高中数学复习专题18 圆锥曲线综合（学生版）

专题18圆锥曲线综合一、解答题1．（2024新高考Ⅰ卷·16）已知和为椭圆上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．2．（2024新高考Ⅱ卷·19）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.(1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)设为的面积，证明：对任意的正整数，.一、解答题1．（2022新高考Ⅰ卷·21）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面积．2．（2023新高考Ⅰ卷·22）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．(1)求的方程；(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．3．（2022新高考Ⅱ卷·21）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.4．（2023新高考Ⅱ卷·21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.一、直线和曲线联立1、椭圆与直线相交于两点，设，，椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，注意：=1\*GB3①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．=2\*GB3②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．2、抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．抛物线与直线相交于两点，设，联立可得，时，注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．二、根的判别式和韦达定理与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记．同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记．与C相离；与C相切；与C相交．注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件．（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可．（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可；焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可．（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标．三、弦长公式设，根据两点距离公式．1、若在直线上，代入化简，得；2、若所在直线方程为，代入化简，得3、构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．注意：（1）上述表达式中，当为，时，；（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单．（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．四、已知弦的中点，研究的斜率和方程1、是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为，运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上，所以，两式相减得所以即，故2、运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则．一、解答题1．（2024·山东济宁·三模）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点（M、N都不在坐标轴上），若，求直线的方程.2．（2024·浙江绍兴·三模）已知双曲线：与直线：交于、两点（在左侧），过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点（在右支，在左支）．(1)设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；(2)若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．3．（2024·天津北辰·三模）已知椭圆：的离心率为，左､右焦点分别为，，上､下顶点分别为，，且四边形的面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.4．（2024·新疆喀什·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是直线：（其中是实半轴长，是半焦距）上不同于原点的一个动点，斜率为的直线与双曲线交于，两点，斜率为的直线与双曲线交于，两点．(1)求的值；(2)若直线，，，的斜率分别为，，，，问是否存在点，满足，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．5．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是上第一象限内的动点.当直线的倾斜角为时，.(1)求的方程；(2)已知点是上不同两点.若四边形是平行四边形，证明：直线过定点.6．（2024·上海·三模）已知椭圆：，、分别为左、右焦点，直线过交椭圆于、两点.(1)求椭圆的离心率；(2)当，且点在轴上方时，求、两点的坐标；(3)若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.7．（2024·湖南长沙·二模）已知椭圆中心在原点，左焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的左焦点作斜率存在的两直线、分别交椭圆于、、、，且，线段、的中点分别为、.求四边形面积的最小值.8．（2024·北京西城·三模）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，若椭圆的，三角形ABC的面积为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点D（0，2），直线AD交椭圆于点E，过点D的直线交椭圆于M，N两点，若直线CM与x轴交于P点，过E且平行于x轴的直线与BN交于Q点，求的值.9．（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点.当直线的倾斜角为时，.(1)求的方程；(2)在线段上取异于点的点，且满足，试问是否存在一条定直线，使得点恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.10．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点．(1)求椭圆的方程；(2)求证：点在定直线上.11．（2024·上海浦东新·三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点.(1)求右焦点到双曲线的渐近线的距离；(2)若，求直线的方程；(3)若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围.12．（2024·天津南开·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程.13．（2024·贵州六盘水·三模）在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且动点满足，记P的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设曲线C与x轴的交点为A1，A2（A1在A2的左边），过点Q（1，0）且不与x轴平行的直线l与C相交于M，N两点，记直线A1M，A2N的斜率分别为k1和k2，求的值．14．（2024·广东汕头·三模）已知双曲线：的渐近线方程为，过点的直线交双曲线于，两点，且当轴时，.(1)求的方程；(2)记双曲线的左右顶点分别为，，直线，的斜率分别为，，求的值.(3)探究圆：上是否存在点，使得过作双曲线的两条切线，互相垂直.15．（2024·江西鹰潭·二模）设椭圆E：经过点，且离心率，直线垂直x轴交x轴于T，过T的直线l1交椭圆E于，两点，连接，，．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线PA，PB的斜率分别为，．（ⅰ）求的值；（ⅱ）如图：过P作x轴的垂线l，过A作PT的平行线分别交PB，l于M，N，求的值．16．（2024·山东烟台·三模）已知抛物线C：（）过点，F为C的焦点，A，B为C上不同于原点O的两点.(1)若，试探究直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由；(2)若，求面积的最小值.17．（2024·山西阳泉·三模）已知圆．点在圆上，延长到，使，点在线段上，满足．(1)求点的轨迹的方程；(2)设点在直线上运动，．直线与轨迹分别交于两点，求证：所在直线恒过定点．18．（2024·湖南衡阳·三模）已知椭圆.(1)已知的顶点均在椭圆上，若坐标原点为的重心，求点到直线PQ距离的最小值；(2)已知定在椭圆上，直线（与轴不重合）与椭圆交于A、B两点，若直线AB，AN，BN的斜率均存在，且，证明：直线AB过定点（坐标用，表示）.19．（2024·四川攀枝花·三模）已知抛物线上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为．(1)求抛物线C的方程；(2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线与交于点G．求20．（2024·新疆·三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，过抛物线：焦点的直线交抛物线于M，N两点，的最小值为4.连接，并延长分别交于A，B两点，且点A与点M，点B与点N均不在同一象限，与的面积分别记为，.(1)求和的方程；(2)记，求的最小值.21．（2024·浙江绍兴·三模）设双曲线C：（，）的一条渐近线为，焦点到渐近线的距离为1．，分别为双曲线的左、右顶点，直线过点交双曲线于点，，记直线，的斜率为，．(1)求双曲线的方程；(2)求证为定值．22．（2024·浙江·三模）已知双曲线的实轴长为4