八年级数学《几何专项训练》 浙教版 初二数学练习

八年级数学《几何专项训练》浙教版初二数学练习

浙教版•八全暑期《几何特训专》

目录

第1讲《巧用中点之“倍长中线”》.......................................................1

第2讲《巧用中点之“等腰直角三角形斜中定埋”》.........................................7

第3讲《巧用中点之“中位线”》.......................................................10

第4讲《“K字型”之全等（1）》......................................................15

第5讲《“一线三等角”之全等》.......................................................21

第6讲《“旋转手拉手”之全等》.......................................................24

第7讲《平行四边形之“对角线最值问题”》............................................37

第8讲《平行四边形之“双平等腰”模型》..............................................39

第9讲《平行四边形之“等积转化”》...................................................42

第10讲《平行四边形存在性问题之“矩形大法”》......................................49

第11讲《平行四边形存在性问题之“公式法”》...........................................55

第12讲《折叠及对称问题1》..........................................................60

第13讲《折叠及对称问题2——对称点落在线上的问题》................................64

第14讲《“将军饮马”模型求线段和最值问题》........................................68

第15讲《正方形之“十字架”》........................................................74

第16讲《正方形之“角含当角”》......................................................77

第17讲《正方形之“赵爽弦图”》......................................................80

第1讲《巧用中点之“倍长中线”》

思路点拨

I.基本图形：

(I)如图1,在△A8C中,4。为8C边上的中线，延长4。至石，使得则有

图(1)

(2)如图2,在梯形ABCD中，E为CD边中点，延长AE.BC交于点F,则有.

图(2)

经典例题

例I.如图，在AABC中，AB=5,AC=\3,边8c边上的中线AQ=6,则8c的长为.

例2.如图，在梯形48CQ中，AB//CD,且8M_LCW,M是4。的中点，且A3=3,CD=5,则3c

的长为.

1

例3.如图，过边长为1的等边3c的边A/3上一点P,作PE_L4C于E,。为8c延长线上一点,

当尸A=C。时，连P。交AC边于。，则。E的长为.

类题精练

I.如图，已知梯形A8CQ,人。〃8C,E为CO的中点，若用$,S，S3分别表示△人。石，&EBC,LABE

的面积，则$,$2，$3的关系是（）

A.S1+S2>S3B.S|+§2=S3C.$+S2Vs3D.以上都不对

2.在A48C中，AB=5,AC=3.4。是4c边上的中线，则4D的取值范围为

3.如图，梯形ABCD中，AD//BC,E为CD的中点，且AE平分若4。=3,BC=5,则

AB=

2

4.（2019年温州二中期中卷）如图，在"BC中，Z4=90°,4B=3,AC=6,延长CB至点使

得CB=B。,再延长A8至点E,使得N4£D=45°,连接EC,则△灯芯的面积为.

5.（2015年南浦实验中学期中卷）如图，在中，NAC8=90°,过点人做直线加/C,过四

的中点D作DE±CD,DE交直线m于点E,连结CE,已知BC=5,AC=\2,则AE的长为.

6.如图，A。是A4BC的中线.E,尸分别在边AB,AC上（E,/不与端点重合），且。

则有（）

\.BE+CF>EF

C.liE+CF<EFD.%;+。•与£尸的长短关系不确定

7.如图，E是8c的中点,^BAE=ZCDE,若AB=6,则8的长为

3

D

8.如图，已知A4〃CD,4C_LCQ,且CD=2A4=12,4c=8,E是4。的中点，则跖的长为

上BA_____

D^—--------------°C

9.如图，矩形ABC。与CEFG如图放置，点8,C,E共线，点C,D,G共线，连接AF,取4户的

中点“，连接G”,若BC=EF=2,CD=CE=\,则G”的长为

G._____.F

力尸二-----------D

Bc

10.（2018年浙江宁波中考真题卷）如图,菱形288中,AB=2t々是锐角，AE_L8C于点E,M

是AB的中点，连接MZ）,ME.若4WD=9O°,贝】J3E=______.

A________________八

B

BEC

11.（2020年永嘉期中卷）如图，等边ZVIBC的边长为5,点尸在AB边上,点、Q为BC延长线一点，

连结PQ交4。于。，点4关于直线尸Q的对称点A恰好落在48边上，刍Q4=C。时，A4的长为

A

/^K

BQ

4

12.（2021年温州实验中学期中复习卷）如图，在矩形A8CZ）中，AB=10,AD=S,将矩形A8C。折

叠，使得顶点8落在CO边上的P点处，连接4P,/3P,动点M在线段AP上（点"与点P、A不

重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交P8于点尸，

ME上BP于点E.点M,N在移动过程中，线段石户的长是.

13.（202（）年山东德州中考真题卷）如图，人。是△A8C的中线，在人。上取一点F,连接8F并延长

交AC于点E,使AE=EF,求证：BF=AC.

14.如图，在"BC中，点。在AB上，点E在AC的延长线上，＞BD=CE,连接。E交也于尸,

DF=EF.求证：AABC是等腰三角形.

15.（2021年温州市期末统考卷）如图1,四边形ABCO是平行四边形，点E在边4。上，连结8巴

过点。作。尸〃8E,交BC于点F,点G,”分别是8E,。尸的中点，连结E”，GF.

（1）求证：四边形EGFH为平行四边形.

（2）若8C=10,4B=6,ZABC=60°.

①当BG=GF时，求四边形EGFH的面积；

②如图2,延长FG交A8于点P,连结AG,记^APG的面积为S”&BPG的面枳为S2,若EP_LAB,

求之的值.

邑

5

图2

6

第2讲《巧用中点之“等腰直角三角形斜中定理”》

思路点拨

i.基本图形:

如图，在等腰RSABC中，。为斜边AC边上的中点，/分别交A3、BC于E、尸两点，则

有

经典例题

例1.（2019年温州外国语学校期中卷）如图，在ZiABC中，AB=AC,Z3AC=90°,。、E、尸分别

是边AC、AB.AC上的点，且DELDF,ABED,ADFC,ZkAE产的面积分别为SI，S2,S3;若。

为8C的中点，51=2,52=6,则S.尸.

类题精练

1.（2020年外国语学校期中卷）如图，在△A8C中，CA=CB=4,NAC4=90°,以A8为中点。为

圆心，作圆心角90°的扇形DEF,点C恰好在EF±,下列关于图中阴影部分的说法正确的是（）

A.面积为24-4B.面积为4一2

C.面积为9-2

D.面积随着扇形位置的变化而变化

2.（2018年温州协作体期中卷）如图，在RSPOQ中，ZO=90°,OP=OQ,M为尸。中点，将

7

一把三角尺的直角顶点放在点M处，以例为旋转中心，/QMB=a,三角尺的两直角边与APOQ的

两直角边分别交于点A、B.在顺时针旋转三角尺的过程中（00<a<90°）,则△A08的周长变化

情况是（）

A.先减少再增大B.逐渐增大C保持不变D.逐渐减少

3.如图，在正方形A8CO中，对角线AC和8。相交于点。，E、产分别在边A8,8c上的点，若

AE=4,BE=3,且OE_L。/，则E厂的长为________.

4.（2020年苍南县期中卷）如图，在等腰“8。中，NC=90°,点。是A8的中点，且A8=2,将

一块直角三:角板的直角顶点放在点。处，并保持该直角三角板的两直角边分别与两边ACMC相交，

交点分别为。，E,则AD+BE的值为.

5.（2020年平阳县期中卷）如图，在RSA8C中，AC=CB,。为A8的中点，点E在4c边上运动,

连接。£过D作DFLDE交边8c于，点F,连接££

8

(I)当£C=2他时，-^-=____________；

SfdWB

(2)当遍”=2时，且比)=J而时，AE=_________.

S&ECF3

9

第3讲《巧用中点之“中位线”》

思路点拨

i.在题目的条件中若出现中点的相关条件，均可考虑中位线的构造，利用中位线的性质进行解题,

若出现两个或者更多个中点的条件时，优先考虑中位线.

2.连结三角形两边________的线段叫做三角形的中位线；一个三角形有条中位线.

（1）三角形的中位线于第三边，并且等于第三边的.

（2）三角形的中位线将原三角形分得的较小三角形的面积是原三角形面积的.

3.中位线逆定理：如图，在中，若。是中点，且则.

经典例题

例1.如图，在MBC中，AD是中线，AE是角平分线，七于凡AB=5,AO3,则力广的长

为•

例2.（2020年温州实验中学单元卷）如图，在RtMBC中，NACB=90°,点。是AC延长线上的

一点，A£>=24,点、E是BC上一点，BE=10,连接DE,M、N分别是A氏QE的中点，则MN=.

例3.（2019年棋瓯海区中考模拟卷）如图，菱形48CD的顶点4在x轴的正半轴上，ZC=60°,

顶点从。的纵坐标相同.已知点3的横坐标为76，若过点。的双曲线），=K（x>0）恰好经过

X

的中点石，则右.

10

y

例4.（2020年浙江湖州中考卷）如图，在RtZ\AOB中，点A在第一象限，点8在x轴上，点C是

04的中点，反比例函数），=人的图象经过点C且与A3交于点Q,若△OCZ）的面积为3,求上的值.

x

类题精练

1.（2020年瑞安联考期中卷）如图，。石为△A5C的中位线，点、F在DE上,且NA阳=90°,若A8=4,

BC=1,贝UE尸的长为.

2.（2020年温州实验中学返校考卷）如图，在OABCD中，点、E、F、G分别是边3C、CD、AD±.

的中点，连AE、FG、BD,已知AE=BE,△A8E的周长为8,G/=2,则对角线BD的长为.

3.（2020年天津中考卷）如图，DABCD的顶点C在等边△8。的边BF上，点E在.AB的延长线上,

G为。七的中点，连接CG.若455,AB=CF=3,则CG的长为.

11

D

//\

ABE

4.（2019江苏扬州中考卷）如图，已知点E在正方形ABC。的边A8上，以8E为边向正方形ABCO

外部作正方形BEFG,连接DF,M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB=7,BE=5,则

MN=.

5.（2019年河南中考卷）如图，在边长为2a的正方形48CD中，点石，尸分别是边人8,8c的中

点,连接EGFD,同G,H分别是EC尸D的中点，连接G"，则G”的长度为.

6.（2020年龙湾区期中卷附加题）如图，在Rt^AOC中，ZACZ7-90",AC=8,4c=4,D为斜边

4B上的中点，E是直角边AC上的一点，连接OE,将△AOE沿OE折叠至△A，E交边BD

于点凡若△。/E的面积是AAOE面积的一半，则CE=.

7.（2020年温州实验中学单元卷）如图，CQ是△A8C的中线，AC=AD,AEJ_C£）于点£延长线

交CB于F,CD=4,AF=12,则BC的长为.

12

8.（2020年温州实验中学单元卷）如图，在四边形A8CO中.=90°,AC=AD,E为CO的

中点，连结BE若/班。:60’，AC平分N胡。，BC=1,则BE的长为.

9.如图，在△48C中，ZC=90°,D为AB中点，E在BC上，且。E平分△4BC的周长，则OE

的长为.

10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形AOBC的顶点8在X轴的正半轴上，点A在

笫一象限，边BC的中点为D若），=工的图象经过点4和点。，且AAB。的面积为3,则上的值为

x

1L（2018年永嘉县期末卷）如图.已知点4在），轴的正半轴上.点8的坐标为（2.0）,以4B为

边向右作正方形ABCD,过点:D的反比例函数的图象交射线BC于点E,取BD的中点M,连结ME,

当△8ME与△A8D的面积相等时，线段48与8E的长度之比为,0A的长为.

13

12.（2021年重庆中考真题8卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点A,B在大轴的正

半轴上，反比例函数），=K（攵>0,x>0）的图象经过顶点八，分别与对角线4C,边BC交于点E,

x

F,连接所.若点E为AC的中点,且AAE尸的的面积为1,则2的值为.

14

第4讲《“K字型”之全等（1）》

思路点拨

I.基础模型：

如果在题目条件或图形中出现____________________________________的两条线段时.，通常都会考虑

到构造“K”字型全等的基本图形来进行解题.

构造“K”字型全等图形的一般性步骤：）

第一步：过___________________作一条水平线或铅垂线；

第二步：分别过另外两个端点作水平线或铅垂线的，形成情形.

2.拓展延伸：

在更一般普遍情况下，过________________任意作一条直线，再过另外两个端点作这条直线的

，亦能形成的基本图形，从而得到“K”字型全等的特殊情形.

课堂例题

伊ij1.如图，在中，=,AC=3,BC=2,以AA为边向右上侧作正方形A以儿,

连结CE,则CE的长为.

15

例2.如图，直线y=3-l与x轴、y轴分别相交于点8、4以48为斜边作等腰口△“八B,使得

点M落在第一象限内，过点M的双曲线为），=与，则A的值为.

例3.如图，点4（2,6）,8都经过双曲线,，=工（X>0）,且/403=45°，则8的坐标为

例4.如图.在△人AC中,AC=RC,7RCA=90°行为△ARC外一点,连结人用RE,CE,若/RFC

=90°,CE=4,BE=1,则△A4E的面积为.

类题精练

1.（2019年南浦实验期中卷）如图，NC44:RtN,P是线段AC上一点（不包括点A）,分别以必、

PB为腰向外作等腰RtAPAE和等腰RtAPBD,连接DE,交AC于?当。从A运动到C的过程中,

P厂长的变化情况为（）

16

A.一直变大B.不变C.先变大后变小D.先变小后变大

2.（2020年温州实验中学期中卷）如图,已知RSA8C和RtZ\8E,顶点8,C,。在一条直线上,

且C4=CE,AB=CD,连结AO,AE,若A£>=AE=1（）,则3。的长为.

3.如图，点4,点B分别为双曲线y=4上的两点，若NQ4B=90°,AB=AO,且点A的横坐标为

x

1,则出的值为.

90°,AB=AO,且点人的纵坐标为-2,则A的值为.

5.（2017年温州实验中学期中卷）如图，在平面直角坐标系中，四边形。48c是正方形，点A,C

的坐标分别为（3,0）,（0,3）,。是工轴止半轴上的一点（点。在点A的右边），以BD为边

17

向外作正方形BQQXE,尸两点在第一象限），连接FC交AB的延长线于点G,若反比例函数），=与

x

的图象经过点E,G两点，则人的值为.

6.（2020年温州市期末统考卷）长方形零件图人8C。中，BC=2AB,两孔中心何，N到边力。上点P

的距离相等，且MP上NP,相关尺寸如图所示，则两孔中心M,N之间的距离为mm.

7.如图，在平面直角坐标系中，正方形A8CQ的顶点A的坐标为（1,1）,点B在x轴负半轴上,

点。在第四象限的双曲线丁=-号上，过点。作CE〃工轴交双曲线于点£，则CE的长为.

x

8.（2021年南浦实验单元练习卷）如图，点人（3,4）,8都经过双曲线）=々工＞0）,且/403=45°,

.1

则B的坐标为.

18

9.(2018年山东滨州市中考卷)如图，在矩形A8CO中，AB=2,BC=4,点、E,尸分别在BC,CQ上,

若AE=布,ZEAF=45Q，则4F=.

10.(2018年瓯海区单元测试卷)如图，△A8C是等腰直角三角形，NC=90°。点P是线段AC上

的一个动点，连接8P,过点B作BQ上BP且BP=BQ,连接八Q交8C于点。，已知AP=2,BC=5,

则BD的长为.

11.(2018年温州市期末统考卷)图，在RtZ\48C中，Z4CT=90°,AB=10,AC=8,。是A8的中

点，例是边AC上一点，连接以0M为直角边作等腰直角三角形斜边。笈交线段CM

于点F,若SM*2sAM叱则CM的长为.

12.(202()年永嘉十校联考期中卷)如图1,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,射线AW〃8C,

射线CN平分NAC3交4B于点。，交AM于点E,P是射线AM上的动点.

(1)求线段AE的长：

(2)连结PD,BP.

①若4B=AP,求BP的长；

19

②如图2,若点Q是射线CN上的动点，当△BPQ是以8户为直角边的等腰直角三角形时，求出AP

的长.

20

第5讲《“一线三等角“之全等》

思路点拨

I.“一线三等角”之全等，其实是“K”字型全等的更为普遍或更为高阶级的表现形式，即将“K”

字型全等中的共顶点的垂直且相等的两条线段的核心条件，扩充变成了共顶点的任意夹角且相等的

两条线段的条件（如下图所示），再进一步构图所形成的全等模型:

如图，当_____________,且______________时，则

（图1）（图2）

证明：

2.“一线三等角”之全等模型的详细构图方式如下:

第一步：过相等的两条线段的公共顶点做一条水平线或铅垂线;

第二步：再分别以相等的两条线段的另外两个端点在这条水平线或铅垂线上构造相等的角（在实际

的解题过程中，这种相等的夹角通常为45°、60°、90°、120°为常见角。）

典型例题

例1.（2019年温州实验中学期中卷）如图，在△A8C中，NACB=90°,AC=BC,点D,E分别是

BC,AC上的点，CD=3,CE=5,连接OE,在边43上有到一点凡使得EF=E。,且NDEF=45°,

则△人石尸的面积为.

例2.如图，正方形ABC。中，点、E、F、G分别为A4,3C、C。边上的点，£B=3石,CG=4x/3,

21

连接£尺FG、£G恰好构成一个等边三角形，则正方形ABC。的边长为.

类题精练

1.如图，一次函数y=[r+4与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点（不含A,

6两端点），C是线段04上一点，若NCPO=45°,且PC=PO,则点。的坐标为.

2.（2019年温州新希望聪明期中卷改编）如图，点8在线段DE上，BA=BC,ZABC="DB=4BEC=

120°,若4）=5,CE=3,则AC的长是.

3.（2021年南浦实验期中卷）如图，在，4BC。中，ZC=60°,BC=6,CD=4,点E,P,Q分别

为A8,BC,AQ上一点，ZPEQ=120°,PE=QE,连结£）£和。P,当DE平分NPEQ,贝i|CP

的长为.

4.如图，已知△ABC是等边三角形，直线/过点C,分别过点A,8两点作AO_L/于点。，作8EJL/

于点£,若AD=4>/5,BE=7x/3,则A4的长为.

22

B

5.如图，A（0,3百），点6在人轴上，点C是反比例函数），=人>0）图象上点，若△A6C

是等边三角形，则点。的坐标为.

6.（2018年温州瑞安中考一模卷）如图，在△A8C中，ZC=90,/4=30,BC=8,D为BC中点,

点E在边AB上,△£>£?是等边三角形（按逆时针顺序），GF〃BC交AC于点、G,若3=1,则

等边三角形OE尸的边长为.

23

第6讲《“旋转手拉手“之全等》

思路点拨

“手拉手”模型，指的是存在一个公共顶点，且顶角相等的两个等腰三角形，将其两组底角的对应

顶点分别连结，形成一组全等三角形的模型.在这里，我们将两个等腰三角形的底角顶点形象地称

之为“左手”和“右手”，而公共顶点起到了“拉”起两只手的作用，故称之为“手拉手”模型.也

可以看作为这两个全等三角形中的其中一个三角形绕公共顶点旋转所产生的全等关系，故也称为“旋

转手拉手”.为了表述方便，我们将两个等腰三角形的底角顶点的连线称之为第三组对应边.

一般地，“旋转手拉手”模型在实际的应用中，通常以等边三角形、等腰直角三角形，以及进一步

延伸出来的正方形作为图形背景进行展开，图形分别如下所示：

对于“手拉手”模型通常存在以下三个基本结论：

（1）”手拉手模型”必有一经全等三角形；

（2）第三组对应边（所在直线）的夹角等于等腰三角形的顶角；

（3）第三组对应边（所在直线）交点与公共顶点的连线，会平分第三组对应边构成的夹角。

现就以上四种情形，分类具体说明如下：

24

1.“等边三角形”之“旋转手拉手”

思路点拨

如图，△A6C和△<?£>£均为等边三角形，连接阴人A。交于点0,

则有（I）一组全等三角形为:

（2）第三组对应边连线的夹角为°,即

（3）连结OC,则

图1图2

经典例题

例1.（2020年温州二中期中卷）如图，NABC=90",点P在射线BC上,分别以A&AP为边在NA8C

内部作等边△ABE和等边△APQ,连结QE并延长交8P于点F,若A4=3,AP=5,求广。的长.

例2.（2018年温州梧田一中期中卷改编）如图，△ABC和△C£7）均为等边三角形，且8,C,。三

点共线.线段BE,A。相交于点。，若NDBE=T5°,OA=2,求3c的长.

例3.如图，P是等边三角形48c内一点，PA=6,PB=8,PC=10,则N4P8=.

25

A

类题精练

I.（2019年平阳期末卷）如图，△AAC和△4P。都是等边三角形，点。在△A8C内，若APCQ是

以NPCQ为顶角的等腰直角三角形，若AQ=而，则的长为.

2.（2019年绣山中学百题卷）如图，点A在第三象限，点。在第四象限，△0A8与△CAD都是等

边三角形，已知点。的坐标为（4,0）,点8的坐标为（0,-3）,则点及的坐标是.

3.（自编）如图，AABC和△CDE均为等边三角形，点A、O、E在同一条直线上，连接BE.若NC4O=

15°,AQ=4,则48的长为.

4.（2020年温州市新希望联盟期中卷）如图，在等边△ABC中，AB=4,8/是AC边上中线，点。

是BF上一点、,连接4Q,在4D的右侧作等边△ADE,连接芯忆则△4Kb周长的最小值是.

26

A

5.（2020年温州市素养测试卷）如图，已知△A8C和△CDE都是等边三角形，ADLED,DC=2,

AB=3,则A£2+破2的值为.

6.如图，在四边形A8CO中，AC,8。是对角线，/XABC是等边三角形，ZADC=30,

AD=6,8。=10,则CO的长为.

7.如图，已知等边△ABC内有一点P,且PC=2,PA=4,P8=2G，则A8的长为

8.（2018年温州二中期中卷）如图，等边△A8C的边长为2,。是射线48上的动点，连结CD,将

CO绕点C逆时针旋转60°得到CE,连结及E,BE.

（1）△ABC的面积为；（直接填入答案）

（2）当为Rt△时，求AO的长;

27

(3)当。在线段AB的延长线上时，DC交BE于点F,S△加二^时，求所的长.

9.如图，P是等边三角形ABC内一点，且/4P8=120°,ZAPC=90°.

(1)求证：AP=2BP；

(2)若。为8C的中点，连结PO,求NCPD的度数.

28

2.“等腰直角三角形”之“旋转手拉手”

思路点拨

如图，△46C和△C。七均为等腰直角三角形，连接8石、AQ交于点0,

则有（1）一组全等三角形为：;

（2）第三组对应边连线的夹角为°,即；

（3）连结0C,则.

经典例题

例1.（2020年瑞安东部联盟期中卷）如图，在△ABC中，Z«AC=90°,84=AC,点。在△A8C

内，E在8。延长线上，且NZME=90°,AD=AE,若NCDE=6°,BD=6,则.

例2.（2020年瑞安西部联盟期中卷）在等腰RtZ\A8C内部有一点。，连结A。、8。、CO,hZADC=

135°,4)=4,CO=J万，则8。的长为.

类题精练

1.（2019年瑞安期末卷改编）如图，在AAOB与△CO。中，ZAOB=NCOD=9U°,且。4=04,

OC=O£）,且A、C、。三点共线.若CO=1,AC=\/7,则8c的长为.

29

o

D

2.（自编）如图，在△ABC与ZxAOE中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,且点8、C、

E在同一条直线上，若CE=2,BC=4,则比的长为

3.（2017年南浦实验期中卷）如图，△ABC、/XAEO是两个大小不同的等腰直角三角形，如图所示

摆放，点8、C、E在同一条直线上，连结CD若4C=CE=1,连结BQ,则△A8。的面积为

4.如图，ZACB=ZDCE=9Q°,AC=BC=6,CD=CE,且AE=3,ZC4E=45°,则A。的长

为

5.（2020年辽宁锦州中考真题卷改编）已知△A04与△M0N都是等腰直角三角形，且

ZAOB=ZMON=90：

30

(1)如图1,当点N恰好在人8边上时，且AN=1,BN=3,求ON的长；

(2)如图2,当A、M、N在同一•条直线上时，若OB=4,ON=3,求3N的长.

图1图2

31

3.“正方形”之“旋转手拉手”

思路点拨

如图，△46C和△C。七均为等腰直角三角形，连接8石、AQ交于点0,

则有（1）一组全等三角形为：;

（2）第三组对应边连线的夹角为°,即

（3）连结0C,则.

经典例题

例1.将边长为后的正方形ABCD与边长为拉的正方形有CEFG如图摆放，点G恰好落在线段

OE上，连结BE,

例2.如图，点P为正方形内部一点，连结PA,PB,PC,若NAP8=135°,且#4=1,PB=2,

贝|J〃C=

类题精练

1.（2020年南浦实验期中卷）如图，以△ABC的边AC,8c和A8为边恰好可以向上作正方形ACG产

32

和正方形8a77和正方形A8EQ,若△ABC的面积为3,则图中六边形（阴影部分）的面

积为.

2.如图，四边形A8C。和四边形CEFG均是正方形，且点从G、£三点在同一条直线上，连结

若DE=7,正方形A4CO的边长为13,则正方形C£?G的边长为.

3.（2020年山西中考卷改编）如图，点E为正方形A8CD内一点,且A8=I5,ZAEB=90°,以

BE为边向右侧作正方形BEFG,使C、F、G在同一条直线上.连结DE,若5=3,则。石二

4.（2020年山东滨州中考卷）如图，正方形ABCO和正方形CEFG边长分别为5和2,正方形CEFG

绕点C旋转，连结。£、BG,则。炉+BG?=.

5.如图，E为正方形44C。对角线AC上一点，以OE为边作正方形。“G,使得点厂恰好落在4c

的延长线上，连结CG.若AO=17,DE=13,则CG=,CF=.

33

6.（2020年山东滨州中考卷）如图，点P是正方形ABC。内一点，且点P到点A、B、。的距离分

别为2百、叵、4,则正方形人KCQ的面积为.

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4.“等腰三角形”之“旋转手拉手”

思路点拨

如图，4c和△AQE均为等腰直角三角形，且AB=AC,AD=AE,连结4。、CE交于点O,

则有3）一组全等三角形为：;

（2）第三组对应边连线的夹角为°,即；

（3）连结0C,则.

图1图2图3

经典例题

例1.（2018年温州实验中学期中卷）已知NE4C=90°,AC=6,A3=10,若平面上存在点D,

使得N4/M=90°,当£>C=D4时，则BD=.

类题精练

1.（2020年温州实验中学期中卷）如图，己知△8OC是等腰三角形，Z«OC=120°,OB=4,△

AO。是等边三角形，连结AB,CD,记△AO8和△OOC的面积分别为S1,S2,将△4。。绕点。旋

转，使得“CO=30°,若CD=5,贝IJS]+52=.

2.（2018年温州二中期中卷）如图，己知四边形A3c。中，/DCR=ZDBC=NDAB=45：AD=4,

35

AI3=3,则AC的长为

36

第7讲《平行四边形之“对角线最值问题”》

思路点拨

对于平行四边形对角线长的最值问题，考查的是平行四边形的性质.即,

在变化的平行四边形中，通常对角线的交点位置不变，找到这个交点的位置，利用

_____________________________________的性质来进行解决问题.

经典例题

例1.（2019年温州外国语学校期中卷）如图，在RtZkABC申，々=90°,NA=30°,4c=4,

点七为边A3上一动点，过E作所〃8C交NAC8的角平分线于点F.以AACF为边作D4FC。.当

点E在线段AB上运动时，则DF的取值范围为.

类题精练

1.如图，在△/13c中，N84C=45°,AC=1272,P为AB边上一点、,以Z4,PC为邻边向右侧

做DPAQC,则对角线PQ长的最小值为.

2.（2019年温州实验中学期中卷）如图，在长方形A3CQ中，对角线3。、AC交于点O,BD=8,

BC=4,点P为线段AC上任意一点，连接BP,以P人、为邻边作。E4Q以连接PQ.当PQ取

最小值时，CP的值是为.

B

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3.（2018年外国语期中卷）菱形A8CO的面积为48,对角线8。为6,为锐角.点似是对角

线8。上一个动点（不与端点8、。重合），做则MN的最小值为.

4.（2021年温州外国语学校期中卷）如图，在等腰RlZXABC中，ZB=90°,BC=2,D在线段AC

上运动（包括端点A,C）,将线段8。绕着点8顺时针旋转90°得到线段8E,连接AE,以AE,

为邻边构造D4E4F,连接£居在点。的运动过程中，线段E*的取值范围为.

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第8讲《平行四边形之“双平等腰”模型》

思路点拨

i.在平行四边形及特殊的平行四边形中相关的问题或含有条件的问题

中，通常都会出现“双平等腰”模型，可借助此模型找到线段的等量关系，从而为解题找到突破口.

经典例题

例1.如图，在。中，AI3=\,AD=3,将△AC。沿对角线AC折叠，点。落在△ABC所在

平面内的点E处，若A