的和的平方，恰好是这两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍.创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究能否将发现的规律用式子表示出来？猜想(a+b)2=a2+2ab+b2

(p+1)2=

=

；

(m+2)2=

=

.p2+2p+1m2+4m+4(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)m2+2·m·2+22p2+2·p·1+12你能对发现的规律进行推导吗？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究猜想小组合作1.独立思考，完成验证；2.两人一组，交流思路，完善过程.(a+b)2=a2+2ab+b2你能对发现的规律进行推导吗？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2多项式乘法法则合并同类项两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.猜想(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方公式

能类比两数和的完全平方公式的推导过程，表示两数差的完全平方吗？即：(a−b)2=？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知思考法一：(a−b)2=(a−b)(a−b)=a2−ab−ab+b2=a2−2ab+b2

法二：(a−b)2=[a+(−b)]2

=a2+2·a·(−b)+(−b)2=a2−2ab+b2两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍.完全平方公式(a−b)2=a2−2ab+b2

归纳完全平方公式创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2符号语言文字语言你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知思考小组合作1.独立思考，完成验证；2.四人一组，交流思路，完善过程.3.学生分组展示过程.你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知思考+a2ababb2=+(a+b)2=a2+2ab+b2你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知思考(a−b)2=(a−b)b(a−b)bb2

a2−2(a−b)b−b2(a−b)2=a2−2ab+b2

观察这两个公式，回答下面的问题：创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知

(1)积的次数和项数分别是多少？(2)两个公式中的积有相同的项吗？与a、b有什么关系？(3)两个公式中的积中不同的是哪一项？与a、b有什么关系？它的符号与什么有关？(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2观察都是二次三项式积中两项为a、b的平方和一项为a、b的积的2倍，符号与a、b中间的符号相同归纳完全平方公式创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知公式的特征积为二次三项式；积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同；公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式.(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b21234口诀：首平方，尾平方；积的二倍放中央，符号与前一个样.做一做下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该怎样改正？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知

(p

1)2=p2

1

(m

2)2=m2

2m+4

(x+y)2=x2+y2

(

x+y)2=x2+2xy+y2

(m2n)2=m2

4mn+4n2(

x+y)2=x2

2xy+y2(p

1)2=p2

2p+1(m

2)2=m2

4m+4(x+y)2=x2+2xy+y2(a

+

b)2=a2+2a

b+b2利用乘法公式计算：(1)(2x+y)2；(2)

(3a–2b)2(2x+y)2==4x2+4xy+y2(2x)2+2·2x·y+y2解：(1)典型例题探究新知巩固新知课堂小结布置作业应用新知创设情境(a

–

b)2

=a2–2a

b+b2利用乘法公式计算：(1)(2x+y)2；(2)

(3a–2b)2(3a

–

2b)2=(3a)2–

2·3a·2b

+

(2b)2=9a2–12ab+4b2典型例题解：(2)探究新知巩固新知课堂小结布置作业应用新知创设情境1.利用乘法公式计算：(1)(3x+1)2；(2)

(a–3b)2；

(3)

(2x+)2；

(4)

(–2x–3y)2(3x+1)2=

9x2+6x+1

；

(2)

(a–3b)2

=

a2–6ab+9b2；

(3)

(2x+)2=

4x2+2xy+

；

(4)

(–2x–3y)2=

4x2+12xy+9y2

.解：随堂练习应用新知巩固新知探究新知课堂小结布置作业创设情境2.如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm

宽的一条长方形，那么所得小正方形的面积比原正方形的面

积减少84cm2，求原正方形的边长.解：设原正方形的边长为acm，则小正方形的边长为(a–6)2cm由题意得：a2

–(a–6)2=84

解得：a=10则原正方形的边长为10cm.随堂练习应用新知巩固新知探究新知课堂小结布置作业创设情境完全平方公式的特征：完全平方公式：完全平方公式巩固新知课堂小结应用新知探究新知布置作业两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.积为二次三项式；积中两项为两数的平方和；另一项是两数积的两倍，且与两数中间的符号相同；公式中的字母a、b可以表示数、单项式或多项式.创设情境(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b21234创设情境探究新知探究新知应用新知巩固新知布置作业课堂小结完成教材上的课后习题完成《点拨训练》上的习题8.3完全平方公式与平方差公式第2课时平方差公式学习目标能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能正确运用公式进行计算.在利用几何图形的面积验证公式的过程中，了解平方差公式的几何意义，感知数形结合的思想.在探索平方差公式的过程中，感悟从一般到特殊、从具体到抽象地研究问题的方法.在探究过程中发现规律，并能用符号表示，感受数学的严谨性，体会数学的简洁美.平方差公式复习回顾应用新知创设情境巩固新知课堂小结布置作业探究新知

先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.多项式与多项式相乘(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq多项式与多项式相乘的法则计算下列多项式的积，看谁算得又快又对？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究

(x+1)(x

1)=

；

(m+2)(m

2)=

；

(2x+1)(2x

1)=

.

x2

1m2

44x2

1观察上面的等式，你能发现什么规律？下列问题中相乘的两个多项式有什么共同点？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究

(x+1)(x

1)=

；

(m+2)(m

2)=

；

(2x+1)(2x

1)=

.

x2

1m2

44x2

1均为相同的两个数的和、两个数的差的形式.相乘的两个多项式的各项与它们积中的各项又有什么关系呢？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究

(x+1)(x

1)=

；

(m+2)(m

2)=

；

(2x+1)(2x

1)=

.

x2

1m2

44x2

1两个多项式的积恰好是这两个多项式中相同的两个数的平方差.

x2

12m2

22(2x)212(2x)212m2

22

x2

12根据发现的规律你能得出什么结论吗？用式子表示出来.创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究

(x+1)(x

1)=

；

(m+2)(m

2)=

；

(2x+1)(2x

1)=

.猜想(a+b)(a

b)=a2

b2你能对发现的规律进行推导吗？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究猜想(a+b)(a

b)=a2

b2小组合作1.独立思考，完成验证；2.两人一组，交流思路，完善过程.你能对发现的规律进行推导吗？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知探究猜想(a+b)(a

b)=a2

b2(a+b)(a

b)=a2

ab+ab

b2=a2

b2多项式乘法法则合并同类项(a+b)(a

b)=a2

b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.平方差公式符号语言文字语言你能根据图中的图形面积说明平方差公式吗？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知思考baabb小组合作1.独立思考，完成验证；2.四人一组，交流思路，完善过程.3.学生分组展示过程.S1S2S3S4你能根据图中的图形面积说明平方差公式吗？创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知思考baabbaabbS1S3S4baS1S2S2=S3S1+S3=a2

b2S1+S2a

b=(a+b)(a

b)(a+b)(a

b)=a2

b2几何意义是否还有其它的剪拼方法来证明？延伸探究新知巩固新知课堂小结布置作业应用新知创设情境归纳平方差公式创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知(a+b)(a

b)=a2

b2相同项相反项(相同项)2

(相反项)2平方差公式的特征等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项.等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子.做一做判断下列式子是否能用平方差公式计算：创设情境应用新知巩固新知课堂小结布置作业探究新知(1)(a+2b)(

a−2b)(2)(a−2b)(2b−a)

(3)(2a

b)(

b+2a)(4)

(a−3b)(a+3b)(5)(

2x+3y)(3y−2x)

不能不存在相同的项不能不存在相同的项不能不存在相反的项能

a2−(3b)2

=a2+9b2

不能不存在相反的项符合平方差公式的特征才能运用平方差公式计算.探究新知巩固新知课堂小结布置作业应用新知典型例题【例1】利用乘法公式计算：创设情境(1)1999×2001；(2)(x+3)(x

3)(x2+9).(1)1999×2001=(20001)×(2000+1)=20002

12=3999999

解：(2)(x+3)(x

3)(x2+9)=(x2

9)(x2+9)=x481.探究新知巩固新知课堂小结布置作业应用新知典型例题【例2】计算：创设情境(1)(a+b+c)2；(2)(a

b)3.(1)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

解：(2)(a

b)3=(a

b)

(a

b)2=(a

b)(a2

2ab+b2)=a32a2b+ab2

a2b+2ab2

b3=a33a2b+3ab2

b3.应用新知巩固新知随堂练习探究新知课堂小结布置作业创设情境1.利用乘法公式计算：(1)(2a+5b)(2a

5b)；(2)(x

3)(x+3)；

(3)(y2x)(

2x

y)；

(4)(xy+1)(xy

1).(1)(2a+5b)(2a

5b)=(2a)2

(5b)2=4a2

25b2

解：(2)(x

3)(x+3)=(x)2

9=x2

9应用新知巩固新知随堂练习探究新知课堂小结布置作业创设情境1.利用乘法公式计算：(1)(2a+5b)(2a

5b)；(2)(x

3)(x+3)；

(3)(y2x)(

2x

y)；

(4)(xy+1)(xy

1).(3)(y2x)(

2x

y)=(

2x)2

y2=4x2

y2

解：(4)(xy+1)(xy1)=(xy)2

1=x2y21应用新知巩固新知随堂练习探究新知课堂小结布置作业创设情境2.利用乘法公式计算：(1)598×602；