相似综合（学生版+解析版）

相似综合

一.中考真题（共6小题）

1.在等腰AA5c中，AC=BC,△ADE是直角三角形，ZDA£=90°,ZADE=

连接B。，BE,点尸是8。的中点，连接C尸.

（1）当NC4B=45°时.

①如图1,当顶点D在边AC上时，请直接写出NE48与NC84的数量关系

是.线段与线段CF的数量关系是；

②如图2,当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？

若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；

学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：

思路一：作等腰△ABC底边上的高CM,并取BE的中点N,冉利月三角形全等或相似有

关知识来解决问题；

思路二：取DE的中点G,连接AG,CG,并把△CAG绕点C逆时针旋转90°,再利用

旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解决问题.

（2）当NC44=30°时，如图3,当顶点。在边AC上时，写出线段BE与线段。〃的数

量关系，并说明理由.

E

图1图2图3

2.小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

图1图2图3

(一)猜测探究

在△A8C中，AB=AC,M是平面内任意一点，将线段AM绕点4按顺时针方向旋转与

相等的角度,得到线段AM连接NR

(1)如图1,若M是线段8c上的任意一点，请直接写出NNAB与NM4C的数量关系

是,岫与MC的数量关系是；

(2)如图2,点七是A8延长线上点，若“是NCBE内部射线B。上任意一点，连接

MC,(1)中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由.

(二)拓展应用

如图3,在△AiBCi中，481=8,ZAifiiCi=60°,Z5iAiCi=75°,P是小。上的

任意点，连接4尸，将AiP绕点4按顺时针方向旋转75°,得到线段AiQ,连接BiQ.求

线段BiQ长度的最小值.

3.在△ABC中,A8=AC,NBAC=120°,以CA为边在NACB的另一侧作NACM=NACB,

点D为射线5C上任意一点，在射线CM上截取CE=BD,连接4）、DE.AE.

（1）如图1,当点。落在线段8C的延长线上时，直接写出N4OE的度数；

（2）如图2,当点。落在线段BC（不含边界）上时，AC与OE交于点尸，请问（1）中

的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若48=6,求。尸的最大值.

4.某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题:

如图1,在△A5C和中，ZACB=ZAED=90°,ZCAB=ZEAD=60°,点E,

A,。在同一条直线上，连接80,点尸是8。的中点，连接Er，CF,试判断△（?£：尸的

形状并说明理由.

问题探究：

（1）小婷同学提出解题思路：先探究的两条边是否相等，如EF=CF,以下是她

的证明过程

证明：延长线段所交8的延长线于点G.:,NBGF=NDEF.

•・•尸是8。的中点，又'：4BFG=NDFE,

：.BF=DF.:・4BG乂ADEF(_______).

V^ACB=ZAED=9Q°,:・EF=FG.

：.ED//CG.：.CF=EF=^EG.

请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图1中作出证明中所描述的辅助线；

②在证明的括号中填写理由（请在SAS,ASA,A45,SSS中选择）.

（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出NCE尸的度数，并判断aCE尸的

形状.

问题拓展：

（3）如图2,当△AOE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE延长。七交8C的延长

线于点P,其他条件不变，判断ACEF的形状并给出证明.

5.在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之

间、角之间的关系进行了探究.

（-）尝试探究

如图1,在四边形45co中，AB=AD,N5Ao=60°,ZABC=ZADC=90°，点、E、F

分别在线段BC、CO上，Z£4F=3O°,连接E凡

（1）如图2,将aABE绕点A逆时针旋转60°后得到△入'B'Er（4'B'与4。重合），

请直接写出NE'AF=度，线段BE、EF、尸。之间的数量关系为.

（2）如图3,当点E、尸分别在线段8C、CO的延长线上时，其他条件不变，请探究线

段8E、EF、FO之间的数量关系，并说明理由.

（二）拓展延伸

如图4,在等边中，E、尸是边5c上的两点，ZEAF=30°,BE=\,将△ABE

绕点4逆时针旋转60°得到八4'B'E'（4'B'与AC重合），连接反'，A户与EE'

交于点N,过点A作AM_LBC于点M,连接MM求线段MN的长度.

图1图2图3图4

6.如图1,在△ABC中，NACB=90°,AC=BC,ZE4C=90°，点M为射线AE上任意

一点（不与A重合），连接CM,将线段CM绕点。按顺时针方向旋转90°得到线段CN,

直线N8分别交直线CM、射线4E于点尸、D.

（1）直接写出NNDE的度数；

（2）如图2、图3,当NE4C为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生

变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；

（3）如图4,若NE4C=15°,NACM=60°,直线CM与4B交于G,80=①磬，

其他条件不变，求线段4M的长.

图3图4

二.手拉手模型（共10小题）

7.以四边形ABCD的边48、4。为底边分别作等腰三角形ABF和等腰三角形人。£

（1）当四边形A8CD为正方形时（如图①），以边AB、A。为斜边分别向外侧作等腰直

角448r和等腰直角△4OE,连接EF、FD,线段EB和FD的数量关系是；

（2）当四边形A3C。为矩形时（如图②），以边为斜边分别向矩形内侧、外侧

作等腰直角aABr和等腰直角AAOE,连接防、BD,线段所和B。具有怎样的数量关

系？请说明理由；

（3）当四边形ABC。为平行四边形时，以边A8、AD为底边分别向平行四边形内侧、外

侧作等腰AAB尸和等腰△4DE，且△E4O与△尸84的顶角都为a,连接ERBD,交点

为G.请用a表示出NEG。，并说明理由.

8.【操作发现】如图(1),在△OAB和△OCO中，OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD

=45°,连接4C,BD交于点M.

①AC与BD之间的数量关系为；

②的度数为；

【类比探究】如图（2）,在△OAB和△OCO中，ZAOB=ZCOD=90°,N0A8=N

OCO=30°,连接AC,交BO的延长线于点M.请计算丝的值及NAMB的度数；

BD

【实际应用】如图（3）,是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板A6C、QCE

组成的图形，其中N4C8=N£>CE=90°,NA=N£>=30°且力、E、B在同一直线上，

CE=1,BC=V21,求点A、。之间的距离.

9.如图1,在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点E,尸分别是边。C,D4的中点，四边形

。尸GE为矩形，连接8G.

（1）问题发现

CE

在图1中，；=；

BG--------------

（2）拓展探究

CE

将图1中的矩形。尸GE绕点。旋转一周，在旋转过程中，:匚大小有无变化？请仅就图2

BG

的情形给出证明；

（3）问题解决

当矩形OFGE旋转至B,G,£三点共线时，请直接写出线段CE的长.

10.在数学课堂上，小明同学将两个完全相同的直角三角形重合在一起.如图1所示，NC

=90°,点4与点£＞重合，点B与点E重合，CA=kCB.

（1）操作发现：当2=1时，洛△QCE绕点。顺时针旋转90°,发现此情况下线段8E

和线段AO存在特殊的数量和位置关系：①数量关系：；②位置关系：；

（请直接写出答案）

（2）问题产生：当左=1时，如图2,将△OCE绕点C顺时针旋转a（0。＜a＜90°）,

连接BE、AD,在此情况下（1）中的结论是否还成立呢？请给予你的解释或证明；

（3）问题延伸：将（2）中的条件“2=1”调整为“k=2”,如图3,其它条件不变：

①求此条件下线段BE和线段AD数量关系和位置关系：

②在旋转过程中，当E点恰好落在线段A8上时，若8。=1,求点C到直线AO的距离.

图1图2图3

11.(1)如图1,在△OAB和△OC。中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NCO£>=40°,连

接4GBD交于点林

求：悔的值；

②N4MB的度数.

(2)如图2,在△OAB和△OCO中，NAOB=NCOO=90°,ZOAB=ZOCD=30°,

AC

连接4c交BD的延长线于点M.请判断前的值及NAM8的度数，并说明理由；

BD

(3)在(2)的条件下，将△0C。点。在平面内旋转，AC,8。所在直线交于点M,若

00=2,0B=2内请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

12.如图，已知正方形A8CD,点E为4B上的一点，EFA.AB,交BD于点尸.

(1)如图1,直接写出笔的值.

(2)将/绕点8顺时针旋转到如图2所示的位置，连接DF,猜想。“与AE

的数量关系，并证明你的结论;

(3)如图3,当8E=8A时，其他条件不变，△砧〃绕点8顺时针旋转，设旋转角为a

(0°<a<360°),当a为何值时，EA=ED?在图3或备用图口画出图形，并直接写

出此时a=

13.在△ABC中，A8=4C,点。为直线BC上一动点（点。不与&C重合）以AD为边

作菱形4DEE使ND4尸=N5AC,连接CR

（1）如图1,当点O在线段3c上时，求证：BD=CF；

（2）如图2,当点。在线段3c的延长线上，且N84C=90°时.

①问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由;

②延长交C尸于点G,连接GE,若48=2及，CD=BC,请求出GE的长.

图1图2

14.(1)如图1,已知NAC8=NOCE=90°,AC=8C=6,CO=CE,AE=3,NCAE=45°,

求AD的长.

(2)如图2,己知NAC8=/Z)CE=90°,ZABC=ZCED=ZCAE=30°,4C=3,

AE=8,求AQ的长.

A

15.在锐角△ABC中，AB=4,BC=5,NAC8=45°,将△ABC绕点8按逆时针方向旋转,

得到△44C1.

(1)如图I,当点G在线段CA的延长线上时，求NCGAi的度数；

(2)如图2,连接A4，CG.若△A84的面积为4,求△CBG的面积；

(3)如图3,点E为线段A8中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点3按逆时

针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段£Pi长度的最大值与最小值.

16.AABC为等边三角形,48=8,。、E、尸分别是BC、AB、4C的中点，连接EF、CE,

分别取EACE的中点A/、M连接肋V、DN.

（1）如图1,MN与ON的数量关系是,ZDNM=；

（2）如图2,将绕点A逆时针旋转，旋转角为a,

①当0。<a<90°时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由；

②连接BN,在△AEF绕点4逆时针旋转过程中，当线段最大时，求△AON的面积.

三.练习(共9小题)

17.【探索发现】

(1)如图①，当四边形ABC。为正方形时，以边AB、为斜边分别向外侧作等腰Rt

△AS”和等腰RtZ\AOE,连接80.直接写出线段30、DE、5F之间的数量关系：；

【理解应用】

(2)如图②，当四边形A8C。为矩形时，以边AB、4力为斜边分别向矩形内侧、外侧作

等腰R1448尸和等腰RlZXAOE,连接月/、BD.判断线段E尸与B。之间的数量关系，

并说明理由；

【拓展迁移】

(3)如图③，当四边形ABC。为平行四边形时，以边A3、AO为底边分别向平行四边形

内侧、外侧作等腰

EFl

△A5b和等腰△4£陀,且乙4EZ)=NAF8,连接所、3。,交点为点G,若4。=2,—=V3,

BD

求AE的长.

BB

图①图②图③

18.（1）【问题发现】

如图①，正方形4EFG的两边分别在正方形ABCO的边AB和AD上，连接CR

填空：①线段C尸与OG的数量关系为；

②直线CF与DG所夹锐角的度数为.

（2）【拓展探究】

如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然

成立，请利用图②进行说明.

（3【解决问题】

如图③，和△AOE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,A8=AC=4,

。为AC的中点.若点。在直线上运动，连接。£则在点。的运动过程中，线段

0E长的最小值为（直接写出结果）.

19.如图①，在RI/X4BC中，ZB=90°,48=2,BC=6,点D,E分别是边BC,AC的

中点，连接DE，将△EDC绕点。顺时针方向旋转，记旋转角为a.

（1）问题发现

当a=0。时，一=

BD-------------------------------

（2）拓展探究

AP

试判断：当0°WaV360。时，访的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明.

（3）问题解决

当△EOC旋转至A,D,E三点共线时，如图③，图④，直接写出线段AE的长.

20.如图(1),已知点G在正方形ABC。的对角线AC上，GELBC,GFLCD.

4G

(1)①求证：四边形CEGf是正方形：②推断：一的值为_______________：

BE

(2)将正方形CEG尸绕点。顺时针方向旋转a角(0°<a<45°),如图(2)所示，

试探究线段AG与BE之间的数量关系；

(3)正方形CEG尸在旋转过程中，当3,E,尸三点在一条直线上时，如图(3)所示,

延长CG交A。于点若4G=6,GH=2>/2,求正方形CEG尸和正方形A8CO的边长.

图(1)图(2)图(3)

21./XABC和△AOE都是等腰直角三角形，且NAOE=NC=90°,AO4D

BEf-

(1)如图1,当点。在AC边上时，求证：­=V2；

(2)当绕A旋转到如图2的位置时(45°<ZCAD<90°).詈=①是否成立？

若成立，请给出证明；若不成立.请说明理由.

(3)当4C=IO,A。=2花且AADE绕A旋转到NOEB=90°时.求线段CQ的长.

22.【提出问题】

（1）如图1,在等边△A5C中.点M是3c上的任意一点（不含端点艮C）,连接4M,

以A例为边作等边连续CN.求证：/ABC=NACN.

【类比探究】

（2）如图2,在等边△48C中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C）,其它

条件不变，（1）中结论N4BC=NACN还成立吗？请说明理由.

【拓展延伸】

（3）如图3,在等腰△ABC中，8A=BC,点M是BC上的任意一点（不含端点8、C）,

连接4M,以AM为边作等腰使顶角N4MN=N48C.连接CM试探究NABC

与NACN的数量关系，并说明理由.

23.如图①，△ABC与△COE是等腰直角三角形，直角边AC、CO在同一条直线上，点M、

N分别是斜边AB、DE的中点，点P为4D的中点，连接4E、BD.

（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

（2）现将图①中的△CDE绕着点。顺时针旋转a（0°<a<90°）,得到图②，AE与

M尸、3。分别交于点G、H,AE与BC相交于点O.请判断（1）中的结论是否成立？若

成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC,CD=kCE,如图③，

写出PM与PN的数量关系，并加以证明.

24.如图1,△ABC是等腰直角三角形，N84c=90°,AB=AC,四边形A。所是正方形,

点5、。分别在边AD.A尸上，此时BD=。尸，B£)_LC尸成立.

(1)当△A8C绕点A逆时针旋转8(0°<0<90°)时，如图2,80=。尸成立吗？若

成立，请证明，若不成立，请说明理由；

(2)当△ABC绕点4逆时针旋转45°时，如图3,延长BD交CF于点H.

①求证：BD1CF；

②当4B=2,AO=3四时，求线段。〃的长.

25.如图1,在△ABC中，NAC8=90°,AC=BC,。为A8上一点，连接CD,将CO绕

点。顺时针旋转90°至CE,连接AE.

(1)求证：△8CD0△ACE；

(2)如图2,连接EO,若CDSAE=lf求48的长；

(3)如图3,若点尸为AO的中点，分别连接£3和CF,求证：CFLEB.

四.角拉脚模型(共3小题)

26.如图，△ABC与△CDE为等腰直角三角形，ZBAC=ZDEC=90°，连接人Z),AD

中点P，连接3P,并延长到点M,使BP=PM,连接4M、EM、AE,将△COE绕点C

顺时针旋转.

(I)如图①，当点。在BC上，上在AC上时，4E与AM的数量关系

是,ZMAE=；

(2)将△COE绕点。顺时针旋转到如图②所示的位置，(1)中的结论是否仍然成立，

若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

(3)若COuaBC,将△CQE由图①位置绕点C顺时针旋转a(0°<a<360°),当

例时，请直接写出a的值.

27.(1)如图1,△ABC和△COE均为等边三角形，直线A。和直线BE交于点F.

①求证：AD=BE\

②求NA所的度数.

(2)如图2,△A8C和△COE均为等腰直角三角形，ZABC=ZDEC=W,直线A。

和直线BE交于点F.

①求证：AD=V2BE；

②若A8=8C=3,DE=EC=V2,将△CQE绕着点C在平面内旋转，当点。落在线段

BC上时，在图3中画出图形，并求8尸的长度.

28.如图，等腰RlZXABC的直角边长为2鱼，点0为斜边的中点，点P为A8上任意

一点，连接尸C，以尸C为宜角边作等腰Rt△尸CD,连接BD.

PCCO

(1)求证：一=一;

CDCB

（2）请你判断AC与8。有什么位置关系？并说明理由.

（3）当点P在线段上运动时，设AP=x,△P8。的面积为S,求S与x之间的函数

关系式.

五.练习（共2小题）

29.如图，已知△4BC和△ADE均为等腰三角形，AC=BC,DE=AE,将这两个三角形放

置在一起.

（1）问题发现：

如图①，当NAC4=N4EO=60°时，点B、。、E在同一直线上，连接CE,则NCE8

=°，线段8力、CE之间的数量关系是；

（2）拓展探究：

如图②，当NAC8=NAEO=90°时，点B、。、E在同一直线上，连接CE,请判断N

CEB的度数及线段8。、CE之间的数量关系，并说明理由；

（3）解决问题：

如图③，NAC8=NAEO=90°,AC=2>f5,AE=2,连接CE、BD,在△AEO绕点4

旋转的过程中，当及时，请直接写出EC的长.

30.(1)如图1,△ABC和△OEC均为等边三角形，直线4。和直线BE交于点F.

填空：①造写出图1中的一对全等三角形：；

②线段AO,8E之间的数量关系为；

③/AF8的度数为.

(2)如图2,/XABC和△DEC均为等腰直角三角形，NABC=NDEC=90°,AB=BC,

DE=EC,直线A。和直线BE交于点尸，请判断NAF8的度数及线段A。，8E之间的数

量关系，并说明理由.

(3)如图3,△ABC和△4OE均为直角三角形，ZACB=ZAED=90°,ZBAC=ZDAE

=30°,AB=5,AE=3,当点B在线段EO的延长线上时，求线段3。和CE的长度.

六.半角模型(共2小题)

31.如图，正方形ABCD,NE4F=45°.交.BC、CD于E、F,交.BD于H.G.

(1)求证：AI^=BG・DH；

(2)求证：CE=V2DG；

(3)求证：EF=y[2HG.

32.(1)如图1,在正方形ABCD中，E是A8上一点，F是A。延长线上一点，且DF=BE.求

证：CE=CFi

(2)如图2,在正方形48CQ中，E是AB上一点，G是AO上一点.如果NGCE=45°,

请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3,在直角梯形ABCO中，AD//BC(BC>AD),Z5=90°,AB=BC,E是48上

一点，且NOCE=45°,BE=4,OE=10,求直角梯形ABC。的面积.

七.练习（共1小题）

33.如图，正方形488的边长为10,点E、尸分别在边BC.CD.t,且NE4尸=45°,

AHLEF于点H,AH=10,连接80,分别交AE、AH.A尸于点P、G、Q.

（1）求△口??的周长；

（2）若七是8c的中点，求证：CF=2DF；

（3）连接QE,求证：AQ=EQ.

八.对角互补模型(共2小题)

34.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形048。的顶点4在x轴上，顶点C在y轴上,

OA=8,0C=4,点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ_LP8PQ交x轴于点Q.

(1)tanZACB=；

pn

(2)在点P从点。运动到点A的过程中，三的值是否发生变化？如果变化，请求出其

PB

变化范围；如果不变，请求出其值；

(3)若将沿直线B。疔叠后，点A与点P重合，求PC的长.

备用图

35.已知正方形048。如图放置在平面直角坐标系中，B（4,4）.如图1,若直角MPN的

顶点P放置于正方形对角线边AC、05交点处，直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分

别与线段0C、OA交于点M、N（不与点C、0、A重合）.在旋转的过程中，易证：四

边形0MPN的面积为定值，且S四边形OM/W=4.

Dp]

（1）如图2,若直角MPN的顶点P放置于对角线。8上，且77=大直角MPN绕顶

P03

点P旋转，角的两边分别与线段0C、04交于点M、N（不与点C、0、A重合）.设CM

=a,四边形。MPN的面积为S,则S随。的变化而变化吗？若不变，请求出S的值；若

变化，请求出S与。的关系式.

CP1

（2）如图3,若直角M尸N的顶点尸放置于对角线AC上，且一=-,直角MPN绕顶点

PA3

P旋转，角的两边分别与线段OC、0A交于点"、N（不与点C、0、A重合）.设CM=

a,四边形OMPN的血积为5=.（直接写出答案，不需证明；若5随。的变

化而不变，直接写出S的值；若变化，直接写出S与。的关系式.）

九.练习(共1小题)

36.如图，在矩形48。中，AD=kAB(A:>0),点E是线段延长线上的一个动点，连

接AE,过点从作4尺LAE交射线OC于点尸.

(1)如图1,若左=1,则AF与AE之间的数量关系是

(2)如图2,若21,试判断4〃与4E之间的数量关系，写出结论并证明；(用含A的

式子表示)

⑶若40=248=4,连接BD交4产于点G,连接EG,当时，求EG的长.

AD

BC

图1图2备用图

一十.三等角(共3小题)

37.如图，△ABC和△£)£1产是两个全等的等腰直角三角形，NBAC=NEDF=90°,ADEF

的顶点E与△A8C的斜边BC的中点重合.将△7)用绕点E旋转，旋转过程中，线段

DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.

(1)如图①，当点。在线段AC上，且4P=AQ时，和ACQE的形状有什么关

系，请证明；

(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，ABPE和有什么关系，说明理

由；

(3)当8尸=1,。。=擀时，求P、。两点间的距离.

38.等腰△ABC,A8=4C=8,ZBAC=120°,P为8C的中点，小慧拿着含30°角的透

明三角板，使30°角的顶点落在点P,三角板绕P点旋转.

（1）如图小当三角板的两边分别交A8、AC于点E、尸时.求证：△BPEs^CFP；

（2）操作：将三角板绕点尸旋转到图b情形时，三角板的两边分别交5A的延长线、边

AC于点E、F.

①探究1：△8PE与还相似吗？（只需写出结论）

②探究2：连接EE△BPE1与△PFE是否相似？请说明理由；

③设EF=机，ZXEP/的面积为S,试用加的代数式表示S.

39.如图，点B在线段AC上，点。、£在AC同侧，NA=NC=90°,BDLBE,AD=BC.

(1)求证：AC=AD+CE；

(2)若AO=3,CE=5,点P为线段A3上的动点，连接。P,作PQ_L£>P,交直线BE

于点Q.

DP

(i)当点尸与A,B两点不重合时，求77的值；

PQ

(ii)当点尸从A点运动到AC的中点时，求线段OQ的中点所经过的路径(线段)长.

一十一.练习（共2小题）

40.如图.等腰直角三角形48。中，NA=90°,P为BC的中点，小明拿着含45°角的透

明三角形，使45°角的顶点落在点P,且绕P旋转.

（1）如图①：当三角板的两边分别A3、AC交于七、户点时，试说明

（2）将三角板绕点P旋转到图②，三角板两边分别交弘延长线和边AC于点ER

探究1：ABPE与4CFP.还相似吗？（只需写结论）

探窕2：连接EF,△BPE与△EFP是否相似？请说明理

41.如图，在△ABC中，点。、E分别在边8C、4c上，连接4。、DE,且N1=NB=NC.

（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和借助线，找结论过

程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）

答：结论一：;

结论二：;

结论三：.

（2）若NB=45°,BC=2,当点。在BC上运动时（点。不与5、C重合），

①求CE的最大值；

②若AAOE是等腰三角形，求此时8。的长.

（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

一十二.梅式(共2小题)

42.阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1,在△ABC中，BE是4c边上的中线,

DB2-AP

点。在BC边上，—=AD与BE相父于点P,求77的值.

BC3PD

小昊发现，过点C作C尸〃4。，交8E的延长线于点F,通过构造△(?",经过推理和计

算能够使问题得到解决(如图2).

AD

请回答：77?的值为.

参考小昊思考问题的方法，解决问题：

DB3AE3

(1)如图3,在△A8C中，点D在BC的延长线上，幸=二，点E在AC上，且h=二.求

BC2EC2

访的值;

7

DB3AE-

(2)如图4,在AABC中，点。在6c的延长线,，一=一，点E在AC_L,H.—2

BC2EC

43.已知：在四边形ABCO中，AD//BC,NB4C=NO,点E、尸分别在8C、CO上，且

ZAEF=ZACD,试探究4E与"之间的数量关系.

（1）如图1,若AB=BC=AC,则AE与E尸之间的数量关系是什么；

（2）如图2,若AB=8C,你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证

明；

（3）如图3,若AB=kBC,你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明.

一十三.练习（共2小题）

44.在△A5C中，ZACB=90°，BE是AC边上的中线，点D在射线3c上.

发现：如图1,点。在8c边上，CD：BD=\：2,AO与BE相交于点P,过点A作AF

AD

//BC,交5七的延长线于点凡易得前的值为.

解决问题：如图2,在△ABC中，N4c3=90°,点。在3C的延长线上,A。与AC边

AD

上的中线BE的延长线交于点P,DC：BC=1：2.求7；；的值：

PD

应用：若CD=2,4c=6,则BP=.

45.（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:

如图1,在△ABC中，点O在线段3C上，ZBAO=30°,ZOAC=75°,AO-373,

80：CO=1：3,求AB的长.

经过社团成员讨论发现，过点5作BO〃AC,交AO的延长线于点。，通过构造△A3。

就可以解决问题（如图2）.

请回答：ZADB=°,AB=.

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3,在四边形A8C。中，双角线4c与8。相交于点。，ACA.AD,AO=3V3,/ABC

=ZACB=75°,BO：00=1：3,求。C的长.

一十四.试题(共7小题)

46.(1)如图1,在△48。中，点E.Q分别在AB、AC.BC上，KDE//BC,AQ交

DPPE

DE于点P，求证：标二诞

(2)如图，ZXABC中，N84C=90°,正方形OErG的四个顶点在△ABC的边上，连

接4G,A尸分别交OE于M,N两点、.

①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长；

②如图3,求证：MN2=DM・EN.

47.探究证明:

(1)如图1,正方形AB8中，点M、N分别在边BC、CO上，AMYBN.求证：BN=

AM；

(2)如图2,矩形A8CO中，点M在8。上，EF±AMf所分别交.48、CD于点、E、F.求

yEFBC

证：----=—；

AMAB

(3)如图3,四边形ABC。中，NA3c=90°,AB=AD=\0fBC=CD=5,AMA.DNf

DN

点M、N分别在边BC、AB±,求K的值.

AM

n

图1图2图3

48.已知：如图，四边形ABC。是正方形，B。是对角线，BE平分NDBC交DC于E点,

交。尸于尸是3。延长线上一点，且

(1)求证：BM±DF；

(2)若正方形A8CO的边长为2,求

49.在正方形ABC。中，点尸是边BC上一动点(不包含端点)，线段AP的垂直平分线与

AB,AP,BD,分别交于点M,E,F,N.

(I)若A8=9,8尸=3,求线段MN的长度;

(II)求证：ME+NF=EF.

50.已知等边△ABC的边长为2,

(1)如图1,在边BC上有一个动点P,在边AC上有一个动点Q,满足NAPQ=60°,

求证：AABPs丛PCD

(2)如图2,若点P在射线8c上运动，点。在直线AC上，满足NAPO=120°,当

PC=1时，求A。的长

(3)在(2)的条件下，将点。绕点C逆时针旋转120。到点O1,求A。'AP的面积.

51.如图，在正方形ABC。中，边长为4,/MDN=90°,将NMDN绕点D旋转,其中

DM边分别与射线B4.直线AC交于艮Q两点，DN边与射线BC交于点凡连接E凡

且E尸与直线4C交于点P.

(1)如图1,点E在线段AB上时,

①求证：AE=CF；

②求证：。尸垂直平分所；

(2)当4E=1时，求PQ的长.

52.如图，四边形ABC。是矩形.

R

(1)如图1,E、尸分别是A。、CO上的点，BFLCE,垂足为G,连接AG.

CECD

①求证：—=—；

BFBC

②若G为CE的中点，求证：sinZAGS=~

(2)如图2,将矩形43C。沿MN折叠，点A落在点R处，点5落在C。边的点S处,

连接8s交MN于点P,Q是心的中点.若A8=2,BC=3,直接写出PS+PQ的最小值

为

一十五.练习(共5小题)

53.如图，在锐角三角形ABC中，点£>,£分别在边4C,AB上，AG_L8C于点G,AFA.

DE于点、F,ZEAF=ZGAC.

(1)求证：

54.如图，已知正方形A8CO中，8E平分NDBC且交8边于点E,将ABCE绕点。顺时

针旋转到△DC尸的位置，并延长BE交。户于点G.

(1)求证：△BDGS^DEG；

(2)若EG・8G=4,求BE的长.

55.如图，Rl^ABC中，NB4C=90°,A8=2,AC=4,。是BC边上一点，且8O=CD,

G是BC边上的一动点，GE〃A£＞分别交直线AC,A8于尸，E两点.

(1)AD=；

GE

(2)如图1,当GF=1时，求二7的值；